Aula 4- Fluxo_de fluidos em meios porosos Modo de Compatibilidade

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14/03/2013
1
Fluxo de Fluidos em Meios 
Porosos
2
Sistema Multicomponente
3
Sistema Multicomponente
4
Condições de Contorno
a) Especificação da pressão no contorno (problema de Dirichlet)
Contorno interno: poços produzindo (ou injetando) a uma pressão constante em frente aos
canhoneados;
Contorno externo: pressão constante no limite do reservatório (exemplo: sob forte influxo
de água) – regime permanente.



=⇒=
=⇒=
eee
www
prprr
prprr
)(
)(
5
Condições de Contorno
b) Especificação do gradiente de pressão no contorno (problema de Neumann)
Contorno interno: poços produzindo (ou injetando) a uma vazão constante (gradiente de
pressão constante);
Contorno externo: gradiente de pressão específico no limite do reservatório. Um caso
especial é quando o gradiente de pressão é zero (reservatório selado - regime pseudo-
permanente). Hipótese mais assumida nos simuladores comerciais.






=
∂
∂
⇒=
=
∂
∂
⇒=
0
1
r
p
rr
C
r
p
rr
e
w
6
Condições de Contorno
c) Condições mistas nos contornos
Contorno interno: poços produzindo (ou injetando) a uma pressão constante em frente aos
canhoneados;
Contorno externo: gradiente de pressão específico no limite do reservatório.




=
∂
∂
⇒=
=⇒=
0
)(
r
p
rr
prprr
e
www
14/03/2013
2
7
Condições de Contorno
Ω1
Ω0
Ω3
Ω2
Ω3
Ω1
Ω2
pb
pwf
Ω0
q
q
q
q = 0
Ω0: contorno sem fluxo;
Ω1: pressão constante;
Ω2: “efluxo”;
Ω3: influxo.
8
Diferenças Finitas
9
Diferenças Finitas
10
Diferenças Finitas
Para o caso monofásico, em uma dimensão:
t
p
B
cV
qx
x
p
B
kA
x
Tbxx
∂
∂
=+∆





∂
∂
∂
∂ φ
µ
Por aproximação em diferenças finitas centrais,
i
Tb
STCi
ii
xx
ii
xx
i t
p
B
cV
qx
x
p
B
kA
x
p
B
kA
x i






∂
∂
=+∆











∂
∂






−





∂
∂






∆
−
−
++
φ
µµ 2/12/12/12/1
1
11
Diferenças Finitas
Continuando:
2/1
1
1
1
2/1 +
+
+
+
+ ∆
−
=
−
−
=





∂
∂
i
ii
ii
ii
i x
pp
xx
pp
x
p
2/1
1
1
1
2/1 −
−
−
−
−
∆
−
=
−
−
=





∂
∂
i
ii
ii
ii
i x
pp
xx
pp
x
p
( ) ( )
t
p
B
cV
qppTppT i
i
Tb
STCiiixiiix i ∂
∂






=+−−−
−−++
φ
12/1 12/1 
Logo:
onde
2/1
2/1 
+
+ 





∆
=
i
xx
ix
xB
kA
T
µ
2/1
2/1 
−
− 





∆
=
i
xx
ix
xB
kA
T
µ
12
Abordagem explícita
Adotando discretização temporal por diferença progressiva para um tempo 
tn:
Abordagem explícita:
t
pp
t
p ni
n
ii
∆
−
=
∂
∂ +1
( )[ ]ninixninixixniix
iTb
STC
iTb
n
i
n
i pTpTTpT
cV
tBq
cV
tBpp
i 12/1 2/1 
n
2/1 1
n
2/1 
1
−−−+++
+ ++−




 ∆
+




 ∆
+= φφ
14/03/2013
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Diferenças Finitas – Abordagem implícita
Adotando discretização temporal por diferença retardada para um tempo 
tn+1:
t
pp
t
p ni
n
ii
∆
−
=
∂
∂ +1
Abordagem implícita:












∆
+−=+





++





∆
−
+
−−
+
−+
+
++
n
i
i
Tb
STC
n
i
n
ix
n
i
n
ixix
i
Tbn
iix ptB
cV
qpTpTT
tB
cV
pT
i
φφ 1
12/1 
1
2/1 
n
2/1 
1
1
n
2/1 
14
Condições de Contorno Internas
Contornos internos em reservatórios de petróleo incluem poços, rochas não-
reservatório e falhas selantes. Cada um destes contornos requer um método
diferente de implementação.
a) Poços: As dimensões dos blocos da malha são geralmente muito maiores do que
as dimensões do poço - linha-fonte no bloco. Para modelos em coordenadas
retangulares, portanto, as condições de contorno podem ser aproximadas por um
termo fonte/sumidouro. Pela solução de Peaceman (Peaceman, 1983):
( )[ ] ( )wfkjiweq
H
STC ppBsrr
hk
q
i
−
+
−=
,,
1
/ln µ
β
( ) ( )
( ) ( ) 4/14/1
22/122/1
//
//
28,0
yxxy
yxxy
eq kkkk
ykkxkk
r
+
∆+∆
= yxh kkk =
onde
15
Condições de Contorno Internas
p > pi,j,k
req
p = pi,j,k
p < pi,j,k
∆x
( )[ ] ( )wfkjiweq
H
STC ppBsrr
hk
q
i
−
+
−=
,,
1
/ln µ
β ( ) ( )
( ) ( ) 4/14/1
22/122/1
//
//
28,0
yxxy
yxxy
eq kkkk
ykkxkk
r
+
∆+∆
=
16
Cálculo do IP
Fonte: Cardoso, M. A. (2002)
17
Condições de Contorno Internas
MA-001MA-002
MA-004
MA-005
MA-008
MA-010
MA-011A
MA-012A
MA-016
MA-017
MA-018
MA-019
MA-020
MA-021
MA-027 MA-029
RJS284
RJS294
RJS338
RJS376
RJS394
339.000 340.000 341.000 342.000 343.000 344.000 345.000 346.000 347.000 348.000 349.000 350.000
339.000 340.000 341.000 342.000 343.000 344.000 345.000 346.000 347.000 348.000 349.000 350.000
7
.487
.000
7
.489
.000
7
.491
.000
7
.493
.000
7
.495
.000
7.
48
8.
00
0
7.
49
0.
00
0
7.
49
2.
00
0
7.
49
4.
00
0
7.
49
6.
00
0
0.00 0.50 1.00 miles
0.00 1.00 2.00 km
File: Grid_13_11_krw_CRP200_CRP100N_semk10_div_4_comp_300_aquif_020_035_TRANLK_NTG_1000_grid_16_04_v49.dat
User: GAB9
Date: 16/04/2008
Scale: 1:68259
Y/X: 1.00:1
Axis Units: m
0,00
0,04
0,08
0,12
0,16
0,20
0,24
0,28
0,32
0,36
0,40
0,44
0,48
0,52
0,56
0,60
0,64
0,68
0,72
0,76
0,80
0,84
0,88
0,92
0,96
1,00
Trans Multiplier I 2005-08-26 K layer: 4
339.000 340.000 341.000 342.000 343.000 344.000 345.000 346.000 347.000 348.000 349.000 350.000
339.000 340.000 341.000 342.000 343.000 344.000 345.000 346.000 347.000 348.000 349.000 350.000
7
.488
.000
7
.489
.000
7
.490
.000
7
.491
.000
7
.492
.000
7
.493
.000
7
.494
.000
7
.495
.000
7.
48
8.
00
0
7.
48
9.
00
0
7.
49
0.
00
0
7.
49
1.
00
0
7.
49
2.
00
0
7.
49
3.
00
0
7.
49
4.
00
0
7.
49
5.
00
0
7.
49
6.
00
0
 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 miles
0.00 1.00 2.00 km
File: Grid_13_11_krw_CRP200_CRP100N_semk10_div_4_comp_300_aquif_020_035_TRANLK_NTG_1000_grid_19_03_bc1510_v42.dat
User: GAB9
Date: 08/04/2008
Scale: 1:64779
Y/X: 1.00:1
Axis Units: m
0,00000
0,00004
0,00008
0,00012
0,00016
0,00020
0,00024
0,00028
0,00032
0,00036
0,00040
0,00044
0,00048
0,00052
0,00056
0,00060
0,00064
0,00068
0,00072
0,00076
0,00080
0,00084
0,00088
0,00092
0,00096
0,00100
Low Side Trans Multiplier K 1982-01-31 K layer: 10
Rochas não-reservatório
Falhas selantes
18
Previsão de Comportamento de Reservatórios
Necessidade de ajuste 
do modelo ao histórico
Várias revisões do 
modelo podem ser 
necessárias (upscaling, 
atributos e 
propriedades)
14/03/2013
4
19
Simulação de Reservatórios