APOSTILA TEORIA DAS ESTRUTURAS I 2017 1

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TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
CCE0370 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Civil 
2017/1 
Paulo Cesar Martins Penteado 
Teoria das Estruturas I CCE0370 2 
 
TEORIA DAS ESTRUTURAS I – AULA 01 
 
 Horário das aulas 
 
Terças-feiras, das 19:00 às 20:40 e quartas-feiras das 20:50 às 22:30 
 
 Data das avaliações (presenciais) 
 
AV1 em 25/ABR AV2 em 13/JUN AV3 em 27/JUN 
 
 Cronograma das aulas (presenciais) 
 
Semana Data Atividade 
1 14/FEV e 15/FEV Aula 1 – Apresentação da disciplina 
2 21/FEV e 22/FEV Aula 2 – Forças e momentos 
3 28/FEV e 01/MAR FERIADOS: CARNAVAL E CINZAS 
4 07/MAR e 08/MAR Aula 3 – Estruturas reticuladas – Equilíbrio 
5 14/MAR e 15/MAR Aula 4 – Reações de apoio 
6 21/MAR e 22/MAR Aula 5 – Carga distribuída 
7 28/MAR e 29/MAR Aula 6 – Estruturas reticuladas com rótulas internas 
8 04/ABR e 05/ABR Aula 7 – Esforços em vigas isostáticas 
9 11/ABR e 12/ABR Aula 8 – Diagramas de esforços em vigas I 
10 18/ABR e 19/ABR Aula 9 – Diagramas de esforços em vigas II 
11 25/ABR e 26/ABR AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV1 
12 02/MAI e 03/MAI Aula 10 – Vigas Gerber e vigas inclinadas 
13 09/MAI e 10/MAI Aula 11 – Pórtico isostático plano 
14 16/MAI e 17/MAI Aula 12 – Barras e pórticos curvos 
15 23/MAI e 24/MAI Aula 13 – Estruturas reticuladas tridimensionais I 
16 30/MAI e 31/MAI Aula 14 – Estruturas reticuladas tridimensionais II 
17 06/JUN e 07/JUN Aula 15 – Estudo das cargas móveis 
18 13/JUN e 14/JUN AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV2 
19 20/JUN e 21/JUN Aula 16 – Envoltória de esforços 
20 27/JUN e 28/JUN AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV3 
21 04/JUL e 05/JUL Aula 17 – Revisão geral 
 
 Conteúdo 
 
Introdução 
- tipos de elementos estruturais 
- eixo e seção transversal de elementos de barra e limitações da teoria 
- forças e momentos 
- graus de liberdade 
- trabalho de forças e momentos 
- equações de equilíbrio estático para corpos rígidos não articulados em duas e três 
dimensões 
- aparelhos de apoio 
- determinação de reações de apoio em estruturas não articuladas em duas e três 
dimensões 
- carregamentos 
- esforços 
- rótulas internas 
Teoria das Estruturas I CCE0370 3 
 
- determinação de apoios em estruturas bi e tridimensionais com rótulas internas 
- grau hiperestático 
Vigas isostáticas 
- esforços em vigas 
- cálculo de momentos e cortantes em vigas 
- equações de equilíbrio entre momentos e cortantes 
- traçado de diagramas de esforços em vigas 
- determinação de pontos de momentos máximos e nulos 
- determinação de momentos a partir da área de diagramas de cortantes 
- vigas Gerber 
- barras inclinadas 
Quadros isostáticos planos 
- esforços em pórticos planos 
- traçado de diagrama de esforços para pórticos planos 
Estruturas isostáticas tridimensionais 
- esforços em estruturas tridimensionais 
- traçado de diagramas de esforços em estruturas tridimensionais 
Estudo das cargas móveis 
- cargas móveis e trem tipo 
- linhas de influência 
- utilização de linhas de influência 
- traçado de linhas de influência de esforços e reações de apoio em vigas 
 viga engastada e livre 
 viga bi-apoiada 
 vigas com duplo balanço 
-envoltória de esforços 
- apoio indireto 
- linhas de influência para vigas Gerber 
 
 Bibliografia Básica 
 
 MARTHA, L. F. C. R. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio 
de Janeiro: Elsevier, 2010. 
 SORIANO, H. L. Estática das estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 
2007. 
 ALMEIDA, M. C. F. Estruturas Isostáticas. I ed. São Paulo: Oficina de Textos, 
2009* 
*Material didático disponível 
 
 Bibliografia Complementar 
  SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural: Volume 1, Estruturas 
isostáticas 2. Ed. Porto Alegre: Globo, 1977. 
  GORFIN, B.; OLIVEIRA, M. M. Estruturas Isostáticas. Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos, 1975. 
  TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos Sólidos: Volume 1. 1.ed. Rio 
de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1983. 
 HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010. 
  BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: 
Pearson Makron Books, 1995. 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 4 
 
Mapa conceitual de Teoria das Estruturas I 
 
 Bloco 1 – Introdução 
 – Propriedades elásticas dos materiais 
 – tipos de estruturas (1d, 2d e 3d) 
 – forças, momentos e carregamentos 
 – equações de equilíbrio estático 
 – apoios e reações de apoio 
 – esforços 
 – rótulas internas 
 – estruturas estaticamente indeterminadas 
 
 
 Bloco 2 – Vigas Isostáticas 
 – esforços e diagramas de esforços em vigas 
 – equação de equilíbrio de vigas e suas aplicações diretas 
 – vigas Gerber 
 
 
 Bloco 3 – Pórticos isostáticos planos 
 – esforços em pórticos planos 
 – diagramas de esforços em pórticos planos 
 
 
 Bloco 4 – Estruturas tridimensionais 
 – esforços em pórticos tridimensionais 
 – diagramas de esforços em estruturas tridimensionais 
 
 
 Bloco 5 – Estudo das cargas móveis 
 – cargas móveis e trem tipo 
 – linhas de influência 
 – envoltória de esforços 
Teoria das Estruturas I CCE0370 5 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 6 
 
Algarismos significativos 
 
A medição de qualquer grandeza física guarda aproximações devido a eventuais 
irregularidades da entidade medida e por melhores que sejam o equipamento de medida 
e a habilidade da pessoa que o utiliza. 
O número de algarismos significativos expressa a precisão do resultado de uma 
medição. Estes são os algarismos utilizados na representação de quantificações de 
grandezas físicas, inclusive o zero, desde que não seja utilizado para localizar a casa 
ddecimal. Assim, por exemplo, o valor 5000, quando considerado com dois algarismos 
significativos, deve ser escrito sob a forma 50·102 ou 5,0·103. 
 
 Na multiplicação e divisão 
Quando multiplicamos ou dividimos valores de grandezas, o número de algarismos 
significativos do resultado é o mesmo que o número de algarismos significativos do valor 
da grandeza que tem o menor número de algarismos significativos. 
 
 
 Na adição e subtração. 
Semelhantemente, quando são somados ou subtraídos vários valores, o resultado deve 
ter no máximo o número de casas decimais que o de qualquer termo da operação. 
 
A ABNT NBR ISO 80000-1:2011 estabelece o seguinte procedimento de arredondamento 
em representação de um resultado com n algarismos significativos: 
 
a – Se o dígito de ordem (n + 1), da esquerda para a direita, for menor do que 5, esse 
dígito e os que lhe são superiores em ordem devem ser eliminados. 
 Exemplo: o número 1,770741, com 3 algarismos significativos é escrito como 1,77. 
 
b – Se o dígito de ordem (n + 1) for igual a 5 seguido de zeros, o dígito de ordem n deve 
ser arredondado para o número par superior mais próximo se esse número for ímpar e, 
caso contrário, o dígito de ordem n deve permanecer inalterado. 
 Exemplo: os números 1,775 e 1,765, com 3 algarismos significativos, são escritos, 
respectivamente, como 1,78 e 1,76. 
 
c – Se o dígito de ordem (n + 1) for igual ou superior a 5 seguido de qualquer quantidade 
de dígitos diferentes de zero, o dígito de ordem n deve ser aumentado de uma unidade e 
os dígitos de ordem superior a n devem ser eliminados. 
 Exemplo: o número 1,765004, com 3 algarismos significativos, deve ser escrito 
como 1,77. 
 
Outra razão para a não utilização de diversos algarismos nas representações dos valores 
numéricos de certas grandezas físicas é que as quantificações em engenharia sãousualmente estabelecidas com base em normas de projeto que adotam procedimentos 
semiprobabilísticos. Este é ocaso da velocidade do vento que se utiliza em projetos de 
edificações, que é prevista com determinada probabilidade de ocorrência em certo 
período de tempo. Outro exemplo é o caso dos valores das cargas de projeto de lajes de 
edificações. Também, os limites de resistência mecânica dos materiais guardam 
flutuações em torno de valores característicos, além do fato de que toda teoria de análise 
é aproximativa ao fenômeno físico a que diz respeito. Contudo, ao resolver um problema 
com umasequência de resultados intermediários, esses resultados devem ser retidos com 
maior número de algarismos que o dos dados iniciais, para evitar propagação de 
aproximações que afetem a precisão do resultado final. 
Teoria das Estruturas I CCE0370 7 
 
Não é possível estabelecer de forma geral com quantos dígitos devem ser retidos os 
resultados intermediários ao resolver um problema de engenharia, muito embora três 
algarismos significativos sejam plenamente suficientes em resultados finais dos 
problemas usuais da engenharia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 8 
 
TEORIA DAS ESTRUTURAS I – AULA 02 
 
Contexto da Teoria das Estruturas no currículo de engenharia 
 
As Estruturas são sistemas físicos constituídos de componentes interligados e 
deformáveis, capazes de receber e transmitir esforços. As estruturas aqui consideradas 
são estacionárias, diferentemente das estruturas de máquinas que têm componentes 
móveis projetados para alterar o efeito de forças. Em caso de estrutura a ser construída, 
esses componentes necessitam ser dimensionados para ter capacidade resistente ao 
próprio peso e às demais ações que lhe serão aplicadas, além de ter adequado 
desempenho em serviço, isto é, a estrutura não deve vir a apresentar deformações e 
vibrações excessivas que prejudiquem o uso e a estética da mesma. A laje de um edifício, 
por exemplo, além de resistir ao seu peso e às forças que lhe são transmitidas pelos 
elementos posicionados sobre a mesma, deve permanecer suficientemente plana a fim de 
não afetar a sua utilidade. Uma escada ou uma passarela, além de resistir ao próprio 
peso e ao de seus usuários, não deve vir a ter vibrações que causem desconforto aos 
mesmos. 
Em descrição simples, um projeto tem as seguintes etapas: 
– Concepção arquitetônica-estrutural, dependente da estética e da funcionalidade da 
futura estrutura; 
– Determinação dos esforços reativos e internos, além de deslocamentos, a partir de um 
pré-dimensionamento, da especificação dos materiais, das condições de apoio e das 
ações externas à estrutura; 
– Verificação do dimensionamento dos componentes estruturais e de suas ligações, com 
base nos resultados anteriores. 
A segunda dessas etapas é denominada análise. A Análise das Estruturas constitui 
grande parte da formação do engenheiro e um dos conteúdos programáticos mais 
fascinantes e desafiadores ao intelecto do estudante. É simples em seus conceitos 
fundamentais e de grande utilidade prática. Contudo, devido à grande amplitude de seus 
métodos e aplicações, esse conteúdo é compartimentado em diversas disciplinas ao 
longo de praticamente todo o curso de graduação de engenharia, o que dificulta a 
percepção da integração de suas diversas partes. Assim, ao iniciar este estudo, é 
importante para se ter motivação, que se entenda a utilidade e a complementaridade 
dessas disciplinas, como descrito a seguir. 
No que se refere à Engenharia Civil, essa análise costuma ser dividida em disciplinas de 
acordo com o esquema mostrado na próxima figura, cujos nomes não são únicos e 
costumam dizer respeito a mais de uma disciplina, com limites que em vários aspectos se 
interpenetram. Para a compreensão do contexto em que se insere essa análise, as 
disciplinas mais intimamente ligadas à mesma estão indicadas dentro de retângulos em 
tracejado. 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 9 
 
 
 
Em descrição dessa figura, a Análise das Estruturas fundamenta-se em princípios da 
Estática dos Corpos Rígidos que é a parte do conteúdo programático da disciplina 
Mecânica em que o conceito tempo não é envolvido. Com esses princípios, na Estática 
das Estruturas determinam-se principalmente esforços reativos e esforços internos em 
estruturas compostas por barras e em cujas análises sejam suficientes as equações de 
equilíbrio da estática. São as denominadas estruturas isostáticas. Assim, enquanto a 
estática estudada naquela disciplina trata dos corpos rígidos em equilíbrio, a Estática das 
Estruturas trata das estruturas isostáticas. Em sequência, na disciplina Resistência dos 
Materiais estuda-se o comportamento das barras no que se refere à determinação de 
tensões e deformações nas mesmas, além da verificação do dimensionamento de 
estruturas simples. A seguir, a disciplina Hiperestática é a parte da Análise das Estruturas 
em que, através de procedimentos simplificados de reduzido volume de cálculo, 
determinam-se deslocamentos, esforços reativos e esforços internos em estrutura 
constituída de barras e em cuja análise seja necessário considerar deformação (pelo fato 
das equações de equilíbrio não serem suficientes). São as chamadas estruturas 
hiperestáticas. Assim, a diferença entre essa disciplina e a que lhe precede é que a 
primeira está focada no comportamento das barras, enquanto a segunda trata do 
comportamento das estruturas hiperestáticas. 
 
Domínio do estudo da análise estrutural 
 
A Análise Estrutural é a parte da Mecânica que estuda as estruturas, consistindo este 
estudo na determinação dos esforços e das deformações a que elas ficam sujeitas 
quando solicitadas por agentes externos (cargas, variações térmicas, movimentos de 
seus apoios, etc.). 
As estruturas se compõem de uma ou mais peças ligadas entre si e ao mundo exterior de 
modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receber solicitações 
externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas 
solicitações externas encontrarão seu sistema estático equilibrante. 
As peças que compõem as estruturas possuem, evidentemente, três dimensões. Três 
casos podem ocorrer: 
a) duas dimensões são pequenas em relação à terceira; 
b) uma dimensão é pequena em relação às outras; 
c) as três dimensões são consideráveis. 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
10 
 
No 1º caso, que corresponde ao da maioria das estruturas da prática, a dimensão maior é 
o comprimento da peça, estando as duas outras dimensões situadas no plano a ele 
perpendicular (plano da seção transversal da peça). Neste caso, o estudo estático da 
peça, que será denominada barra, pode ser feito considerando-a unidimensional, isto é, 
considerando-a representada pelo seu eixo, lugar geométrico dos centros de gravidade de 
suas seções transversais. Uma barra será dita reta ou curva, conforme seu eixo seja reto 
ou curvo. Conforme os eixos das diversas barras que compõe a estrutura estejam ou não 
contidos no mesmo plano, a estrutura será chamada estrutura plana ou espacial. 
 
 
Exemplo de barras curvas na Ponte JK, em Brasília 
 
O 2º e o 3º caso são aqueles, respectivamente, das 
placas, das cascas (cuja espessura é pequena em 
presença da superfície da peça, superfície esta 
plana para as placas e curva para as cascas), das 
paredes e dos blocos (caso das barragens) e não 
serão abordados nesta disciplina. 
Nesta disciplina fartemos o estudo da teoria 
estrutural das barras. A teoria aqui desenvolvida 
tem precisão excelente para barras cuja relação 
do comprimento para a altura seja superior a 
10:1, apresentando precisão ainda boa para 
relações até 5:1. 
 
Estas relações englobama esmagadora maioria das barras da prática. Nos casos em que 
esta relação se torne inferior, a peça não mais poderá ser classificada como barra, 
devendo ser estudada como placa, casca ou bloco, conforme o caso. 
Nesta disciplina daremos ênfase às estruturas reticulares, compostas por barras. Tais 
estruturas são vigas, pórticos, treliças e grelhas, como representadas abaixo. 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
11 
 
 
 
Grandezas importantes: força e momento 
 
Vamos usar as palavras esforço ou carga para representar ou força, ou momento, ou 
ambas. 
 
 Força 
 
As forças são grandezas vetoriais, caracterizadas por uma direção, um sentido e uma 
intensidade. Podemos classificar as forças em: 
 
 
A unidade de medida de força que é adotada em Engenharia Estrutural é a tonelada-
força, cujo símbolo é tf. 
 
kN9,80665kgf1000tf1 
 
 
Eventualmente, usaremos também o Sistema Internacional de Unidades, no qual a força é 
medida em newton (N). 
 
 Momento de uma força 
 
A grandeza física que representa a tendência de rotação de um corpo em torno de um 
ponto, provocada por uma força, é função da força e de sua distância ao ponto e esta 
grandeza recebe o nome momento da força. 
Por definição, o momento de uma força em relação a um 
ponto O é o produto vetorial do vetor 
OP
, sendo P um 
ponto qualquer da linha de ação da força 
F
, pela força 
F
. 
Assim: 
 
FOPM 
 
 
Observe que o sentido do vetor 
M
 (representado por seta 
dupla) é dado pela regra da mão direita, como mostra a 
figura ao lado. 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
12 
 
 
Na forma escalar, o módulo do momento é dado por: 
dFM 
, em que d é a distância 
do ponto O à linha de ação da força 
F
. 
Em nosso curso, o módulo do momento de uma força será, muitas vezes, medido em 
tf·m. 
Numa modelagem plana, com a estrutura no plano x-y, o eixo z não é representado e os 
momentos e rotações a ele associados são representados por setas curvas,  ou , no 
próprio plano x-y. 
 
Redução de sistemas de forças a um ponto 
 
Reduzir um sistema de forças a um determinado ponto O é, em outras palavras, 
determinar a ação, em relação ao ponto O, das forças e momentos que compõem o 
sistema. 
Assim, dado um sistema de esforços e um ponto O, diremos que os esforços ΣFx, ΣFy e 
ΣMO, aplicados no ponto O, são estaticamente equivalente ao sistema de esforços dados. 
 
Equilíbrio do corpo extenso e rígido 
 
Um corpo extenso e rígido encontra-se em equilíbrio estático desde que esteja em 
repouso e que não esteja sofrendo nenhuma rotação. 
Para que essas condições sejam satisfeitas, a soma de todas as forças que atuam sobre 
o ponto material deve ser nula e o momento resultante de todas as forças atuantes, em 
relação a qualquer ponto, deve ser nulo. 
Essas condições podem ser impostas de forma escalar: 
 
  0xF
 
  0yF
 e 
  0zF
 (impede a translação do corpo) 
 
  0xM
 
  0yM
 e 
  0zM
 (impede a rotação do corpo) 
 
A solução, em um sistema tridimensional, é obtida por um sistema de seis equações e 
seis incógnitas. Se o sistema for plano teremos um sistema de três equações, sendo duas 
relativas às forças e uma dos momentos, e três incógnitas. 
 
Exercícios 
 
1. Determine, para o sistema de esforços mostrado na figura a seguir, a força resultante e 
o momento equivalente em relação ao ponto A. 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
13 
 
2. Determine as cargas internas resultantes que 
agem na seção transversal em C da viga 
mostrada na figura ao lado 
 
 
3. Determine as cargas internas resultantes que 
agem na seção transversal que passa pelo ponto B. 
 
 
4. Determine as cargas resultantes internas 
que agem na seção transversal em C do eixo 
de máquina mostrado na figura ao lado. O 
eixo está apoiado em mancais em A e B, que 
exercem somente forças verticais no eixo. 
 
 
5. O guindaste na figura ao lado é 
composto pela viga AB e roldanas 
acopladas, além do cabo e do motor. 
Determine as cargas internas resultantes 
que agem na seção transversal em C se o 
motor estiver levantando a carga W de 
2.000 N (≈ 200 kg) com velocidade 
constante. Despreze o peso das roldanas e 
da viga. 
 
6. Determine as cargas internas resultantes que 
agem na seção transversal em B do cano 
mostrado na ao lado. A massa do cano é 2 kg/m, 
e ele está sujeito a uma força vertical de 50 N e a 
um momento de 70 N·m em sua extremidade A. O 
tubo está preso a uma parede em C. 
Adote: g = 9,81 m/s2. Sugestão: imponha o 
equilíbrio do trecho AB. 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
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7. O dispositivo mostrado na figura sustenta uma 
força de 80 N. Determine as cargas internas 
resultantes que agem sobre a seção no ponto A. 
 
 
8. Determine as cargas internas resultantes que 
agem na seção transversal no ponto D do 
elemento AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
15 
 
TEORIA DAS ESTRUTURAS I – AULAS 03 e 04 
 
É importante que o engenheiro desenvolva, desde cedo, a capacidade de simplificar 
cálculos utilizando sempre o bom senso. Esta habilidade é exigida para a representação, 
nos modelos matemáticos, dos carregamentos reais atuantes nas estruturas. 
A figura abaixo representa um exemplo das três possíveis formas de considerar a ação 
dos pneus de um carro sobre a laje de uma ponte. 
 
A representação real tridimensional é bastante complexa e a sua resolução demandaria 
esforço e tempo bem maiores do que os necessários em soluções aproximadas. O nível 
de aproximação mais conveniente depende do problema em análise, levando-se em conta 
aspectos tais como tempo de resolução e precisão numérica. 
Em nosso curso vamos considerar, como uma primeira aproximação, forças concentradas 
ou linearmente distribuídas (que não existem na prática) no lugar das reais forças 
superficialmente e volumetricamente distribuídas. 
A tabela a seguir mostra, para modelos planos, os carregamentos distribuídos mais 
utilizados na prática com suas resultantes e os seus pontos de aplicação. 
 
 Carregamento distribuído Resultantes e Ponto de aplicação 
Uniforme 
 
 
Triangular 
 
Trapezoidal 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
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Graus de liberdade 
 
Uma força 
F
 quando aplicada a um corpo rígido impõe a este uma tendência de 
deslocamento linear, ou translação. Um momento 
M
 quando aplicado a um corpo rígido 
impõe a este uma tendência de deslocamento angular, ou rotação. 
No espaço, utilizando um sistema de eixos referenciais, os vetores deslocamentos 
lineares (translações 
D
) e os vetores dos deslocamentos angulares (rotações 
θ
) são 
expressos por suas componentes nos 3 eixos ortogonais x, y e z, as quais são 
denominadas graus de liberdade. 
Assim, qualquer movimento de um corpo no espaço tridimensional fica definido por meio 
destas seis componentes ou seis graus de liberdade. No plano, o movimento fica definido 
por três graus de liberdade, sendo dois de translação e um de rotação. 
A figura abaixo ilustra estas duas situações. 
 
 
Aparelhos de apoio 
 
Conforme acabamos de ver, um corpo ou uma estrutura no espaço tridimensional possui 
seis graus de liberdade, ou seja, possui três graus de mobilidade translacional e três 
graus de mobilidade rotacional. 
É evidente que estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar 
toda tendência de movimento da estrutura. 
Esta restrição é dada por apoios, que devem impedir as diversas tendências possíveis de 
movimento, por meio do aparecimento de reações destes apoios sobre a estrutura, nas 
direções dos movimentos que eles impedem, isto é, dos graus deliberdade que eles 
restringem. 
Estas reações de apoio se oporão às cargas aplicadas à estrutura, formando este 
conjunto de cargas e reações um sistema de forças em equilíbrio, para os diversos tipos 
de sistemas de força que podem ocorrer na prática. 
Os apoios serão classificados em função do número de graus de liberdade permitidos (ou 
do número de movimentos impedidos), podendo ser, então, de 6 tipos diferentes (isto é, 
podendo impedir 5, 4, 3, 2, 1, ou nenhum grau de liberdade). 
Para o caso das estruturas planas carregadas no próprio plano, que será o mais frequente 
na Teoria das Estruturas I, existem 3 graus de liberdade a restringir. 
Supondo uma estrutura situada no plano x-y, os graus de liberdade a restringir são as 
translações nas direções Ox e Oy e a rotação em torno de um eixo perpendicular ao 
plano, no caso a direção Oz. São os seguintes os apoios utilizáveis para impedir estes 
movimentos: 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
17 
 
 apoio de 1º gênero 
 
Este tipo de apoio é, basicamente, um suporte 
sobre o qual se assenta a estrutura (podendo ou 
não ter roletes) e que impede o movimento em 
uma única direção e nesta direção aparecerá 
uma reação de apoio R. No caso do apoio da 
foto ao lado, ele impede o movimento da 
estrutura na direção vertical. 
A representação esquemática deste apoio é 
mostrada abaixo. 
 
 
 apoio de 2º gênero 
Se no apoio do 1º gênero substituirmos os roletes 
por uma chapa presa completamente ao plano 
suporte, estaremos impedindo todas as translações 
possíveis, permanecendo livre apenas a rotação, 
assegurada pelo pino. Na direção das translações 
impedidas aparecerão as reações H e V, indicadas 
no esquema abaixo, e cuja composição vetorial nos 
dará a reação de apoio resultante no apoio do 2º 
gênero. 
 
 
 apoio de 3º gênero 
 
Se ancorarmos a estrutura em um bloco de 
dimensões que possam ser consideradas 
infinitas em comparação com as dimensões 
da estrutura, na seção de contato ente 
ambos o bloco estará impedindo, por sua 
enorme rigidez, todos os movimentos 
possíveis da estrutura e dizemos, então, que 
ele engasta a estrutura. Um engaste será 
representado esquematicamente da forma 
indicada abaixo, aparecendo na direção de 
cada movimento impedido (2 translações e 1 
rotação) as reações de apoio H, V e M. 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
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Exercícios 
 
1. Para a estrutura mostrada na figura ao 
lado determine as reações nos apoios A e 
B. 
 
2. Determine as componentes horizontal e 
vertical das reações no ponto A e no ponto B 
para a viga mostrada na figura ao lado. 
 
3. Uma estrutura em arco treliçado é fixa ao 
suporte articulado no ponto A, e sobre roletes 
em B num plano de 30° com a horizontal. O vão 
AB mede 20 m. O peso próprio da estrutura é 
de 100 kN. A força resultante dos ventos é de 
40 kN, e situa-se a 4 m acima de A, 
horizontalmente, da direita para a esquerda. 
Determine as reações dos apoios A e B. 
4. A viga da figura ao lado tem peso 1000 N e 
está submetida à carga concentrada de 1200 N, 
como representado. Determine as reações no 
engaste A. 
 
 
5. Determinar as reações de apoio das estruturas apresentadas abaixo: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
A
CG
B
20 m
30°
40 kN
Teoria das Estruturas I CCE0370 
19 
 
e) 
 
f) 
 
 
g) 
 
 
 
h) 
 
 
i) 
 
j) 
 
 
6. Obter as reações de apoio para a 
estrutura da figura ao lado. 
 
 
7. Calcular as reações de apoio para a viga 
bi-apoiada da figura ao lado. 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
20 
 
8. Obter as reações de apoio para a estrutura da 
figura ao lado. 
 
 
9. Obter as reações de apoio para o pórtico plano 
da figura ao lado. 
 
 
10. Obter as reações de apoio para a estrutura da 
figura ao lado. 
 
 
11. Determine as reações de apoio para o 
pórtico plano engastado e em balanço mostrado 
na figura ao lado. 
 
 
12. Determine as reações de apoio para o 
pórtico plano biapoiado mostrado na figura ao 
lado. 
 
 
13. Determinar as reações de apoio para a grelha triapoiada da figura abaixo. Todos os 
ângulos entre barras são de 90°. 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
21 
 
 
 
14. Determinar as reações de apoio para a grelha triapoiada da figura abaixo. Todos os 
ângulos entre barras são de 90°. 
 
 
15. Determinar as reações de apoio para a grelha triapoiada da figura abaixo. Todos os 
ângulos entre barras são de 90°. 
 
 
 
16. Determinar as reações de apoio para a grelha triapoiada da figura abaixo. Todos os 
ângulos entre barras são de 90°. 
 
 
17. Determinar as reações de apoio para a grelha triapoiada da figura abaixo. O ângulo 
entre o trecho AB e o trecho BC é 135°. 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
22 
 
18. Determinar as reações de apoio para a grelha engastada em balanço da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
23 
 
TEORIA DAS ESTRUTURAS I – AULA 05 
 
Apoios internos 
 
Duas ou mais barras podem estar unidas entre si, através dos baricentros de suas seções 
transversais, de vários maneiras. A figura ao lado mostra duas destas maneiras. 
O engastamento interno impede qualquer 
movimento de translação ou rotação relativo entre 
as seções, transmitindo, então, de uma barra à 
outra, duas forças ortogonais entre si e um 
momento. 
A articulação, um apoio simples fixo interno, 
também chamado de rótula, só fornece liberdade 
ao movimento relativo de rotação, transmitindo de 
uma barra à outra, duas forças ortogonais entre si. 
Portanto, numa rótula interna, o momento é nulo. 
 
As duas situações anteriores podem ocorrer simultaneamente, como mostrado abaixo e é 
importante verificar, ao calcular esforços internos em uma das seções, se a respectiva 
seção está ou não submetida a momento fletor. 
 
 
Grau hiperestático 
 
Já vimo que a função dos apoios é limitar os graus de liberdade de uma estrutura. 
Existem várias formas de determinar o grau de hiperestaticidade de uma estrutura. 
Podemos definir o grau de hiperestaticidade g de uma estrutura como: 
 
)equilíbriodeequaçõesde(nºestático)problemadoincógnitasde(nº g
 
 
Três casos podem então ocorrer: 
 
 Os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos 
possíveis da estrutura: 
0g
 
Neste caso, o número de reações de apoio a determinar é igual ao número de equações 
de equilíbrio disponíveis (isto é: número de incógnitas = número de equações), chegando-
se a um sistema de equações determinado que resolverá o problema. 
Diremos, então, que a estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio 
estável. 
 
 Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos 
possíveis da estrutura: 
0g
 
Neste caso, evidentemente, teremos mais equações que incógnitas, chegando-se a um 
sistema de equações impossível, nos casos gerais. A estrutura será dita hipostática e 
será, então, instável. (Pode ocorrer uma situação de carregamento tal que o próprio 
carregamento consiga impedir os graus de liberdade que os apoios não forem capazes de 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
24 
 
impedir; será, então, um caso de equilíbrio, mas de equilíbrio instável, pois qualquer que 
seja a deformação imposta à estrutura, ela tenderá a prosseguir até a sua ruína). 
As estruturas hipostáticas são, então, inadmissíveis para as construções. 
 
 Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos 
possíveis da estrutura: 
0g
 
Neste caso, teremos menor número de equaçõesque de incógnitas, conduzindo a um 
sistema indeterminado. As equações universais da Estática não serão, então, suficientes 
para a determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de 
compatibilidade de deformações, conforme será estudado em Teoria das Estruturas II. 
A estrutura será dita hiperestática, continuando o equilíbrio a ser estável (aliás, 
poderíamos dizer, um pouco impropriamente, que o equilíbrio é mais que estável). 
O grau de hiperestaticidade de modelos isostáticos e hiperestáticos não é suficiente para 
caracterizar a estabilidade da estrutura, pois apenas contabiliza o número de incógnitas 
do problema do equilíbrio estático e o número de equações de equilíbrio. Situações que 
provocam instabilidade, como as indicadas a seguir, devem ser analisadas. 
O pórtico, mostrado ao lado, apresenta três 
componentes de reações de apoio que são verticais, 
não existindo nenhum vínculo que impeça o 
movimento horizontal do pórtico. Se uma força 
horizontal for aplicada, a equação global de equilíbrio 
na direção horizontal não fica satisfeita. 
A estrutura ao lado tem três reações de apoio 
concorrentes em um ponto. Portanto, não é possível 
equilibrar o momento de forças atuantes, como a 
carga P, em relação ao ponto de convergência das 
reações de apoio. 
A estrutura triarticulada, mostrada a seguir, tem os 
dois apoios do 2º gênero e a rótula interna alinhados. 
Para a solicitação indicada, as reações de apoio têm 
de ser forças horizontais para que o momento fletor 
na rótula seja nulo. Entretanto, as reações 
horizontais não são capazes de equilibrar a carga P 
aplicada. 
Grau de hiperestaticidade para treliças planas 
 
Número de incógnitas em uma treliça plana. 
 uma força incógnita em cada barra (força normal à barra); 
 as reações de apoio. 
 
Número de equações de equilíbrio em uma treliça: 
 Duas equações de equilíbrio por nó. 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
25 
 
Então: 
 
 
Nas treliças isostáticas : g = 0  nb + nra = 2 nn 
Nas treliças hiperestáticas : g > 0  nb + nra > 2 nn 
Nas treliças hipostáticas : g < 0  nb + nra < 2 nn 
 
Grau de hiperestaticidade de pórtico plano sem separação nas rótulas 
 
Para um pórtico plano, teremos: 
 
 
O número de equações introduzidas por rótulas internas, ner, deve ser obtido para cada 
rótula individualmente. Para isso, se n é o número de barras que chegam a uma 
determinada rótula, então, o número de equações introduzidas por esta rótula é (n ‒ 1). 
 
O software Ftool 
 
Ftool (Two-dimensional Frame Analysis Tool) é um programa gráfico-interativo para 
ensino de comportamento de estruturas. O software foi desenvolvido pelo professor Luiz 
Fernando Martha e permite que problemas de estruturas reticuladas bidimensionais sejam 
facilmente resolvidos. Sugerimos que os alunos façam o download do programa Ftoll e 
respectivo manual na página web.tecgraf.puc-rio.br/ftool/. 
 
 
Atenção: Não faça o download do programa por outros sites (Baixaki, por 
exemplo). Alunos que o fizeram relataram problemas com vírus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
26 
 
Exercícios 
 
1. Determine o grau de hiperestaticidade de cada pórtico plano representado a seguir: 
a) 
 
d) 
 
b) 
 
e) 
 
c) 
 
f) 
 
 
2. Determine o grau de hiperestaticidade do 
pórtico plano ao lado. 
 
 
3. Determine as reações de apoio para o pórtico plano 
mostrado na figura ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
27 
 
4. Determine as reações de apoio para o pórtico plano mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
5. Determine as reações de apoio para o pórtico plano 
mostrado na figura ao lado. 
 
 
6. Determine as forças que atuam em 
todos os elementos da treliça mostrada na 
figura e indique se os elementos estão sob 
tração ou sob compressão. 
 
7. Determine a força em cada elemento da 
treliça carregada e indique se os 
elementos estão sob tração ou sob 
compressão. Explique porque não é 
necessário conhecer o comprimento dos 
elementos. 
 
8. Determine a força em cada membro da 
treliça. Indique se os membros estão sob 
tração ou sob compressão. 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
28 
 
9. Determine a força em cada elemento 
da treliça carregada e indique se os 
elementos estão sob tração ou sob 
compressão. 
 
10. Determine a força em cada elemento 
da treliça carregada e indique se os 
elementos estão sob tração ou sob 
compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
29 
 
TEORIA DAS ESTRUTURAS I – AULAS 06, 07 E 08 
 
Vigas isostáticas 
 
As vigas são estruturas planas capazes de serem definidas por meio de um único 
elemento. Uma condição necessária para que uma viga seja isostática é que o número de 
componentes de reação de apoio seja igual ao número de equações de equilíbrio. 
 
Esforços internos 
 
A determinação dos esforços internos independe das características dos materiais: 
depende somente da forma geométrica e dos esforços externos ativos e reativos. É um 
problema que pode ser resolvido pela mecânica estática. A determinação dos esforços 
internos é de fundamental importância para o dimensionamento correto dos elementos 
estruturais. Determinados esforços internos, muitas das decisões de projeto são tomadas. 
Por exemplo, a escolha do material mais adequado para execução do sistema estrutural e 
as dimensões mais adequadas dos elementos que compõem o sistema entre outras. 
Portanto, para projetar e dimensionar um elemento estrutural ou mecânico é necessário 
conhecer as cargas ‒forças e momentos‒ que atuam dentro do elemento, a fim de 
garantir que o material possa resistir a essas cargas. 
Consideremos a viga em balanço engastada em A, 
mostrada na figura ao lado, sujeita às cargas F1 e F2 
e um ponto B, ao longo de seu comprimento. 
Os esforços internos que atuam na seção transversal 
da viga que passa pelo ponto B podem ser 
determinados usando o método das seções. 
A
B
F1
F2
 
O método das seções, também conhecido como método de Ritter, é utilizado para se 
determinar as forças atuantes dentro de um elemento estrutural. Esse método baseia-se 
no princípio de que se um corpo está em equilíbrio, qualquer parte dele também está. 
O método consiste em seccionar o elemento estrutural no ponto que se deseja determinar 
os esforços e aplicar as equações de equilíbrio estático do corpo extenso e rígido na 
região seccionada. 
Para a viga que estamos considerando, teremos: 
A
B
F1
F2
MA
Ax
Ay
BB
F1 F2VB
NB
MB
MB
NB
VB
 
A componente de força NB, que atua perpendicularmente à seção transversal, é chamada 
de esforço normal. A componente de força VB, que é tangente à seção transversal é 
chamada de esforço cortante. O momento de binário MB é denominado momento fletor. 
As componentes de força NB e VB impedem a translação relativa entre as duas partes da 
estrutura e o momento de binário MB impede a rotação relativa entre elas. De acordo com 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
30 
 
o princípio da ação e da reação ou terceira lei de Newton esses esforços devem atuar em 
sentidos opostos em cada segmento, como mostrado na figura anterior. 
Os esforços NB e VB e o momento MB podem agora ser determinados aplicando as 
equações de equilíbrio do corpo extenso e rígido a qualquer um dos dois segmentos. No 
caso exemplificado, a escolha do segmento da direita é mais adequada, visto não 
envolver as reações do engate em A. 
 
Convenção de sinais dos esforços internos 
 
Para os sinais dos esforços internos, adotaremos aqui a convenção estabelecida em 
HIBBELER, R. C. Estática: Resistênciados Materiais. 7ª edição. Editora Pearson Prentice 
Hall, São Paulo, 2010, e que é a mais usada. 
 O esforço normal N é considerado positivo se criar tração. 
 O esforço cortante V é positivo se fizer com que o segmento da viga sobre o qual atua 
gire no sentido horário. 
 O momento fletor M será positivo quando tender a curvar o segmento no qual ele atua 
de uma maneira côncava para cima, causando compressão nas fibras superiores do 
elemento. 
Os esforços que são opostos a estes são considerados negativos. 
A tabela a seguir ilustra essa convenção de sinais para os esforços internos em uma 
seção transversal S. 
 
 
 
Se o segmento sob análise estiver sujeito a uma carga tridimensional externa, então os 
esforços internos geralmente são expressos como positivos ou negativos, de acordo com 
um sistema de coordenadas x, y e z adotado. 
 
Diagrama de esforços internos 
 
Os esforços internos estão associados à seção transversal considerada. Assim, se 
mudarmos a seção considerada, poderá acorrer a mudança do(s) esforço(s) interno(s). 
Desta forma é possível determinar como cada tipo de esforço varia, de seção em seção, 
ao longo dos eixos das barras de uma estrutura. Para isso, é necessário seccionar a viga 
a uma distância arbitrária x a partir de uma extremidade e, depois de aplicar as equações 
de equilíbrio ao segmento de comprimento x, obter N, V e M em função de x., ou seja, N = 
N(x), V = V(x) e M = M(x). 
Esta variação pode ser mostrada graficamente usando os eixos das barras como eixos 
das abscissas e os esforços representados nos eixos das ordenadas. 
Sendo assim é possível traçar, para cada tipo de esforço, um gráfico que mostra como 
este esforço varia ao longo do comprimento do(s) eixo(s) da(s) barra(s). Estes gráficos, 
representando as funções de variação dos esforços internos em cada seção da estrutura, 
recebem o nome diagrama de esforços internos ou linhas de estado. 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
31 
 
As funções que representam os esforços internos são contínuas em trechos. Por este 
motivo, ao traçar um diagrama de estado devemos fazê-lo um trecho de cada vez. Um 
trecho é o conjunto de seções transversais limitado por seções onde: 
  aparece, ou desaparece, uma carga externa ou uma barra 
e/ou 
  ocorre mudança na lei que rege a direção do eixo da barra. 
As seções que limitam um trecho são chamadas de seções limites do trecho 
 
Procedimentos para análise e obtenção dos diagramas de esforços 
 Reações de apoio 
Determine todas as forças reativas e momentos de binário que atuam sobre a viga e 
decomponha todas as forças em componentes que atuam perpendicular e paralelamente 
ao eixo da viga. 
 Funções de esforço normal, esforço cortante e momento 
Especifique coordenadas separadas x tendo uma origem na extremidade esquerda da 
viga e estendendo-se para trechos da viga entre forças concentradas e/ou momentos de 
binário, ou onde a carga distribuída é contínua. 
Seccione a viga a cada distância x e desenhe o diagrama de corpo livre de um dos 
segmentos. Cuide para que N, V e M apareçam atuando em seu sentido positivo, de 
acordo com a convenção de sinal. 
O esforço normal N é obtido somando-se as forças direcionadas ao longo do eixo da viga. 
O esforço cortante V é obtido somando-se as forças perpendiculares ao eixo da viga. 
O momento M é obtido somando-se os momentos em relação à extremidade seccionada 
do segmento. 
Diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor 
Desenhe o diagrama do esforço normal (N versus x), o diagrama do esforço cortante (V 
versus x) e o diagrama de momento (M versus x). Se os valores calculados das funções 
descrevendo N, V e M forem positivos, os valores são desenhados acima do eixo x, 
enquanto valores negativos são desenhados abaixo do eixo x. 
Geralmente, é conveniente fazer os gráficos dos diagramas de esforço normal, esforço 
cortante e momento fletor diretamente abaixo do diagrama de corpo livre da viga. 
 
Método gráfico para construir diagramas de força cortante e momento fletor 
 
Quando uma viga está sujeita a vários carregamentos diferentes, determinar V e M em 
função de x e representar essas equações em gráfico pode ser bastante trabalhoso. 
Entretanto, existe um método mais simples para construir os diagramas de força cortante 
e momento fletor - um método baseado em duas relações diferenciais que existem entre 
carga distribuída, força de cisalhamento e momento fletor. 
Para obter essas duas relações diferenciais, considere a viga mostrada na figura abaixo, 
que está sujeita a um carregamento arbitrário. 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
32 
 
Um diagrama de corpo livre para um pequeno segmento 
Δx da viga é mostrado na figura ao lado. 
Visto que esse segmento foi escolhido em uma posição x 
onde não há nenhuma força concentrada nem momento 
conjugado, os resultados que serão obtidos não se 
aplicarão a esses pontos de carregamento concentrado. 
Observe que todos os carregamentos mostrados no 
segmento agem em suas direções positivas, de acordo 
com a convenção de sinal estabelecida. Além disso, 
ambos, cisalhamento e momento internos resultantes, que 
agem na face direita do segmento, devem sofrer uma 
pequena mudança finita para manter o segmento em 
equilíbrio. 
 
Observe também que a carga distribuída foi substituída por uma força resultante w(x)Δx 
que age a uma distância fracionária k(Δx) da extremidade direita, sendo 0 < k < 1. Se, por 
exemplo, w(x) for constante, então k = 1/2. 
Aplicando as duas equações de equilíbrio ao segmento, temos: 
 
Dividindo por Δx e calculando o limite quando Δx → 0, essas duas equações tornam-se: 
 
)(xw
dx
dV

 
V
dx
dM

 
 
Essas equações podem ser interpretadas, respectivamente, como: 
 
 
As equações obtidas também podem ser reescritas na forma dV = ‒w(x)dx e dM = Vdx. 
Observando que w(x)dx e Vdx representam áreas diferenciais sob o diagrama de carga 
distribuída e força cortante, respectivamente, podemos integrar essas áreas entre 
quaisquer dois pontos na viga e escrever: 
 
 dxxwV )(
 
 dxxVM )(
 
 
Mais uma vez, podemos interpretar essas equações, respectivamente, como: 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
33 
 
Os diagramas de esforços solicitantes, na 
Análise Estrutural, costumam ser 
representados sobre a própria estrutura, 
como mostram as figuras ao lado. 
Observe que, para o diagrama do esforço 
cortante (DEC), e também para o diagrama 
do esforço normal (DEN), representa-se o 
respectivo sinal do esforço, mas o 
diagrama do momento fletor (DMF), por 
convenção, é sempre representado no 
lado tracionado da barra. 
 
 
Exercícios 
 
1. Para a estrutura da figura ao lado, determinar as 
funções que expressam os esforços interno e traçar 
seus diagramas. 
 
 
2. Traçar os diagramas dos esforços cortantes V 
e de momentos fletores M da viga bi-apoiada, 
sujeita a três cargas concentradas representadas 
na figura ao lado. 
 
 
3. Represente graficamente os diagramas 
de força cortante e momento fletor para a 
viga ao lado. 
 
 
 
4. Um suporte de concreto armado é usado 
para apoiar as longarinas da plataforma de 
uma ponte. Represente graficamente os 
diagramas de força cortante e momento 
para o suporte quando submetido à carga 
das longarinas mostradas na figura. 
Considere que as colunas em A e B 
exercem somente reações verticais no 
suporte. 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
34 
 
5. Represente graficamente os diagramas 
de força cortante e momento fletor para o 
eixo. Os mancais em A e B exercem 
somente reações verticais sobre o eixo. 
Expresse também a força cortante e o 
momento no eixo em função de x dentro da 
região 125 mm < x < 725 mm. 
 
6. Para a viga bi-apoiada submetida a um momento 
concentrado, conforme indicadona figura ao lado, 
determinar as funções que expressam os esforços 
internos e traçar os diagramas. 
 
 
7. Para a viga bi-apoiada submetida a um momento 
concentrado, conforme indicado na figura ao lado, 
determinar as funções que expressam os esforços 
internos e traçar os diagramas. 
 
 
8. Para a viga bi-apoiada submetida a um 
carregamento vertical uniformemente distribuído, 
conforme indicado ao lado, determinar as funções 
que expressam os esforços internos e traçar seus 
diagramas. 
 
9. Para a viga bi-apoiada submetida a um 
carregamento vertical uniformemente distribuído, 
conforme indicado ao lado, determinar as funções 
que expressam os esforços internos e traçar seus 
diagramas. 
 
10. Um homem de massa 75 kg está sentado 
no meio de um barco com largura uniforme e 
peso de 50 N/m. Determine o momento fletor 
máximo exercido sobre o barco. Considere 
que a água exerce uma carga distribuída 
uniforme para cima na parte inferior do 
barco. Adote: g = 9,81 m/s2 
 
 
11. Represente graficamente os diagramas 
de força cortante e momento fletor para a 
viga. 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
35 
 
12. Represente graficamente os diagramas 
de força cortante e momento fletor para a 
viga e determine a força cortante e o 
momento em toda a viga em função de x. 
 
 
13. Obter as funções e traçar os diagramas dos 
esforços internos em uma viga bi-apoiada 
submetida a um carregamento triangular, conforme 
indicado ao lado. 
 
 
14. Obter as funções e traçar os diagramas dos 
esforços internos em uma viga bi-apoiada 
submetida a um carregamento triangular, conforme 
indicado ao lado. 
 
 
15. Represente graficamente os diagramas 
de força cortante e momento fletor para a 
viga. Os dois segmentos estão interligados 
por um pino em B. 
 
 
16. A equação dos esforços cortantes atuantes numa viga bi-apoiada de 6 m de vão é 
V(x) = 8 ‒ 2x +x2/6 (tf, m), sendo x a distância do apoio esquerdo à seção genérica que 
descreve a viga. Sabendo-se que, se houver carga-momento atuante, ela estará aplicada 
no apoio direito, pede-se: 
a) reconstituir o carregamento atuante; 
b) obter o momento fletor máximo atuante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
36 
 
TEORIA DAS ESTRUTURAS I – AULA 09 
 
Vigas Gerber 
 
As vigas Gerber recebem este nome em homenagem ao engenheiro alemão Heinrich 
Gerber (1832-1912) que inventou este tipo de estrutura para a construção de pontes. 
Estas vigas surgiram por duas razões: 
 estruturais, pois permitem deformações, evitando o surgimento de esforços internos 
devidos a recalques diferenciais nos apoios; 
 construtivas, pois permitem o lançamento de vigas pré-moldadas em vãos sobre leitos 
de rio ou de difícil acesso. 
A figura ao lado é uma representação 
simplificada de uma viga Gerber. 
Os dentes Gerber nada mais são do que 
rótulas (Mrot = 0) convenientemente 
introduzidas na estrutura de forma a, 
mantendo a sua estabilidade, torná-la 
isostática. 
 
As vigas Gerber têm lugar de importância na engenharia estrutural, e a tendência é de 
cada vez mais serem utilizadas, tendo em vista o desenvolvimento das técnicas de pré-
fabricação e montagem de estruturas. 
 
 
Consideremos a estrutura representada abaixo, estando o detalhe da seção C ampliado. 
 
Suponhamos carregado o trecho CD: este trecho não tem evidentemente estabilidade 
própria, pois as cargas, para serem equilibradas, necessitarão de reações de apoio em C 
e em D. Este último ponto é um apoio do 1º gênero e pode absorver uma força vertical; 
caberia, então, ao ponto C absorver uma força vertical e uma força horizontal, o que ele 
não é capaz de fazer, mas é capaz, entretanto, de transmitir estas forças ao trecho ABC. 
Fica, então, a estabilidade do trecho CD condicionada à estabilidade do trecho ABC que, 
em se tratando de uma viga bi-apoiada com balanço, é estável, o sendo então o conjunto 
ABCD. 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
37 
 
Se tivermos carregado o techo ABC, a carga solicitará apenas este trecho, pois, em se 
tratando de um trecho com estabilidade própria, nele mesmo encontrará o carregamento 
suas reações equilibrantes. 
O ponto C é, então, um ponto de transmissão de forças, não transmitindo momento algum 
(pois não impede nenhuma rotação à estrutura) e é representado, pois, por uma rótula, 
ficando o esquema estático da estrutura representado conforme a figura abaixo. 
 
 
As vigas Gerber podem, portanto, ser consideradas como uma associação de vigas 
simples (bi-apoiadas, bi-apoiadas com balanços ou engastadas e livres), umas com 
estabilidade própria (CEP) e outras sem estabilidade própria (SEP). 
Importante ressaltar que as partes SEP são também estáveis, entretanto a estabilidade 
delas depende da estabilidade das vigas sobre as quais se apoiam. 
As vigas Gerber, por serem associações de vigas isostáticas simples, podem ser 
calculadas estabelecendo o equilíbrio de cada uma de suas partes, resolvendo 
inicialmente as vigas simples que não têm estabilidade própria (SEP). A determinação das 
forças reativas das vigas SEP permite, pelo princípio da ação e reação, a aplicação da 
ação destas sobre as vigas simples com estabilidade própria (CEP). Alguns exemplos são 
dados na figura a seguir. 
 
 
As figuras a seguir mostram alguns exemplos de como uma viga Gerber pode ser 
decomposta. Os números indicam a sequência de resolução e as setas a transmissão de 
cargas. 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
38 
 
 
 
 
É importante ressaltar o fato de que um dos apoios da viga Gerber deve ser capaz de 
absorver forças horizontais, que irão diretamente para ele através das rótulas, provocando 
esforços normais na viga ao longo de sua trajetória. As cargas verticais, somente, serão 
as responsáveis pelos momentos fletores e esforços cortantes atuantes na viga Gerber, e 
é para obtê-los que necessitamos fazer a sua decomposição. É por esta razão que nesta 
decomposição não nos preocupamos se o apoio é do 1º ou 2º gênero, pois, para as 
cargas verticais, todos funcionam como se fossem do 1º gênero. 
Observação: Na figura acima, note que a última viga Gerber, devido ao fato de ter a 
rótula sobre o apoio intermediário (o que significa que os trechos AB e BC têm momento 
fletor nulo em B) funciona como se fossem duas vigas bi-apoiadas AB e BC 
independentes, que têm como única particularidade o fato das reações em B se somarem 
no apoio único existente. 
 
Na representação dos diagramas de esforços internos em estruturas reticulares planas, 
adotaremos aqui a mesma convenção de sinais utilizada no software Ftool. 
Para usar esta convenção devemos definir 
quais são as fibras inferiores e superiores 
das seções transversais das barras que 
constituem a estrutura. 
A figura ao lado mostra uma estrutura que 
contém barras com todas as direções 
possíveis. Nessa figura, as linhas cheias 
indicam as fibras superiores e as linhas 
tracejadas as fibras inferiores de cada 
barra. 
De acordo com essa convenção: 
 força normal e força cortante positivas são representadas no lado das fibras superiores 
dos elementos; 
 força normal e força cortante negativas são representadas no lado das fibras inferiores 
dos elementos; 
 momento fletor sempre representado no lado das fibras tracionadas. 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
39 
 
Vigas inclinadas 
 
É conveniente que as vigas inclinadas fechem o estudo de vigas e antecedam o estudo 
dos pórticos ou quadros planos. 
Nas vigas inclinadas surge, em geral, a necessidade de se trabalhar com dois sistemas 
de eixos referenciais: um global X-Y (para a determinação das reações de apoio) e um 
local x-y (para a determinação dos esforços solicitantes internos). 
No estudo das vigas inclinadasé de fundamental importância que se observe: 
 a direção da viga inclinada, expressa pelo ângulo 

 que a viga faz com a horizontal; 
 as orientações dos apoios e das respectivas forças reativas; 
 as direções dos carregamentos aplicados; 
 a forma de representação do carregamento distribuído 
 - ao longo das projeções horizontais Lh e/ou verticais Lv ou 
 - ao longo do comprimento inclinado L da viga 
 
 Viga inclinada submetida a um carregamento distribuído ao longo da projeção 
horizontal (Lh) 
 
Considere a viga de comprimento L e inclinada de um ângulo 

 com a horizontal e sujeita 
a uma carga uniformemente distribuída q ao longo de sua projeção horizontal (Lh). 
 
Para a determinação das reações de apoio, utilizando o sistema X-Y global, substituímos 
a carga distribuída q por uma carga concentrada R = q·Lh. As equações de equilíbrio 
permitem, então, obter as reações de apoio. 
Obtidas as reações de apoio, passamos a utilizar o sistema x-y local. Observe que, na 
figura anterior, o carregamento distribuído foi decomposto em suas componentes 
ortogonais no sistema de eixos x-y. O mesmo será feito com as reações de apoio. 
Conhecidas as cargas que atuam na direção x e na direção y locais, obtêm-se os 
diagramas de esforços. 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
40 
 
 Viga inclinada submetida a um carregamento distribuído ao longo da projeção 
vertical (Lv) 
 
Consideremos agora a viga de comprimento L e inclinada de um ângulo 

 com a 
horizontal e sujeita a uma carga uniformemente distribuída q ao longo de sua projeção 
vertical (Lv). 
 
Para a determinação das reações de apoio, utilizamos, mais uma vez, o sistema X-Y 
global, substituindo a carga distribuída q por uma carga concentrada R = q·Lv. As 
equações de equilíbrio permitem obter as reações de apoio. 
Obtidas as reações de apoio, passamos a utilizar, como já fizemos anteriormente, o 
sistema x-y local. Observe que, na figura anterior, o carregamento distribuído foi 
decomposto em suas componentes ortogonais no sistema de eixos x-y. O mesmo será 
feito com as reações de apoio. 
Conhecidas as cargas que atuam na direção x e na direção y locais, obtêm-se, então, os 
diagramas de esforços. 
 
 Viga inclinada submetida a carregamento distribuído perpendicular a seu eixo. 
 
No caso de um carregamento distribuído perpendicular ao eixo da viga, como mostrado 
abaixo, pode-se decompor tal carregamento em dois carregamentos, um distribuído ao 
longo da projeção horizontal e outro distribuído ao longo da projeção vertical. Recaímos, 
então, nos casos discutidos anteriormente. 
 
 
O resultado final é obtido com o princípio da superposição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
41 
 
Exercícios 
 
1. Determinar as reações de apoio para a viga Gerber mostrada abaixo. 
 
 
 
2. Determinar as reações de apoio para a viga Gerber mostrada abaixo. 
 
 
3. Determinar as reações de apoio para a viga Gerber mostrada abaixo. 
 
 
4. Resolver a viga Gerber da figura abaixo. 
 
 
 
 
5. Represente graficamente os diagramas 
de força cortante e momento fletor para a 
viga Gerber da figura ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
42 
 
6. Obtenha os diagramas de esforços solicitantes (momento e cortante) para a viga Gerber 
da figura abaixo. 
 
 
7. Calcular as reações nos apoios para a viga Gerber mostrada na figura e traçar os 
diagramas de esforços solicitantes (momento e cortante). 
 
 
 
8. Determine as reações de apoio e os 
diagramas de esforços solicitantes (normal, 
cortante e momento fletor) para a viga 
inclinada da figura ao lado. 
 
9. Determine as reações de apoio e os 
diagramas de esforços internos (normal, 
cortante e momento fletor) para a viga 
inclinada sujeita ao carregamento mostrado 
ao lado. 
 
10. Determine as reações de apoio e os 
diagramas de esforços internos (normal, 
cortante e momento fletor) para a viga 
inclinada sujeita ao carregamento mostrado 
ao lado. 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
43 
 
TEORIA DAS ESTRUTURAS I – AULA 10 
 
Pórticos isostáticos planos 
Em aulas anteriores já vimos como obter as reações 
de apoio em pórticos planos, com ou sem rótulas 
internas, carregados. Para isso definimos um sistema 
de eixos ortogonais, definido de maneira que as 
coordenadas x, y e z fossem sempre positivas. 
Este sistema de eixos costuma ser chamado de eixos 
globais e, a partir daqui, passaremos a representar 
tais eixos por X, Y e Z, como representado ao lado. 
 
Sistema de eixos globais 
Vamos agora determinar os diagramas de esforços 
internos atuantes em pórticos carregados e, para isso, 
é necessário que se defina, para cada elemento que 
compõe a estrutura, um sistema referencial local. 
Conforme mostrado na figura ao lado, os eixos locais 
serão representados pelas letras x, y e z minúsculas. 
Os eixos locais são obtidos fazendo coincidir os eixos 
x com os eixos dos elementos, sendo as origens 
posicionadas nos nós iniciais destes. A imposição 
desta única condição, no entanto, permite a escolha 
de diferentes sistemas locais. 
 
Sistema de eixos locais 
Objetivando uma uniformidade, as seguintes regras (válidas para os pórticos planos) 
serão estabelecidas: 
 as direções e os sentidos dos eixos z-locais devem ser os mesmos do eixo Z-global; 
 os sentidos dos eixos x-locais serão tais que a fibra inferior do elemento esteja sempre 
voltada para o interior do pórtico, conforme ilustrado pela linha tracejada da figura 
anterior. 
Cada elemento ou barra que compõe as estruturas reticulares tem o seu eixo local que, 
assim como o elemento, é definido pelos nós inicial e final de cada um destes elementos. 
A análise dos esforços internos solicitantes em cada elemento de um pórtico plano é feita 
utilizando o eixo local do elemento e a teoria de viga já estudada. 
 
Exercícios 
 
1. Determinar as reações de apoio e os 
diagramas de esforços internos para o 
pórtico plano da figura ao lado. 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
44 
 
2. Determinar as reações de apoio e os 
diagramas de esforços internos para o 
pórtico plano triarticulado da figura ao lado. 
 
 
3. Determinar as reações de apoio e os 
diagramas de esforços internos para o 
pórtico plano biapoiado com articulação e 
tirante (ou escora) da figura ao lado. 
 
As respostas devem ser confirmadas com a utilização do software Ftool. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
45 
 
TEORIA DAS ESTRUTURAS I – AULA 11 
 
Pórticos e barras curvas 
 
Nos pórticos simples podem ocorrer elementos ou barras com eixos curvos, conforme 
mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
A ocorrência de elementos curvos nos pórticos em nada altera a sua análise a não ser 
pelo fato de os sistemas locais das barras curvas terem, nas seções em análise, os eixos 
x tangentes e os eixos y perpendiculares aos eixos das barras. 
 
Exercícios 
 
1. Para a viga bi-apoiada, definida por uma 
semicircunferência de raio R e submetida a uma força 
concentrada P, conforme indicada na figura ao lado, 
determinar os esforços internos em uma seção genérica S 
em função do ângulo θ e traçar os diagramas 
correspondentes. 
 
 
2. Para a viga curva engastada, mostrada na figura 
ao lado, determinar os esforços internos em uma 
seção genérica S em função do ângulo θ e traçar os 
diagramas correspondentes. 
 
 
3. Para a viga curva engastada, mostrada na figura 
ao lado, determinar os esforços internos em uma 
seção genérica S em função do ângulo θ e traçar os 
diagramas correspondentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
46 
 
TEORIADAS ESTRUTURAS I – AULA 12 E 13 
 
Estruturas isostáticas tridimensionais 
 
O procedimento utilizado na análise das estruturas reticulares espaciais é análogo ao 
utilizado para estruturas reticulares planas. Para o caso mais geral das estruturas 
espaciais tem-se: 
 Deslocamentos 
ZYXZYX DDD θeθ,θ,,,
 
 Esforços externos 
ZYXZYX MMMFFF e,,,,
 
 Esforços internos N, VY, VZ, T, MY e MZ 
 
 Equações de equilíbrio estático 
0e00,0,,0,0  ZYXZYX MMMFFF
 
Como exemplo, vamos determinar os diagramas de 
esforços solicitantes para a grelha da figura ao lado. 
Como a estrutura está engastada não será necessário 
começar a resolução calculando as reações de apoio. 
 
O cálculo deve começar pela haste BC, encontrando-
se os esforços internos no ponto B. Então, analisando-
se o trecho BC, obtemos os esforços mostrados na 
figura ao lado: 
A seguir, transferimos esses esforços para o mesmo 
ponto B, agora da haste AB. Observe que o momento 
fletor da haste CB será transferido como um momento 
torsor para a haste AB. Podemos, então, calcular as 
reações no engaste A e obter: 
 
Os diagramas correspondentes são mostrados a seguir: 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
47 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Obter as reações de apoio e os diagramas solicitantes para a grelha triapoiada da 
figura abaixo. 
 
 
2. Obter os diagramas solicitantes para a 
grelha da figura ao lado, cujas barras 
formam, em todos os nós, ângulos de 90°. 
 
 
3. Obter as reções de apoio VB, VC e VE e os diagramas de esforços solicitantes para a 
grelha triapoiada da figura abaixo cujas barras formam, em todo os nós, ângulos de 90°. 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
48 
 
4. Obter os diagramas solicitantes para a 
grelha da figura a seguir, em que a carga 
de 2 tf é perpendicular ao plano ABC. 
 
 
5. Obter os diagramas solicitantes para a grelha da figura abaixo. 
 
OBS: Os ângulos entre as hastes não são 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
49 
 
TEORIA DAS ESTRUTURAS I – AULA 14 E 15 
 
Estudo das cargas móveis em estruturas isostáticas 
 
Classificação das cargas 
 
As cargas que solicitam uma estrutura podem ser classificadas em dois grandes grupos: o 
de cargas permanentes e o de cargas acidentais. 
As cargas permanentes são aquelas que atuam constantemente na estrutura, ao longo 
do tempo, e são devidas ao seu peso próprio e aos revestimentos e materiais de 
enchimento que ela suporta. O estudo dos esforços provocados por elas não apresentam 
maiores dificuldades, pois se tratam de cargas cuja posição e valor são conhecidos e 
invariáveis e temos estudado, até agora, esse tipo de carga. 
As cargas acidentais, conforme a própria denominação, são aquelas que podem ou não 
ocorrer na estrutura e são provocadas por ventos, empuxos de terra ou de água, impactos 
laterais, forças introduzidas por frenagens ou acelerações de veículos, sobrecargas 
(cargas de utilização) em edifícios, peso de materiais que vão preencher a estrutura (caso 
de reservatórios d’água, silos, etc.), efeitos de terremoto (de importância fundamental 
para os projetos em regiões sujeitas a abalos sísmicos), peso de neve acumulada em 
regiões frias e, finalmente, pelas assim denominadas cargas móveis, que são aquelas 
devidas a veículos que percorram a estrutura (caso de pontes rodoviárias ou ferroviárias, 
viadutos, pontes rolantes industriais) 
Para fins de análise estática, as cargas acidentais, com exceção das cargas móveis, são 
cargas que têm posição e valor conhecidos na estrutura, podendo ou não atuar ao longo 
do tempo. Seus esforços são calculados, pois, da mesma forma que os devidos a cargas 
permanentes, como temos feito até agora. 
O mesmo não acontece para as cargas móveis, pois, quando de sua ocorrência (embora 
tenham valores conhecidos), as posições que ocupam na estrutura variam à medida que 
os veículos por ela representados a atravessam. Se fôssemos estudá-las pelo processo 
até aqui empregado, teríamos que calcular esforços para cada uma das infinitas posições 
que elas podem ocupar enquanto percorrem a estrutura. Tal forma de tratamento é, 
evidentemente, inadequada e impraticável. Procuraremos, portanto, outra forma para 
resolver o problema das cargas móveis. 
 
Cargas trens-tipo 
 
Vamos supor que nossa missão seja projetar um viaduto ou ponte. Que veículos (cargas 
móveis) colocaremos sobre a estrutura? Em que ordem? 
 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
50 
 
A esta pergunta, diversos pesquisadores, em diversos países, responderam com a 
criação de veículos ideais, denominados trens-tipo (por influência das pontes ferroviárias), 
definidas pelas normas de projetos de cada país e que variam dependendo da natureza e 
da forma de projeto de cada país e da natureza e forma de utilização de cada estrutura. 
Os trens-tipos compõem-se de compressores, caminhões e multidão. A multidão 
representa o tráfego de veículos de pequeno porte que pode acompanhar a passagem do 
caminhão e/ou do compressor. A multidão é constituída por carga uniformemente 
distribuída 
Uma coisa têm, entretanto, os trens-tipo em comum: são constituídos por cargas 
(concentradas e ou uniformemente distribuídas), de valores conhecidos e guardando uma 
distância conhecida, constante, entre si. Desta forma, conhecida a posição de uma das 
cargas do trem-tipo, conhecemos imediatamente a posição de todas as demais. 
A figura a seguir mostra um exemplo representativo de um trem-tipo, em que todas as 
grandezas são conhecidas e com valores constantes. 
 
 
 
Devido à possibilidade de tráfego nos dois sentidos, suporemos, em geral, que o trem-tipo 
possa percorrer a estrutura nos dois sentidos. 
No Brasil, as cargas trens-tipos são definidas pela Norma NBR 7188/1982. 
 
O problema a resolver 
 
O problema que devemos resolver é o da determinação dos esforços máximos e mínimos 
provocados nas estruturas pelas cargas móveis, pois, de posse destes valores e 
conhecendo os esforços devidos às cargas de tipo permanente (permanentes 
propriamente ditas e acidentais não-móveis), saberemos entre que valores extremos 
variarão os esforços em cada seção da estrutura, tendo, portanto, definida a sua faixa de 
trabalho. 
Suponhamos, por exemplo, que numa seção de uma viga atue um momento fletor de 
20 tf·m devido às cargas tipo permanente e que os momentos máximo e mínimo devidos 
à carga móvel valham 60 tf·m e ‒40 tf·m. Esta seção trabalhará, portanto, entre os 
momentos ‒20 tf·m e 80 tf·m, isto é, se for estável para estes dois valores, também o será 
para os demais ontermediários. 
A forma de resolução do problema será através do processo das linhas de influência. 
Este processo terá sempre duas fases: supor-se-á, inicialmente, que o trem-tipo seja 
constituído por uma única carga concentrada unitária (caso mais simples possível para 
estudo) e, após, serão feitos os necessários cálculos para se obter os resultados levando 
em conta a trem-tipo. 
 
Linhas de influência 
 
Uma carga atuando sobre uma estrutura provoca nela diversos efeitos, como reações dos 
apoios, solicitações internas (momento fletor, cortante e normal) em uma seção qualquer, 
esforços nas hastes se a barra for reticulada, tensões internas, deformações elásticas. Os 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
51 
 
valores destes efeitos dependem da posição da carga, de sua intensidade e de sua 
direção. 
Considerando um efeito qualquer daqueles citados, este é proporcional à intensidade P 
da carga (dentro do limite de elasticidade). Assim, convém estudar o efeito de uma carga 
unitária, porque basta multiplicá-lo por P para se obter o efeito de uma carga P qualquer. 
A direção da carga será, a princípio, vertical, mas todavia podem ser consideradascargas 
em qualquer direção. 
A linha de influência de um determinado efeito é o diagrama por meio do qual podemos 
determinar o valor do esforço em uma dada seção transversal da estrutura como efeito 
provocado por uma carga unitária móvel. 
É importante observar a diferença entre diagramas de esforços internos, também 
chamados de linhas de estado, e linhas de influência. 
Os diagramas de esforços fornecem, para um dado carregamento da estrutura, o valor do 
esforço correspondente em qualquer seção transversal da estrutura. 
As linhas de influência fornecem, para uma dada seção transversal, o valor do esforço 
correspondente a uma carga unitária que se move sobre a estrutura. 
Resumindo para o caso de momento fletor: 
 se a carga P é fixa e a seção S é móvel  Linha de estado de M 
 se a carga P é móvel e a seção S é fixa  Linha de influência de MS 
Mij  i – efeito; j – causa 
MSB  momento fletor em S (efeito) para uma carga unitária P = 1 aplicada em B (causa) 
 
Demonstra-se que, nas estruturas isostáticas, as linhas de influência são sempre retas, 
bastando, para seu traçado, que sejam determinadas as ordenadas da linha em algumas 
seções-chave. 
 
 
Linhas de influência para reações de apoio 
 
Consideremos a viga bi-apoiada com balanços laterais da figura abaixo. 
 
 
 
Vamos determinar qual o efeito que uma carga concentrada unitária P = 1 terá sobre as 
reações de apoio, Ay e By, à medida que esta carga se desloca da extremidade esquerda 
(x = 0) para a extremidade direita da viga (x = L + 2b). 
 
 
 
Vamos analisar o efeito de P sobre as reações de apoio em 5 posições diferentes: 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
52 
 
 para x = 0, obtemos: Ay = 
L
Lb 
 e By = 
L
b

 
 para x = b, obtemos: Ay = 1 e By = 0 
 para x = b + L/2, obtemos: Ay = 
2
1
 e By = 
2
1
 
 para x = b + L, obtemos: Ay = 0 e By = 1 
 para x = 2b + L, obtemos: Ay = 
L
b

 e By = 
L
Lb 
 
Podemos agora traçar as linhas de influência das reações de apoio. Os valores positivos 
das linhas de influência serão marcados abaixo do eixo e os valores negativos acima do 
eixo da estrutura (eixo x). Então: 
 linha de influência da reação de apoio em A 
 
 linha de influência da reação de apoio em B 
 
Para mostrar como as linhas de influência podem ser usadas, vamos 
considerar que a viga do exemplo anterior seja uma ponte e que um 
caminhão trem-tipo, mostrado ao lado, atravesse essa ponte. 
Calcular a maior intensidade da reação do apoio A, positiva ou 
negativa (caso exista), durante a passagem deste caminhão pela 
ponte. Considere: b = 10 m e L = 20 m. 
 
Com os valores de b e L fornecidos, a linha de influência de Ay fica: 
 
Utilizando a linha de influência de Ay e carregando a viga da forma mais favorável e da 
forma mais desfavorável, teremos: 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
53 
 
 
 
Para a situação mais desfavorável: Ay = 1,5·6 + 1,25·6  Ay = 16,5 tf () 
Para a situação menos desfavorável: Ay = ‒0,25·6 ‒ 0,5·6  Ay = ‒4,5 tf () 
 
Observe que apenas para a linha de influência das reações de apoio não necessitamos 
especificar a seção à qual ela se refere; as demais linhas de influência (força cortante e 
momento fletor) só podem ser construídas para uma determinada seção transversal da 
estrutura. 
 
Linha de influência da força cortante 
 
Vamos considerar, como exemplo, a mesma viga do exemplo anterior e calcular, agora, a 
linha de influência da força cortante em uma seção S, destacada na figura abaixo, no vão 
central da estrutura. 
 
Devemos, agora, determinar a força cortante VS, na seção S, à medida que a carga 
concentrada unitária P = 1 desloca-se da extremidade esquerda (x = 0) para a 
extremidade direita da viga (x = L + 2b). 
 
Vamos calcular a força cortante na seção S para 5 posições diferentes da carga móvel 
unitária P: 
 para P em x = 0, teremos: Ay = 
L
Lb 
 e VS = 
L
b
 
 para P em x = b, obtemos: Ay = 1 e VS = 0 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
54 
 
 para P em x = b + a, obtemos: Ay = 
L
c
 
Para esta posição da carga concentrada P, devemos considerar que P está 
imediatamente à esquerda de S ou imediatamente à direita de S. 
Teremos, então, para P à esquerda: VS(esquerda) = Ay ‒ 1 = 
L
c
 ‒ 1  VS(esquerda) = 
L
Lc 
 
E para P à direita de S: VS(direita) = Ay  VS(direita) = 
L
c
 
 
 para P em x = b + L, obtemos: Ay = 0 e VS = 0 
 
 para P em x = 2·b + L, obtemos: Ay = ‒
L
b
 e VS = ‒
L
b
 
 
Podemos agora traçar a linha de influência da força cortante para a seção S. 
 
Observe que os dois trechos de reta, que representam a linha de influência, são paralelos 
entre si. 
 
Linha de influência do momento fletor 
 
Vamos considerar, como exemplo, a mesma viga do exemplo anterior e calcular, agora, a 
linha de influência do momento fletor em uma seção S, destacada na figura abaixo, no 
vão central da estrutura. 
 
Devemos, agora, determinar o momento fletor MS, na seção S, à medida que a carga 
concentrada unitária P = 1 desloca-se da extremidade esquerda (x = 0) para a 
extremidade direita da viga (x = L + 2b). 
 
Vamos calcular o momento fletor na seção S para 4 posições diferentes da carga móvel 
unitária P: 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
55 
 
 para P em x = 0, teremos: Ay = 
L
Lb 
 e MS = 






 1
L
a
b
 = ‒
L
cb 
 
 para P em x = b, obtemos: Ay = 1 e MS = 0 
 para P em x = b + a, obtemos: Ay = 
L
c
 e MS = 
L
ca 
 
 para P em x = b + L, obtemos: Ay = 0 e MS = 0 
 
Observe que os valores de MS calculado, para os dois apoios e para a seção S, já permite 
determinar a linha de influência do momento fletor, pois são trechos de reta. Então: 
 
Como aplicação, vamos calcular o maior momento fletor, positivo ou negativo, na seção S 
para o mesmo trem-tipo do exemplo anterior. Vamos considerar, então: L = 20 m, 
b = 10 m, a = 12 m e c = 8 m. 
Com estes valores, a linha de influência fica: 
 
Com o trem-tipo, obtemos: 
 
 
 
Máximo momento fletor positivo: MS = 6·4,8 + 6· 2,8  MS = 45,6 tf·m 
Máximo momento fletor negativo: MS = 6·(‒6,0) + 6·(‒3,0)  MS = ‒ 54 tf·m 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
56 
 
Envoltória de esforços 
 
A envoltória de esforços, por definição, é o lugar geométrico dos esforços máximos (de 
ambos os sinais) atuantes em cada seção da estrutura. 
Vamos determinar, a título de exemplo, a envoltória de momentos fletores para a viga que 
acabamos de analisar. 
Para o traçado da envoltória, devemos 
tomar a linha de influência genérica 
calculada, (mostrada ao lado) e 
substituir nela valores de a e c que 
permitam calcular valores máximos 
(positivos ou negativos) em várias 
seções para, depois, desenhar a linha 
de momentos máximos e a linha de 
momentos mínimos que, juntas, 
constituem a envoltória nas condições 
do trem-tipo. 
 
Vamos considerar apenas o vão central entre os apoios A e B e dividi-lo, por exemplo, em 
5 partes iguais. Lembrando que L = 20 m e b = 10 m, teremos: 
 para a = 4 m e c = 16 m 
 
MS+ = 6 · 3,2 + 6 · 2,2 
MS+ = + 32,4 tf·m 
e 
MS‒ = 6 · (‒8,0) + 6 · (‒4,0) 
MS‒ = ‒ 72,0 tf·m 
 
 para a = 8 m e c = 12 m 
 
MS+ = 6 · 4,8 + 6 · 2,8 
MS+ = + 45,6 tf·m 
e 
MS‒ = 6 · (‒6,0) + 6 · (‒3,0) 
MS‒ = ‒ 54,0 tf·m 
 
 para a = 12 m e c = 8 m 
 
MS+ = 6 · 4,8 + 6 · 2,8 
MS+ = + 45,6 tf·m 
e 
MS‒ = 6 · (‒6,0) + 6 · (‒3,0) 
MS‒ = ‒ 54,0 tf·m 
 
Teoria das Estruturas I CCE0370 
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 para a = 16 m e c = 4 m 
 
MS+ = 6 · 3,2 + 6 · 2,2 
MS+ = + 32,4 tf·m 
e 
MS‒ = 6 · (‒8,0) + 6 · (‒4,0) 
MS‒ = ‒ 72,0 tf·m 
 
Podemos agora traçar a envoltória de momentos fletores para a viga que estamos