MATEMÁTICA - CONJUNTOS

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9 – Números Reais, Relações e Funções
9.1 – Conjuntos
9.1.1 - Definição de conjunto
Definimos conjunto como uma coleção de elementos. Estes elementos podem ser numéricos ou
não. Indicamos, matematicamente, um conjunto com seus elementos entre chaves, separados por
vírgula.
Exemplos
1º) Conjunto dos números pares positivos: P={2,4,6,8,10,. ..}
2º) Conjunto dos números primos: P={2,3,5,7,11,13,...}
3º) Conjunto dos números ímpares entre 5 e 18: I={7,9,11,13,15,17 }
4º) Conjunto dos meses do ano com menos de 29 dias: M={fevereiro }
5º) Conjunto dos números inteiros que satisfazem a equação 2x+3=8 S= { } ou S=∅
Estamos interessados em estudar os conjuntos com propriedades matemáticas.
9.1.2 - Conjuntos numéricos
São os conjuntos através dos quais são realizadas as operações matemáticas.
9.1.2.1 - Conjunto dos números naturais – N
Indicamos o conjunto dos números naturais e seus subconjuntos pela notação:
N= {0,1,2,3,4,5,. ..} N*={1,2,3,4,5,...}
9.1.2.2 - Conjunto dos números inteiros - Z
Indicamos o conjunto dos números inteiros e seus subconjuntos pela notação:
Z={... ,−3,−2,−1,0,1,2,3,. ..} Z*= {... ,−3 ,−2 ,−1,1,2,3,. ..}
Z -={...,−3 ,−2 ,−1,0} Z+={0,1,2,3,...}
Z+=N
9.1.2.3 - Conjunto dos números racionais - Q
Números racionais são todos os números que podem ser expressos na forma a
b
, b  0.
Q={... ,−72 , ... ,−3,... ,−52 , ... ,−2,... ,−1,... ,−13 ,... ,0 , ... , 25 ,... ,1 , ... , 32 , ...,2 , ... , 73 , ...}
9.1.2.4 - Conjunto dos números irracionais - I
Número irracional é todo número que não pode ser expresso por meio de razões (frações).
Entram neste contexto todas as raízes não exatas e os números ,  (divina proporção), e (número
de Euller).
I={... ,−π ,... ,−√7 ,... ,−√5 , ... ,√3... ,√6 , ... ,ϕ ,... ,... , e , ...}
9.1.2.5 - Conjunto dos números reais - R
É a união entre o conjunto dos números racionais com os números irracionais.
 Q R
 Z I
 
 N
R={... ,− 72 , ... ,−π , ... ,−3,... ,−√7 , ... ,− 52 ,... ,−1,... ,0 ,... ,1 , ... , 32 , ... ,√3... ,ϕ , ... ,2 , ... , e ,...}
9.1.3 - Relação de pertinência
Um elemento pode ou não pertencer a um conjunto. Usamos a seguinte nomenclatura:
• x∈A (o elemento x pertence ao conjunto A)
• x∉A (o elemento x não pertence ao conjunto A)
Exemplos
6º) Seja A= {2,4,6,8,10,...} o conjunto dos números pares não negativos e a equação
4 x+5=13 . O resultado desta equação pertence ao conjunto A.
Indica-se 2 ∈ A .
7º) Seja o conjunto B={3,6,9,12,15,18,...} dado pelos múltiplos naturais de 3. Verificamos que o
número 18631 não pertence a este conjunto.
Indicamos 18631 ∉B
9.1.4 - Relação de Inclusão
Um conjunto A será subconjunto de um conjunto B, se e somente se todos os elementos do
conjunto A estiverem dentro do conjunto B. Usamos a nomenclatura:
• A⊂B (o conjunto A está contido no conjunto B, ou o conjunto B contém o
conjunto A).
• A⊄B (o conjunto A não está contido no conjunto B, ou o conjunto B não contém
o conjunto A).
Geometricamente temos:
A⊂B A⊄B
Exemplos
8º) A solução da equação x2−9=0 está contido no conjunto dos números inteiros, pois
S={−3,3} .
Indicamos S ⊂ Z
9º) O conjunto de todos os quadrados está contido no conjunto de todos os quadriláteros, pois o
quadrado é um dos quadriláteros (figuras com 4 lados).
Indicamos quadrados ⊂ quadriláteros
10º) O conjunto de todos os triângulos não está contido no conjunto de todas as figuras planas
regulares, pois os triângulos classificam-se em equilátero (regular), isósceles e escaleno (não
regulares).
Indicamos triângulos⊄ figuras regulares
9.1.5 - Representação de um conjunto
Para representar um conjunto, utilizaremos as três maneiras abaixo:
9.1.5.1 - Representação por extensão
Indicam-se, por extenso, todos os elementos que compõe o conjunto.
Exemplos
11º) A representação, por extensão, do conjunto dos números naturais compreendidos entre 2 e 10,
com eles inclusos será dada por:
N= {2,3,4,5,6,7,8,9,10 }
B
A
B
 A
12º) A representação, por extensão, do conjunto dos números naturais menores que 2000 será
indicada por:
N= {0,1 ,2,3 ,4 , ...,1999}
13º) O conjunto dos números inteiros compreendidos entre -5 e 3, com exceção do -5 será indicada
por:
Z={−4,−3,−2,−1,0 ,1,2 ,3}
9.1.5.2 - Representação por lei, sentença matemática ou propriedade
É usada a simbologia (linguagem) matemática para representar os elementos do conjunto.
Exemplos
14º) A representação por lei matemática do conjunto S= {−3,3} será dada por:
S={x ∈ Z / x2−9=0}
15º) A representação do conjunto I={1,3,5,7,9,11,. ..} por uma propriedade matemática será dada
por:
I={x ∈ N / x=2n+1, n ∈ N }
9.1.5.3 - Representação por diagrama de Venn
Os elementos são colocados dentro de polígonos fechados.
Exemplos
16º) A representação do conjunto dos números inteiros compreendidos entre -1 e 4 por meio de
diagrama de Venn será dada por:
I
.0
.1 .2
.3
17º) A representação do conjunto dos números naturais pares menores que 9, por meio de diagrama
de Venn será dada por:
 P .2
.4 .6
.8
9.1.6 – Eixo real ou reta real
É chamado eixo das abscissas (x). Sobre ele estão orientados todos os números reais, conforme
figura:
Todos os números reais estão representados na reta real, de modo que cada ponto da reta
orientada está associado a um único número real. Na reta real temos a “relação de ordem”.
Destacamos as seguintes:
i) todo número negativo é menor que zero;
ii) todo número negativo é menor que todo número positivo;
iii) quanto mais próximo de zero, maior é o valor absoluto do número negativo;
iv) quanto mais afastado de zero, maior é o valor absoluto do número positivo.
9.1.7 – Módulo de um número real
Sejam dois números reais, a e b, tais que a < b. Chamamos módulo ∣b−a∣ à distância entre os
valores de a e b na reta real.
Exemplos
18º) A distância entre o número 3 e o número -2 é dada por: d=∣−2−3∣=∣−5∣=5
19º) A distância entre o número -5 e o número 1 é dada por: d=∣1−(−5)∣=∣6∣=6
9.1.8 – Intervalos numéricos na reta real
Sejam dois números reais, a e b , tais que a<b . Na reta real temos os seguintes
intervalos numéricos finitos:
Tipo de intervalo finito Notação de reta real Notação de intervalo Notação de conjunto
Intervalo fechado [a ,b ] {x ∈ R / a≤ x≤b }
Intervalo aberto ]a ,b [ {x ∈ R / a<x<b }
Intervalo fechado à
esquerda
[a ,b [ {x ∈ R / a≤ x<b}
Intervalo fechado à direita ]a ,b ] {x ∈ R / a< x≤b }
Consideremos agora o número real b . Na reta real temos os seguintes intervalos numéricos
infinitos:
Tipo de intervalo infinito Notação de reta real Notação de intervalo Notação de conjunto
Números reais menores
ou iguais a “b”
]−∞ , b ] {x ∈ R / x≤b}
Números reais menores
que “b”
]−∞ , b[ {x ∈ R / x<b }
Números reais maiores ou
iguais a “b”
[b ,+∞ [ {x ∈ R / x≥b}
Números reais maiores
que “b”
]b ,+∞ [ {x ∈ R / x>b}
Exemplos
20º) utilizando o conceito de intervalos numéricos, efetue as operações de união (A∪B ) ,
interseção (A∩B ) e diferença (A−B , B−A ) nos conjuntos abaixo:
a) A= {x ∈ R / −3≤x≤7} e B= {x ∈ R / x≥1}
b) A={x ∈ R / x<−1 } e B= {x ∈ R / 1<x≤5}
9.2 – Relações binárias
Relação binária é toda relação entre dois elementos quaisquer por meio de uma lei ou
propriedade matemática. Por exemplo, a relação que existe entre os lados de um quadrilátero e sua
área é uma relação binária.
9.2.1 – Plano cartesiano
É o plano formado por duas retas perpendiculares entre si. Ao eixo horizontal chamamos eixo
das abscissas (x) e ao eixo vertical chamamos eixo das ordenadas (y). O ponto onde os eixos se
cruzam é o ponto de origem, indicado por O(0,0).
O plano cartesiano está dividido em quatro
quadrantes, tomados no sentido anti-horário.O par (x,y) indica a posição de um ponto
qualquer no plano. Este par (x,y) é chamado “par
ordenado”.
Neste par, x é a abscissa (domínio) e y é a
ordenada (imagem).
Como exemplo, vamos marcar no plano cartesiano os pontos A(2,3), B(0,-2), C(-1,-2), D(-2,0),
E(-3,2), F(2,0), G(0,2), H(3,-2) e I(0,0), indicando a qual quadrante o mesmo pertence.
9.2.2 – Sistematização de uma relação binária
Sejam os conjuntos A= {1,2 ,3,4 } e B= {2,4,6 } e o produto cartesiano AxB indicado por:
AxB={(1,2) ,(1,4) ,(1,6) ,(2,2) ,(2,4) ,(2,6) ,(3,2) ,(3,4) ,(3,6) ,(4,2) ,(4,4) ,(4,6)} . A partir deste
produto cartesiano, vamos analisar alguns subconjuntos específicos.
Por exemplo, vamos analisar o subconjunto S={(2,2) ,(4,4)} . Este subconjunto poderia ser
descrito por meio da lei matemática R1={( x , y) ∈ AxB / y=x } . Poderíamos ainda representar
este subconjunto por meio de um diagrama de Venn ou mesmo no plano cartesiano.
 y = x
 A B
 1
 2 2
 3 4
 4 6
Observamos que o domínio e a imagem da relação são dados por:
D (R1)={2,4} e I m (R1)={2,4}
Analisemos agora o subconjunto S={(1,2) ,(2,4) ,(3,6)} . Podemos escrever este subconjunto
por meio da lei matemática R2={(x , y ) ∈ AxB / y=2x } . Esta representação também poderia ser
feita por diagrama de Venn ou no plano cartesiano.
 y = 2x
A B
 1 2
 2 4
 3 6
 4
Observamos que o domínio e a imagem da relação são dados por:
D (R2)={1,2,3 } e I m (R1)={2,4 ,6}
Consideremos, ainda, o subconjunto S={(1,4) ,(3,6)} . Qual seria uma possível representação
para este subconjunto de AxB?
Exemplos
21º) Seja o conjunto A= {0,2 ,4 ,6 ,8} e o conjunto B={1,3 ,5,7} . Determine por extensão o
conjunto AxB de tal forma que R={( x , y) ∈ AxB / y= x+1} . In dique domínio e imagem.
22º) Represente por meio de diagrama de Venn a relação R={(x , y ) ∈ AxB / y2=x } , a partir dos
conjuntos A={9,16} e B= {−4,−3,−2,2,3} .
23º) Sejam os conjuntos A={x ∈ Z / −3≤x<2} e B= {x ∈ N / x<10} . Represente no plano
cartesiano a relação R={( x , y) ∈ AxB / y=2x+2} . Indique domínio e imagem.
10 – Funções
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de função a toda relação R : A→B , onde cada
elemento do conjunto A está associado a um único elemento do conjunto B. O conjunto A é
chamado de domínio da função e o conjunto B é chamado contradomínio da função. Os elementos
do conjunto B que tem relação com os elementos do conjunto A são denominados de imagem da
função. Assim, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio. Notações:
Domínio: D( f )=A
Contradomínio: CD ( f )=B
Imagem: I m( f )=B / A→B
Exemplos
1º) Sejam os conjuntos A={0,1 ,2} e B= {0,1 ,2 ,3,4 ,5} e a relação
R={( x , y) ∈ AxB / y=2x+1 } . Verificar se R é função, representando por meio do diagrama de
Venn. Indicar domínio, contradomínio e imagem.
2º) Seja a relação R={(x , y ) ∈ AxB / y=− x10 +21} . Verificar se R é função de
A= {50,60 ,80 ,100 ,120} em B={9,11 ,13,15 ,16 ,17} . Mostrar domínio e imagem.
10.1 – As funções no conjunto dos números reais
A definição formal de função é dada por y= f (x ) . Isto nos diz que a variável dependente (y)
está em função da variável independente (x). As funções no conjunto dos números reais seguem os
mesmos princípios utilizados com os conjuntos numéricos. Apenas há alguns ajustes necessários.
Seja o par genérico (x,y), pertencente a uma função real qualquer. Neste par temos:
Domínio: D( f )=x
Imagem: I m( f )= y
A grosso modo podemos dizer que o domínio da função são os valores possíveis de serem
usados na função e a imagem são os valores obtidos quando usamos o domínio.
Para realizar o estudo do domínio de uma função, precisamos analisar quais valores da variável
independente que não podem ser utilizados na função.
Exemplos: analisar o domínio das funções abaixo.
3º) f (x )=2x−5 4º) f (x )= 2x−3
(x−2)(x2−16)
5º) f (x )=√ x−4+ x
√x−2
6º) y=
3√ x
2x−4
7º) y= √ x+3
√2x−4
10.2 – Tipos de função
As funções reais são classificadas em tipos. Os mais usuais são:
• Função crescente
Uma função é considerada crescente sempre 
que x1<x2 ⇔ f ( x1)< f (x2)
• Função decrescente
Uma função é considerada decrescente sempre
que x1<x2 ⇔ f (x1)> f ( x2)
• Função constante
Uma função é considerada constante sempre que
x1≠x 2≠x3≠...≠ xn ⇔
f (x1)= f (x2)= f (x3)=...= f (xn)
• Função par
Uma função é considerada par sempre que
f (x )= f (−x) .
A função par é simétrica em relação ao eixo y.
• Função ímpar
Uma função é considerada ímpar sempre que
f (x )=− f (−x) . 
A função ímpar é simétrica em relação à
origem.
• Função sobrejetora
Uma função é sobrejetora quando se verifica a
condição I m( f )=B
• Função injetora
Uma função é injetora quando se verifica a
condição ∀ x1 , x2 ∈ R / x1≠x 2 temos
f (x1)≠ f (x2)
• Função bijetora
Uma função é bijetora quando ela é, ao mesmo
tempo, sobrejetora e injetora. Quando temos
função bijetora, observamos que:
R : A→B = R : B→A
• Função inversa
Para que uma função possua inversa é
necessário e suficiente que ela seja bijetora.
Seja a função definida por y= f (x ) , bijetora.
Sua inversa será uma função y−1= f −1( x) ,
bijetora tal que se (x , y ) ∈ f (x) temos
( y , x ) ∈ f −1( x) .
• Função composta
Sejam duas funções: f(x) e g(x). A composição
da função f(x) com a função g(x) é denotada
por:
f (x ) o g (x ) ou f [ g ( x)]
Exemplos
8º) Faça a composição das funções abaixo:
a) f (x )=3x2+2x+4 e g ( x)=2x+3
b) y=2x−3
2
e z= x+3x−2
9º) Dadas as funções f (x )=x2−5x+6 e g ( x)= x+1 , pede-se: f [ g (x )] e x, de modo que
f [ g ( x)]=0 .
10º) Seja f (x )=3x−1 e f [ g ( x)]=6x+8 , determine g(x).
11º) Determine a função inversa em cada caso.
a) f (x )=x+2 b) y= x+5
2x−3
c) f (x )=x2−5x+6
Exercícios
1) Represente por extensão os seguintes conjuntos:
a) A={x ∈ Z / −3≤x≤3} b) B={x ∈ Z / x2−6x+9=0 }
2) Represente por extensão os seguintes conjuntos:
a) C={x ∈ N / x2=4} b) D={x ∈ N / 9<x≤11 }
3) Represente por extensão os seguintes conjuntos:
a) E={x ∈ N / x≥54} b) E={x ∈ Z / −5≤x<5}
4) Represente por extensão os seguintes conjuntos:
a) E={x ∈ Z / x≤3} b) E={x ∈ N / −5≤ x<7}
5) Classifique cada um dos conjuntos abaixo como finito ou infinito e justifique.
a) A={x ∈ Z / x<10} b) A={x ∈ N / 0.x=x }
6) Classifique cada um dos conjuntos abaixo como finito ou infinito e justifique.
a) A= {x ∈ N / 0.x=0} b) A={x ∈ N / x<10}
7) Classifique cada um dos conjuntos abaixo como finito ou infinito e justifique.
a) A={x ∈ Z / x≥−1} b) A={x ∈ N / x2+7 x+12=0}
8) Classifique cada um dos conjuntos abaixo como finito ou infinito e justifique.
a) A={x ∈ R / x2+ x−6=0 } b) A={x ∈ N / x−1x =0}
9) Faça a representação gráfica de cada um dos seguintes intervalos:
a) A={x ∈ R / x≥3} b) D= ]1,3 ]
10) Faça a representação gráfica de cada um dos seguintes intervalos:
a) B= {x ∈ R / x<2 } b) E=[−2,5]
11) Determine os conjuntos A∪B e A∩B nos casos abaixo. Representar por notação de
conjunto.
a) A= ]−3,1 ] e B= {x ∈ R / 0≤ x<2}
b) A={x ∈ R / −1≤x≤2} e B={x ∈ R / 0≤ x≤5}
c) A=[−3,1 [ e B=[0,3 ]
12) Determine os conjuntos A∪B e A∩B nos casos abaixo. Apresentar a solução por notação
de conjunto.
a) A={x ∈ R / 0≤ x<1} e B=]−1,1 ]
b) A={x ∈ R / x<3} e B= {x ∈ R / 1<x<4 }
c) A= ]−∞ ,5] e B=]−∞ ,2 ] 
13) Dados os conjuntos A={−2,−1,0 ,1 ,2} e B={−1,0 ,1,2 ,3 ,4,5 } e a relação
R={(x , y ) ∈ AxB / y=x2−1} , determine:
a) os pares ordenados da relação R b) o conjunto domínio e o conjunto imagem
c) o diagrama de flechas d) o gráfico cartesiano
14) Dados os conjuntos M={−2,−1,0 ,1 ,2,3} e N= {−1,0,1,2,3,4,5 } e a relação
R={(x , y ) ∈ MxN / y=x2+1} , determine:
a) os pares ordenados da relação R b)o conjunto domínio e o conjunto imagem
c) o diagrama de flechas d) o gráfico cartesiano
15) Considerando a relação R={(x , y ) ∈ ExF / y=−x+12 } determine os pares ordenados da
relação, sendo o conjunto E={−3,−1,1,3 ,5} e F={−2 ,−1,0,1,2,3,5} .
16) Dados os conjuntos C= {0,2 ,4 ,6,8 } e D= {1,5 ,9,13 ,15 ,18} e a relação
R={( x , y) ∈ CxD / y=2x+1} , determine o conjunto imagem da relação.
17) Obter os valores reais de m de modo que o ponto P (2m−1,3m+9) pertença ao terceiro
quadrante.
18) Para que valores reais de k o ponto B(3 k−9,2k 2−18) pertence ao eixo das ordenadas?
19) Dados os conjuntos A={−1,0 ,1,2} e B= {−1,0 ,1,2 ,3 ,5,8} quais das seguintes relações são
funções de A em B?
a) R={(x , y ) ∈ AxB / y= 1x } b) R={(x , y ) ∈ AxB / y=x2+1}
c) R={(x , y ) ∈ AxB / y2=x2} d) R={(x , y ) ∈ AxB / y=x3}
20) O modelo matemático para o salário anual médio de empregados em financeiras, seguradoras e
administradora de imóveis é y (t)=15.848,32+1.519,23t+291,82√ t , onde y(t) é o salário anual
médio e t representa o ano, com t=0 correspondendo a 1980. Responda:
a) Qual será o salário médio de 1996?
b) Qual será o salário médio de 2002?
21) Uma folha retangular de alumínio, medindo 2 metros por 3 metros, terá um quadrado cortado
em cada um de seus cantos. Com o material restante, será confeccionado caixas abertas, sem tampa,
em alumínio. Escreva a função que fornece o volume contido dentro desta caixa e a área total da
mesma.
22) Seja a função f (x )=a.x3+b . Se f (−1)=2 e f (1)=4 , determine os valores de a e b e
expresse f(x) em função destes valores.
23) Uma função f de variável real satisfaz a condição f (x+1)= f (x)+ f (1) , qualquer que seja o
valor da variável x. Sabendo que f (2)=1 , determine f (5) .
24) Se f : R→R é uma função definida pela expressão f (x−1)= x3 , determine o valor de
f (3) .
25) Dadas as funções f (x )=x2 e g ( x)=2x−1 , calcule:
a) f [ g ( x)] b) g [ f (1)]
26) Dadas as funções f (x )=x2+1 e g ( x)=3x−4 , determine:
a) f [ g (3)] b) g [ f ( x)]
27) Calcule o valor de a, sabendo que f (x )=4x+5 , g ( x)=2x+a e f [ g ( x)]=g [ f (x )] .
28) Dadas as funções f (x )=3x+4 e f [ g ( x)]=x−5 , determine g(x).
29) Determine a inversa de cada uma das funções abaixo.
a) y=3x−5 b) y= 2 x+3
3 x−5 ,
x≠5
3
30) Determine a inversa de cada uma das funções abaixo.
a) y=7−4x b) y=5 x−3
2 x+5 ,
x≠−5
2
Atividade 10
Fazer os exercícios e entregar na próxima aula. Pode ser em dupla.
GRUPO 1 – Exercícios (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30)
GRUPO 2 – Exercícios (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29)