Cap.2 - Cinemática da partícula.pdf

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2 – Cinemática da Partícula 
 
2.1 – Introdução 
 A análise do movimento é um problema fundamental em Física, e a forma mais simples de 
abordá-la é considerar primeiro os conceitos que intervêm na descrição do movimento, sem 
considerar suas causas. A cinemática (da palavra grega kinematos, que significa movimento) tem 
por objeto de estudo a descrição dos movimentos, fornecendo a linguagem necessária para 
descrever como os objetos se movem, sem considerar ainda o problema de como determinar o 
movimento que se produz numa dada situação física, o qual é objeto de estudo da dinâmica. 
 Um corpo pode mover-se de duas maneiras basicamente diferentes: pode mudar apenas sua 
orientação, ou pode mudar apenas sua localização. No primeiro tipo do movimento, o corpo 
modifica sua orientação girando em tomo de seu centro (movimento de rotação pura), enquanto 
mantém fixa a posição deste ponto. No segundo tipo do movimento, o corpo muda sua 
localização variando a posição do seu centro e, enquanto isso, não gira em tomo deste ponto 
(movimento de translação pura). Naturalmente, um objeto também pode experimentar ambos os 
tipos de movimento simultaneamente. Mas num primeiro momento será descrita apenas em 
mudança de localização, ou seja, apenas o movimento de translação. 
 De início será descrito apenas o movimento de um corpo ideal, que será denominado 
partícula, evitando-se complicações na descrição do movimento. Matematicamente, uma 
partícula é tratada como um ponto, um objeto sem dimensões, de tal maneira que rotações e 
vibrações não estejam envolvidas em seu movimento. 
 Realmente, um objeto sem dimensões não existe na Natureza. Entretanto, o conceito de 
“partícula” é muito útil porque os objetos reais, com boa aproximação, muitas vezes se 
comportam como partículas. Para ser tratado como partícula, um corpo não precisa ser 
“pequeno”, no sentido comum que se atribui a esta palavra. Por exemplo, a Terra e o Sol, em 
relação à distância que separa estes dois astros, podem ser considerados como partículas e pode-
se, sem erro apreciável, descobrir muita coisa sobre o movimento do Sol e dos planetas, tratando 
estes corpos como partículas. 
 Para descrever o movimento é necessário, em primeiro lugar, um referencial, que, no caso 
unidimensional, é simplesmente uma reta orientada em que se escolhe a origem O; a posição da 
partícula em movimento no instante t é descrita pela abscissa correspondente x(t). 
Concretamente, pode-se pensar no seguinte exemplo: x(t) é a posição na estrada, no instante t, 
ocupada pelo pára-choque dianteiro de um carro em movimento ao longo da estrada (em linha 
reta). 
 O movimento mais simples é o movimento uniforme, em que o gráfico da evolução 
temporal do movimento é uma reta: 
.)( btatx += (1)
 Este movimento se caracteriza pelo fato de que percursos iguais 1234 xxxxx −=−=Δ são 
descritos em intervalos de tempos iguais .1234 ttttt −=−=Δ 
 A velocidade v do movimento uniforme é definida por: 
,)()(
12
12
tt
txtx
t
xv −
−=Δ
Δ= (2)
ou seja, é a razão do deslocamento em relação ao intervalo de tempo que ele leva para se 
produzir. Graficamente, a velocidade v representa o coeficiente angular da reta no gráfico 
)(tfx = ( bv = para a (1)). Na Figura 1 tem-se um exemplo de movimento uniforme, onde 
smbv /2== e ,0=a pois a reta passa pela origem. 
 2
 
Figura 1 – Exemplo de gráfico )(tfx = para o movimento uniforme. 
 
 A velocidade se mede em sm ( ),1−= ms ou ,scm ou ,hkm ..., conforme as unidades 
adotadas. Note que v tanto pode tomar valores positivos como negativos. Pela (2), 0<v quando 
0<Δx para ,0>Δt ou seja, quando o movimento se dá no sentido dos x decrescentes (marcha-
à-ré, no exemplo do carro!). Pode-se chamar de “rapidez” o valor absoluto da velocidade, .v 
 Tomando para 2t um instante t qualquer e para 1t o instante inicial ,0t então com 
00 )( xtx = (posição inicial), obtém-se a “lei horária” do movimento retilíneo uniforme: 
).()( 00 ttvxtx −+= (3)
 
 
2.2 – Velocidade média 
 Qualquer movimento retilíneo não-uniforme chama-se “acelerado”, e o gráfico )(tfx = 
não é mais uma reta (Figura2). Pode-se estender a Eq.2 a um movimento acelerado definindo a 
velocidade média: 
,
)()(
12
12
21 t
x
tt
txtxv tt Δ
Δ=−
−=→ (4)
onde 
21 tt
v → representa a velocidade média entre os instantes 1t e 2t (Figura 2). 
 
Figura 2 – Exemplo de gráfico )(tfx = para um movimento retilíneo não-uniforme. 
 
 A velocidade média não nos dá detalhes sobre o movimento entre dois pontos. A trajetória 
 3
pode ser curvilínea ou retilínea e o movimento pode ter sido uniforme ou variado. A velocidade 
média envolve, apenas, o deslocamento total e o intervalo de tempo total. Por exemplo, você que 
deixou sua casa para vir a esta aula e retorna à sua casa no final, terá velocidade média da viagem 
de ida e de retorno igual a zero, porque seu deslocamento foi nulo ( 0=Δx ). Mesmo que você 
queira apenas determinar a velocidade média da ida ou da volta, separadamente, o valor diferente 
de zero obtido não diz muito a respeito do que aconteceu no percurso. Você poderá ter parado 
durante alguns minutos para conversar com alguém em um ponto intermediário, bem como ter 
desenvolvido velocidade médias maiores em alguns trechos que outros. Seria bem mais 
informativo dar o valor da velocidade média em diferentes etapas do percurso, e isto descreve 
tanto melhor o movimento quanto mais curtas as etapas, pois o erro cometido ao aproximar 
trechos curtos do percurso (linhas curvas) por movimentos uniformes (linhas retas) vai 
diminuindo à medida que esses trechos ficam menores. 
 
 
2.3 – Velocidade instantânea 
 A velocidade instantânea )(tv num instante t qualquer num movimento descrito por )(tx 
é dada por: 
.)(
dt
dxtv = (5)
 Da mesma forma que a velocidade média, a velocidade instantânea também tem uma 
interpretação geométrica simples no gráfico ).(tfx = A velocidade média entre dois pontos de 
um movimento não uniforme representa o coeficiente angular da corda 
_____
'PP que liga os pontos P 
e 'P do gráfico associados aos instantes 0t e .0 tt Δ+ À medida que ,0→Δt 'P se aproxima de 
P e 
t
x
Δ
Δ tende ao coeficiente angular da tangente _____'TT à curva no ponto P (Figura 3). Logo, a 
velocidade instantânea representa o coeficiente angular da tangente ao gráfico )(tfx = no ponto 
considerado. A interpretação geométrica mostra imediatamente que 0>
dt
dx num ponto onde x 
está crescendo com ,t 0<
dt
dx num ponto onde x está decrescendo com t (marcha-à-ré, no 
exemplo do carro), e 0=
dt
dx quando a curva tem tangente horizontal no ponto considerado. 
 
Figura 3 – A velocidade instantânea no ponto .P 
 
 
 
 4
2.4 – Aceleração 
 Temos todos uma noção intuitiva do conceito de “aceleração” como medida da rapidez de 
variação da velocidade com o tempo. Assim, diz-se que um carro tem “boa aceleração” se é 
capaz de acelerar de 0 a hkm100 em 10s! 
 Define-se a aceleração média no intervalo [ ]21 , tt por 
.
)()(
12
12
21 t
v
tt
tvtva tt Δ
Δ=−
−=→ (6)
 Adotando o metro como unidade de comprimento e o segundo como unidade de tempo, a 
unidade de aceleração é 1m/s2 (1ms-2). Tomando sempre ,12 tt > tem-se que a aceleração média é 
positiva quando v cresce de 1t para ,2t e negativa quando decresce; se ,0>v v cresce ou 
decresce conforme v cresça ou decresça, mas se 0<v é o contrário: v cresce quando v 
decresce. Assim, no exemplo do carro em marcha-à-frente, a aceleração é negativa quando o 
carro está freiando, mas em marcha-à-ré é o contrário: freiar em marcha-à-ré corresponde a uma 
aceleração positiva. 
 A aceleração média pode geralmente ser variável durante o movimento, de maneira que a 
aceleração instantânea é definida como a derivada em relação ao tempo da velocidadeinstantânea: 
,)( 2
2
dt
xd
dt
dx
dt
dta =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= (7)
onde foi introduzida a definição de derivada segunda de x em relação a ,t indicada pela notação 
.22 dtxd 
 A aceleração instantânea tem com interpretação geométrica a tangente num ponto no 
gráfico ),(tfv = ou seja, )(ta é o coeficiente angular da tangente à curva no ponto 
correspondente ao instante .t 
 
 
2.5 – Movimento retilíneo uniformemente acelerado 
 Um movimento retilíneo chama-se uniformemente acelerado quando a aceleração 
instantânea é constante (independente do tempo): 
.2
2
consta
dt
xd
dt
dv === (8)
 Sendo a aceleração constante, então: 
,
0
0
tt
vv
t
vaa −
−=Δ
Δ== 
ou 
),()( 00 ttavtv −+= (9)
mostrando que a velocidade é uma função linear do tempo no movimento uniformemente 
acelerado, ou seja, o gráfico )(tfv = é uma reta, cujo coeficiente angular é a aceleração. 
 Quando a velocidade varia uniformemente com o tempo, seu valor médio em qualquer 
intervalo de tempo é igual à média dos valores da velocidade no início e no fim do intervalo. Isto 
é, a velocidade média ,v entre 00 =t e ,tt = é 
.
2
0 vvv
+= (10)
 Lembrando que a equação horária do movimento uniforme é dada por: 
 5
,0 tvxx += 
que combinada com a Eq.10 fornece: 
.
2
0
0 t
vv
xx
++= (11)
 Substituindo a Eq.11 na Eq.9, obtém-se a equação horária do movimento: 
.
2
1)( 200 attvxtx ++= (12)
 Eliminando o tempo entre as Eqs.9 e 12, obtém-se: ( ).2 0202 xxavv −+= (13)
 As Equações (9), (11), (12) e (13) formam um conjunto completo de equações para o 
movimento ao longo de uma linha reta com aceleração constante. 
 
2.6 – Corpos em queda livre 
 O exemplo mais familiar de movimento retilíneo uniformemente acelerado é a queda livre 
de um corpo solto em repouso. Este foi um dos problemas analisados por Galileu em seus 
trabalhos, que deram origem à era moderna da física. 
 Desprezando a resistência do ar, verifica-se que todos os corpos caem com a mesma 
aceleração, em um mesmo ponto da superfície terrestre, não importando seu tamanho, seu peso 
ou sua constituição; se a altura de queda não for muito grande, a aceleração permanecerá 
constante durante todo o movimento. Este movimento ideal, no qual são desprezadas a resistência 
do ar e alguma variação da aceleração com a altitude, é denominada “queda livre”. 
 A aceleração de um corpo em queda livre é chamada aceleração da gravidade e é 
representado pelo símbolo .g Próximo à superfície da Terra seu valor é aproximadamente igual a 
;8,9 2sm sua direção é normal à superfície terrestre e seu sentido para o centro dela. 
 
2.7 – Movimento em um plano 
 A partir de agora vamos passar do movimento retilíneo ao movimento num plano, que 
inclui muitos casos importantes, como o movimento dos projéteis e o movimento da Terra em 
torno do Sol. 
 Para especificar a posição de um ponto num plano são necessários 2 parâmetros, que são 
suas coordenadas em relação a um dado referencial. Adotando as coordenadas cartesianas, a 
posição de uma partícula em movimento no plano será descrita pelo par de funções ( ),)(),( tytx 
onde )(tx é a abscissa e )(ty a ordenada da partícula no instante .t Pode-se dizer que, à medida 
que o ponto P que dá a localização da partícula se move, descrevendo a trajetória da partícula no 
plano, suas projeções sobre os eixos Ox e Oy se movem correspondentemente, descrevendo 
movimentos unidimensionais. Reduz-se, assim, a descrição de um movimento bidimensional à de 
dois movimentos unidimensionais simultâneos, cuja composição leva ao movimento no plano. 
 
 
2.8 – Grandezas escalares e grandezas vetoriais 
 Muitas grandezas ficam perfeitamente definidas quando delas conhecemos o valor 
numérico e a correspondente unidade. Tais grandezas são denominadas grandezas escalares. É o 
caso, por exemplo, da massa e do volume de um corpo, ou da temperatura de um lugar. Quando 
se diz que a temperatura numa sala é de 30oC, nada mais será preciso acrescentar para definir a 
 6
temperatura da sala. 
 Entretanto, existem grandezas que, além do valor numérico e da unidade, necessitam de 
direção e sentido para que fiquem definidas. Por exemplo, quando se diz que foi percorrida uma 
distância de 2km, é necessário dizer em que direção e sentido para caracterizar a distância 
percorrida. Grandezas que necessitam, além do valor numérico e unidade, de direção e sentido 
para serem definidas são denominadas grandezas vetoriais, sendo representadas 
matematicamente por vetores. 
 Vetor é um ente matemático que satisfaz as regras que definem um espaço vetorial, que são 
a soma vetorial e o produto de um vetor por um escalar. Com o tratamento vetorial é possível dar 
uma descrição intrínseca do movimento, independente da escolha do sistema de coordenadas 
utilizado para descrever o movimento. Para o uso de vetores neste curso será usada a notação: 
 Vetor: V
r
 
 Módulo do vetor: V
r
 ou V. 
 É importante frisar que um vetor varia quando variar qualquer um dos elementos (módulo, 
direção, sentido). 
 
2.9 – Deslocamento, velocidade e aceleração vetoriais 
 Para o caso do movimento numa trajetória curvilínea num plano, a posição, ou 
deslocamento a partir da origem, é especificado pelo vetor ;rr sua velocidade é representada pelo 
vetor vr e a aceleração por .ar Estes vetores estão inter-relacionados da seguinte maneira: 
,ˆˆ jyixr +=r (14)
 
,ˆˆ jviv
dt
rdv yx +==
rr (15)
 
,ˆˆ jaia
dt
vda yx +==
rr (16)
onde iˆ e jˆ representam os vetores unitários (vetores de módulo igual a 1) nas direções x e ,y 
respectivamente. 
 
2.10 – Movimento em um plano com aceleração constante 
 Seja o caso particular de movimento em um plano com aceleração constante. Neste caso, 
enquanto a partícula se move, a aceleração ar permanece constante em módulo, direção e sentido. 
Portanto, os componentes de ,ar em qualquer sistema de referência, também não variarão, isto é, 
.constax = e .constay = Nesta situação, o movimento da partícula pode ser descrito como a 
superposição de dois movimentos componentes que ocorrem simultaneamente, com acelerações 
constantes, ao longo de duas direções perpendiculares. A partícula descreverá, em geral, uma 
trajetória curvilínea no plano. 
 As equações que dão a posição e a velocidade da partícula movendo-se em um plano e 
sujeita a uma aceleração constante são, respectivamente: 
.
2
1 2
00 tatvrr
rrrr ++= (17)
 
.0 tavv
rrr += (18)
 
 
 7
 
2.11 – Movimento de um projétil 
 Uma aplicação importante dos resultados até aqui obtidos é o movimento dos projéteis na 
vizinhança da superfície da Terra. Na balística usual, pode-se considerar a Terra como plana e a 
aceleração da gravidade como constante (isto não seria verdade para foguetes balísticos 
intercontinentais!). 
 Adotando o eixo Oy segundo a vertical e orientado para cima, segue que .constga =−= 
Assim: 
.jˆga −=r (19)
 
 Tomando a posição inicial na origem, segue que .000 == yx Tomando 00 =t e θ sendo o 
ângulo entre 0v
r e o eixo horizontal (Ox ), tem-se que: 
,cos00 θvv x = .sen00 θvv y = (20)
 As Eqs.17 e 18 ficam, então: 
,cos0 θvvx = (21)
.sen0 gtvvy −= θ (22)
,.cos0 tvx θ= (23)
 
.
2
1.sen 20 gttvy −= θ (24)
 
 As Eqs.23 e 24 nos fornecem x e y em função do parâmetro comum ,t o tempo decorrido 
desde o lançamento. Combinando-as e eliminando t entre elas, obtém-se 
,
)cos(2
)( 22
0
x
v
gxtgy θθ −= (25)
que é uma equação do tipo ),(xfy = sendo conhecida como equação da trajetória do projétil. 
Como ,0v θ e g são constantes, a Eq.25 é da forma 
,2cxbxy −= 
que é a equação de uma parábola. Portanto, a trajetória de um projétil é parabólica. 
 
 
2.12 – Movimento circular uniforme 
 Um tipo de movimento plano de grande importância na Física é omovimento circular 
uniforme, em que a trajetória é um círculo e o módulo da velocidade instantânea é constante, de 
modo que a partícula descreve arcos de círculo iguais em tempos iguais. Tem-se assim um 
movimento periódico, em que o período correspondente ao tempo levado para descrever uma 
volta completa, o que define um “relógio”. De fato, o movimento dos ponteiros de um relógio é 
deste tipo. O movimento da Lua em torno da Terra também pode ser aproximado por um 
movimento circular uniforme. 
 8
 
Figura 4 – Localização do ponto P que executa um movimento circular uniforme. 
 
 Seja r o raio da trajetória circular. A posição instantânea P da partícula fica definida pelo 
ângulo θ entre o vetor deslocamento e o eixo Ox de um sistema cartesiano com origem no 
centro do círculo (Figura 4), onde θ é positivo no sentido anti-horário. O arco s correspondente 
ao ângulo θ sobre o círculo é dado por 
,θrs = (26)
onde θ é medido em radianos ( π2 rad = 360o). Sejam ,rˆ o vetor unitário na direção de ,rr que 
aponta radialmente para fora, e ,θˆ o vetor unitário tangente ao círculo (portanto, perpendicular a 
rr ) em P, orientado no sentido de θ crescente (anti-horário). Note que, ao contrário de iˆ e ,jˆ 
que são vetores fixos nas direções dos eixos, as orientações de rˆ e θˆ variam com a posição P 
ocupada pela partícula ao longo do círculo. 
 Pela definição de movimento circular uniforme, a lei horária é: 
),( 00 ttvss −+= (27)
onde 0s é o valor do arco no instante inicial ,0t e v é a velocidade linear com que o arco s é 
descrito. 
 Lembrando da definição de velocidade instantânea e o fato de que rrΔ se confunde com 
sΔ (corda e arco se confundem) quando ,0→Δt vê-se que v dá o módulo da velocidade 
instantânea ),(tvr que é tangente ao círculo em P. A velocidade instantânea )(tvr é dada por 
,θˆvv =r (28)
onde 
.
dt
dsv = (29)
 O período T do movimento é o tempo para dar uma volta completa, ou seja, 
.2
v
rT π= (30)
Chama-se freqüência f o inverso do período: 
.1
T
f = (31)
A freqüência dá, portanto, o número de rotações por unidade de tempo. Assim, um “velho” disco 
de vinil LP tem 
3
133 rotações por minuto (RPM), o que corresponde a 15,0 −≅ sf e .2sT ≅ 
 Pode-se empregar a Eq.26 para exprimir a lei horária dada pela Eq.27 em termos do ângulo 
θ descrito em função do tempo: 
 9
),( 00 tt −+= ωθθ (32)
onde 
r
v=ω (33)
chama-se velocidade angular, definida por 
.
dt
dθω = (34)
Logo, 
.22 f
T
ππω == (35)
 A velocidade angular se mede em rad/s, ou simplesmente em s-1. Assim, por exemplo, a 
velocidade angular do ponteiro dos segundos de um relógio, para o qual T = 1min, é 
11,0
60
2 −≅= s
s
πω (0,1 rad/s). 
A Eq.33 escrita na forma ,rv ω= nos mostra que, num disco em rotação uniforme, a velocidade 
linear cresce linearmente com a distância ao centro, sendo máxima na periferia. 
 As Eqs.28 e 33 dão 
.θˆωrv =r (36)
 
2.13 – Acelerações tangencial e centrípeta 
 Embora o movimento circular uniforme tenha velocidade de módulo constante, a direção 
da velocidade vr varia de ponto a ponto da trajetória. Sendo a velocidade um vetor, esta mudança 
na direção indica que o movimento circular uniforme é um movimento acelerado, ou seja, .0≠ar 
 A velocidade vetorial pode variar em módulo e em direção. Por este motivo a aceleração 
vetorial ar é decomposta em duas acelerações componentes: a aceleração tangencial ,ta
r que 
indica a variação do módulo de vr e a aceleração centrípeta ,cpa
r que indica a variação da 
direção de .vr 
 A aceleração tangencial ta
r possui as seguintes características: 
MÓDULO: igual ao módulo da aceleração escalar: .aat
rr = 
 
DIREÇÃO: tangente à trajetória. 
 
SENTIDO: o mesmo de vr se o movimento for acelerado e oposto ao de vr se o movimento for 
retardado (Figura 5). 
 
Figura 5 – A aceleração tangencial ta
r
 indica a variação do módulo da velocidade vetorial. 
 
 Nos movimentos uniformes o módulo da velocidade vetorial não varia e portanto a 
 10
aceleração tangencial é nula. A aceleração tangencial só comparece em movimentos variados e 
independe do tipo de trajetória (retilínea ou curvilínea). 
 
 A aceleração centrípeta cpa
r possui as seguintes características: 
MÓDULO: é dado pela expressão: 
,
2
r
vaa cpcp ==r (37)
onde v é a velocidade escalar do móvel e r é o raio de curvatura da trajetória. 
 
DIREÇÃO: perpendicular à vr em cada ponto. 
 
SENTIDO: orientado para o centro de curvatura da trajetória (Figura 6). 
 
Figura 6 – A aceleração centrípeta cpa
r
 indica a variação da direção de .vr 
 
 A soma vetorial cpt aa
rr + define a aceleração vetorial ar do movimento (Figura 7): 
.cpt aaa
rrr += (38)
 
Figura 7 – A aceleração vetorial ar do movimento geral. 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia 
 
Nussenzveig, H.M. (2002). Curso de Física Básica. 1 – Mecânica. 4a edição, revista. Editora 
Edgard Blücher Ltda. São Paulo, Brasil.