Matemática 4° aula

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Introdução
Nesta aula falaremos sobre: Razão e proporção, Grandezas diretamente e inversamente proporcionais e Operações com porcentagens.
Bons estudos!
Objetivos
Comparar quantidades através de razões.
Identificar as propriedades fundamentais das proporções.
Demonstrar as grandezas diretamente e inversamente proporcionais.
Aplicar cálculos de porcentagem em situações-problema.
Razão
Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b, ou seja:
Proporção
Podemos concluir que o produto dos extremos é o mesmo do produto dos meios: 3 x 10 = 5 x 6 = 30
Atenção
Os números 3 e 10 são chamados extremos e 5 e 6 são chamados meios.
Propriedade fundamental das proporções
Observe as seguintes proporções:
De modo geral, temos que:
Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Entendendo na prática!
Antônio e Carlos passeiam com seus cachorros. Antônio pesa 120kg e, seu cão, 40kg. Carlos, por sua vez, pesa 48kg e, seu cão, 16kg.
Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade:
Um médico recomenda uma dieta para um indivíduo obeso. Ele deve consumir até 5 calorias por dia para cada 20kg de excesso de peso.
Se um indivíduo apresentar 50kg de excesso de peso, qual seria o número de calorias diárias para ele?
Como o indivíduo apresenta 50kg de excesso de peso, a quantidade de calorias x é calculada da seguinte forma:
Vamos fazer um exercício!
Determine o valor de x, dada a expressão:
Gabarito: 
20x (x – 1) = 4 (3x + 1)
20x – 20 = 12x + 4
20x – 12x = 4 + 20
8x = 24
X = 24/8
X = 3
Elementos de uma proporção
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:
Dada a proporção:
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma proporção da primeira. Veja um exemplo:
Um carro percorre:
• 100 km em 1 hora
• 200 km em 2 horas
• 300 km em 3 horas
Então, o tempo e a distância são grandezas diretamente proporcionais, pois aumentam na mesma proporção.
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira. Exemplo:
Um carro faz um percurso com velocidade de:
• 120 km em 1 hora
• 600 km em 2 horas
• 400 km em 3 horas
Neste caso, o tempo e a velocidade são grandezas inversamente proporcionais.
Aplicações da Propriedade Fundamental
Determinação do termo desconhecido de uma proporção.
Veja como aplicar:
Exercício!
Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.
GABARITO:
Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?
GABARITO
Proporção contínua
Considere a seguinte proporção:
Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim:
De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:
Terceira proporcional
Dados dois números naturais a e b, não nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:
Entendendo na prática!
Vamos determinar a terceira proporcional dos números 20 e 10. Observe:
Proporção múltipla
Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:
Porcentagem
A razão, cujo denominador é 100, recebe o nome de razão centesimal. Tais razões centesimais estão expressas em taxas percentuais:
Veja um exemplo:
Em uma determinada turma com cem alunos, 40 tiraram nota 10. Vamos determinar a porcentagem de alunos que tiraram 10.
Exercícios
Num lote de 25 parafusos, 5 apresentaram defeito. A razão entre o número de parafusos defeituosos e o total de parafusos do lote é:
GABARITO
5/25 = 20%
Significa que se o lote contivesse 100 parafusos, deveríamos encontrar 20 parafusos com defeito.
Uma empresa de telemarketing recebe em média 720 ligações de clientes interessados na compra de seus produtos. Sabe-se que a taxa efetiva de vendas é de 15%. Quantas chamadas se converteram em vendas?
GABARITO
Um automóvel que custava R$ 42.000,00, passou a custar R$ 46.200,00. Calcule o percentual de aumento.
GABARITO