CAP2 Serway

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1 
CAPÍTULO 2 
Movimento em Uma Dimensão 
EXERCÍCIOS 
Sala: 2; 7; 13; 14; 25; 35. 
Casa: 3; 9; 12; 16; 17; 19; 21; 29; 34; 36; 37. 
Posição e Deslocamento 
Posições de um carro numa estrada reta, em seis 
instantes: 
OBS: dizemos que o 
carro é uma partícula 
quando ele é pequeno 
comparado às distân-
cias envolvidas 
2 
O movimento do carro também pode ser represen-
tado num gráfico x - t: 
if -xxΔx ≡ (deslocamento) 
O Deslocamento (Δx) é a variação na posição da 
partícula: 
Pode ser positivo, negativo ou nulo. Exemplos: 
md 12710522 =−+=
mΔx 223052 =−=
(entre 0 e 50 segundos) 
(entre 0 e 10 segundos) 
Usamos um ponto sobre um eixo orientado para 
representar o movimento retilíneo de uma partícula: 
A distância percorrida (d) pela partícula é sempre 
positiva (ou nula): é o comprimento da trajetória 
descrita pela partícula. Exemplo: 
•
mΔx 833053 −=−−= (entre 0 e 50 segundos) 
3 
ü  Exercício 1: São dados três pares de posições 
iniciais e finais, respectivamente, ao longo de um 
eixo x. Que pares fornecem um deslocamento 
negativo: 
a) -3 m, +5 m; 
c)  7 m, -3 m? 
b)  -3 m, -7 m; 
2.1 Velocidade Média e Velocidade 
Escalar Média 
if
if
x tt
xx
t
xv
−
−
=
Δ
Δ
≡
Unidades no SI: 
[ ] [ ] smvvx ==
Velocidade escalar média, ou rapidez; 
Obs: 
Velocidade média; 
t
d
t
rridatotal pecodistância v
Δ
=
Δ
≡
(em m/s) 
(em m/s) 
1.  vx pode ser positiva, negativa ou nula; 
2.  v é sempre positiva ou nula. 
4 
Num gráfico x-t, a velocidade média entre dois 
pontos é o coeficiente angular da reta que passa 
por esses pontos. 
Significado geométrico da velocidade média num 
gráfico x – t: 
(um tatu em movimento) 
(velocidade média do tatu 
entre 1 e 4 segundos) t
xvx Δ
Δ
=
14
)4(2
−
−−
= sm /2=
s
m
3
6
=
m
x
6
)4(2
=
−−=Δ
sΔt 314 =−=
t
xangularecoeficient
Δ
Δ
= 
2.4 Velocidade Instantânea e 
Velocidade Escalar 
θtg
dt
dx
t
xtv
t
x ==Δ
Δ
≡
→Δ
lim
0
)(
dx
dt
θ
A velocidade instantânea, vx(t), é o coeficiente 
angular da curva x(t), no instante t 
(em m/s) 
Velocidade instantânea (vx) 
É a velocidade da partícula num instante t. É a velo-
cidade média da partícula calculada num intervalo 
infinitesimal de tempo, dt, centrado no tempo t: 
5 
(em m/s) 
Obs: 
O velocímetro de um automóvel mede v(t), pois não 
informa a direção e o sentido de vx(t). 
Sinal da velocidade: 
Velocidade escalar (ou rapidêz) ( v ) 
É o módulo da velocidade instantânea: 
)()( tvtv x= dt
dx
= θtg=
2.4 Aceleração 
if
if
x tt
vv
Δt
Δva
−
−
=≡
dt
dv
t
va
t
x =Δ
Δ
≡
→Δ
lim
0
Unidades: 
Aceleração média ( ax ); 
Expressa a rapidez com que a velocidade da partí-
cula varia, num intervalo de tempo: 
Aceleração instantânea (a); 
Expressa a rapidez com que a velocidade da partí-
cula está variando, num certo instante: 
Obs: 
mov. acelerado 
mov. desacelerado 
sinal de v = sinal de a 
sinal de v ≠ sinal de a 
[ ] [ ]
[ ]t
vax =
2/ sm=
6 
Num gráfico v–t, a aceleração média entre dois 
pontos é o coeficiente angular da reta que passa 
por esses pontos. 
Significado geométrico da aceleração: 
Num gráfico v–t, a aceleração instantânea, no 
instante t, é o coeficiente angular da curva no 
tempo t. 
vΔ
tΔ
θ
θtg
t
vax =Δ
Δ
=
θ
θtg
dt
dvax ==
ü  Exercício 2: Um marsupial australiano se 
desloca ao longo de um eixo x. Qual o sinal da sua 
aceleração se ele estiver se deslocando; 
a) no sentido positivo com o módulo da velocida-
de crescente? 
b)  no sentido positivo com o módulo da velocida-
de decrescente? 
c)  no sentido negativo com o módulo da veloci-
dade crescente? 
d)  no sentido negativo com o módulo da veloci-
dade decrescente? 
7 
Obs: 
2.6 Movimento com Aceleração 
Constante 
Seja uma partícula que move-se no eixo x com 
velocidade vi no instante ti = 0 e com aceleração 
constante: 
MRUV 
2
2
1 attvx i +=Δ
xavv if Δ+= 2
22
atvv if +=
1.  Há apenas duas equações independentes: as duas últimas 
são obtidas eliminando-se a ou t nas duas primeiras; 
2.  Como há 5 variáveis, um problema deve dar 3 parâmetros 
para que os outros 2 possam ser calculados. 
•
iv
ix
Nesse caso, podemos mostrar que x, v, t e a estão 
relacionados pelas as equações: 
)tan( teconsa =
)te; tcons(a i 0tan ==
tvvx fi Δ+=Δ )(2
1
Gráficos x(t), v(t) e a(t): 
(variável) 
(constante) 
2
2
1 attvxx iif ++=
atvv if +=
teconsa tan=
)(tv
dt
dxlarcoef. angu ==
)(ta
dt
dvlarcoef. angu ==
0==
dt
dalarcoef. angu
8 
Áreas sob os gráficos v(t) e a(t): 
ft
ft
ft
A
B
fv
fx
t
vaa
Δ
Δ
==
Aattav f ==Δ=Δ
Avv f += 0
t
xv
Δ
Δ
=
Btvvx f =Δ+=Δ )(2
1
0
Bxx f += 0
A área sob a curva a(t) no intervalo de tempo Δt 
é igual à variação na velocidade da partícula 
nesse intervalo de tempo: 
Generalizando: 
O resultado anterior vale mesmo quando a acelera-
ção não é constante: 
Aáreav =Δ
A área sob a curva v(t) no intervalo de tempo Δt 
é igual ao deslocamento da partícula nesse 
intervalo de tempo: 
Báreax =Δ
9 
A quais destas situações se aplicam as equações 
abaixo? 
ü Exercício 5: As seguintes equações fornecem a 
posição x(t) de uma partícula em quatro situações: 
43 )1( −= tx
645 )2( 23 ++−= ttx
ttx 41 )3( 2 −=
35 )4( 2 −= tx
MRUV 
2
2
1 attvx i +=Δ
xavv if Δ+= 2
22
atvv if += )tan( teconsa =
tvvx fi Δ+=Δ )(2
1
2.7 Corpos em Queda Livre 
Todos os corpos abandonados em queda livre, 
próximo à superfície da Terra, no vácuo, caem com 
aceleração constante, g: 
289 m/s,g =
A 450 de latitude, no nível do mar, constatamos que: 
10 
Sinal de g: 
1) g é sempre positivo. O sinal da aceleração da 
queda livre depende da orientação do eixo y: 
Equações para a queda livre: 
Quando usamos um eixo y orientado para cima para 
descrever a queda livre de uma partícula, obtemos: 
iy
fy
2
2
1 gttvy i −=Δ
ygvv if Δ−= 2
22
gtvv if −=
289 m/s,ga −=−=
v
iv
eixo + para cima 
eixo + para baixo 289 m/s,ga ==
289 m/s,ga −=−=
O sinal da aceleração da queda livre só depende 
da orientação do eixo y. Não depende de o corpo 
estar subindo, descendo ou momentaneamente 
parado: 
Na subida: 
ga −=
A velocidade 
diminui (torna-se 
menos positiva) 
Na descida: 
ga −=
A velocidade 
diminui (torna-se 
mais negativa) 
)( ga −=
11 
2. Um motorista dirige para o norte por 35,0 min a 
85,0 km/h e então pára por 15,0 min. Em seguida 
continua para o norte, viajando a 130 km/h por 2,00 
h. (a) Qual é seu deslocamento total? (b) Qual é sua 
velocidade média? [R: (a) 310 km; (b) 109 km/h] 
EXERCÍCIOS 
Sala: 2; 7; 13; 14; 25; 35. 
Casa: 3; 9; 12; 16; 17; 19; 21; 29; 34; 36; 37. 
7. Um gráfico posição-tempo para uma partícula em 
movimento ao longo do eixo xé mostrado na figura. 
(a) Encontre a velocidade média no intervalo de 
tempo de t=1,5 s a t=4,0 s. (b) Determine a 
velocidade instantânea em t=2,0 s medindo a 
inclinação da linha tangente mostrada no gráfico, 
(c) Em qual valor de t a velocidade se anula? {R: 
(a) 2,4 m/s; (b) -4,0 m/s; (c) em t ≈ 4 s} 
12 
13. A figura mostra um gráfico de vx versus t para o 
movimento de um motociclista desde quando ele 
parte do repouso e se desloca ao longo da estrada 
em uma linha reta. (a) Encontre a aceleração média 
para o intervalo de tempo de t0 = 0 a t = 6,0 s. (b) 
Estime o instante no qual a aceleração tem seu valor 
positivo máximo e o valor da aceleração nesse 
instante. (c) Quando é nula a aceleração? (d) Estime 
o valor negativo máximo da aceleração e o instante 
no qual ela ocorre. {R: (a) 1,3 m/s2; (b) em t ≈ 3 s, 
com ax ≈ 2m/s2; (c) 6 s; (d) em t ≈ 8 s, a ≈ -2 m/s2} 
14. Um corpo está em movimento ao longo do eixo 
x de acordo com a equação x(t) = (3,00t2 - 2,00t + 
3,00) m. Determine: 
(c) a aceleração média entre t = 2,00 s e t = 3,00 s; 
(b) a velocidade escalar instantânea em t = 2,00 s e 
em t = 3,00 s; 
(a) a velocidade escalar média entre t = 2,00 s e t = 
3,00 s; 
(d) a aceleração instantânea em t = 2,00 s e em t = 
3,00 s. 
13 
25. Um avião a jato aterrissa a uma velocidade 
escalar de 100 m/s e pode acelerar à taxa máxima de 
-5,00 m/s2 até parar, (a) Qual é o tempo mínimo 
necessário para ele parar desde o instante em que 
toca o solo? (b) Pode esse avião pousar no 
aeroporto de uma pequena ilha tropical se a pista 
tem o comprimento de 0,800 km? 
35. Um estudante lança verticalmente para cima um 
molho de chaves para sua colega que está em uma 
janela 4,00 m acima. As chaves são agarradas 1,50 s 
depois pela mão esticada da colega, (a) As chaves 
foram lançadas com qual velocidade inicial? (b) 
Qual era a velocidade das chaves logo antes de 
serem agarradas? 
14 
Fim