Calculo II 4a Lista 2017.2 (resumida)

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UNIFACS - Cursos de Engenharia 
Disciplina: Cálculo II 
Semestre: 2017.2 
 
4ª Lista de Exercícios (resumida) 
 
1) Determine os limites a seguir: 
a) 
yx
xy
 mil
3
)2,1()y,x( 
 b) 
22
3223
)0,0()y,x( yx
yxyyxx
mil



 c) 
 
)3y()1x(
)xyx)(4yx(
mil 
2
)3,1()y,x( 


 
d)
22
44
)1,1()y,x( yx
yx
mil



 e)
2y2xxy
4x2x2xy2yxx
mil
223
)1,2()y,x( 


 
f)
yx2xyy2x
yx2x
mil
324
23
)1,2()y,x( 


 g) 
2y2xxy
yxx12y4x3
mil
23
)3,1()y,x( 


 
 
Respostas: a) 8 b) zero c) 4 d) 2 e) 2 f) 
9
4
 g) 1 
 
Derivadas Parciais (taxas de variação em relação a uma variável) 
Definição: 
o
ooo
xx
oo
xx
)y,x(f)y,x(f
lim)y,x(
x
f
o 




 
e 
o
ooo
yy
oo
yy
)y,x(f)y,x(f
mil)y,x(
y
f
o






 
Note que para calcular a taxa de variação 
x
f


 , mantemos y constante e variamos x. 
Analogamente, para calcular 
y
f


 
mantemos x constante e variamos y. 
 
 
Modo Prático de Derivar uma Função de Várias Variáveis 
 
Função f(x,y)=x3+y2+3x-5y 
Para calcular
x
f


: 
3x3030x3
x
f
 y5 -3x yx)y,x(f 22
ctecte
23 



 
Para calcular
y
f


: 
5y250y20
x
f
 y5- 3x y x)y,x(f
cte
2
cte
3 



 
Função f(x,y)=x2y 
Para calcular
x
f


: 
xy2yx2
x
f
 yx)y,x(f
cte
2 



 (y é constante, deriva x2) 
Para calcular
y
f


: 
22
cte
2 x1x
y
f
 yx)y,x(f 



 (x2 é constante, deriva y) 
 
2) Calcule as derivadas parciais das funções a seguir: 
 
z = x2-2y2 z = x3+y2+3x-5y z= xy z = x2y z = 2xy3 z = x2sen(y) 



x
z
 



x
z
 



x
z
 



x
z
 



x
z
 



x
z
 



y
z
 



y
z
 



y
z
 



y
z
 



y
z
 



y
z
 
 
 
 
2 
z= sen(x2-y2) z = sen(xy) z = ln(x2y) z=exy 



x
z
 



x
z
 



x
z
 



x
z
 



y
z
 



y
z
 



y
z
 



y
z
 
 
3) Calcular as derivadas 
x
f


e 
y
f


 
das funções: 
a) f(x,y)=x2sen(x3 + 3y2) b) 
y4x3y)y,x(f 2 
 
 
Respostas: a) 
223223 x3)y3xcos(x)y3x(senx2
x
f



; 
y6)y3xcos(x
y
f 232 


 
 b) 
y4x32
y3
3
y4x32
1
y
x
f 22






 ; 
4
y4x32
1
yy4x3y2
y
f 2 




 
 
4) Assinale a resposta correta para a derivada parcial da função f(x,y)=
2)x(tg22 xye
x
y
)yxln()xy(senx4 
. 
a)
22)x(tg
22
yxsece
x
y
xy2
yx
1
y)xycos(x8
x
f



 
b)
22)x(tg
2
2 yxsece
x
y
x
2
y)xycos(x4)xy(senx8
x
f



 
c) 
xy2xsece
x
y
xy2
yx
1
y)xycos(x4)xy(senx8
x
f 2)x(tg
22
2 


 
d)
22
2
2 y
x
1
x
yx
1
)xycos(x4
y
f



 
e)
xy2
x
1
x
yx
1
x)xycos(x4)xy(senx8
y
f 2
2
2 


 
 
5) Para as funções abaixo, calcule as derivadas parciais no ponto Po indicado. 
a) 
 )2,1(P ; )yx(lnxe)y,x(f o 
 b)    .)1,0(P ; yxcosx)y,x(f o
 
c) 
 .1,0P ;)yx(lny)y,x(f o
222 
 
d) 
   .1,1P ;
)yx(
)yx(
y,xf o22
22



 
e) 
     .2,2P ;xyarctgy,xf o
 
 
f) 
   .2,1P ;)yx(lney,xf o
x 
 
Respostas: a) fx(Po) = e[ln(2) + 1]; fy(Po) = e/2; b) fx(Po) = 1 ; fy(Po) = 0; 
c) fx(Po) = 0; fy(Po) = 2; d) fx(Po) = 1; fy(Po) = 1 ; 
e)fx(Po) = 1/4 ; fy(Po) = 1/4; f) fx(Po) = eln3 + e/3; fy(Po) = e/3; 
6) Considere a função 
22
2
yx
xy
z


. Verifique que a equação
z
y
z
y
x
z
x 





 é verdadeira
   0,0y,x 
. 
7) Dada a função 
)
y
x
(arctg)y,x(f 
, mostre que 
22 yx
y
x
f




 e 
22 yx
x
y
f





. Com base nesses resultados, 
qual é o valor da expressão 
y
f
y
x
f
x





? 
8) Considere a função temperatura de uma placa do plano dada por
22 yx3yx14)y,x(T 
. Se x é fixado em 
duas unidades, determine a taxa de variação da temperatura no instante em que y=1. 
 
 
3 
9) Um ponto move-se ao longo da interseção do parabolóide elíptico 
22 y3xz 
com o plano x=2. A que taxa 
está variando essa função z quando o ponto está em (2,1,7)? 
Resposta: 
6)1,2(
y
f



 
10) A área A da superfície de um cone circular de altura h e raio da base r é dada por
.rhr)h,r(A 22 
 
 
a) Se o raio r é mantido fixo em 3 cm, encontre a taxa de variação de A no instante em que h=4 cm. 
 
b) Se a altura h é mantida em 4cm, encontre a taxa de variação de A no instante em que r = 3cm. 
 
Respostas: 11) a)
2222 rh
rh
h2
rh2
1
r
h
A







. Logo,
5
12
)4,3(
h
A 



 
b) 
r2
rh2
1
rrh
r
A
22
22 




. Logo, 
5
34
5
9
5)4,3(
r
A 





 
 
11) Uma placa de metal aquecida está situada em um plano XOY de modo que a 
temperatura T no ponto (x,y) é dada por 
.)yx(10)y,x(T 222 
 
Determine a taxa de variação de T em relação à distância percorrida ao longo da 
placa a partir do ponto (1,2), nas direções positivas de: 
a) OX. b) OY. 
 
Respostas: a)
200)2,1(
x
T
,Logo.x)yx(40
x
T 22 





 b) Analogamente, 
400)2,1(
y
T



 
12) Verifique que as derivadas parciais mistas de segunda ordem são iguais, ou seja, 
xy
f
yx
f 22





. 
a) 
  y4x3xy7yx8yx4y,xf 42 
. b) 
  22 yxy,xf 
. 
 
c) f(x, y) = 2x3 – y3 – x2y2 + 2x2y – xy2+ 3xy + 4x – 5y, d) f(x, y) = 2x3sen(xy) + y3cos( x2) + 4x2  5y2 
13) Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace 
0
y
z
x
z
2
2
2
2






,x, y. 
a) 
223 yxxz 
. b) 
   xcoseysenez yx 
. 
 
Respostas: a) não b) sim 
 
14) (Regra da Cadeia) Considere a função z=f(x,y) = x2 y2 + x2y  xy2– 3x+4y , e 






t2t)t(y
1t)t(x
2
2 . 
Determine 
dt
dz
 no instante t=1, usando a fórmula
)
dt
dy
,
dt
dx
()
y
f
,
x
f
(
dt
dz
,sejaou
dt
dy
)P(
y
f
dt
dx
)P(
x
f
dt
dz
oo 











 
Dicas: 
)1(
dt
dz
 é um número real, que é o produto escalar de 
)
dt
dy
,
dt
dx
(vetorpelo)
y
f
,
x
f
(




 
i) Para achar o vetor, tome as derivadas 
dt
dy
e
dt
dx
 em t=1 
ii) No instante t=1 temos x(1)=..... e y(1)=..... Logo, o ponto Po= (...., ....). 
iii) as derivadas 
y
f
 e 
x
f




são calculadas no ponto Po 
 
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
 
 
4 
15) Considere a função z=f(x,y)= x2 y2 + x2y  xy2 – 3x + 4y, e 






tt)t(y
4t)t(x
2
3 . 
Determine a derivada
dt
dz
no instante t=2, usando a fórmula 
dt
dy
)P(
y
f
dt
dx
)P(
x
f
dt
dz
oo






. 
 
 
 
QUESTÃO EXTRA: Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais 
 
A derivada 
)y,x(
y
f
oo


 é a inclinação (declividade, coeficiente angular) da reta tangente à curva interseção da 
superfície z=f(x,y) com o plano x=xo . 
Analogamente, 
)y,x(
x
f
oo


 é a inclinação (declividade, coeficiente angular) da reta tangente à curva interseção 
da superfície z=f(x,y) com o plano y=yo . 
 
 
A figura mostra a curva interseção de z=f(x,y) com o plano 
x=xo (constante) 
 
A figura mostra a curva interseção de z=f(x,y) com o plano 
y=yo (constante) 
 
 
Determine o coeficiente angular da reta tangente no ponto (1,1,5) à curva obtida pela interseção da superfície 
com os planos: a) plano x=1; b) plano y=1. 
 
 
Soluções: a) Como x é constante, derivamos f em relação à y no ponto (-1,1). Logo, 
8)1,1(
y
f



 
b) Como y é constante, derivamos em relação à x. Logo, 
2)1,1(
x
f


