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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - UFRPE PROFESSOR: Adriano Regis Rodrigues A´lgebra Vetorial e Linear para Computac¸a˜o 2013.2 Turmas: LC1 e BC3 Lista I - Matriz e Determinante 1. Verdadeiro ou falso? Justifique! (a) (−A)t = −(At) (b) (A+B)t = Bt +At (c) Se AB = 0, enta˜o A = 0 ou B = 0 (d) (λ1A)(λ2B) = (λ1λ2)AB (e) (−A)(−B) = −(AB) (f) Se A e B sa˜o matrizes sime´tricas, enta˜o AB = BA (g) Se AB = 0, enta˜o BA = 0. (h) Se podemos efetuar o produto A · A, enta˜o A e´ uma matriz quadrada. (i) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2 (j) Se A e´ invers´ıvel enta˜o (A−1)−1 = A. 2. Determine x, y e z de modo que a matriz A = 0 −4 2 x 0 1− z y 2z 0 seja anti-sime´trica 3. Suponha que A 6= 0 e AB = AC onde A, B e C sa˜o matrizes tais que a multiplicac¸a˜o esteja definida. (a) B = C? (b) Se existir uma matriz Y, tal que Y A = I, onde I e´ a matriz identidade, enta˜o B = C? 4. Expresse X em func¸a˜o de A, B e C, sabendo que A, B e C sa˜o matrizes quadradas de ordem n invers´ıveis. (a) AXB = C (b) (AXC)−1 = B (c) (A+BX)t = C 5. Se A e B sa˜o matrizes invers´ıveis, prove que: (a) (AB)−1 = B−1A−1 (b) (At)−1 = (A−1)t 6. (Boldrini, pg 90) Dadas as matrizes A = ( 1 2 1 0 ) e B = ( 3 −1 0 1 ) , calcule (a) detA+ detB (b) det(A+B). 7. (Boldrini, pg 90) Sejam A e B matrizes do tipo n×n. verifique se as colocac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. (a) det(AB) = det(BA) (b) det(At) = det(A) (c) det(2A) = 2 det(A) (d) detAij < detA (e) Se A e´ uma matriz 3×3, enta˜o a11∆11+a12∆12+ a13∆13 = a21∆21 + a22∆22 + a23∆23 8. Calcule detA, onde (a) A = 3 −1 5 0 0 2 0 1 2 0 −1 3 1 1 2 0 (b) A = 3 0 0 0 0 19 18 0 0 0 −6 pi −5 0 0 4 √ 2 √ 3 0 0 8 3 5 6 −1 9. Encontre A−1, onde (a) 4 −1 2 −2 3 −1 0 0 2 3 1 0 0 7 1 1 (b) 1 0 x 1 1 x2 2 2 x2 10. (Boldrini, pg 92) Dizemos A e B sa˜o matrizes semelhantes se existe uma matriz P tal que B = P−1AP. Mostre que detA = detB, se A e B sa˜o semelhantes. 1 11. Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que: i) A e´ sime´trica se At = A. ii) A e´ anti-sime´trica se At = −A. iii) A e´ idempotente se A2 = A. Usando tais definic¸o˜es, mostre as seguintes afirmac¸o˜es: (a) Os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-sime´trica sa˜o todos nulos. (b) A soma e a multiplicac¸a˜o por escalar de matrizes sime´tricas tambe´m e´ sime´trica. (c) Ana´logo ao item anterior para matrizes anti-sime´tricas.(Isto significa que conjunto da matizes sime´tricas e o conjunto das matrizes anti-sime´tricas sa˜o fechados com respeito a soma e a multiplicac¸a˜o por escalar.) (d) Sejam A e B sa˜o sime´tricas. Mostre que AB e´ sime´trica se, e somente se, A e B comutam (i.e. AB = BA). (e) Se A e´ simultaneamente sime´trica e anti-sime´trica, enta˜o A e´ a matriz nula. (f) As matrizes B = A + At e C = A − At sa˜o sime´trica e anti-sime´trica, respectivamente (A e´ uma matriz quadrada arbitra´ria). (g) Toda matriz quadrada A pode ser decomposta, de maneira u´nica, como A = B + C, onde B e´ sime´trica e C e´ anti-sime´trica. (h) Se AB = A e BA = B, enta˜o A e B sa˜o idempotentes. (i) Se A e´ idempotente enta˜o B = I − A e´ idempotente, e ale´m disso, AB = BA = 0. (j) Se A e´ anti-sime´trica, enta˜o BtAB e´ anti-sime´trica. 12. Sejam A e B matrizes n× n tais que AB e´ invers´ıvel. Mostre que A e B sa˜o invers´ıveis. 13. Uma matriz quadrada A e´ dita ortogonal se A e´ invers´ıvel e A−1 = At. (a) Se A,B ∈ Mn sa˜o ortogonais, o produto AB e´ ortogonal?(No caso afirmativo, prove. No caso contra´rio exiba um contra-exemplo) (b) Mostre que se A e´ ortogonal, enta˜o detA = 1 ou detA = −1. (c) Se A e´ ortogonal, At e´ ortogonal? (d) Mostre que a seguinte matriz e´ ortogonal cos θ − sen θ 0 sen θ cos θ 0 0 0 1 14. Um matriz quadrada A diz-se normal quando comuta com sua transposta isto e´, quando AAt = AtA. (a) Uma matriz sime´trica e´ normal? (b) Uma matriz ortogonal e´ normal? 15. O trac¸o de uma matriz quadrada A ∈Mn×n, indicado por tr(A), e´ a soma dos elementos da diagonal principal de A, isto e´, tr(A) = n∑ i=1 aii. Mostre que: (a) tr(A+B) = tr(A) + tr(B) (b) tr(λA) = λtr(A) (c) tr(AB) = tr(BA) (d) Se B e´ invers´ıvel, enta˜o tr(B−1AB) = tr(A). (Em outras palavras, matrizes semelhantes possuem o mesmo trac¸o ) 16. Verdadeiro ou falso? Justifique! (a) det(A+B) = det(A) + det(B). (b) det(A) = det(B)⇐⇒ A = B. (c) det(AB) = det(BA). 17. Qual a relac¸a˜o entre detA e det(−A), para A ∈Mn? 2
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