estatistica aplicada a engenharia Aula 05

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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
Prof. Sandro Chun
Aula 5 - Distribuição Normal e Teorema Central do Limite
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
Conteúdo Programático desta aula
Conhecer as características de uma distribuição normal.
Entender a utilização do teorema central do limite. 
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Considerações:
I. A maioria dos valores se concentra ao redor da média.
II. 50% dos valores estão acima da média, e 50% abaixo da média.
III. Os valores distribuem-se simetricamente à esquerda e à direita em relação à média.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
EXERCÍCIO
Dada uma distribuição normal padronizada com uma média igual a 0 e desvio padrão igual a 1. Qual a probabilidade de que:
a) Z esteja entre 0 e 1,90?
b) Z esteja entre -1,90 e 0?
c) Z esteja entre 0 e 2,33?
d) Z esteja entre -2,33 e 0?
e) Z esteja entre 0 e 0,55?
f) Z esteja entre -0,55 e 0?
g) Z seja maior que 0?
h) Z seja menor que 0?
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 0 e desvio padrão = 1. 
a) Z esteja entre 0 e 1,90? P(0 < z < 1,90) = 0,4713.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 0 e desvio padrão = 1. 
b) Z esteja entre -1,90 e 0? P(-1,90 < z < 0) = P(0 < z < 1,90) = 0,4713.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 0 e desvio padrão = 1. 
c) Z esteja entre 0 e 2,33? P(0 < z < 2,33) = 0,4901. 
Tema da Apresentação
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 0 e desvio padrão = 1. 
d) Z esteja entre -2,33 e 0? P(-2,33 < z < 0) = P(0 < z < 2,33) = 0,4901.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 0 e desvio padrão = 1. 
e) Z esteja entre 0 e 0,55? = P(0 < z < 0,55) = 0,2088.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 0 e desvio padrão = 1. 
f) Z esteja entre -0,55 e 0? P(-0,55 < z < 0) = P(0 < z < 0,55) = 0,2088.
Tema da Apresentação
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 0 e desvio padrão = 1. 
g) Z seja maior que 0? P(z > 0) = 0,50.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 0 e desvio padrão = 1. 
h) Z seja menor que 0? P(z < 0) = 0,50.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
EXERCÍCIO
Dada uma distribuição normal padronizada com uma média igual a 0 e desvio padrão igual a 1. Qual a probabilidade de que:
a) Z seja menor que 1,57?
b) Z exceda 1,84?
c) Z esteja entre 1,57 e 1,84?
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 0 e desvio padrão = 1. 
a) Z seja menor que 1,57? P(z < 1,57) = 0,50 + P(0 < z < 1,57) = 0,50 + 0,4418 = 0,9418.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
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RESPOSTA
Média = 0 e desvio padrão = 1. 
b) Z exceda 1,84? P(z > 1,84) = 0,5 - P(0 < z < 1,84) = 0,50 - 0,4671 = 0,0329.
Tema da Apresentação
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 0 e desvio padrão = 1. 
c) Z esteja entre 1,57 e 1,84? P(1,57 < z < 1,84) = P(0 < z < 1,84) - P(0 < z < 1,57) = 0,4671 – 0,4418 = 0,0253
Tema da Apresentação
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
EXERCÍCIO
A análise estatística de um investimento mostrou que seu resultado líquido é uma variável aleatória X com valor esperado de $10.000 e desvio padrão $4.000. Sabendo que a variável aleatória X tem distribuição normal, pede-se calcular a probabilidade de que o resultado líquido X seja menor que $5.000.
Tema da Apresentação
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
EXERCÍCIO
Média = 10.000 e desvio padrão = 4.000. 
P(X < 5.000) = P(z < -1,25) = 0,5 - P(-1,25 < z < 0) = 0,5 - P(0 < z < 1,25) = 0,5 – 0,3944 = 0,1056.
Tema da Apresentação
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
EXERCÍCIO
O saldo diário de caixa da empresa durante os últimos 400 dias tem distribuição normal com média $110.000 e desvio padrão $40.000. Calcule a probabilidade de que o saldo diário seja: 
a) Menor que $100.000.
b) Seja negativo.
Tema da Apresentação
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 110.000 e desvio padrão = 40.000. 
a) Menor que $100.000. P(x < 100.000) = P(z < -0,25) = 0,50 – 0,0987 = 0,4013.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 110.000 e desvio padrão = 40.000. 
b) Seja negativo. P(x < 0) = P(z < -2,75) = 0,50 – 0,4970 = 0,0030
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
EXERCÍCIO
As vendas mensais dos últimos 50 meses apresenta uma média igual a $500.000 com desvio padrão igual a $80.000. Se a empresa estabeleceu uma meta de vendas para o próximo mês de $560.000, pede-se calcular:
A probabilidade de ficar abaixo da meta.
b) A probabilidade de superar a meta.
Tema da Apresentação
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = $500.000 e desvio padrão = $80.000. 
a) A probabilidade de ficar abaixo da meta. P(x < 560) = P(z < 0,75) = 0,50 + 0,2734 = 0,7734
Tema da Apresentação
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = $500.000 e desvio padrão = $80.000. 
b) A probabilidade de superar a meta. P(x > 560) = P(z > 0,75) = 0,50 - 0,2734 = 0,2266.
Tema da Apresentação
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
EXERCÍCIO
O tempo de atendimento de um cliente num banco é uma variável normalmente distribuída, com média de 15 minutos e desvio padrão de 3 minutos. Qual a probabilidade de um cliente ser atendido em:
a) Mais de 15 minutos.
b) Entre 15 e 18 minutos.
c) Entre 12 e 15 minutos.
d) Entre 12 e 18 minutos.
Tema da Apresentação
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 15 e desvio padrão = 3 
a) Mais de 15 minutos. P(x > 15) = P(z > 0) = 0,50 ou 50%.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 15 e desvio padrão = 3 
b) Entre 15 e 18 minutos. P(15 < x < 18) = P(0 < z < 1) = 0,3413.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 15 e desvio padrão = 3 
c) Entre 12 e 15 minutos.
P(12 < x < 15) = P(-1 < z < 0) = P(0 < z < 1) =0,3413.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 15 e desvio padrão = 3 
d) Entre 12 e 18 minutos. P(12 < x < 18) = P(-1 < z < 1) = 2 X P(0 < z < 1) = 2 X 0,3413 = 0,6826. 
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
EXERCÍCIO
Uma distribuição de variável normal tem média 100 e desvio padrão 20. Qual a probabilidade dessa variável estar:
a) Acima de 100.
b) Entre 90 e 100.
c) Acima de 110.
Tema da Apresentação
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 100 e desvio padrão = 20. 
a) Acima de 100. P(x > 100) = P(z > 0) = 0,50 ou 50%.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 100 e desvio padrão = 20. 
b) Entre 90 e 100. P(90 < x < 100) = P(-0,5 < z < 0) = P(0 < z < 0,5) = 0,1915.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 100 e desvio padrão = 20. 
c) Acima de 110. P(x > 110) = P(z > 0,5) = 0,5 – P( 0 < z < 0,5) = 0,5 – 0,1915 = 0,3085. 
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
EXERCÍCIO
Certo produto tem peso normalmente distribuído com média 20 kg e desvio padrão 1 kg. Qual a probabilidade de um produto aleatoriamente selecionado pesar:
a) Entre 19 e 21 kg.
b) Mais de 20 kg.
c) Mais de 21 kg.
d) Menos de 21 kg.
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 20 e desvio padrão = 1.
a) Entre 19 e 21 kg. P(19 < x < 21) = = P(-1 < z < 1) = 2 X P(0 < z < 1) = 2 X 0,3413 = 0,6826. 
 
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 20 e desvio padrão = 1.
b) Mais de 20 kg. P(x > 20) = P(z > 0) = 0,50 ou 50%. 
Tema da Apresentação
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 20 e desvio padrão = 1.
c) Mais de 21 kg. P(x > 21) = P(z > 1) = 0,5 - P( 0 < z < 1) = 0,5 – 0,3413 = 0,1587.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 20 e desvio padrão = 1.
d) Menos de 21 kg. P(x < 21) = P(z < 1) = 0,5 + P( 0 < z < 1) = 0,5 + 0,3413 = 0,8413. 
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
EXERCÍCIO
Em indivíduos sadios o consumo renal de oxigênio tem distribuição normal com média 12 cm3 por minuto, e desvio padrão 1,5 cm3 por minuto. Determinar a proporção de indivíduos sadios com consumo renal:
a) Entre 9,4 e 13,2 cm3 por minuto.
b) Acima de 10 cm3 por minuto.
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 12 e desvio padrão = 1,5.
a) Entre 9,4 e 13,2 cm3 por minuto. P(9,4 < x < 13,2) = P(-1,73 < z < 0,80) = 0,4582 + 0,2881 = 0,7463
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
RESPOSTA
Média = 12 e desvio padrão = 1,5.
b) Acima de 10 cm3 por minuto. P(x > 10) = P(z > -1,33) = 0,50 + 0,4082 = 0,9082.
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ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
TEOREMA CENTRAL DO LIMITE
É um teorema que afirma que quando o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral da sua média aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal.
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AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
TEOREMA CENTRAL DO LIMITE
Observações importantes: 
– Quando maior o tamanho das amostras, a distribuição das médias será mais próxima de uma distribuição normal. 
– Para n>30, a distribuição das médias amostrais pode ser aproximada satisfatoriamente por uma distribuição normal. 
– Se a distribuição da variável ‘x’ for originalmente uma distribuição normal, então a distribuição das médias amostrais terá distribuição normal para qualquer tamanho amostral ‘n’.
Tema da Apresentação
AULA 5 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
ESTATÍSTICA APLICADA A ENGENHARIA
Nesta aula, você:
Conheceu as características de uma distribuição normal.
Entendeu a utilização do teorema central do limite. 
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