lista mod 2 lis 3 c2 02 2017

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Lista de Exercícios de Cálculo 2
Módulo 2 - Terceira Lista - 02/2017
1. Encontre uma base de soluções pelo método de Frobenius. Tente identificar as séries como expansões de
funções conhecidas. Obs: caso as raízes da equação indicial sejam iguais, ou sejam diferentes por um número
inteiro, determine a outra solução usando o método da redução de ordem.
(a) xy′′ + 2y′ + xy = 0
(b) xy′′ + (2x+ 1)y′ + (x+ 1)y = 0
(c) 2x(x− 1)y′′ − (x+ 1)y′ + y = 0
(d) xy′′ + (2− 2x)y′ + (x− 2)y = 0
(e) xy′′ + (1− 2x)y′ + (x− 1)y = 0
2. Verifique que as raízes da equação indicial diferem por um número inteiro e encontre uma base de soluções
pelo método de Frobenius. Obs: faça a segunda solução na forma
y2(x) = y1(x) lnx+
∞∑
n=0
bnx
n.
(a) xy′′ + 2y′ − xy = 0
(b) x(x− 1)y′′ + 3y′ − 2y = 0
(c) xy′′ + (1− x)y′ − y = 0
(d) xy′′ + y′ + y = 0
(e) x2y′′ + x(1− x)y′ + y = 0
3. A equação diferencial ordinária hipergeométrica de Gauss é dada por
x(1− x)y′′ + [c− (a+ b+ 1)x] y′ − aby = 0. (1)
Aqui, a, b e c são constantes reais. Esta EDO é da forma p2y′′ + p1y′ + p0y = 0, em que p2, p1, p0 são
polinômios de graus 2, 1 e 0, respectivamente. Estes polinômios são escritos de tal forma que a série da
solução toma a forma
y1(x) = 1 +
ab
1!c
x+
a(a+ 1)b(b+ 1)
2!c(c+ 1)
x2 +
a(a+ 1)(a+ 2)b(b+ 1)(b+ 2)
2!c(c+ 1)(c+ 2)
x3 + · · · . (2)
Esta série é conhecida como série hipergeométrica. A função y1(x) é chamada de função hipergeométrica
e é denotada por F (a, b, c; x). Aqui, c 6= 0,−1,−2, · · ·
(a) Mostre que a equação indicial , Eq. (1), tem raízes r1 = 0 e r2 = 1 − c. Mostre que para a r1 = 0 o
método de Frobenius fornece a solução apresentada na Eq. (2). Além disso, verifique que
F (1, 1, 1; x) = F (1, b, b; x) = F (a, 1, a; x) =
1
1− x.
(b) Para quais valores de a e b a série se reduz a um polinômio? Mostre que para quaisquer outros valores
de a, b e c (c 6= 0,−1,−2, · · ·) a série converge para |x| < 1.
(c) Mostre que para r2 = 1− c o método de Frobenius fornece a segunda solução
y2(x) = x
1−c
[
1 +
(a− c+ 1)(b− c+ 1)
1!(−c+ 2) x+
(a− c+ 1)(a− c+ 2)(b− c+ 1)(b− c+ 2)
2!(−c+ 2)(−c+ 3) x
2 + · · ·
]
= x1−cF (a− c+ 1, b− c+ 1, 2− c; x).
1
Gabarito
1. (a) y1 = sinx/x; y2 = cosx/x
(b) y1 = e−x; y2 = e−x lnx
(c) y1 =
√
x; y2 = 1 + x
(d) y1 = ex; y2 = ex/x
(e) y1 = ex; y2 = ex lnx.
y(t) = a0
[
1− α2 t
2
2!
− α2(22 − α2) t
4
4!
− α2(22 − α2)(42 − α2) t
6
6!
+ · · ·
]
+ a1
[
t+ (12 − α2) t
3
3!
+ (12 − α2)(32 − α2) t
5
5!
+ · · ·
]
2. (a) y1 = sinhx/x; y2 = coshx/x
(b) y1 = 1 +
2
3
x+
1
3
x2; y2 =
∞∑
n=0
(n+ 1)xn+4
(c) y1 = ex; y2 = y1 lnx+ y1
[
−x+ 1
4
x2 − 1
3.3!
x3 +
1
4.4!
x4 + · · ·
]
(d) y1 =
∞∑
n=0
(−1)n
(n!)2n
xn; y2 = y1 lnx+ y1
[
2x+
5
4
x2 − 23
27
x3 + · · ·
]
(e) y1 = xe−x; y2 = y1 lnx+ y1
[
x+
1
4
x2 +
1
3.3!
x3 + · · ·
]
.
2