Revisão CÁLCULO INTEGRAL parte 2

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1. Calcule o valor da função a seguir nos pontos (1,–3) e (5,0). 
𝑓(𝑥, 𝑦) =
3𝑥 − 2𝑦
𝑥2 − 𝑥𝑦
 
B. 
𝟗
𝟒
𝒆
𝟑
𝟓
 
2. Descreva o domínio e o gráfico da seguinte função: 𝑓(𝑥, 𝑦) = √16 − 𝑥2 − 𝑦2 
C. D = ｛(x,y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 16｝ e o gráfico é a semiesfera superior de raio 4. 
 
3. Determine o domínio da seguinte função: 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
√3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧
𝑥2𝑦 − 𝑧
 
 
C. D = ｛(x,y,z) ∈ R3 | 3x – 2y + z ≥ 0 e x2y ≠ z｝. 
 
4. A função T(x,y,z) = x
2
+ y
2
+ z
2
determina a temperatura em cada ponto do espaço. 
As superfícies isotérmicas são dadas pelas equações em uma certa temperatura 
constante. 
Sendo assim, determine a equação da superfície isotérmica quando a temperatura 
for igual a 25º. 
A. x
2
 + y
2
 + z
2
 = 25. 
 
5. Determine a taxa de variação média de B até C, considerando o seguinte mapa 
de contorno:
 
E. –0,75. 
 
 
 
REVISÃO DE CÁLCULO INTEGRAL PARTE 2 
 DESAFIO 
A função de várias variáveis aparece como forma de modelar diversos problemas do dia 
a dia. Em uma empresa, por exemplo, é possível determinar o lucro com a venda de um 
produto, analisando os custos com a produção e a receita obtida com a venda. 
A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa na produção ou 
aquisição de algum produto. É possível representá-la usando a seguinte expressão: C = 
Cf+ Cv , em que Cf é o custo fixo e Cv é o custo variável. 
Já a função receita está ligada ao faturamento bruto da empresa, dependendo do número 
de vendas de determinado produto. É possível representá-la usando a seguinte 
expressão: R = pv, em que p é a quantidade de produto vendida e v é o valor de venda 
do produto. 
A partir dessa contextualização, considere o seguinte cenário: 
 
Diante do exposto, resolva as seguintes questões: 
a) Determine o lucro da empresa com a produção de 150 peças por mês, sabendo que o 
custo de produção de cada peça é R$ 5,00. 
b) Considere que, em certo mês, devido ao aumento do preço dos materiais para a 
produção das peças, o custo da empresa foi de R$ 1.500,00. Sendo assim, determine 
qual deverá ser o valor de venda de cada peça a fim de manter o lucro. 
Padrão de resposta esperado 
A função lucro está relacionada ao lucro líquido da empresa em questão. Sendo assim, é 
constituída pela diferença entre a função receita e a função custo. Ainda, constata-se o 
lucro apenas se o resultado for positivo; caso ele seja negativo, houve prejuízo. 
 
INTEGRAÇÃO EM VÁRIAS VARIÁVEIS 
1. Determine a massa, em kg, de uma lâmina que ocupa a região retangular R = 
[−1,4] × [2,5] e que apresenta densidade σ(x,y) = y
2
, medida em kg/m
2
. 
B. 195 kg. 
 
2. Uma lâmina com densidade 𝜎(𝑥, 𝑦) =
2
3
𝑥 + 4𝑦 medida em kg/m3, ocupa a 
região R retangular com vértices (−2,0), (3,0), (−2,5) e (3,5). O valor da massa, 
medida em kg, e das coordenadas 𝑥
_
𝑒𝑦
_
, medidas em metros, do centro de massa 
são, respectivamente: 
A. 258,3 kg; 3,31 m; 0,63 m. 
 
 
3. Calcule a integral tripla: ∭
𝐸
𝑥𝑒𝑥𝑦𝑑𝑉onde E = ｛ (x,y,z) | 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, 1 ≤ 
z ≤ 3 ｝. 
B. 
2
3
[𝑒6 − 𝑒3 − 3] 
 
 4. O sólido mostrado na figura a seguir tem densidade volumétrica 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥
8
(
𝑦
3
+
𝑧
5
)medida em kg/cm3. Determine sua massa. 
 
D. 180.000 g. 
5. Calcule a integral tripla: ∭𝐵
(𝑥−𝑧)
2
𝑦
𝑑𝑉 onde B = [0,1] × [1,5] × [2,8]. 
E. 225,32. 
 
DERIVADAS PARCIAIS 
1. Determine 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 e 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 no ponto (1, -1) sabendo que f (x, y)=2x2-3y-4. 
C. 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(1,−1) = 4𝑒
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(1,−1) = −3 
 
2. Encontre fx e fy considerando 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
(𝑥−𝑦)
. 
E. 𝑓𝑥 = −
1
(𝑥−𝑦)2
𝑒𝑓𝑦 =
1
(𝑥−𝑦)2
 
 
3. Encontre fx, fy e fzonde f (x, y,z) = 1+xy
2
-2z
2
. 
D. f x= y 
2
 , f y= 2xy e f z=- 4z 
 
4. Determinefxy e fyxonde f(x,y)= x+y+xy. 
A. f xy = f yx = 1 
 
5. Encontre 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 se a equação xy+z
3
x-2yz=0define zcomo função de duas variáveis 
independentes xe y. 
D. 
𝑦+𝑧3
2𝑦−3𝑧3𝑥
 
 
DERIVADAS DIRECIONAIS 
1. Considere um ponto sobre a superfície de equação f (x, y)= 2xy - y3 no 
ponto P(5, 5). Ao deslocar esse ponto ao longo da superfície, é possível observar 
que ele se move em taxas de valores diferentes, dependendo da direção do 
deslocamento. Determine a taxa na qual o ponto se desloca na direção do versor. 
�⃗� = (
3
5
,−
4
5
) 
C. 58. 
 
 
 
2. A derivada direcional indica o quanto a função varia em uma dada direção, ou 
seja, indica a taxa de variação da função. Determine a taxa variação da função 
 f (x, y, z ) = xy + yz + zx no ponto P(1, -1, 2) e na direção do vetor. 
 
𝑣 = (3,6, −2) 
A. 3. 
 
3. Dado um ponto no espaço definido por uma função, existem infinitas direções 
nas quais é possível deslocar e determinar a taxa cuja função varia naquela 
direção. Mas existe, em um dado ponto, uma única direção na qual a função cresce 
mais rapidamente. Encontre a direção na qual a função f(x, y) = x2+ xy + y2 aumenta 
mais rapidamente no ponto (-1, 1). Encontre a derivada direcional de f nessa direção. 
E. 𝑣 = (−1,1)𝑒𝐷�⃗⃗� 𝑓(−1,1) = √2
 
 
4. Dada uma função, podemos determinar a direção na qual a função apresenta a menor 
variação possível. Tal direção é unicamente determinada, juntamente com a taxa mínima de 
variação. Encontre a direção na qual a função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥
𝑦
− 𝑦𝑧 diminui mais rapidamente 
no ponto (4, 1, 1). Encontre a derivada direcional de f nessa direção. 
D. 𝑣 = (−1,5,1)𝑒𝐷�⃗⃗� 𝑓(4,1,1) = −3√3 
5. Suponha que a temperatura varie em certa região de acordo com a função T(x, 
y) = x
3
- y
3
+ xy. Determine a direção na qual a temperatura aumenta mais 
rapidamente no ponto (2,1). 
B. 𝑣 = (13,−1) 
INTEGRAIS DE LINHA 
1. Encontre a massa total do arame no formato de parábola y = x
2
, ao longo de1 
≤ x ≤ 4, que tem densidade de massa δ = y/x. 
C. 42,74 
 
2. Resolva a integral ∫ 2𝑦𝑥2 − 4𝑥𝑑𝑠
𝐶
 na qual C é o semicírculo centrado na 
origem, com raio 3 e rotação no sentido horário. 
D. –108 
 
3. Resolva a integral de linha ∫ 3𝑥2 − 2𝑦𝑑𝑠
𝐶
 na qual C é o segmento de reta de 
(3,6) a (1,–1). 
 
B. 8√53 
 
4. Calcule ∫ 6𝑥𝑑𝑠
𝐶
 na qual C é o caminho y = x
2
 de x = –1 a x = 2, no sentido do 
aumento do valor da coordenada x. 
E. 
17
3
2−5
3
2
2
 
5. Calcule o trabalho realizado por uma partícula no campo vetorial F(x,y) = (x
2 
– 
2xy)i + (y
2 
– 2xy)j, ao percorrer o trajeto C, definido pela parábola y = x
2
, do ponto 
(–1,1) ao ponto (1,1), no sentido do crescimento das ordenadas. 
D. 
−14
15
 
 
INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE DE CAMPOS VETORIAIS 
1. Considere F = < y, z, x > e S a superfície orientada parametrizada por Φ (u,v) = 
(u
2
 – v, u + v, v
2
). Marque a alternativa que contém o produto escalar F.n em 
termos dos parâmetros u e v. 
A. 2u
3
+u
2
+2v
2
−4uv
3
−v 
Passo 1. Encontrar os vetores tangentes e normais. 
𝑇𝑢 = ⟨2𝑢, 1,0⟩
𝑇𝑣 = ⟨−1,1,2𝑣⟩
𝑛 = 𝑇𝑢 × 𝑇𝑣 = |
𝑖
2𝑢
−1
𝑗
1
1
𝑘
0
2𝑣
| = 2𝑣𝑖 + 2𝑢𝑘 + 𝑘 − 4𝑢𝑣𝑗
𝑛 = ⟨2𝑣,−4𝑢𝑣, 2𝑢 + 1⟩
 
Passo 2. Escrever F em termos dos parâmetros. 
𝐹(𝑢, 𝑣) = ⟨𝑢 + 𝑣, 𝑣2, 𝑢2 − 𝑣⟩ 
Passo 3. Calcular o produto escalar. 
𝐹 ⋅ 𝑛 = ⟨𝑢 + 𝑣, 𝑣2, 𝑢2 − 𝑣⟩ ⋅ ⟨2𝑣,−4𝑢𝑣, 2𝑢 + 𝑣⟩
𝐹 ⋅ 𝑛 = 2𝑢3 + 𝑢2 + 2𝑣2 − 4𝑢𝑣3 − 𝑣
 
2. O componente normal de um campo vetorial F num ponto P de uma superfície 
orientada é o produto escalar F(P)⋅en(P)=||F(P)||cos(θ), onde θ é o ângulo entre F(P) 
e en(P). Considere F = < y, z, x > e S a superfície orientada parametrizada por Φ 
(u,v) = (u
2
 – v, u + v, v
2
). Marque a alternativa que contém o componente normal 
de F à superfície S em P = (3,3,1) = Φ(2,1). 
C. 
13
√93
 
3. Considere F = < y, z, x > e S a superfície orientada parametrizada por Φ (u,v) = 
(u
2
 – v, u + v, v
2
) ao longo de 0 ⩽ 𝑢 ⩽ 2𝑒 − 1 ⩽ 𝑣 ⩽ 1 
Marque a alternativa que contém ∬
𝑆
𝐹 ⋅ 𝑑𝑆 
B. 24. 
 
 
 
4. 
 
E. -4 
 
 
5. Uma das aplicações
da integral de superfície de campos vetoriais é no cálculo do 
fluxo do fluido através de uma superfície S. Considere F = < x, y, 2z > e S a porção 
da superfície z = 1 – x
2
 – y
2
 acima do plano xy, orientada com normal apontando 
para cima. Marque a alternativa que contém o fluxo do campo vetorial F através 
de S. 
D. 2π 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE GREEN 
1. Use o teorema de Green para calcular ∫C x
2
y dx + x dy, ao longo do caminho 
triangular apresentado na figura a seguir: 
 
C. 0,5. 
2. Utilizando o teorema de Green, resolva a integral ∮C xy dx + x
2
y
3
 dy, na qual C é 
o triângulo da figura a seguir, com orientação positiva. 
 
C. 0,6666... 
3. Use o teorema de Green para resolver a integral ∮C y
3
 dx − x
3
 dy, onde C é o 
círculo de raio 2 centrado na origem e orientado positivamente. 
E. −24π. 
 
 
 
 
 
 
 
4. Utilize o teorema de Green e solucione a integral ∫C x
2
y dx − x
2
 dy, na qual C é 
representado na figura a seguir: 
 
E. −78,7703. 
 
5. Use o teorema de Green para resolver a integral ∫C (6y − 9x)dy − (xy − x
3
)dx, em 
que C é apresentado na figura a seguir: 
 
A. −72,6666... 
 
TEOREMA DE STOKES 
1. O cálculo do rotacional é um dos componentes do teorema de Stokes, sendo 
assim, você deve treinar o uso da ferramenta. 
Calcule o rotacional de 𝐹 = (𝑥𝑦, 𝑒𝑥, 𝑦 + 𝑧) 
D. 𝑖 + (𝑒𝑥 − 𝑥)𝑘 
2. 
O teorema de Stokes é uma forma muito utilizada para o cálculo de integral. Com 
base em seus conhecimentos, use o teorema de Stokes para calcular a integral 
referente ao campo vetorial 
, considerando que C seja a porção do paraboloidez = , apresentado na figura, com 
z≥0, com orientação para cima e que C seja o círculo, 
, com orientação positiva, que forma a fronteira de σ no plano xy. 
 
A. 12π. 
3. Utilize o teorema de Stokes para resolver ∫ 𝐹. 𝑑𝑟
𝐶
 , onde 𝐹 = 𝑧2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑥𝑘𝑒 
 C é o triângulo com vértice (1, 0,0), (0,1,0) e (0,0, 1) orientado no sentido anti-
horário, apresentado na figura. 
A. - 
1
/6 
4. Use o teorema de Stokes para resolver ∬ (𝑟𝑜𝑡𝐹). 𝑑𝑆
𝑆
, onde 𝐹 = 𝑦𝑖 − 𝑥𝑗 + 𝑦𝑥3𝑘 
 e S é a porção da esfera de raio 4 com z≥0, orientada para cima. 
B. - 32π. 
 
5. Utilize o teorema de Stokes para resolver ∬ (𝑟𝑜𝑡𝐹). 𝑑𝑆
𝑆
, onde F =(𝑧2 − 1)𝑖 +
(𝑧 + 𝑥𝑦3)𝑗 + 6𝑘, e e S é o pedaço de , com x = - 2, orientada na direção negativa do 
eixo x. 
B. 2π. 
INTEGRAIS TRIPLAS 
1. As integrais triplas podem ser resolvidas usando integrais iteradas. Encontre a 
integral tripla ∭x y dV em B, em que Bé uma caixa retangular dada por B = ｛
(x,y,z) | −2 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2｝, e assinale a alternativa correta. 
B. −
3
/2. 
 
2. As integrais triplas têm propriedades como, por exemplo, sobre a integral da 
soma. 
Encontre a integral tripla ∭(x z + y2) dV em B, em que B é uma caixa retangular 
dada por B = ｛(x,y,z) | −1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 1｝, e assinale a alternativa 
correta. 
C. 
117
/4. 
 
3. As regiões no espaço, onde será efetuada a integral tripla, podem ser do tipo I, 
II ou III. 
Dada a região Q mostrada na figura a seguir, encontre a integral tripla ∭sen (y2) 
dV em Q, e assinale a alternativa correta. 
E. 1. 
 
4. Além das regiões sólidas terem tipos diferentes, as projeções do sólido em algum 
plano também podem ser do tipo I ou do tipo II. 
Encontre a integral ∭(x + y + z) dV em Q, cuja região Q é definida por 0 ≤ z ≤ 1, x 
≤ y ≤ x
2
 e 0 ≤ x ≤ 1, e assinale a alternativa correta. 
A. -
7
/30. 
 
5. Dentre as aplicações de integrais triplas, uma delas é o cálculo de volumes. 
Diante disso, analise a figura a seguir e encontre seu volume usando integrais 
triplas. 
 
 
Assinale a alternativa correta: 
B. 
1
/2.