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Faculdade Esta´cio do Recife A´LGEBRA LINEAR Prof. Se´rgio Barreto L I S T A D E E X E R C I´ C I O S - M A T R I Z E S 1. Sabendo que x, y e z sa˜o nu´meros reais, determine-os para que as matrizesA = x+ y 0 z x− 2y e B = 13 0 1 4 sejam iguais. 2. Considerando a igualdade das matrizes abaixo, calcule x, y e z. x− y x+ y + z x+ y 4 = 1 9 7 4 . 3. Escreva a matriz A: (a) de ordem 2× 3, definida por aij = i · j; (b) de ordem 3× 3, definida por aij = 1, se i = j,0, se i 6= j. ; (c) de ordem 3× 2, definida por aij = 2 · i− 3 · j; (d) de ordem 3× 3, definida por aij = 1, se i+ j = 4,0, se i+ j 6= 4. . 4. Se as matrizes A = ( aij ) e B = ( bij ) esta˜o definidas da seguinte forma aij = 1, se i = j,0, se i 6= j. e bij = 1, se i+ j = 4,0, se i+ j 6= 4. , onde 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3, enta˜o a matriz A+B e´: 5. Sejam A = 1 −2 3 4 1 0 e B = −1 2 0 1 −2 0 . Calcule 2A, 3B, 2A+ 3B e 2A− 3B. 1 6. Sejam A = 2 1 0 1 2 1 , B = 0 0 2 6 4 2 e C = 3 2 0 0 1 0 matrizes deM2×3(R), calcular a matriz 3 · ( A− 1 2 B ) + C. 7. Determinar a matriz X ∈ M2×3 ( R ) tal que 1 2 · (X + A) = 3 · (X + (B − A))+ 2 · C, sendo A, B e C as matrizes do exerc´ıcio anterior. 8. Dadas as matrizes A = 2 1 1 0 0 1 e B = 1 0 1 0 1 1 , determinar os produtos AB e BA. 9. Sobre as sentenc¸as: I. O produto de matrizes A3×2 ·B2×1 e´ uma matriz 3× 1. II. O produto de matrizes A5×4 ·B5×2 e´ uma matriz 4× 2. III. O produto de matrizes A2×3 ·B3×2 e´ uma matriz quadrada 2× 2. E´ verdade que: (a) somente I e´ falsa. (b) somente II e´ falsa. (c) somente III e´ falsa. (d) somente I e III sa˜o falsas. (e) I, II e III sa˜o falsas. 10. Dada a matriz A = 2 1 1 1 , determinar uma matriz X ∈M2(R) de maneira que A ·X = I2, onde I2 = 1 0 0 1 . 11. Dada uma matriz A, dizemos que uma matriz X comuta com A se AX = XA. Determine todas as matrizes que comutam com A = 1 0 0 3 . 2 12. Ache todas as matrizes M = x y z t que comutam com a matriz 1 1 0 1 . 13. Sendo A = 1 0 0 0 2 0 0 0 4 e B = 4 0 0 0 2 0 0 0 1 do conjunto M3(R), determine as matrizes X, Y ∈M3 ( R ) de maneira que 2X − Y = A+BX + Y = A−B . 14. Numa matriz quadrada de ordem n quantos elementos na˜o pertencem a` diagonal principal? 15. Numa matriz, chamam-se elementos internos aqueles que na˜o pertencem a` primeira ou a` u´ltima linha ou coluna. Quantos elementos internos possui uma matriz A ∈M5×6 ( R ) ? 16. Seja a matriz A ∈ Mn ( R ) . Denomina-se trac¸o da matriz A a` soma dos elementos da diagonal principal de A, ou seja, tr(A) = a11 + a22 + . . .+ ann = n∑ i=1 aii. (a) Considere a matriz A ∈Mn ( R ) cujo termo geral e´ aij = i · j. Determine tr(A). (b) Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, mostre que tr(A+B) = tr(A)+ tr(B). 17. Sejam A,B ∈ Mn ( R ) , na˜o nulas, tais que AB = O (matriz nula), dizemos que A e B sa˜o divisores de zero. Mostre que as matrizes A = 2 −3 −5 −1 4 5 1 −3 −4 e B = −1 3 5 1 −3 −5 −1 3 5 sa˜o divisores de zero. 18. Uma matriz quadrada A e´ sime´trica se A = At. (a) Verifique se A = 1 5 9 5 3 8 9 8 7 e´ sime´trica. (b) Seja A ∈Mn ( R ) . Mostre que A · At e´ sime´trica. (c) Se A,B ∈Mn ( R ) sa˜o sime´tricas, mostre que A+B tambe´m e´ sime´trica. 3 19. Uma matriz quadrada A e´ anti-sime´trica se A = −At. (a) Verifique se A = 0 3 4 −3 0 −6 −4 6 0 e´ anti-sime´trica. (b) Se A,B ∈Mn ( R ) sa˜o anti-sime´tricas, mostre que A+B tambe´m e´ anti-sime´trica. 20. Uma matriz quadrada A e´ ortogonal se A× At = In. (a) Mostre que A = Cosθ Senθ −Senθ Cosθ e´ ortogonal, qualquer que seja o nu´mero real θ. (b) Se A,B ∈Mn ( R ) sa˜o ortogonais, mostre que AB tambe´m e´ ortogonal. 21. Determine condic¸o˜es sobre as matrizes A,B ∈Mn ( R ) para que se tenha: (a) ( A+B )2 = A2 + 2AB +B2 (b) ( A+B )( A−B) = A2 −B2 4
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