Cinemática Vetorial: Posição, Deslocamento e Velocidade

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Prof.ª. Tarsila Tenório RECIFE, 2020-2
GRADUAÇÃO
ENGENHARIA MECÂNICA
DISCIPLINA :
FÍSICA TEÓRICA EXPERIMENTAL I
CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO RECIFE
FÍSICA MECÂNICA
MOVIMENTO DOS CORPOS
∆x = x2 – x1 
∆x = 35 – 15 
∆x = 20
V = 𝑣𝑥 2 + (𝑣𝑦)²
V = vx i + vy j = 100i + 0,8j
V = (x, y) = (100;0,8) 
V = 𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2 + (𝑣𝑧)²
V = vx i + vy j + vz k
V = v(x)i + v(y) j + v(z) k
Unidade I: Cinemática Vetorial 
Aula 1
•Sistemas de coordenadas, vetor posição e vetor 
deslocamento
•Velocidade média e instantânea
•Aceleração média e instantânea 
Cinemática Vetorial
• Estudo dos movimentos dos corpos ou partículas.
• Vetorial – direção e sentido.
• Direção – Horizontal, vertical (x,y).
• Sentido – Direita, Esquerda (+, -).
Movimento Unidimensional
•Considerações:
1) Ao longo de uma linha reta, com trajetória vertical, 
horizontal ou inclinada, mas deve ser retilínea;
2) As forças não serão discutidas (apenas a partir da 
Unidade 2);
3) O objeto em movimento é uma partícula.
Posição e Deslocamento
Deslocamento : ∆x = xf – xi
Deslocamento – Grandeza Vetorial
1) Módulo: é a distância (ex.: número 
de metros) entre a posição inicial e 
final.
2) Orientação: de um posição inicial 
para uma posição final, pode ser 
representada por um sinal positivo 
ou negativo.
Teste 1
• Considere três pares de posições iniciais e finais, respectivamente, ao
longo do eixo x. A que pares correspondem deslocamentos
negativos?
a) xi=-3m, xf=+5m.
b) xi=-3m, xf=-7m.
c) xi=+7m, xf=-3m.
Teste 1
• Considere três pares de posições iniciais e finais, respectivamente, ao
longo do eixo x. A que pares correspondem deslocamentos
negativos?
a) xi=-3m, xf=+5m
∆x= xf – xi = 5 – (-3) = 5+3 = 8m
Deslocamento positivo.
Teste 1
• Considere três pares de posições iniciais e finais, respectivamente, ao
longo do eixo x. A que pares correspondem deslocamentos
negativos?
b) xi=-3m, xf=-7m
∆x= xf – xi = -7 – (-3) = -7+3 = -4m
Sim, o deslocamento do par é negativo.
Teste 1
• Considere três pares de posições iniciais e finais, respectivamente, ao
longo do eixo x. A que pares correspondem deslocamentos
negativos?
b) xi=+7m, xf=-3m
∆x= xf – xi = -3 – 7 = - 10m
Sim, os pares tem deslocamento negativo. 
GRÁFICO POSIÇÃO X TEMPO
GRÁFICO POSIÇÃO X TEMPO
Velocidade Média
Vméd = 6/3 = 2 m/s
(tatu subindo)
∆x = -4 – (2) = - 6 m (tatu 
descendo)
Vméd = -6/3 = 2 m/s
(tatu descendo)
Velocidade Média
•𝑉𝑚𝑒𝑑= 
Δ𝑥
Δ𝑡
=
𝑥𝑓− 𝑥𝑖
𝑡𝑓−𝑡𝑖
•SI = m/s
• 𝑉𝑚𝑒𝑑 (positiva) = reta está 
inclinada para cima da esquerda 
para a direita;
• 𝑉𝑚𝑒𝑑 (negativa) = reta está 
inclinada para baixo da esquerda 
para a direita;
Velocidade escalar média
•𝑉𝑒𝑠𝑐= 
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∆𝑡
•É uma forma diferente de descrever “com que 
rapidez” uma partícula está se movendo.
•Não possui direção e sentido, logo não possui 
um sinal algébrico.
Velocidade escalar média x Velocidade média
•Enquanto a velocidade média envolve o
deslocamento da partícula (ou variação), ∆x, a
velocidade escalar média é definida em termos
de distância total percorrida (o número de
metros percorridos, por exemplo),
independentemente da direção.
Exemplo
• Um automóvel parte do km 12 de 
uma rodovia e deslocasse sempre 
no mesmo sentido até o km 90. Aí 
chegando, retorna pela mesma 
rodovia até o km 20.
• Calcule, para esse automóvel, a 
variação de espaço (Δx) e a 
distância percorrida (d):
• a) na ida;
• b) na volta; 
• c) na ida e na volta juntas.
Exemplo – resposta letra a
• Um automóvel parte do km 12 
de uma rodovia e deslocasse 
sempre no mesmo sentido até o 
km 90. Aí chegando, retorna 
pela mesma rodovia até o km 
20.
• Calcule, para esse automóvel, a 
variação de espaço (Δx) e a 
distância percorrida (d):
• a) na ida;
a) Δx = xf – xi = 90 – 12 = 78 km 
d = 90 – 12 = 78 km 
Exemplo – resposta letra b
• Um automóvel parte do km 12 
de uma rodovia e deslocasse 
sempre no mesmo sentido até o 
km 90. Aí chegando, retorna 
pela mesma rodovia até o km 
20.
• Calcule, para esse automóvel, a 
variação de espaço (Δx) e a 
distância percorrida (d):
• b) na volta;
b) Δx = xf- xi= 20 – 90 = -70 km 
d = 90 – 20 = 70 km 
Exemplo – resposta letra c
• Um automóvel parte do km 12 de 
uma rodovia e deslocasse sempre 
no mesmo sentido até o km 90. Aí 
chegando, retorna pela mesma 
rodovia até o km 20.
• Calcule, para esse automóvel, a 
variação de espaço (Δx) e a 
distância percorrida (d):
• c) na ida e na volta juntas;
• D) velocidade média e escalar, num 
tempo de 2h
c) Δx = xf-xi= 20 – 12 = 8 km 
d = (90 – 12) + (90 – 20) = 78+ 
70 = 148 km
d) Vméd = 8 km / 2h = 4 km/h
Vesc = 148 km / 2h = 74 km/h 
Exercício 1
• Depois de dirigir um carro em uma estrada retilínea por 8,4km a
70km/h, você para por falta de gasolina. Nos 30 min seguintes, você
caminha por mais 2,0km ao longo de uma estrada até chegar a um
posto de gasolina.
(a) Qual foi o deslocamento total, do início da viagem até chegar ao
posto de gasolina?
(b) Qual é o intervalo de tempo ∆t entre o início da viagem e o instante
em que você chega ao posto?
(c) Qual é a velocidade média 𝑉𝑚𝑒𝑑 do início da viagem até a chegada
ao posto de gasolina? Determine a solução numérica e graficamente.
Exercício 1
• Depois de dirigir um carro em uma
estrada retilínea por 8,4km a
70km/h, você para por falta de
gasolina. Nos 30 min seguintes,
você caminha por mais 2,0km ao
longo de uma estrada até chegar a
um posto de gasolina.
(a) Qual foi o deslocamento total,
do início da viagem até chegar
ao posto de gasolina?
Assim, a resposta será: 
∆x = x2 – x1 = 10,4 - 0 = 10,4 km
0 8,4 2
10,4
t=0,5ht=0,12h
Exercício 1
• Depois de dirigir um carro em
uma estrada retilínea por
8,4km a 70km/h, você para por
falta de gasolina. Nos 30 min
seguintes, você caminha por
mais 2,0km ao longo de uma
estrada até chegar a um posto
de gasolina.
(b) Qual é o intervalo de tempo
∆t entre o início da viagem e o
instante em que você chega ao
posto?
Exercício 1
• Depois de dirigir um carro em
uma estrada retilínea por
8,4km a 70km/h, você para por
falta de gasolina. Nos 30 min
seguintes, você caminha por
mais 2,0km ao longo de uma
estrada até chegar a um posto
de gasolina.
(b) Qual é o intervalo de tempo
∆t entre o início da viagem e o
instante em que você chega ao
posto?
Exercício 1
• Depois de dirigir um carro em
uma estrada retilínea por 8,4km
a 70km/h, você para por falta de
gasolina. Nos 30 min seguintes,
você caminha por mais 2,0km ao
longo de uma estrada até chegar
a um posto de gasolina.
(c) Qual é a velocidade média
𝑉𝑚𝑒𝑑 do início da viagem até a
chegada ao posto de gasolina?
Determine a solução numérica e
graficamente.
(0,0)
(8,4;0,12)
(10,4;0,62)
(x;t)
Exercício 1
(d) Suponha que para encher um bojão de gasolina, pagar e caminhar
de volta para o carro você leva 45min. Qual a velocidade escalar média
do início da viagem até o momento em que você chega de volta ao
lugar onde deixou o carro?
∆x = x2 – x1 = 10,4 - 0 = 10,4 km
Volta do posto até o carro = 2 km
Distância total = 10,4 + 2 = 12,4 km 
t= 0,12 + 0,5 + 0,75 = 1,37 h 
Exercício 1
(d) Suponha que para encher 
um bojão de gasolina, pagar e 
caminhar de volta para o carro 
você leva 45min. Qual a 
velocidade escalar média do 
início da viagem até o momento 
em que você chega de volta ao 
lugar onde deixou o carro?
Exercício 2
• Um carro sobe uma ladeira com uma velocidade constante de 
40km/h e desce a ladeira com uma velocidade constante de 60km/h. 
Calcule a velocidade escalar média da viagem de ida e volta.
𝑉𝑠 =
∆𝑥𝑠
∆𝑡𝑠
= 40 km/h
𝑉𝐷 =
∆𝑥𝐷
∆𝑡𝐷
= 60 km/h
O deslocamento foi o mesmo nos 2 casos: ∆𝑥𝑠= ∆𝑥𝐷= 𝑥
Logo:
𝑥
∆𝑡𝑆
= 40 -> ∆𝑡𝑆=
𝑥
40
𝑥
∆𝑡𝐷
= 60 -> ∆𝑡𝐷=
𝑥
60
Vs = 40 km/h
Vd = 60 km/h
Eixo x 
0 x
Exercício 2
• Um carro sobe uma 
ladeira com uma 
velocidade constante 
de 40km/h e desce a 
ladeira com uma 
velocidade constante 
de 60km/h. Calcule a 
velocidade escalar 
média da viagemde 
ida e volta.
Para calcular a velocidade escalar média da viagem será necessário
achar o tempo total da viagem, que será o tempo que o carro levou para
subir e descer a ladeira:
∆𝑡 = ∆𝑡𝑆 + ∆𝑡𝐷 =
𝑥
40
+
𝑥
60
=
60𝑥+40𝑥
40∗60
=
100𝑥
2400
=
𝑥
24
O deslocamento total será:
∆𝑥 = ∆𝑥𝑠 + ∆𝑥𝐷= 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥
Assim, a velocidade escalar média será:
𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡
=
2𝑥
𝑥/24
= 48𝑘𝑚/ℎ
Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar 
Instantânea 
• A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade 
média reduzindo o intervalo de tempo ∆t até torna-lo próximo de 
zero. Quando ∆t diminui, a velocidade média se aproxima cada vez 
mais de um valor limite, que é a velocidade instantânea:
𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
• Velocidade escalar instantânea = módulo da velocidade instantânea.
Derivada polinomial
• Equações polinomiais são da forma:
𝑐𝑥𝑛 , dado n um número real positivo ou negativo. Sendo c uma 
constante, também pertencente aos reais. 
• Quando o polinômio está no divisor, ele pode subir com o expoente 
negativo, ou seja:
1
𝑥𝑛
= 𝑥−𝑛
Derivada polinomial
• A derivada de um polinômio geralmente é tratada de maneira bem simples 
por muitos autores e em algumas tabelas de derivação advindas de muitos 
livros ela é classificada como uma derivada “imediata”, mas, de qualquer 
forma temos que pelo menos aplicar a regra do polinômio mais conhecida 
como regra do tombo. O que muitas vezes não fica evidente é como se 
chegou à chamada regra do tombo.
𝑥 𝑡 = 𝑐𝑡𝑛
c = é uma constante,
n = é o exponencial.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑐𝑛𝑡𝑛−1
4x²
8t³
6t
Teste 2
• As equações a seguir fornecem a 
posição x(t) de uma partícula em 
quatro casos (em todas as 
equações, x está em metros, t 
em segundos e t>0):
(1)𝑥 = 3𝑡 – 2
(2)𝑥 = −4𝑡2 − 2
(3)𝑥 =
2
𝑡2
(4)𝑥 = −2
(a) Em que caso(s) a velocidade v 
da partícula é constante?
(b) Em que caso(s) a velocidade v 
é no sentido negativo do eixo 
x?
Teste 2
• As equações a seguir fornecem a 
posição x(t) de uma partícula em 
quatro casos (em todas as 
equações, x está em metros, t 
em segundos e t>0):
(1)𝑥 = 3𝑡 – 2
(2)𝑥 = −4𝑡2 − 2
(3)𝑥 =
2
𝑡2
(4)𝑥 = −2
Resposta: 
(1) V = dx/dt = 3 
(2) V = dx/dt = -8t
(3) V = dx/dt = -4/t³
(4) V = dx/dt = 0 
(1) c= 3 e c = -2
n = 1 e n = 0
V = 𝑐𝑛𝑡𝑛−1
v = 3*1𝑡1−1 − 2 ∗ 0
v= 3 
(2) C = -4 , n = 2
V = 𝑐𝑛𝑡𝑛−1
V = −4 ∗ 2𝑡2−1
V= -8t
(3) X = 2𝑡−2
C = 2 e n = -2
V = 𝑐𝑛𝑡𝑛−1
V = 2*(-2)𝑡−2−1
V = -4 𝑡−3 = -4/t³
Teste 2
• As equações a seguir fornecem a 
posição x(t) de uma partícula em 
quatro casos (em todas as 
equações, x está em metros, t 
em segundos e t>0):
(1)𝑥 = 3𝑡 – 2
(2)𝑥 = −4𝑡2 − 2
(3)𝑥 =
2
𝑡2
(4)𝑥 = −2
Resposta: 
(a) Em que caso(s) a velocidade v 
da partícula é constante?
1 e 4
(a) Em que caso(s) a velocidade v 
é no sentido negativo do eixo 
x?
2 e 3
Exercício 1
(a) Se a posição da partícula é dada por 𝑥 = 4 − 12𝑡 + 3𝑡2 (onde t 
está em segundos e x em metros), qual a velocidade da partícula 
em t=1s?
(b) O movimento nesse instante é no sentido positivo ou negativo de 
x?
(c) Qual a velocidade escalar da partícula nesse instante?
(d) Para qual valor de t a velocidade se anula?
Exercício 1
(a) Se a posição da partícula é dada por 𝑥 = 4 − 12𝑡 + 3𝑡2 (onde t 
está em segundos e x em metros), qual a velocidade da partícula 
em t=1s?
V(t) = dx/dt
V(t) >>> c = 3, n=2 >>> v(t) = 3*2𝑡2−1 = 6𝑡
V(t) >>> c = 4 , n = 0 >> v(t) = 4*0 = 0
Vv(t) >>> c = -12 , n = 1 >> v(t) = -12*1𝑡1−1 = −12
V (t) = -12 + 6t
V(t=1s) = -12 + 6*1 = -6 m/s
Exercício 1
(a) Se a posição da partícula é dada por 𝑥 = 4 − 12𝑡 + 3𝑡2 (onde t 
está em segundos e x em metros), qual a velocidade da partícula 
em t=1s?
(b) O movimento nesse instante é no sentido positivo ou negativo de 
x?
X(t = 1s) = 4 – 12*1 + 3*1² = 4 -12 +3 = -5m
Logo o movimento é no sentido negativo de x.
Exercício 1
(c) Qual a velocidade escalar da partícula nesse instante?
A velocidade média foi calculada na letra a e dada por v (t=1s) = -6m/s, 
porém a velocidade escalar de uma partícula é modular e não vetorial, 
logo,
Vesc = −6 = 6 m/s
Exercício 1
(d) Para qual valor de t a 
velocidade se anula?
Na letra a, a função velocidade foi 
encontrada:
V(t) = -12 + 6t
V(t) = - 12 + 6t = 0
-12 + 6t = 0
6t = 12 
t = 12 / 6 = 2s.
Exercício 2
Considere uma partícula que está se movendo conforme a função 
𝑥 𝑡 = 4 − 6𝑡2 (Unidades no SI)
(a) Para qual valor(es) de t, v(t)=0?
(b) Para qual valor(es) de t, x(t)=0?
(c) Qual o valor de v(t) no instante t=0?
(d) Qual o valor de x(t) no instante t=0?
Exercício 2
Considere uma partícula que está se movendo conforme a função 
𝑥 𝑡 = 4 − 6𝑡2 (Unidades no SI)
(a) Para qual valor(es) de t, v(t)=0?
V(t) = -12t = 0
t = 0
Exercício 2
Considere uma partícula que está se movendo conforme a função 
𝑥 𝑡 = 4 − 6𝑡2 (Unidades no SI)
(a) Para qual valor(es) de t, v(t)=0?
(b) Para qual valor(es) de t, x(t)=0?
X(t) = 4 – 6t² = 0
6t² = 4
t² = 2/3 
t = 6/3 , apenas o valor positivo pois não há tempo negativo.
Exercício 2
Considere uma partícula que está se movendo conforme a função 
𝑥 𝑡 = 4 − 6𝑡2 (Unidades no SI)
(c ) Qual o valor de v(t) no instante t=0?
V ( t= 0 ) = -12*0 = 0
(d) Qual o valor de x(t) no instante t=0?
X( t= 0 ) = 4 – 6*0² = 4 m
Exercício 3
A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por 
𝑥 𝑡 = 2 + 𝑡2 (Unidades no SI), Calcule:
(a) A velocidade média do intervalor de tempo 𝑡1 = 1𝑠 𝑒 𝑡2=2s?
X2( t2 = 2s ) = 2 + 2² = 2 + 4 = 6 m
X1 ( t1 = 1s) = 2 + 1² = 3 m
Vmed = (x2 – x1)/ (t2 – t1) = (6 – 3 ) / (2 – 1) = 3 / 1 = 3 m/s
Aceleração Média 
• Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que a partícula 
sofreu uma aceleração (ou foi acelerada). Para movimentos ao longo 
de um eixo, a aceleração média (𝑎𝑚é𝑑) em um intervalo de tempo ∆t 
é:
𝑎𝑚é𝑑 =
𝑣2 − 𝑣1
𝑡2 − 𝑡1
=
∆𝑣
∆𝑡
Exemplo 
• A Fig. 2-6a mostra o gráfico 
x(t) de um elevador que, 
depois de passar algum 
tempo parado, começa a se 
mover para cima (que 
tomamos como o sentido 
positivo de x) e depois para 
novamente. Plote v(t). 
RESPOSTA
RESPOSTA
Aceleração Instantânea
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
• Unidade SI = m/𝑠2
• 1g=9,8 m/𝑠2
Exercício 1
• A posição de uma partícula no eixo x é dada por: 𝑥 = 4 − 27𝑡 +
𝑡3 (dimensões no SI).
(a) Como a posição x varia com o tempo t, a partícula está em 
movimento. Determine a função velocidade v(t) e a função 
aceleração a(t) da partícula.
(b) Existe algum instante para o qual v=0?
Exercício 1
• A posição de uma partícula no eixo x é dada por: 𝑥 = 4 − 27𝑡 +
𝑡3 (dimensões no SI).
(a) Como a posição x varia com o tempo t, a partícula está em 
movimento. Determine a função velocidade v(t) e a função 
aceleração a(t) da partícula.
V(t) = - 27 + 3t²
A(t) = 6t
C = 1 
N = 3
d(t³)/dt = 1*3𝑡3−1 = 3𝑡²C=3
N = 2
d(3t²)/dt = 3*2𝑡2−1 =
6𝑡
Exercício 1
• A posição de uma partícula no eixo x é dada por: 𝑥 = 4 − 27𝑡 +
𝑡3 (dimensões no SI).
(b) Existe algum instante para o qual v=0?
V(t) = - 27 + 3t² = 0
3t² = 27 
t² = 27 /3
t² = 9
t = 3s (apenas o instante positivo)
Exercício 2
(a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 20t -5𝑡3, onde x está 
em metros e t segundos, em que instante(s) a velocidade da partícula é 
zero?
(b) Em que instante(s) a aceleração a é zero?
Exercício 2
(a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 20t -5𝑡3, onde x está em 
metros e t segundos, em que instante(s) a velocidade da partícula é zero?
V(t) = 20 – 15t²
20 – 15t² = 0 
-15t² = -20 >>> (multiplicado por -1)
15t² = 20 (dividindo por 5 para simplificar)
3t² = 4
t² = 4/3
t = 
2 3
3
s (apenas o valor positivo)
C = 20
N = 1
d(20t)/dt = 
20*1𝑡1−1=20
C= -5
N = 3
d(-5t³)/dt = -5*3𝑡3−1
=-15t²
𝑡2 =
4
3
=
2
3
∗
3
3
=
2 3
3²
=
2 3
3
Exercício 2
(a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 20t -5𝑡3, onde x estáem metros e t segundos, em que instante(s) a velocidade da partícula é 
zero?
(b) Em que instante(s) a aceleração a é zero?
a(t) = -30t
-30t = 0
t = 0.
V(t) = 20 – 15t²
C = -15
N = 2
D(-15t²)/dt = -15*2t¹= 
-30t
Bibliografia
• HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. FUNDAMENTOS DE 
FÍSICA: MECÂNICA. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.