Apostila Matemática Financeira

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Conceitos Básicos de Matemática Financeira - 
Conceitos Básicos de Matemática Financeira
São Paulo, Dezembro/2003
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Conceitos Básicos de Matemática Financeira
Matemática Financeira: Dentre várias definições, “é a ciência que estuda o dinheiro no tempo” (Lawrence Jeffrey Gitman). O conhecimento de matemática financeira é indispensável para compreender e operar nos mercados financeiro e de capitais, e atuar em administração financeira com baixos tempo e custo de decisão. 
1. Qual o objetivo principal da matemática financeira�?
A matemática financeira busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro ao longo do tempo, determinando o valor das remunerações relativas ao seu tempo.
2. Conceitos básicos de juro, capital e regime de capitalização.
	2.1. juro: É a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital.
	2.1.1. Fatores necessários para calcular o valor do juro:
	Capital, Principal ou Valor Presente;
	Taxa de Juros [Rate: i/100 ]. (i = Interest = juros); 
	Tempo, Prazo ou Período. [Empregaremos a letra n, do inglês - number]
	2.2. Capital: quantia de dinheiro envolvida numa operação financeira. 
	2.3. Regime de capitalização: Entende-se por regime de capitalização o processo de formação de juro. Há dois tipos de regimes de capitalização:
	2.3.1. Regime de capitalização a juro simples: por convenção, os juros incidem somente sobre o capital inicial. Apenas o capital inicial rende juros, i.e., o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa. Não é incorporado ao capital, para render juro no período seguinte; dizemos que os juros não são capitalizados�.
	2.3.2. Regime de capitalização a juro composto: o juro formado no fim de cada período é incorporado ao capital que tínhamos no início desse período, passando o montante a render juro no período seguinte; dizemos que os juros são capitalizados.
	2.4. Juro exato e juro comercial
	2.4.1. Juro exato: é o juro obtido tomando como base o ano de 365 ou 366 dias como os anos bissextos;
	2.4.2. Juro comercial: é o juro obtido tomando como base o ano de 360 dias (ano comercial) e mês de 30 dias (mês comercial).
	2.5. Montante: define-se como montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos, como sendo a soma do juro mais o capital inicial.
Seja C o principal, aplicado por n períodos e à taxa de juros i, temos o montante (M) como sendo: 
M = C + J
3. Fluxo de caixa: é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro, seja de uma empresa ou uma pessoa física por um determinado período de tempo. Sua representação consta de um eixo horizontal onde é marcado o tempo, a partir de um determinado instante inicial (origem) “dia, mês, ano etc.". As entradas de dinheiro são indicadas por setas voltadas para cima, as saídas, por setas para baixo.
 Entrada
 ( ( + ) R$ . 
 t0 t1 ( ( - ) R$ Saída
Taxa de Juros
Taxa de Juros: O juro é determinado através de um coeficiente referido a um determinado período de tempo. Tal coeficiente corresponde à remuneração do capital aplicado por um prazo igual àquela taxa.
As taxas de juros são apresentadas de duas maneiras:
Forma percentual: Nesta situação diz-se aplicada a centos do capital, isto é, ao que se obtém após dividir-se o capital por 100;
Forma unitária: Aqui, a taxa refere-se à unidade do capital, ou seja, calculamos o rendimento da aplicação de uma unidade do capital no intervalo de tempo referido pela taxa;
	Forma percentual
	Transformação
	Forma Unitária
	12% a.a.
	12/100
	0,12 a.a.
	3% a.t.
	3/100
	0,03 a.t.
	1% a.m.
	1/100
	 0,01 a.m.
Diagramas de capital no tempo [Fluxos]: Os problemas financeiros dependem basicamente de um fluxo (entradas e saídas) de dinheiro no tempo. Este fluxo é conhecido como fluxo de caixa, que é uma representação esquemática útil na resolução de problemas. Basicamente conta com um eixo horizontal onde marcamos o tempo, a partir de um instante inicial (origem); marcamos a unidade de tempo (ano, semestre, mês, dia etc.). A representação pode ser a seguinte:
 600 400 500 (+) Entradas
 ( ( ( . .....................
 0 1 2 3 4 5 6 ( - ) Saídas 
 ( 1000 ( 500 
Taxa Nominal: é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquela a que se refere.
Taxa Efetiva: é aquela que realmente é apurada (paga).
Taxas Proporcionais: são proporcionais quando, aplicadas sucessivamente no cálculo dos juros simples de um mesmo capital, por um certo período de tempo, produzem juros iguais.
I. JUROS SIMPLES
No regime de juros simples, os juros incidem somente sobre a aplicação capital inicial, qualquer que seja o número períodos de capitalização. 
Por definição, o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade�. Assim, sendo:
C = Capital inicial ou principal; 	[C, P ou PV: Present Value]
j = juro simples;
n = tempo de aplicação
.i = taxa de juros unitária.	[ i/100 ]
vamos escrever a fórmula de juros simples da seguinte maneira: J = Cin
	Juros simples
	
	
	
	
	
	
	
	
	Rendimento
	
	Mês
	 C
	 .i
	n
	 Juros
	Montante
	1
	 1.000,00 
	5%
	1
	 50,00 
	 1.050,00 
	2
	 1.000,00 
	5%
	1
	 50,00 
	 1.100,00 
	3
	 1.000,00 
	5%
	1
	 50,00 
	 1.150,00 
	4
	 1.000,00 
	5%
	1
	 50,00 
	 1.200,00 
J = Cin ( 1 )
M = C + j ( 2 )	 
M = C +Cin ( 3 ) 	 J = M - C ( 4 )
M = C (1+ in) ( 5 )
Capitalização Simples: . M = C(1 + in) (5) . . C = M/(1 + in) (6) .
Na calculadora financeira HP-12C pode-se calcular diretamente qualquer uma das variáveis da fórmula. A taxa de juros simples deve ser expressa em anos e o período em dias. 
Exemplo:
Aplica-se um capital de $ 5.000,00 a 3% a. m. durante 5 meses.
qual o Juro e montante Comercial? "Juro comercial: é o juro obtido considerando o ano de 360 dias (ano comercial) e mês de 30 dias (mês comercial).
Qual o juro e o montante exato? "Juro Exato: é o juro obtido considerando o ano de 365 ou 366 dias.
C = 5.000 - i = 3/100 = 0.03 - n = 5
J = Cin ( 5000 x (0,03 x 5) = 750. Os juros produzidos no período é igual a $ 750,00.
Vamos utilizar a calculadora HP-12C 
Solução:	3% a. m. é igual a 36% a. a.
	5 meses é igual a 150 dias
	5000
	CHS
	
	PV
	Capital inicial com sinal ( - ) 
	
	
	
	
	
	36
	
	
	i 
	Taxa de juros em anos
	
	
	
	
	
	150
	
	
	n
	Período em dias
	
	
	
	
	
	
	F
	
	INT
	750 juro comercial
	
	
	
	
	
	
	
	
	+
	5.750 montante
 
Atenção, não apague os dados inseridos. Para calcular o juro e montante exatos basta teclar a seqüência de teclas a seguir:
	.f
	
	INT
	
	R(
	
	 X ≷ Y
	739,73 juro exato
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	+
	5.739,73 montante exato
Observações: Para que a calculadora HP-12C funcione de maneira correta, quando o prazo (n) não for inteiro, torna-se mister que ela esteja ajustada para a convenção exponencial (juros compostos). No visor, à direita - embaixo - precisa que apareça a letra "c". Se não estiver aparecendo, tecle .STO . EEX . Para retiraressa instrução, volte a teclar as mesmas teclas. Se não aparecer a letra "c", a calculadora HP-12C não capitaliza prazos fracionários.
 
�
Da fórmula de Juros [Fórmula (1)], [ dada 3 variáveis, encontrar a 4ª variável ]
	
	
	|(
	C = J/in (7)
	
	
	
	
	
	J = Cin (1) 
	|(
	i = J/Cn (8)
	
	
	
	
	
	
	|(
	n = J/Ci (9)
Exemplo:
C: 1200,00 \ 	J = Cin
i: 5% a.m. \	J = 1200,00 x [ (5/100) x 4 ]
n: 4 m. /	J = 1200,00 x 0,2
J: ? /	J = 240,00
i: 5% a.m. \ 	C = J / in
n: 4 m \	C = 240,00 / [ (5/100) x 4 ]
J: 240,00 /	C = 240,00 / 0,2
C: ? /	C = 1200,00
C: 1200,00 \ 	i = J / cn
n: 4 m \	i = 240,00 / [ 1200,00 x 4 ] 
J: 240,00 /	i = 240,00 / [ 4800,00 ] 
i: ? /	i = 0,05 ( [ 0,05 x 100 ] ( 5% i = 5% .
C: 1200,00 \ 	n = J / ci
i: 5% a.m. \	n = 240,00 / [ 1200,00 x (5/100) ] 
J: 240,00 /	n = 240,00 / 60,00 
n: ? /	n = 4 
Exercícios Resolvidos
1.Um capital de $ 2.000,00 foi aplicado durante 3 meses, à juros simples, à taxa de 30% a.a. Pede-se: 
a) Juros 	b) Montante.
 
	1) J = Cin
	2) M = C + j
	3) M = C +Cin
	4) M = C (1+ in)
	5) J = M - C
Solução: C = 4000,00	i = 18% a.a.	n = 3 m
[Fórmula 1]	HP-12C 	Calculadora Científica
J = Cin 	fixar 8 Casas decimais	fixar 8 Casas decimais .2nd .TAB . 8 
J = 4000 x { [ ( 18/100 )/12 ] x 3 }	.f . 8 	18 ( 100 ( 12 x 3 x 4000 =
J = 4000 x { [ ( 0,18 ) /12 ] x 3 }	4000 CHS PV	180,00000000
J = 4000 x { [ 0,015] x 3 }	18 i	Para representar os valores em Reais,
J = 4000 x { 0,045 }	90 n.	Vamos fixar 2 Casas decimais .2nd .TAB . 2 
J = 4000 x 0,045 		.f .INT .	180,00
J = 180,00 		180,00000000	M = C + J 
M = C + J 		fixar 2 Casas decimais	M = 4000,00 + 180,00
M = 4000,00 + 180,00 	.f . 2	M = 4.180,00
M = 4.180,00 		Montante tecle +
Ou pela fórmula do Montante [Fórmula 4]
M = C (1+ in) 	HP-12C 	Calculadora Científica 
M = 4000 x {1 + [ (( 18/100 ))/12) x 3 ] }	.f . 6	.2nd .TAB .8 - Fixa 8 casas decimais
M = 4000 x { 1 + [ (( 0,18 ) /12 ) x 3 ] }	18 Enter	18 ( 100 ( 12 x 3 + 1 = 1,045
M = 4000 x { 1 + [ ( 0,015 ) x 3 ] }	100 ( [0,180000]	x 4000 =
M = 4000 x { 1 + [ 0,045 ] }	12 ( [0,015000]	4.180,00 = M
M = 4000 x { 1 + 0,045 }	3 x [0,045000]	J = M - C
M = 4000 x { 1,045 }	1 + [1,045000]	4180 - 4000 = 180,00000000
M = 4.180,00. 		4000 x [4.180,000000] 	.2nd .TAB . 2 - Fixa 2 casas decimais
Aplicando a fórmula 5: J = M - C 	4000 - [180,000000] 	180,00
J = 4180,00 - 4000,00 = . J = 180,00 . 	.f . 2 [180,00] 	
2.Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado durante 120 dias, à juros simples, à taxa de 48% a.a. Pede-se: 
a) Juros 	b) Montante.
[Fórmula 1]
J = Cin 	HP-12C 	Calculadora Científica 
J = 5000 x { [ ( 48/100 )/360 ] x 120 }	.f . 8	.2nd .TAB .8 - Fixa 8 casas decimais
J = 5000 x { [ ( 0,48 ) /360 ] x 120 }	48 Enter	48 ( 100 ( 360 x 120 = 0,16
J = 5000 x { [ 0,000133333333] x 120 }	100 ( [0,480000]	x 5000 =
J = 5000 x { 0,16 }	360 ( [0,00133333]	800,00000000 = J
J = 5000 x 0,16 		120 x [0,16000000]	M = C + J
J = 800,00 		5000 x [800,0000000] 	.2nd .TAB . 2 - Fixa 2 casas decimais
M = C + J ( M = 5000,00 + 800,00	.f . 2 [800,00]	5000 + 800 = 
M = 5.800,00		5000 + [5.800,00]	5.800,00
Ou pela fórmula do Montante [Fórmula 4]	Ano Comercial: 360 dias, meses: 30 dias
M = C (1+ in) ( M = 5000 x {1 + [ (( 48/100 ))/360) x 120 ] }	Ano civil: 365 ou 366 dias.
	M = 5000 x { 1 + [ (( 0,48 ) /360 ) x 120 ] }
	M = 5000 x { 1 + [ ( 0,000133333333 ) x 120 ] }
	M = 5000 x { 1 + [ 0,16 ] }
	M = 5000 x { 1 + 0,16 }
	M = 5000 x { 1,16 }
	M = 5.800,00. 
Aplicando a fórmula 5: J = M - C ( J = 5800,00 - 150,00 = . J = 800,00 . [ Juro comercial ] 
3. Utilizando os dados do exercício 2, calcule o juro exato e o Montante [365 dias].
[Utilizando a fórmula 1]
J = Cin 	( J = 5000 x { [ ( 48/100 )/365 ] x 120 }
	J = 5000 x { [ ( 0,48 ) /365 ] x 120 }
	J = 5000 x { [ 0,001315068] x 120 }
	J = 5000 x { 0,157808219 }
	J = 5000 x 0,157808219
	J = 789,04 
	M = C + J ( M = 5000,00 + 789,04 ( M = 5.789,04
MONTANTE: Define-se como Montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos como sendo a soma do juro mais o capital inicial�.
M = C + J: De modo análogo ao visto para juro, dado 3 valores da fórmula poderemos obter o quarto valor. [como vimos nas fórmulas 1 a 5].
	
	
	|(
	C = M/(1 + in) (7)
	
	
	
	
	
	 M = C(1 + in) (6)
	|(
	i = [(M/C) - 1] / n (10)
	
	
	
	
	
	
	|(
	n = [(M/C) - 1] /i (11)
II. RAZÕES E PROPORÇÕES
Razão de dois números: Razão do nº a para o nº b (diferente de zero) é o quociente de a por b .
É indicado por: a/b ou a : b ( lemos: a para b )
Os números a e b são os termos da razão; a é chamado antecedente e b, conseqüente da razão.
Exemplos:
A razão de 5 para 15 é: 
1º) 3/15 = 1/5;	2º) 18/3 = 6;	3º) 5 e 1/2 = 5/(1/2) = 5 x (2/1) = 10
 Duas razões são inversas entre si quando uma é igual ao inverso multiplicativo da outra. . 
Se a e b são números reais não-nulos, então a/b e b/a são razões inversas; a/b x b/a = 1.
1. A razão inversa de 3/4 é 4/3;	2. A razão inversa de 4 é 1/4;	3. A razão inversa de 1/5 é 5.
Proporção: Dados, em certa ordem, quatro números ( a, b, c e d ) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b ) é igual a razão entre os dois últimos.
A razão a/b é igual a razão c/d. Essa proporção é indicada por a/b = c/d, onde a e d são chamados extremos e b e c são chamados meios.
Na proporção: a/b = c/d, temos:
a, b, c e d são os termos ( 1º, 2º, 3º e 4º termos, respectivamente)
a e c são os antecedentes 
b e d são os conseqüentes 
a e d são os extremos 
b e c são os meios
Propriedade fundamental: Sejam a, b, c e d números reais diferentes de zero, tais que:
 a/b = c/d, 
Multiplicando os dois membros da igualdade b/d, (produto dos conseqüentes da proporção), obtemos:
a/b x bd = c/d x bd . Simplificando temos: a/d = c/b, Logo, podemos afirmar que:
 Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios . 
 
Exemplo: Dada a proporção 6/8 = 3/4, temos:
	6 x 4 = 24 \
	8 x 3 = 24 /	6 x 4 = 8 x 3
III. DIVISÃO PROPORCIONAL E REGRA DE SOCIEDADE
Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é decompô-lo em parcelas proporcionais a esses números.
Exemplo: Vamos supor que Maria, Carlos e Jorge tenham associados para comprar uma casa no valor de $ 60.000,00. Maria entrou com a maior parte, $ 30.000,00, Carlos com $ 20.000,00 e Jorge, com a menor parte, $ 10.000,00. Um ano depois eles venderam essa casa por $ 90.000,00. Qual a parte que cabe a cada um deles?
Por convenção, a cada $ 1,00 empregado na compra da casa deve corresponder a mesma quantia resultante da venda, i.e., uma quota. Essa quota é, o quociente do preço de venda pelo preço de compra, ou seja:
	90.000/60.000 = 1,5. Logo:
Maria:	30.000 x 1,5 = $ 45.000
Carlos:	20.000 x 1,5 = $ 30.000
Jorge:	10.000 x 1,5 = $ 15.000
Total		60.000 x 1,5 = 90.000
IV. REGRA DE SOCIEDADE
A regra de sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional. O objetivo é a divisão dos lucros ou dos prejuízos entre as pessoas envolvidas (sócios) que formam uma sociedade, por ocasião do Balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída de uma das pessoas da sociedade ou da admissão de um novo membro à sociedade constituída.
Por convenção, o lucro ou prejuízoé dividido pelos sócios proporcionalmente aos recursos empregados, levando em conta as condições que rezam no contrato.
Há quatro casos a considerar:
1º Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo. Afim de obter a parte de cada um dos sócios, divide-se o lucro ou prejuízo pelo número deles.
Exemplo: Três sócios lucraram $ 222.600 no último exercício. Sabendo que seus capitais eram iguais, determine a parte de cada um nos lucros:
222.600/3 = 74.200
Logo, a parte que cabe a cada um é de $ 74.200.
2º) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo. Neste caso, divide-se o lucro ou prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios.
Exemplo: Na apuração do Balanço anual da empresa ZYX, formada por 3 sócios, apurou-se um lucro de $ 33.750. Determine a parte correspondente a cada sócio, sabendo que seus capitais são de $ 540.000, $ 450.000 e $ 360.000:
		(A ( 540					(A = 540 x 0,025 = 13,50
	33,75	(B ( 450	( y = 33.75/1350 = 0,025 ( 	(B = 450 x 0,025 = 11,25
	(C ( 360					(C = 360 x 0,025 = 9,00
33,75
Logo, o Lucro de cada sócio é de: $ 13.50, $ 11,25 e $ 9,00, respectivamente.
3º) Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais. Teoricamente, o lucro ou prejuízo que cabe a cada sócio é determinado dividindo-se o lucro ou prejuízo, da sociedade, em partes diretamente proporcionais aos tempos.
 
4º) Os capitais são desiguais e empregados durante também por tempos desiguais. Teoricamente, as partes do lucro ou prejuízo seriam diretamente proporcionais aos capitais pelos respectivos tempos de dos sócios.
V. TAXA PROPORCIONAL: Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.
Dada duas taxas (percentuais ou unitárias) i e i', relativas, respectivamente, aos tempos n e n', referidos à mesma unidade, temos:
 i n
 ----- = ---- 
 í' n'
Logo, as taxas 30% ao ano ou 2,5% ao mês, por exemplo, são proporcionais, pois:
 30 12 0,30 12
 -------- = ------- ou ---------- = -------- (1 ano = 12 meses)
 2,5 1 0,025 1
Determinemos então uma fórmula para facilitar obter, mais rapidamente, uma taxa proporcional a outra taxa dada.
Seja i a taxa de juro relativa a um período e ik a taxa proporcional:
 i
ik = ---------- ( 12 )
 k
Exemplo: 1. Calcule a taxa mensal proporcional a 18% ao ano.
 i 18
ik = ---------- ik = --------- = 1,5
 k 12
2. Calcule a taxa mensal proporcional a 0,05% ao dia.
Solução: [1 mês = 30 dias]	
 i
0,05 = ---------- ( 0,05 x 30 = i ( i = 1,5. ( i = 1,5% a.m.
 30
3. Calcule a taxa anual proporcional a 4,5% ao trimestre.
Solução: [1 ano = 4 trimestres]	
 i
4,5 = ---------- ( 4,5 x 4 = i ( i = 18. ( i = 18% a.a.
 4
TAXA PROPORCIONAL (2): Duas taxas são proporcionais quando, aplicadas sucessivamente no cálculo de juros simples de um mesmo capital, durante o mesmo prazo, produzem juros iguais.
Exemplos:
a) 5% ao mês	( 30% ao semestre ( 5 x 6 = 30)
b) 3% ao mês	( 36% ao ano ( 3 x 12 = 36)	
c) 18% ao ano	( 1,5% ao mês ( 18 / 12 = 1,5)	
d) 5% ao trimestre	( 20% ao ano ( 5 x 4 = 20)	
	DE 
	PARA 
	FÓRMULA 
	
	DE 
	FÓRMULA
	PARA
	a.m. 
	a.a. 
	Ia = ( im ) * 12 
	
	 1,5% a.m.
	 [(1,5%) x 12]
	 18% a.a.
	a.d. 
	a.m. 
	Im = ( id ) * 30 
	
	 0,05% a.d.
	 [(0,05%) x 30]
	 1,5% a.m.
	a.d. 
	a.a. 
	Ia = ( id ) * 360 
	
	 0,05% a.d.
	 [(0,05%) x 360]
	 18% a.a.
	a.a. 
	a.m. 
	Im = ( ia ) / 12 
	
	 18% a.a.
	 [(18%) / 12]
	 1,5% a.m.
	a.m. 
	a.d. 
	Ia = ( im ) / 30 
	
	 1,5% a.m.
	 [(1,5%) / 30]
	 00,5% a.d.
	a.a. 
	a.d. 
	Id = ( ia ) 360 
	
	 18% a.a.
	 [(18%) / 360]
	 00,5% a.d.
Exercícios:
1a) Calcular os juros de uma aplicação de $ 15.000,00 a 30% ao ano, pelo prazo de 1 trimestre.
Dados:	Solução:
C = $ 15.000,00	J = Cin
 i = 30% a.a.	J = 15000 x { [ (30/100)/12 ] x 3 }	
 n = 1 trimestre = 1/4 ano	J = 15000 x { 0,075 } ( J = 1.125,00
1a) Calcular os juros de uma aplicação de $ 15.000,00 a 2,5% ao mês, pelo prazo de 90 dias.
Dados:	Solução:
C = $ 15.000,00	J = Cin
 i = 30% a.a.	J = 15000 x { [ (2,5/100)/30 ] x 90 }	
 n = 1 trimestre = 1/4 ano	J = 15000 x { 0,075 } ( J = 1.125,00
Nota-se que, nas duas situações, os juros produzidos são iguais. Portanto, 30% ao ano e 2,5% ao mês são taxas proporcionais.
VI. DESCONTOS: 
Desconto: Quando uma pessoa faz um investimento, com vencimento predeterminado, ela obtém um comprovante da aplicação, que pode ser, por exemplo, uma letra de câmbio ou uma nota promissória. Caso, esta pessoa, precise do dinheiro antes de vencer o prazo da aplicação, ela deve procurar a instituição onde fez a aplicação, transferir a posse do título e levantar o principal acrescido dos juros já ganhos.
Outra situação: Uma empresa faz uma venda a prazo e recebe uma duplicata com um certo vencimento. Se esta empresa precisar do dinheiro, antes do vencimento da duplicata, ela pode ir a um banco e transferir a posse desta duplicata, recebendo dinheiro em troca.
Estas operações são chamadas de desconto e o ato de efetuá-las é chamado de descontar um título.
DESCONTO: É a quantia abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
[Valor Nominal também chamado de Valor Futuro ou Valor de Face ou Valor de Resgate]
DESCONTO COMERCIAL E DESCONTO RACIONAL
A diferença básica entre essas duas modalidades de cálculo do desconto é que o desconto por fora representa o juro incidente sobre o valor nominal (valor “de fora”, o maior valor) e o desconto racional representa o juro incidente sobre o valor atual ou líquido (valor “de dentro”, menor valor).
Chamamos de DESCONTO COMERCIAL [ Dc ], bancário ou por fora, o equivalente a juros simples, produzido pelo valor nominal [ N ] do título no período de tempo correspondente e a taxa fixada.
Valor do desconto comercial:
Dc = Nin 1 .
Onde:
	Dc: o valor do desconto comercial;
	N: o valor Nominal do título;
	Vc: o valor atual comercial ou valor descontado comercial;
	 n: tempo;
	 i: a taxa de desconto.
Valor atual comercial ou valor descontado comercial.
Vc = N - Dc 2 .
Substituindo Dc pelo seu valor obtido em 1 . 
Vc = N - Nin 3 .
Vc = N(1 - in) 4 .
DESCONTO RACIONAL ou por dentro, é o equivalente a juros simples, produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.
Se preferir: DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO “POR DENTRO” : Definição: É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento. Logo:
Dr = N – Vr, onde Dr denota o desconto racional.
Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal.
Valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto, isto é, Vr = N – Dr, onde Dr é o desconto e Vr, (ou V, se não houver perigo de confusão), é o valor atual ou valor descontado racional.
Em síntese: No desconto comercial (por fora), a taxa de desconto incide sobre o valor nominal ( N ) do título e no desconto racional ele incide sobre o valor atual ( V ).
Dr = Vin 5 .
Vr = N - Dr 6 .
Vr = N - Vin 7 . ( ( V = N - Vin ( N = V + Vin[ Vamos adotar Vr = V ]
N = V + Vin 8 .
N = V(1 + Vin) 9 .
 N 
V = --------------- 10 .
	 ( 1 + in ) 
Da fórmula 6 ( V = N - Dr, chegamos à fórmula ( Dr = N - V . ( 11 . .
Se Dr = N - V [ V da fórmula 10, vamos substituí-lo em 12 ]
 N 
Dr = N - ----------------- 12 .
 ( 1 + in ) 
Uma coisa nós já verificamos, o desconto comercial é maior que o desconto racional efetuado nas mesmas condições.
 Dc > Dr 
As fórmulas para calculá-los são:
 Nin
Dr = --------------				Dc = Nin
 1 + in
Vamos usar estas duas fórmulas:
 Nin
 Dr = --------------			Dc = Nin
 1 + in
Se fizermos a divisão do desconto comercial pelo desconto racional, membro a membro, temos:
Dc Nin
----- = --------- 
 Nin 						 Dc
Dr --------------	 Portanto: ------ = 1 + in
 1 + in 			 Dr
ou,
	Dc = Dr(1 + in)
O Desconto comercial pode ser entendido como sendo o montante do desconto racional calculado para o mesmo período e à mesma taxa.
EXEMPLO: Uma dívida de $ 3.500,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de juros que reza no contrato é de 2,5% a.m.?
	
	N = 3.500
	n = 3 meses
	i = 2,5% a.m.
1. Desconto Comercial
a) Vamos Aplicar a fórmula nº 1. Valor do desconto comercial: Dc = Nin 1 .
dc = Nin 
dc = 3500 x [(2,5/100) x 3]
dc = 3500 x [0,025 x 3]
dc = 3500 x 0,075
dc = 262,50
b) Fórmula nº 2. Valor atual comercial ou valor descontado comercial: Vc = N - Dc 2 .
Vc = 3500 - 262,50
Vc = 3.237,50
c) Fórmula nº 4. Substituindo Dc pelo seu valor obtido em 1 . Vc = N - Nin 3. Vc = N(1 - in) 4 .
Vc = N(1 - in)
Vc = 3500{[1 - [(2,5/100) x 3]}
Vc = 3500{[1 - [0,025 x 3]}
Vc = 3500{1 - 0,075 }
Vc = 3500 x 0,925
Vc = 3.237,50
2. Desconto Racional 
Vamos Aplicar as fórmula nº 5, 6, 9 a 11. .
Dr = Vin 5 .
Vr = N - Dr 6 .
Vr = N - Vin 7 . ( ( V = N - Vin ( N = V + Vin [ Vamos adotar Vr = V ]
N = V + Vin 8 .
N = V(1 + Vin) 9 .
 N 
V = --------------- 10 .
	 ( 1 + in ) 
Da fórmula 6 ( V = N - Dr, chegamos à fórmula ( Dr = N - V . ( 11 . .
a) Para aplicarmos a fórmula nº 5, precisamos do Valor Atual sem nenhuma correção. Para descobrimos isto aplicamos a fórmula 10..
 N 
V = --------------- 10 .
	 ( 1 + in ) 
 3500 .3500 .3500
V = --------------------------- ( V = ------------------------ ( V = -------------------- =
 {1 + [(2,5/100) x 3]} {1 + [0,025 x 3]} {1 + 0,075 }
 3500
V = ------------------- = 3.255,81
 1,075
�
b) Fórmula nº 5. Dr = Vin 5 .
Dr = Vin
Dr = 3255,81 x [(2,5/100) x 3]
Dr = 3255,81 x [0,025 x 3]
Dr = 3255,81 x 0,075 
Dr = 244,19
c) Fórmula nº 6. Vr = N - Dr 6 .
Vr = N - Dr
Vr = 3255,81 - 244,19
Vr = 3.011,62
d) Fórmula nº 11. Dr = N - Vr { Fórmulas 10 menos 6 }.
Resultado fórmula nº 10 = 3.255,81
Resultado fórmula nº 6 = 3.011,62
Dr = 244,19
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1a. Uma dívida de $ 13.500,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de juros que reza no contrato é de 30% a.a.?
	
	N = 13.500
	n = 3 meses
	i = 30% a.a.
	Dr = ?
Para encontrarmos o Dr, poderíamos usar a fórmula Dr = Vin 5 se nós conhecêssemos o (Vr) Valor Atual [Racional]. Vamos utilizar a fórmula 12 , pois não conhecemos o (Vr).
 Nin				13500 x ( 0,30/12) x 3	 1012,50
Dr = --------------	(	Dr = -------------------------------	= ---------------- = $ 941,86 = Dr
 1 + in				 1 + [ (0,30/12) x 3 ]	 1,075 
$ 941,86 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida.
Poderíamos utilizar também a fórmula: Vr = N - Vin 7 , conhecendo o Vr = N - Dr = 13500 - 941,86 = 12.558,14. 
Vr = 13500 - {12558,54 x [(30/12)/100) x 4]}( Vr = 13500 - (12558,54 x 0,075) (Vr = 13500 - 941,89 (Vr = 12.558,14
1b. Vamos calcular o n, nas mesmas condições, admitindo que não o conhecemos:
	N = 13.500
	n = ?
	i = 30% a.a.
	Dr = 941,86
 Nin			 13500 x ( 0,30/12) x n	 337,50n
Dr = -------------- (	941,86 = ------------------------------- (	 941,86 = ----------------- 
 1 + in			 1 + [ (0,30/12) x n ]	 	 	 1 + 0,025n 
941,86 + 23.54650n = 337,50n ( 941,86 = 337,50n - 23.54650n ( 941,86 = 313,953488n 
	 941,86
n = -------------------- (	n = 3
	313,953488
1c. Vamos calcular a taxa de juros i, nas mesmas condições, admitindo que não a conhecemos:
	N = 13.500
	n = 3
	i = ?
	Dr = 941,86
 Nin			 13500 x i x 3n	 	 13500 x i x3n		 40.500i
Dr = ------------- ( 941,86 = ------------------- ( 941,86 = ---------------- ( 941,86 = ------------ 
 1 + in			 1 + 3i	 	 	 1 + i x 3 		 1 + 3i
(	941,860451 + 2.825,81395i = 40.500i (	941,86 = 37.674,81861i
	941,86
i = --------------------- 	( i = 0,025 ( i = 0,025 x 12 = 0,30 ( 0,30 x 100 ( i = 30% a.a.
 37.674,81861
1d. Vamos calcular o valor nominal (N), nas mesmas condições, admitindo que não o conhecemos:
N = ? \ Nin
n = 3 \ Dr = ---------- 
i = 30% a.a. / 1 + in
Dr = 941,86 /
 Nin			 	 N x (0,30/12) x 3	 	 	 0,075N	
Dr = ----------- (	941,860451 = ------------------------- (	 941,860451 = ------------- (
 1 + in			 	 1 + (0,30/12) x 3	 	 	 1 + 0,075 
		0,075N						1.01250
941,860451 = ------------ (	1.01250 = 0,075N N = ------------ ( N = 13.500
		1,075						 0,075
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Um título descontado de $ 4.000,00 vai ser descontado à taxa de 2.3% ao mês. Faltando 45 dias para o seu vencimento. Determine: 	a) o valor do desconto comercial;	b) o valor atual comercial.
Resolução: { N = 4.000 - n = 45 d - i = 2,3% a.m. = [2,3/100 = 0,023 a.m. - 0,023/30 a.m. ]
a) Dc = Nin ( Dc = 4000 x {[(2,3/100)/30] x 45} ( Dc = 4000 x {[0,023/30] x 45} ( Dc = 4000 x {0,0007666667 x 45}
( Dc = 4000 x 0,0345 ( Dc = 138,00
a) Vc = N - Dc ( Vc = 4000 - 138 ( Vc = 3.862,00 ou Vc = N(1 - in) ( Vc = 4000(1 - 0,0345) ( Vc = 4000(0,9655)
 Vc = 4000 x 0,9655 = 3.862,00
2. Uma duplicata de valor nominal é de $ 3.500,00, foi resgata 4 meses antes do seu vencimento, à taxa de 26.4% ao ano. Qual o desconto comercial;
Dc = Nin ( Dc = 3500 x {[(26,4/100)/12] x 4} ( Dc = 3500 x {[0,264/12] x 4} ( Dc = 3500 x {0,022 x 4}
( Dc = 3500 x 0,088 ( Dc = 308,00
Utilizando as fórmulas 6 Vc = N(1 - in) e Dc = N - Vc 4. 
Vc = N(1 - in) ( Vc = 3500{ 1 - [(26,4/100)/12] x 4} ( Vc = 3500( 1 - 0,022x4) ( Vc = 3500( 1 - 0,088) ( 
Vc = 3500 x 0,912 ( Vc = 3.192,00 
Agora aplicamos a fórmula Dc = N - Vc 4 . ( Dc = 3500 - 3192 ( Dc = 308,00 
3. O desconto comercial de um título descontado 5 meses antes de seu vencimento e à taxa de 36% a.a. é de $ 690,00. Qual é o desconto racional?
Resolução: Vamos aplicar a fórmula: Dc = Dr(1 + in)
 			
 i = 36/100 = 0,36
 0,36 	 690,00
672,00 = Dr ( 1 + ------- x 5 ) 	( 672,00 = Dr ( 1 + 0,15 ) ( Dr = ------------- ( Dr = $ 600,00
 12 	 1,15
4. Uma dívida de $ 13.500,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de juros que reza no contrato é de 30% a.a.?
 Nin		 13500 x [(0,30/12) x 3]	 1012,50
Dr = --------------	(	Dr = ------------------------------	= --------------- = $ 941,86
 1 + in			 1 + [ (0,30/12) x 3 ]	 1,075 
$ 941,86 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida.
5. Por quanto posso comprar um título com vencimento daqui a 5 meses, se seu valor nominal for de $ 15.000,00 se eu quiser ganhar 36% a.a. ?
Resolução: Deve-se calcular o valor atual do título tal que seja possível obter a rentabilidade de 36% a.a.
	N: 15.000
	 i: 36% a.a. ( (36/100) ( 0,36		[ Calcular o Vr: Valor Atual ]
	 n: 5 meses
 N			 15000		 15000
Vr = --------------	(	Dr = ----------------------------	= ----------- = $ 13.043,48
 1 + in			1 + [ (0,36/12) x 5 ]	 1,15 
MÉTODO HAMBURGUÊS: É um processo que permite calcular, de uma forma simplificada, os juros produzidos por p capitais C1, C2, C3,..., Cp aplicados respectivamente pelos prazos n1, n2, n3,..., np sendo i a taxa de juros simples:
Temos
	J1 = C1 n1 i
	J2 = C2 n2 i
	J3 = C3 n3 i
	. .
	. .
	Jp, = Cp np i
Então:
	J = J1 + J2 + J3 + ... + Jp 
	J = i[C1 n1 + C2 n2 + C3 n3 + ... + Cp np ] 
 	 p
J = i ( Cknk
 k = 1
Os valores C1 n1 + C2 n2 + C3 n3 + ... + Cp np são chamados números do método hamburguês.
Este método é com freqüência utilizado para cálculos dos juros sobre cheques especiais. (Os juros são calculados sobre os saldos devedores).
Exemplo: Um banco cobra 10% a.m. de juros sobre os saldos devedores de cheques especiais. Um cliente apresentou o seguinte extrato:
 Data	 Histórico	Valor D/C	Saldo D/C
01/06/19XX	Transporte	 -	200,00 C
13/06/19XX	Cheque	300,00 D	100,00 D
19/06/19XX	Cheque	150,00 D	250,00 D
21/06/19XX	Depósito	380,00 C	130,00 C
28/06/19XX	Cheque	270,00 D	140,00 D
Para o cálculo dos juros, montamos a seguinte tabela:
	Número de dias	Número de dias x
 Data Saldo D/C (Saldo devedor)	(Saldo devedor)
01/06/19XX	200,00 C	-	 -
13/06/19XX	100,00 D	6	600,00 
19/06/19XX	250,00 D	2	500,00 
21/06/19XX	130,00 C	-	 -
28/06/19XX	140,00 D	3	420,00
Portanto:
J = (0,10/30) x [ 600 + 500 + 420] = J = [2,00 + 1.67 + 1,40] = 5,07.
J = 5,07.
O total de juros debitados no mês de junho foi de $ 5,07
SALDO MÉDIO: Todos nós sabemos que as instituições bancárias exigem saldo médio de seus clientes para concessão de empréstimos, descontos de títulos, duplicatas ou qualquer outro título.
Consideremos os saldos C1 + C2 + C3 + ... + Cp, vigorando nos prazos n1 + n2 + n3 + ... + np, O saldo médio é definido por: 
	C1 n1 + C2 n2 + C3 n3 + ... + Cp np
Sm = -------------------------------------------------
	 n1 + n2 + n3 + ... + np
Exemplo: no mês de junho uma empresa apresentou os seguintes saldos credores:
	 (Xi)		 (Fi)
Saldo		Nº de dias	Xi*Fi
600.000		 5		 3000
710.000		 4		 2840
110.000		 9		 990	
280.000		 12		.3360
				10190
Me(X) = 10190/30 = 339.666,67, isto é, SM = 339.666,67.
Pela HP
Pressione f CLEAR ( Limpa mémória
	600000 ENTER	 5 (+ .
	710000 ENTER	 4 (+ .
	1100000 ENTER	 9 (+ .
	280000 ENTER 12 (+ .
 
 g xW 339.666,67
VII. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO - REVISÃO:
POTENCIAÇÃO
Para a ( R, b ( R, n ( N, temos:	Assim definimos:
 \ .a: base	(a0 = 1	(a1 = a
.an = b, onde > n: expoente 	(an = a x a x a ... x a, se n( 2	(a-n = 1/an, a ( 0
 / b: potência
Exemplo:
.a = 2 \ 	.an = .23 = 2 x 2 x 2 = 8
.n = 3 /
Propriedades:
Para m ( Z, n ( Z, a ( R e b ( R, temos: [Vide anexo II, conjuntos numéricos]
a) am ( an = am+n = 24 x 23 = 16 x 8 = 128; 	27 = 128
b) am / an = am-n = 24 - 23 = 16/8 = 2; 	21 = 2
 n
c) (am) = am x n = 24 - 23 = 16/8 = 2; 	21 = 2
d) (a ( b)m = am ( bm = (2 x 3)3 = 63 = 216; 	23 x 33 = 8 x 27 = 216; 
e) (a / b)m = am / bm = (6 / 3)3 = 23 = 8; 	63 / 33 = 216 x 27 = 8.
RADICIAÇÃO 
Para a ( R, b ( R, n ( N*, m ( N*, temos:
 \ ( : radical
 = a > a: raiz b = radicando ( extrair a raiz n-ésima de um = exponenciá-lo ao inverso do índice 
 / n: índice 
Logaritmo na base 10 e logaritmo neperiano base e [base e = 2,71828182845905, número de Euler] 
O logaritmo em um novo sistema será dado pela relação:
 1
.logb N = loga N x ----------
 loga b
Para resolver o problema, bastará multiplicar o logaritmo do número no sistema de base a pelo fator constante.
 1 
 M = ------------
 loga b
que recebe o nome de módulo do sistema . LN(10) = 2,30258509299405 �.
a) Passagem do sistema decimal para neperiano
 1 1
 módulo = ------------------------------- = --------- = 2,30258509299405 
 logaritmo decimal de e log e 
b). Passagem do sistema neperiano para decimal 
 1 1
 módulo = -------------------------------- = ------------- = 0,434294481903252 
 logaritmo neperiano de 10 ln(10) 
	Para converter Logaritmo
	Em Logaritmo
	Multiplicar por
	Aproximadamente
	Decimal
	Natural
	2,30258509299405
	2,3025851
	Natural
	Decimal
	0,434294481903252
	0,4342945
Exemplo: log(6) = 0,778151250 - Algumas calculadoras só tem o LN. Há duas opções para obter o log na base 10, se nós dispormos só de LN. Podemos fazer a seguinte operação: Log(x) = LN(x)/LN(10) - ou usar a conversão acima: Log(x) = LN(x)/LN(10) ( Vamos obter o Log(6), utilizando a conversão acima. Log(6) = LN(6) x 0,434294481903252. Portanto: Log(6) = 1,791759469 x 0,434294482 = 0,77815125
VIII. JUROS COMPOSTOS
No regime de juros simples, os juros incidem somente sobre o capital inicial. No regime de juros compostos, o rendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela a partir do segundo período. Dizemos, então, que os rendimentos ou juros são capitalizados:
	Juros simples
	
	Juros compostos
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Rendimento
	
	Rendimento
	
	Mês
	C
	.i
	n
	 Juros 
	 Montante
	C
	i
	n
	 Juros
	 Montante
	1
	 1.000,00 
	5%
	1
	 50,00 
	 1.050,00 
	 1.000,00 
	5%
	1
	50,00 
	 1.050,00 
	21.000,00 
	5%
	1
	 50,00 
	 1.100,00 
	 1.050,00 
	5%
	1
	52,50 
	 1.102,50 
	3
	 1.000,00 
	5%
	1
	 50,00 
	 1.150,00 
	 1.102,50 
	5%
	1
	55,13 
	 1.157,63 
	4
	 1.000,00 
	5%
	1
	 50,00 
	 1.200,00 
	 1.157,63 
	5%
	1
	57,88 
	 1.215,51 
J = Cin (1)	M = C(1 + i)n (6)
M = C + j (2)	M = C + J (7) 
M = C +Cin (3)	J = M - C (5b)
M = C (1+ in) (4)	J = C[(1 + i)n - 1] (8)
J = M - C (5)
O fator (1 + i)n é chamado de fator de acumulação de capital, para pagamento único, pode ser calculado diretamente, através de calculadoras ou pode ser obtido através de tabelas financeiras;
Nas calculadoras financeiras pode-se calcular diretamente qualquer uma das quatro variáveis da fórmula, dados os valores das outras três:
PV (Presente Value, do inglês) representa o capital C
FV (Future Value, do inglês) representa o montante M
i Representa a taxa de juros, onde i/100
n Representa o número de períodos.
Exemplo: Um capital de $ 1.000.00 é aplicado a juros compostos durante 4 meses, à taxa de 5% a.m., Calcule:
a) O montante;	b) Os juros auferidos
		Resolução Calculadora HP-12C
Temos: (5/100 + 1) = 1,05	5 Enter
	1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 = 1,21550625 (Fator de Acumulação)	100 (
	M = 1.000 x 1,21550625 = 1.215,51	1 + (1,05) Resultado
	J = M - C ( 1.215,51 - 1.000,00 = 215,51	4 YX 1,21550625 (Resultado)
		1000 X 1,215,51 (Resultado)
Para Calcularmos utilizaremos a seguinte fórmula: (Exponencial)
	M = (1 + i)n ( M = (1 + 0,05)4 = 1,21550625
	M = 1.000 x 1,21550625 = 1.215,51
	J = M - C ( 1.215,51 - 1.000,00 = 215,51
Utilizando uma calculadora Financeira:
	4
	n 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	5
	i
	(
	FV 
	=
	1.215,51
	
	
	
	
	
	
	-1000
	PV
	
	
	
	
Caso não dispomos de uma calculadora financeira, podemos calcular através de logaritmos. Precisamos do fator (1,05)4 = 1,21550625. Este fator pode ser encontrado nas tabelas financeiras, porém se não a tivermos em mãos podemos fazer o seguinte: (1 + 5/100)4. ( (1,05)4 ( ( 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 ) = 1,21550625 ou podemos calcular utilizando logaritmos. Vamos ver como fica?
Utilizando-se de logaritmos:
JURO COMPOSTO - Cálculos [Calculadoras Financeiras; Exponencial, Logaritmos decimal e neperiano e Tabelas Financeiras]
Para Calcularmos o Montante utilizaremos a seguinte fórmula: (Exponencial)
	M = (1 + i)n ( M = (1 + 0,05)5 = 1,276281562
	M = 2.000 x 1,276281562 = 2.552,56
	J = M - C ( 2.552,56 - 2.000,00 = 552,56
Utilizando uma Calculadora Financeira:
	5
	.n
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	5
	.i
	(
	FV 
	=
	2.552,56
	
	
	
	
	
	
	-2000
	PV
	
	
	
	
Caso não dispomos de uma calculadora financeira, podemos calcular através de logaritmos. Precisamos do fator (1,05)5 = 1,276281562. Este fator pode ser encontrado nas tabelas financeiras, porém se não a tivermos em mãos podemos fazer o seguinte: (1 + 5/100)5. ( (1,05)5 ( ( 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 x 1,05 ) = 1,276281562 
Se queremos calcular os juros do capital de $ 2.000,00, durante 4 meses à taxa de 5% a.m., multiplicamos o fator: 1,276281562 x 2000 = 2.552,56. Logo, M = 2.552,56. ( J = M - C ( J = 2552,56 - 2000 = 552,56) ( J = $ 552,56
ou podemos calcular utilizando logaritmos. Vamos ver como fica?
Utilizando-se de logaritmos:
	(1 +0,05)5 = x, 	(	onde x = fator procurado.
	5 log (1,05) = log x
	5(0,02118930) = log x
	0,105946495 = log x.
Extraímos o antilogaritimo: ( 10 0,105946495 )
	 
	 ( 10 0,08475720 ) = x 
	1,276281563 = x, este é o fator procurado: 1,276281563.
Está complicado? - Vamos utilizar outro método [que eu acho mais fácil].
Utilizando-se de logaritmos: [ Outro exemplo, uma maneira que gosto de usar ]
C = 2500		M = (1 + i)n 	[ Exponencial ]
 i = 4% a.m.	M = C(1 +0,04)5 
n = 5m	M = 2500(1,04)5
M = 3.041,63	M = 3041.632255
M = (1 + i)n 	[ Logaritmo ]
logM = log[ C(1 + i)n ]
logM = logC + n(log(1+i)
logM ( antilogM ( M ( 10M 
logM = log[ 2500(1 +0,04)5 ]
logM = log2500 + 5 ( log(1,04)
logM = 3,3979400009 + [5 ( (0,01703339)]
logM = 3,3979400009 + 0,085166697
logM = 3,483106706
antilogM = 103,483106706 
M = 3,041632262 
Montante ( M = 3.041,63. 
 
Por LN [ Logaritmos Neperianos.] 
Lembrando: que o sistema LN, a base é o número e ( e = 2,71828182845905 ), também chamado de Sistema de Logaritmos Naturais. O nome está ligado ao autor John Neper (1550 - 1617). Exemplo: LN 5 = 1,60943791. e1,60943791 = 5, isto é, = 2,7182818281,60943791 = 5.
M = (1 + i)n 
LNM = LN[ C(1 + i)n ]
LNM = LNC + n(LN(1+i)
LNM ( Antilogaritmo Natural M ( M ( eM ( 2,718281828M.
LNM = LN[ 2500(1 +0,04)5 ]
LNM = LN2500 + 5(LN(1,04)
LNM = 7,824046011 + [5((0,03922071)]
LNM = 7,824046011 + 0,196103566
LNM = 8.020149577 ( M
Antilogaritmo Natural M ( M ( eM ( 2,718281828 8.020149577. ( M = 3,041632253
Montante ( M = 3.041,63.
Utilizando [Log e LN ], outro exemplo (agora para encontrarmos o tempo: n): Durante quanto tempo um Capital de $ 400.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 3.5% a.m., para que produza um montante de 526.723,61?
	C = 400.000
	M = 526.723,61
	i = 3.5% = 0.035
	526723,61 = 400000 x (1,035)n 
		(1,035)n = 1,31680903 ( (526723,61/400000)
Tomando o logaritmo decimal de ambos os membros:
	Log(1,035)n = Log 1,31680903
	n x Log(1,035) = Log 1,31680903
Porém: Log(1,035) = 0,01494035 (na Calculadora HP: LogX = LNx / LN10) ( LN(1,035)/LN(10) = 0,01494035
	 Log(1,31680903) = 0,119522798
Então: 	n x 0,01494035 = 0,119522798
	 0,119522798
	n = ---------------- = 8 meses
		 0,01494035
Por LN [ Logaritmos neperianos.] 
 
 n = [ LN(FV/PV) / LN(1 + i) ]
n = [ LN(526.7236148/400.000) / LN(1.035) ]
n = [ LN(1.316809037) / LN(1,035) ]
n = [ 0.275211414 / 0.034401427 ]
n = 8 meses
Resolvendo com a ajuda de uma calculadora financeira:
	3,5
	.i
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	400000
	PV
	(
	n 
	=
	8 meses
	
	
	
	
	
	
	-526723.61
	FV
	
	
	
	
Resumo: Fórmulas Juros Compostos
Fórmula básica de Juros Compostos:
	 J = C[(1 + i)n - 1]
	Equação JC-1
Sabendo-se que M = C + J, a fórmula do Montante deduzida da fórmula básica de juros compostos é:
	 M = C(1 + i)n 
	Equação JC-2
Podemos deduzir outras equações a partir das equações dadas:
	 M
C = -------------
 C(1 + i)n 
	
Equação JC-3
	 Log( M/C)
.n = --------------
 Log(1 + i) 
	
Equação JC-4
	 .i = [(M/C)1/n] - 1 
	Equação JC-5
Utilizando-se de Tabelas Financeiras:
É fácil usar as tabelas financeiras. É só procurar o FC [Fator de Correção] desejado e multiplicar pelo capital inicial (PV) que encontrará o Montante (FV).
Exemplo: na tabela abaixo, (procure a tabela) com a taxa i = 5% [só apresentamos uma tabela com i = 5%; n = 1 a 9]. Em n = 5, na segunda coluna encontramos o fator = 1,27628156. [ aplicamos PV x FC ] 2000,00 x 1,27628156 = 2.552,563120 [M ou FV].
Experimentem fazer o seguinte cálculo: multiplique o FV = 2552,563120 encontrado, x o fator de PV [n = 5, 2ª coluna = 0,78352617 x 2552,563120 = 2.000,00 ].
�
	Tabelas Financeiras
	
	 
	(Taxa)
	 i = 5,0 %
	
	
	
	Profº Paulo Vieira Neto
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 1 . 
	
	 (1 + i ) n - 1
	 (1 + i ) n - 1 . 
	 i(1 + i )n . 
	
	i(1 + i ) n - 1
	n
	
	(1 + i ) n
	
	(1 + i ) n
	
	 i(1 + i ) n
	
	i
	
	(1 + i ) n - 1
	
	(1 + i ) n - 1
	1
	
	1,05000000
	
	0,95238095
	
	0,95238095
	
	1,00000000
	
	1,050000001,00000000
	2
	
	1,10250000
	
	0,90702948
	
	1,85941043
	
	2,05000000
	
	0,53780488
	
	0,51219512
	3
	
	1,15762500
	
	0,86383760
	
	2,72324803
	
	3,15250000
	
	0,36720856
	
	0,34972244
	4
	
	1,21550625
	
	0,82270247
	
	3,54595050
	
	4,31012500
	
	0,28201183
	
	0,26858270
	5
	
	1,27628156
	
	0,78352617
	
	4,32947667
	
	5,52563125
	
	0,23097480
	
	0,21997600
	6
	
	1,34009564
	
	0,74621540
	
	5,07569207
	
	6,80191281
	
	0,19701747
	
	0,18763568
	7
	
	1,40710042
	
	0,71068133
	
	5,78637340
	
	8,14200845
	
	0,17281982
	
	0,16459030
	8
	
	1,47745544
	
	0,67683936
	
	6,46321276
	
	9,54910888
	
	0,15472181
	
	0,14735411
	9
	
	1,55132822
	
	0,64460892
	
	7,10782168
	
	11,02656432
	
	0,14069008
	
	0,13399055
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Juros
	
	Valor Atual
	Amortização
	Capitalização
	Amortização
	Amortização
	
	
	Compostos
	PV - (Desconto
	 an¬i
	
	 Sn¬i
	
	
	
	1ª no ato
	
	
	M = PV + J
	Composto)
	PMT
	
	
	
	PMT
	
	PMT
IX. DESCONTO COMPOSTO
Valor atual (VA) de um título de valor nominal N, resgatável depois de um certo período n, à uma taxa i de juros compostos, é aquele que aplicado durante o período n, à taxa i, se transforma em N.
	Vamos utilizar a seguinte fórmula:
				 N		 	 1 1
N = VA (1 + i)n ( 	 VA = ------------ ou VA = N --------- ou ( 	PV = FV -----------
				(1 + i)n			 (1 + i)n	 (1 + i)n
 1
 PV = FV ---------------
 (1 + i)n	
Onde:
VA = Valor atual		ou	 PV = Valor Presente
N = Valor nominal	FV = Valor Futuro [Valor do título no vencimento]
n = Período
i = Taxa de juros compostos
DESCONTO COMPOSTO: O conceito de desconto composto é semelhante ao que vimos em desconto simples, a diferença é quanto ao regime de capitalização. 
Para obtermos o desconto composto de um título aplicado, aplicamos a fórmula desenvolvida, em epígrafe, onde iremos chamar de d o desconto obtido.
Desconto racional: É a diferença entre o valor nominal do título e seu valor na data de resgate.
	d = N - VA.
Ex: Um título de valor nominal igual a $ 4.000,00 é resgatado 3 meses antes do seu vencimento, segundo o critério de desconto racional composto. Sabendo que i = 4% a.m., qual o desconto?
N = 5000 (FV)	 1		 5000
n = 3m		 VA = ---------- ou VA = --------- VA = 4.444,98 d = 5000 - 4444,98 = 555,02 i = 4% a.m.		 (1 + i)n 	 (1,04)3
Desconto Comercial: Consiste na aplicação sucessiva do conceito de desconto comercial simples. (na prática o desconto comercial composto é raramente usado)
Seja N o valor nominal de um título, n o número de períodos de antecipação e i taxa de desconto.
Calcula-se o valor descontado comercial simples para o instante (n - 1); sobre este valor descontado aplica-se novamente o desconto comercial simples e obtem-se o valor descontado para o instante (n - 2) e assim sucessivamente.
a fórmula é Dc = N - V 	(	Dc = N - N(1 - i)n 
X. TAXAS EQUIVALENTES
O conceito de taxas equivalentes, em juros compostos. é semelhante ao estudado em juros simples.
Duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas a um mesmo capital, por um determinado período de tempo, produzem montantes iguais.
	 (1 + i1)n1 = (1 + i2)n2
Exemplo: Qual a taxa semestral equivalente à taxa de mensal de 5% a.m., no regime de juros compostos?
Vamos adotar como intervalo de tempo um semestre (6 meses ou 180 dias) e chamando de i1 a taxa procurada (um semestre):
i1 (taxa semestral) i2 = 5% a.m.
n1 =	 n2 = 6
	(1 + i1)1 = (1 +0.5)6
	i1 = (1,05)6 - 1
	i1 = 0,34009	( 	0,34009 x 100
	i1 = 34,01% a.s.
Podemos utilizar a seguinte tabela:
	a) De a.m. para a.a (	ia = [(1+im)12 -1] x 100
b) De a.d. para a.m. (	im = [(1+id)30 -1] x 100
c) De a.d. para a.a. (	ia = [(1+id)360 -1] x 100 
	d) De a.a. para a.m. (	im = [(1+ia)1/12 - 1] x 100
e) De a.m. para a.d. (	ia = [(1+im)1/30 - 1] x 100
f) De a.a para a.d. (	id = [(1+ia)1/360 - 1] x 100 
Para outras frações de ano, temos:
 (1+id)360 = (1+im)12 = (1+it)4 = (1+is)2 = 1+ia 
Para facilitar nosso entendimento, vamos fazer uso da seguinte fórmula:
 .iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 . 
Onde:
.iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) 
.it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho)
.q = Prazo final (Prazo que eu quero)
.t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho)
Exemplo 1:
Tenho a taxa [fornecida] de 34,4888824% a.a. (12 meses) e quero a taxa mensal [procurada] 1 mês.
Vamos aplicar a fórmula:
.iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) 	( iq - i? 
.it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho)	(	34,4888824%
.q = Prazo final (Prazo que eu quero)	( 1 mês
.t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho)	( 1 ano (12 meses)
A fórmula é a seguinte:
 iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 .
	Calculadora HP-12C	Calculado Científica
Transportando os dados para a fórmula:	34,4888824 Enter	34,4888824 
	100 ( 	( 100 + 1 =
im = [ (1 + 34,4888824/100)1/12 - 1] x 100	1 + 1,344888824 Res.	1,344888824 Res.
im = [ (1,344888824)0,08333333333 - 1] x 100	1 Enter	YX (1 ( 12) =
im = [ 1,025 - 1] x 100	12 ( 0,0833333 Res	1,025 Res.
im = 0,025 x 100	YX 1,025 Res.	- 1 = x 100 =
i = 2,5% a.m.	1 - 	2,5% Res.
	100 x 2,5% Res.
Ou
im = [ (1 + 34,4888824/100)30/360 - 1] x 100
im = [ (1,344888824)0,08333333333 - 1] x 100
im = [ 1,025 - 1] x 100
im = 0,025 x 100
i = 2,5% a.m.
Exemplo 2: Tenho a taxa [fornecida] de 34,4888824% a.a. (12 meses) e quero a taxa diária [procurada] 1 dia.
Vamos aplicar à fórmula:
.iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) 	( iq - i? 
.it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho)	(	34,4888824%
.q = Prazo final (Prazo que eu quero)	( 1 dia
.t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho)	( 1 ano (12 meses = 360 dias)
Utilizando a fórmula:
 iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 .
id = [ (1 + 34,4888824/100)1/360 - 1] x 100
id = [ (1,344888824)0,002777778 - 1] x 100
id = [ 1,000823426 - 1] x 100
id = 0,000823426 x 100
i = 0,0823426% a.d.
Exemplo 3: Tenho a taxa [fornecida] de 2,5% a.m. (1 mês). Calcular a taxa equivalente para 36 dias. [Taxa que eu quero [procurada] 36 dias.
Vamos aplicar à fórmula:
.iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) 	( iq - i? 
.it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho)	(	2,5%
.q = Prazo final (Prazo que eu quero)	( 36 dias
.t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho)	( 1 mês (30 dias)
Utilizando a fórmula:
 iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 .
i36d = [ (1 + 2,5/100)36/30 - 1] x 100
i36d = [ (1,025)1,2 - 1] x 100
i36d = [ 1,0300745 - 1] x 100
i36d = 0,0300745 x 100
i36d = 3,00745% a.p.
Exemplo 4: Tenho a taxa [fornecida] de 3,00745% para 36 dias (36 - período). Calcular a taxa equivalente ao mês 30 dias. [Taxa que eu quero [procurada] 30 dias.
Vamos aplicar à fórmula:
.iq = Taxa procurada (taxa que eu quero) 	( iq - i? 
.it = Taxa fornecida (taxa que eu tenho)	(	3,00745%
.q = Prazo final (Prazo que eu quero)	( 36 dias
.t = Prazo inicial (Prazo que eu tenho)	( 1 mês (30 dias)
Utilizando a fórmula:
 iq = [ (1 + it)q/t - 1] x 100 .
i36d = [ (1 + 3,00745/100)30/36 - 1] x 100
i36d = [ (1,0300745)0,8333333333 - 1] x 100
i36d = [ 1,025 - 1] x 100
i36d = 0,025 x 100
i36d = 2,5% a.m.
XI. TAXA EFETIVA: é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos decapitalização. Exemplo:
1% ao mês, capitalizados mensalmente; {[(1+ 0,01)12 - 1] x 100} ( 12,6825% a.a. 
3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente {[(1+ 0,03)4 - 1] x 100} ( 12,55% a.a.
10% ao ano, capitalizados semestralmente: {[(1+ (0,10/2))2 - 1] x 100} = {[(1+ 0,05)2 - 1] x 100} ( 10,25% a.a.
XII. SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS A JUROS COMPOSTOS
Até agora, analisamos problemas financeiros envolvendo capital ( C ou PV ), aplicado ou emprestado a uma determinada taxa de juros ( i ) simples ou composta. Ao final do período ( n ), gerava um determinado montante (M ou FV), isto é, o empréstimo ou aplicação era liquidado através de um único pagamento ou recebimento.
A partir deste momento, vamos estudar os casos financeiros que envolvam o empréstimo ou aplicação de um capital ( C ou PV ) que será liquidado em diversas ( n ) prestações iguais, com periodicidade constante e sucessivas, a uma determinada taxa de juros compostos.
O valor das prestações - (PMT, Payment - Pagamento) - iguais e consecutivas de uma série uniforme, vamos identificá-la por PMT.
Por ora, para tornar mais prático e objetivo, trataremos somente das séries uniformes com as seguintes características:
Séries uniformes finitas, isto é, com um número finito de pagamentos (PMT);
A periodicidade dos vencimentos serão constantes;
Utilizaremos nos cálculos os juros compostos, onde cada prestação igual é composta por uma parcela de juros e outra de capital amortizado;
Os vencimentos dos pagamentos ou recebimentos podem ocorrer no início [BGN] (termos antecipados) ou no final [END] (termos postecipados) de cada período.
Uma série uniforme é uma seqüência de pagamentos ou recebimentos iguais e efetuados a intervalos iguais. Os vencimentos dos termos de uma série uniforme podem ocorrer no final de cada período (termos postecipados) no início (termos antecipados), ou ao término de um período de carência (termos diferidos).
Fluxos de séries uniformes:
Postecipados
. 0 ( PMT ( PMT ( PMT ( PMT .
 1 2 3 ............ n 
Antecipados
. 0 ( PMT ( PMT ( PMT ( PMT ( PMT .
 1 2 3 4 ............ n - 1
Diferidas
. 0 ( PMT ( PMT ( PMT ( PMT .
 ( PV c c + 1 c + 2 ............ c + n 
Exemplo: As lojas ZYX vendeu e financiou um aparelho de som ao Sr. Luiz Carlos no valor de $ 1.200,00 para ser liquidado em 4 parcelas iguais, mensais e consecutivas, com o vencimento da primeira parcela um mês após a contratação do financiamento. A taxa de juros praticada - da financeira ligada às lojas ZXY - é de 5% a.m., no regime de juros compostos. Qual o valor das prestações a serem liquidadas.
O fluxo de caixa do Sr. Luiz Carlos:
 PV = 1200		 i = 5% a.m
(. T30 T60 T90 T120 .
T0 ( PMT		 ( PMT	 ( PMT		( PMT 
Com o uso de uma calculadora financeira:
PV = 1200
 n = 4
 i = 5		( PMT = ? .
Vamos ver como ficam os cálculos, sem os recursos das teclas financeiras das calculadoras!
Podemos considerar, cada PMT, com um montante (FV) a ser pagos em duas datas distintas, sendo (PV) igual à soma dos (PV's) de cada prestação.
FV = PV((1 + i)n 
 FV
PV = -------------
 (1 + i)n 
Vamos substituir os dados do exercício:
 PMT		 PMT	 PMT		PMT
1200 = --------------- + --------------- + --------------- + --------------- 
 (1 + 0,05)1 (1 + 0,05)2 (1 + 0,05)3 (1 + 0,05)4 
 1		 1	 	 1		 1
1200 = PMT ( --------------- + --------------- + --------------- + --------------- 
 (1 + 0,05)1 (1 + 0,05)2 (1 + 0,05)3 (1 + 0,05)4
1200 = PMT ( [ 0,9523810 + 0,9070295 + 0,8638376 + 0,8227025 ] ( 1200 = PMT ( (3,545950505)
 1200
PMT = --------------------- = 338,41	 ( PMT = 338,41 .
 3,545950505
Na HP12-C	[ Não esqueça de teclar g END, para indicar à calculadora que o cálculo a ser efetuado é postecipado ]
1000 	PV
n
5	i
PMT ?		(	PMT = -338,41
Com base na expressão:
 PMT		 PMT	 PMT	 PMT
PV = ------------ + ------------ + ------------ + ....... + ------------ 
 (1 + i )1 (1 + i )2 (1 + i )3 (1 + i )n 
						 . 1 .
Podemos observar que se trata de uma PG de razão (1 + i )
Deduzindo da fórmula, nos leva a:
 (1 + i )n ( i
PMT = PV ( [ ----------------------- ]
 (1 + i )n - 1
Solução
 (1 + 0,05 )4 ( 0,05
PMT = 1200 ( [---------------------------]		( PMT = 1200 ( 0,28201183 ( PMT = 338,41 . 
 (1 + 0,05 )4 - 1
1). Prestações iguais - TERMOS POSTECIPADOS:
1.1) Dado PV - calcular PMT [Taxa e número de parcelas iguais]
. 0 ( PMT ( PMT ( PMT ( PMT .
 ( PV 1 2 3 ............ n 
Fórmula:
 (1 + i )n ( i
PMT = PV ( [ ----------------------- ]
 (1 + i )n - 1
Uma geladeira está anunciada na loja ZYX por $ 600,00 para pagamento a vista ou em 6 parcelas iguais, mensais e consecutivas, sendo que a primeira parcela será paga um mês após a compra (termos postecipados).
A taxa de juros cobrada é de 8% a.m. Calcule o valor das prestações [Regime de juros compostos].
	Fluxo caixa da financeira da Loja ZYX
. 0 ( PMT? ( PMT? ( PMT? ( PMT? ( PMT? ( PMT? .
 ( PV= 600 1 2 3 4 5 6
 		 i = 8% a.m.
Solução
 (1 + i )n ( i
PMT = PV ( [ --------------------- ]
 (1 + i )n - 1
Solução
 (1 + 0,08 )6 ( 0,08
PMT = 600 ( [---------------------------]		( PMT = 600 ( 0,216315386 ( PMT = 129,79 . 
 ( 1 + 0,08 )6 - 1
1.2) Dado PMT - Calcular PV:
Dado PMT- calcular PV [Dado o número de prestações, valor de cada prestação e a taxa de juros, calcular o PV financiado]
. 0 ( PMT ( PMT ( PMT ( PMT .
 ( PV 1 2 3 ............ n 
Fórmula:
 (1 + i )n - 1
PV = PMT ( [-----------------------]
 (1 + i )n ( i 
Exemplo: Calcular o valor a vista de um financiamento para pagamento em 05 prestações, mensais, iguais e consecutivas de $ 5000 (a primeira paga 30 dias após a contratação). A taxa de juros é de 6% a.m., no regime de juros compostos.
. 0 ( PMT=5000 ( PMT= 5000 ( PMT= 5000 ( PMT= 5000 ( PMT= 5000 .
 ( PV= ? 1 2 3 4 5
 i = 6% a.m.
Solução:
 (1 + i )n - 1	 (1+0,06)5 - 1
PV = PMT ( [------------------]	PV = 5000 ( [---------------------]	( PV = 5000 x 4,21236379 ( .PV = 21.061,82 .
 (1 + i )n ( i 	 (1+0,06)5 ( 0,06
1.3) Dado PMT - Calcular FV:
Dado PMT- calcular FV [ Dado o número de prestações, valor de cada prestação e a taxa de juros, calcular o valor do montante acumulado FV]
. 0 ( PMT ( PMT ( PMT ( PMT .
 1 2 3 ........... n ( FV = ?
Fórmula:
 ( 1 + i )n - 1
FV = PMT ( [ --------------------- ]
 i 
Dado PMT - Calcular FV: [ Dado o número de prestações, valor de cada prestação e a taxa de juros, calcular o valor do montante acumulado FV]
Fórmula:
 ( 1 + i )n - 1
FV = PMT ( [ --------------------- ]
 i 
3. Dona Ana quer trocar geladeira daqui a 4 meses. O preço da geladeira, a vista é, $ 862.03. O Gerente da loja garantiu a Dona Ana que o preço se manterá inalterado nos próximos 6 meses. A Dona Ana conseguiu encontrou uma instituição financeira que paga 5% a.m. caso ela faça 4 aplicações, mensais, consecutivas no valor de $ 200,00 por mês. Quanto a Dona Ana terá no final do período acordado, isto é, 4 meses.
Solução:
Vamos ajudar a Dona Ana efetuar os cálculos para ver se ela consegue comprar sua geladeira no final daqui a 4 meses.
Solução: Calculadora HP-12C
PMT = 200,00 \ 200 CHS PMT
.i = 5% a.m. > 5 i
.n = 4 m. / 4 n
 [tecle] FV 862,03
	.n
	PMT
	
	
	
	FV
	1
	200,00
	
	
	
	200,00
	2
	200,00
	200 x 1,05 = 210,00
	
	
	410,00
	3
	200,00
	200 x 1,05 = 210,00
	210,00 x 1,05 = 220,50
	
	630,50
	4
	200,00
	200 x 1,05 = 210,00
	210,00 x 1,05 = 220,50
	220,50 x 1,05 = 231,53
	862,03
	
	
	
	
	
	
	Total
	200,00
	210,00
	220,50
	231,53
	862,03
Dá muito trabalho fazer uma tabela semelhante a esta, não é mesmo? - Vamos utilizar a seguinte fórmula:
 ( 1 + i )n - 1		 (1 + 0,05)4 - 1 (1,05)4 - 1
FV = PMT ( [ ------------------ ] ( FV = 200 ( [----------------------] ( FV = 200 ( [-----------------] 
 i 	 (5/100) 0,05
 1,21550625 - 1 0, 21550625
FV = PMT ( [-----------------------] ( FV = 200 ( [--------------------] ( FV = 200 ( 4,310125 ( FV = 862,03
 0,05 0,05
2º Exemplo: Calcular o valor de resgate, referente a aplicação de 5 parcelas mensais, iguais e consecutivas de $ 4000, a uma taxa de juros é de 8% a.m., no regime de juros compostos. [Dentro do conceito de termos postecipados].
 0 1 2 3 4 5( FV = ? .
 ( PMT= 4000 ( PMT= 4000 ( PMT= 4000 ( PMT= 4000 ( PMT= 4000 
 i = 6% a.m.
Solução:
 ( 1 + i )n - 1		 (1 + 0,08)5 - 1
FV = PMT ( [-------------------- ] ( FV = 4000 ( [---------------------] ( FV = 4000 ( 5,86660096 ( .FV = 23.466,40 .
 i 				 0,08
HP12-C
PMT = 4000
 n = 5 ( termos postecipados )
 i = 8% ao mês
 FV = ? (	 FV = 23.466,40 .
1.4) Dado FV - Calcular PMT: Dado FV- calcular PMT [ Dado o valor Do montante acumulado, número de prestações e a taxa de juros, calcular o valor das prestações PMT]
. 0 ( PMT ( PMT ( PMT ( PMT .
 1 2 3 ........... n 	 ( FV = ?
Fórmula:
 i
PMT = FV ( [ --------------------- ]
 (1 + i )n - 1 
Exemplo: Quanto devo aplicar por mês, a uma taxa de juros compostos de 4% a.m. para resgatar daqui a 5 meses a quantia de $ 5000? [ considerar uma série uniforme com termos postecipados].
 0 1 2 3 4 5 ( FV = 5000 .
 ( PMT? ( PMT? ( PMT? ( PMT? ( PMT? 
 i = 4% a.m.
Solução:
 .i		 0,04
PMT = FV ( [-------------------] ( PMT = 5000 ( [------------------] ( PMT = 5000 ( [ 0,18462711 ] ( .PMT = 923,14 .
 (1 + i )n - 1 	 (1+ 0,04)5 - 1
HP12-C
FV = 5000
 n = 5 ( termos postecipados )
 i = 4% ao mês
PMT = ? (	 PMT = -923,14 .
2.Prestações iguais TERMOS ANTECIPADOS: (A primeira prestação paga ou recebida no ato da contratação)
2.1. Dado PV - calcular PMT [Taxa e número de parcelas iguais, uma paga no ato da compra], encontrar o valor das prestações.
. 0( PMT ? ( PMT ? ( PMT ? ( PMT ? ( PMT ? .
 ( PV 1 2 3 ............ n 
Vamos utilizar a seguinte fórmula para encontrarmos o valor das prestações. [Lembrando, uma paga no ato]:
Fórmula:
 (1 + i )n ( i 1
PMT = PV ( [ ---------------------- ] ( ----------- 
 (1 + i )n - 1 (1 + i )
Exemplo:
Uma motocicleta está anunciada por $ 6.000,00 para pagamento a vista, ou financiada em 5 prestações iguais, mensais e sucessivas, sendo que a primeira prestação deverá ser paga no ato da compra (termos antecipados).
Calcule o valor das prestações, sabendo-se que a taxa de juros compostos praticada pela financeira foi de 10% a.m.
. 0( PMT ( PMT ( PMT ( PMT ( PMT .
 ( 1 2 3 4 
 PV = 6000 i = 10% a.m.
 (1 + i )n ( i 1
PMT = PV ( [ ---------------------- ] ( ------------ 
 (1 + i )n - 1 (1 + i )
Solução Utilizando a fórmula
 (1 + 0,10 )5 ( 0,10 1 (1,10 )5 ( 0,10 1
PMT = 6000 ( [ ------------------------- ] ( -------------- ( 6000 ( [ -------------------- ] ( ----------
 (1 + 0,10)5 - 1 (1 + 0,10) (1,10)5 - 1 (1,10)
 0,161051
PMT = 6000 ([ -------------- ] ( 0,90909091 ( 6000 ([0,26379748] ( 0,90909091 ( 6000([0,23981589] = 1.438,90
 0,61051
Utilizando a calculadora HP 12-C
	TECLE
	VISOR
	SIGNIFICADO
	.f CLX
	 0,00
	Limpa todos os registradores
	.g BEG [ g7 ]
	 0,00 BEGIN
	Coloca no modo "BEGIN"
	6000CHS PV
	 -6000,00 BEGIN
	Entra com o valor do principal
	10 i
	 10,00 BEGIN
	Entra com a taxa de juros mensal
	5 n
	 5,00 BEGIN
	Entra com o prazo
	PMT
	 1.438,90 BEGIN
	Calcula o valor das prestações
2.2. Dado PMT - calcular PV [Taxa e número de parcelas iguais, uma paga no ato da compra], encontrar o valor das prestações.
Vamos utilizar a seguinte fórmula para encontrarmos o valor das prestações. [Lembrando, uma paga no ato]:
Fórmula:
 
 (1 + i)n - 1 
PV = PMT ( [ ---------------------- ] ( (1 + i ) 
 (1 + i )n ( i 
O Sr. Zé Roberto deseja comprar uma Motocicleta que custa $ 6.000,00. A Financeira PagaBem – somente para o Sr. Ze Roberto – garantiu remunerar ao Sr. Zé, nos próximos 5 meses, caso ele efetue depósito, mensais, iguais [sem interrupção], uma remuneração de 10% a.m. Quais as parcelas mensais que o Sr. Ze Roberto deverá aplicar para que ele tenha $ 6.000,00 daqui a 5 meses. 
PS: Um país sem inflação.
Vamos fazer uso da Fórmula:
 
 (1 + i)n - 1 
PV = PMT ( [ ---------------------- ] ( (1 + i ) 
 (1 + i )n ( i 
Solução
 (1 + 0,10)5 - 1 (1,10)5 - 1
PV = 1438,90 ( [ ------------------------- ] ( (1 + 0,10) ( 1438.89535 ( [ ------------------ ] ( (1 + 0,10) 
 (1 + 0,10 )5 ( 0,10 (1,10 )5 ( 0,10 
 0,61051
PV = 1438,90 ([-------------] ( (1,1) ( 1438,90 ({[3,790786769] ( (1,1)} ( 1438.89535 ( { 4,169865446 } = 6.000,00
 0,161051
	TECLE
	VISOR
	SIGNIFICADO
	.f CLX
	 0,00
	Limpa todos os registradores
	.g BEG [ g7 ]
	 0,00 BEGIN
	Coloca no modo "BEGIN"
	1438.89535 CHS PMT
	 -1438.89535 BEGIN
	Entra com o valor da parcela
	10 i
	 10,00 BEGIN
	Entra com a taxa de juros mensal
	5 n
	 5,00 BEGIN
	Entra com o número de parcelas
	PV
	 6.000,00 BEGIN
	Calcula o valor Presente
XIII. EMPRÉSTIMOS
Um empréstimo ou financiamento pode ser feito a curto, médio ou longo prazo.
Dizemos que um empréstimo é a curto ou médio prazo quando o prazo total não ultrapassa 1 ano ou 3 anos, respectivamente.
Nesses financiamento é usual a cobrança de juro simples, há 3 modalidades quanto à forma de o devedor ou mutuário resgatar sua dívida
. Pagando os juros e o principal no vencimento;
. Pagando os juros antecipadamente, na data em que contrai a dívida, e restituindo o principal no vencimento. Regra geral, essa é a modalidade usada pelos bancos;
. Pagando os juros e o principal por meio de prestações. É a melhor modalidade, porém pouco usada�.
Nota: 
. A técnica usada nos cálculos relativos aos financiamentos a curto prazo ou médio prazo é à idêntica aos descontos.
Nos financiamentos a longo prazo o devedor ou mutuário tem também três modalidades para resgatar a dívida:
 . Pagando no vencimento o capital e os juros;
 . pagando periodicamente os juros e no vencimento o capital;
 . pagando periodicamente os juros e uma quota de amortização do capital.
SAC - Sistema de Amortização Constante (SAC):
O Sistema de Amortização Constante, também chamado Sistema Hamburguês, foi introduzido em nosso meio, a partir de 1971, pelo SFH - Sistema Financeiro de Habitação.
Neste sistema, o mutuário paga a dívida em prestação periódicas e imediatas, que englobam juros e amortizações. Sua diferença é que, a amortização é constante em todos os períodos.
Como os juros são cobrados sobre o saldo devedor e a amortização é constante, as prestações são constantes. (ARNOT, 2001:164-5)
Sistema francês (SF):
Por este sistema, o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestações iguais entre si e periódicas.
Sistema Price:
Este sistema também é conhecido como "tabela price", é um caso particular do sistema francês, com as seguintes características:
 1º) A taxa de juros contratada é dada em termos nominais. Na prática, esta taxa é dada em termos anuais;
 2º) As prestações têm período menor que aquele a que se refere a taxa. Em geral, as amortizações são feitas em base mensal;
 3º) No cálculo é utilizada a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal.
Sistema francês de amortização.
O sistema francês de amortização é conhecido também como sistema price, pois foi inventado por Richard Price, matemático e pensador inglês que viveu entre 1723 e 1791. 
Este sistema leva o nome de sistema francês de amortização por ter sido adotado na França a partir do século XIX.
No sistema francês, as prestações são constantes e, partindo delas, podemos preencher as demais colunas da tabela�.
Richard Price, dedicou-se ao estudo da Filosofia, Teologia e Matemática. Foi ensaísta e pensador polêmico, escrevendo sobre assuntos tão variados como moral, filosofia, política e finanças. Em 1771 publicou Observations on revertionary payments (observações sobre pagamentos com direito a devolução), obra que lança os fundamentos científicos dos estudos naturais, revolucionando a concepção das seguradoras inglesas. Sua influência não se restringe apenas à Inglaterra ou ao campo das finanças�. 
Exercício: 
Uma empresa contrai um empréstimo de $ 500.000,00 a 12% a.a. para ser pago em cinco anos. Construa a planilha.
Consultando uma tabela para se encontrar o fator de amortização:
an¬i = expressão que representa o fator de valor atual de uma série de pagamentos. 
a5¬12 = 3.604776202 ( PV ( a5¬12 ( 500000 ( 3.604776202 = 138.704,87 = PMT,
o valor da prestação, PMT = 138.704,87.
Para encontrar o fator de amortização pela calculadora HP12-C, vamos proceder da seguinte forma:
5 n \ 
12 i \ Para cada uma unidade monetária ($) de PaYmenT [Pagamento, prestação] qual o
1 CHS PMT / valor de PV?
PV = 3.604776202 /
Para calcular o valor da prestação [direto ] pela calculadora HP12-C:
5 n
12 i
500000 CHS PV
PMT? ( 138.704,87
Ou ainda, pode-se utilizar a fórmula abaixo:
 (1 + i )n ( i (1 + 0,12)5 ( 0,12 0,211481002
PMT = PV ( [-------------------] ( PMT = 500000 ( [-----------------------] ( PMT = 500000 ( [ ----------------- ]
 (1 + i )n - 1 (1 + 0,12)5 - 1 0,762341683
PMT = 500000 ( 0,277409732 = 138.704,87
Veja como fica a planilha.
Analisando o 1º ano. 
1º) O Saldo Devedor ao final do 1º era de saldo anterior ( - ) menos a amortização:
500.000,00 - 78.704.87 = 421.295,13; A dívida após o pagamento da 1ª Prestação. [PMT = amortização + Juros]
2º) Amortização ao final do 1º era de Prestação ( - ) menos os Juros [500.000 x 0,12 = 60.000], logo a amortização foi PMT - Jr [ 138.704,87 - 60.000 = 78.70487 ].
Acabou o segredo, é só repetir o procedimento para os demais anos. No 2º ano, SD = 421295,13 x 0,12 = 50.555,42, valor do juro; descontamos uma parcela da prestação [138704,87 - 50552,42 = 88.149,45], o valor da amortização igual a 88.149,45. [descontamos do principal, isto é, saldo devedor. SD = 421195,13 - 88.149,45 = 333.145,68]. Continua assim até zerar o saldo devedor, como está demonstrado abaixo.
Construindo a planilha
	Ano
	Saldo Devedor (Sda)
	Amortização - (Aa)
	Juros - (Ja = iSdk-1)
	Prestação 
	(a)
	(Saldo anterior - Amortiz.)
	PMT - Juros 
	
	(Aa) + (Ja)
	0
	500.000,00
	0,00..
	-
	-
	1
	500000-78704,87 =