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Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais e do Teorema de Castigliano (2010)

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Universidade Federal do Rio Grande 
Escola de Engenharia - Curso de Engenharia Civil 
Disciplina de Resistência dos Materiais 
Prof. Mauro de Vasconcelos Real 
 
 
 
 
 
Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais e 
do Teorema de Castigliano 
 
 
 
 
Kadan Griebeler – 42643 
Ana Paula Ribeiro – 42667 
Ariadne Bassani Maciel – 42640 
Alice Tavares da Silva – 42653 
Alexandra Damas – 42626 
 
 
 
 
Rio Grande 
2010 
2 
 
Universidade Federal do Rio Grande 
Escola de Engenharia - Curso de Engenharia Civil 
Disciplina de Resistência dos Materiais 
Prof. Mauro de Vasconcelos Real 
 
 
 
 
Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais e 
do Teorema de Castigliano 
Trabalho apresentado à disciplina de 
Resistência dos Materiais, ministrada 
pelo Prof. Dr. Mauro de Vasconcelos 
Real, para obtenção parcial de nota no 
curso de graduação em Engenharia 
Civil. 
 
 
Kadan Griebeler – 42643 
Ana Paula Ribeiro – 42667 
Ariadne Bassani Maciel – 42640 
Alice Tavares da Silva – 42653 
Alexandra Damas – 42626 
 
 
 
Rio Grande 
2010 
 
3 
 
 
Sumário 
 
Introdução .......................................................................................................... 4 
Princípio do Trabalho Virtual .............................................................................. 5 
Princípio dos trabalhos virtuais para treliças ...................................................... 6 
Exemplo de aplicação do princípio dos trabalhos virtuais para treliças .............. 7 
Teorema de Castigliano para vigas .................................................................. 26 
Exemplo de aplicação do Teorema de Castigliano .......................................... 27 
Conclusão ........................................................................................................ 30 
 
 
III 
4 
 
Introdução 
Neste trabalho explicaremos e aplicaremos dois métodos de energia 
para obtenção do deslocamento de um ponto específico em uma estrutura. 
Analisaremos a deflexão de um ponto numa treliça através do Princípio dos 
Trabalhos Virtuais e a deflexão de um ponto numa viga através do Teorema de 
Castigliano. 
 
5 
 
Princípio do Trabalho Virtual 
O princípio do trabalho virtual baseia-se na conservação de energia. 
Para o caso em que as forças internas e externas de um corpo estão 
relacionadas através das equações de equilíbrio, a conservação de energia diz 
que: 
ie UU 
 (1) 
uP 
 (2) 
Sendo P e Δ as forças e deslocamentos externos, e u e δ as forças e 
deslocamentos internos, respectivamente. 
Em um corpo no qual se quer achar o deslocamento realizado em um 
ponto por um conjunto de forças, é possível substituir as forças reais por 
apenas uma carga unitária virtual, que atua no ponto e na direção do 
deslocamento. Da mesma forma que as cargas reais externas criam forças 
internas, esta carga unitária virtual criará uma força virtual interna em um 
elemento do corpo aparecendo assim trabalho virtual externo e interno. Pode-
se então relacionar as cargas virtuais e os deslocamentos reais através da 
equação do trabalho virtual: 
dLu1
 (3) 
Percebe-se que o deslocamento real Δ é facilmente calculado devido à 
carga virtual aplicada ser unitária. 
De maneira semelhante, o deslocamento por rotação em certo ponto 
de um corpo pode ser determinado aplicando-se um momento conjugado 
unitário no ponto, utilizando-se a fórmula: 
dLu  1
 (4) 
Trabalho virtual interno 
Os termos 
dLu
e 
dLu  
 das equações acima representam o 
trabalho virtual interno desenvolvido no corpo. 
No método da força virtual, a carga virtual “total” é aplicada antes que 
as forças reais provoquem os deslocamentos e, portanto, o trabalho da carga 
virtual interna é simplesmente o produto da carga virtual interna por seu 
deslocamento real. A partir disso podemos escrever a equação do trabalho 
virtual para um corpo sujeito a carregamento geral como: 
   dxGJ
tT
dx
GA
VF
dx
EI
mM
dx
AE
nN c1 (5) 
6 
 
 
Princípio dos trabalhos virtuais para treliças 
Se aplicarmos uma carga qualquer a treliça e essa provocar somente 
força axial nos elementos, só é preciso considerar o trabalho virtual interno 
devido à carga axial. Para obtermos o valor de tal trabalho, será preciso 
considerar que cada elemento tenha área da seção transversal A constante e 
que a carga axial n e a carga real N sejam constantes ao longo de todo o seu 
comprimento. Assim, a equação do trabalho virtual para qualquer ponto na 
treliça é: 
EA
nNL
1
 (6) 
Onde: 
1 = carga unitária virtual externa que atua no nó da treliça na direção de 
Δ; 
Δ = deslocamento do nó, provocado pelas cargas reais sobre a treliça; 
n = força virtual interna no elemento da treliça, provocada pela carga 
virtual unitária externa; 
N = força interna no elemento da treliça, provocada pelas cargas reais; 
L = comprimento do elemento; 
A = área da seção transversal do elemento; 
E = módulo de elasticidade do elemento. 
7 
 
Exemplo de aplicação do princípio dos trabalhos virtuais para treliças 
Para a treliça isostática mostrada na figura abaixo, 𝑎 = 4m, 𝑏 = 3m, F1 
= 50KN, F2 = 50KN, F3 = 50KN. Determinar através do Princípio dos Trabalhos 
Virtuais o deslocamento vertical do nó D. Considerar E = 200GPa e que todas 
as barras possuem uma área de seção transversal igual a 5000 mm². 
 
 
 
Considerando que: 𝑎 = 4 e 𝑏 = 3. 
Primeiramente resolvemos a treliça para o carregamento dado. 
Utilizando as condições de equilíbrio 
0
A
ZM
, 
0
G
ZM
 e 
0 yF
, 
calculamos as reações descritas abaixo: 
𝐴𝑦 = 100𝐾𝑁 
𝐺𝑦 = 50𝐾𝑁 
Para acharmos os esforços nas barras é necessário obtermos o valor 
do ângulo 

, cujo cálculo é descrito abaixo: 
𝜃 = tan−1
4
3
≅ 53,13° 
 
50𝐾𝑁 
 
50𝐾𝑁 
 
50𝐾𝑁
 
 
 50𝐾𝑁 
𝜃 
𝑁 
𝐴 
𝑀 𝐿 
𝐵 
𝐾 𝐽 𝐼 𝐻 
𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 
𝐺 
6𝑏 
𝑎 
S2 S3 S4 S5 S1 
𝜃 
8 
 
Os esforços normais de cada barra foram obtidos através do método 
das seções de Ritter e do método dos nós. Os cálculos realizados são 
apresentados a seguir: 
Nó A: 
 
 
 
 
𝑁𝐴𝐵 = 0 
𝑁𝐴𝑁 = −100𝐾𝑁 
Nó N: 
 
 
 
 
𝑁𝑁𝐵 = 125𝐾𝑁 
𝑁𝑁𝑀 = −75𝐾𝑁 
 
Nó B: 
 
 
 
 
𝑁𝐵𝑀 = −100𝐾𝑁 
𝑁𝐵𝐶 = 75𝐾𝑁 
 
 
100𝐾𝑁 
 
𝑁𝐴𝐵 
 
𝑁𝐴𝑁 
 
𝐴 
 
𝑁𝑁𝑀 
100𝐾𝑁 
 
𝑁𝑁𝐵 
 
𝑁 
𝜃 
𝜃 
𝑁𝐵𝑀 
𝑁𝐵𝐶 
125𝐾𝑁 
𝑂 
𝐵 
9 
 
𝑆1: 
 
 
 
 
 
∑𝑀𝑐 = 0 
100 × 6 − 𝑁𝑀𝐿 × 4 − 50 × 3 = 0 
𝑁𝑀𝐿 = −112,5𝐾𝑁 
𝑆2: 
 
 
 
 
 
∑𝑀𝐷 = 0 
100 × 9 − 50 × 6 − 50 × 3 − 𝑁𝐿𝐾 × 4 = 0 
𝑁𝐿𝐾 = −112,5𝐾𝑁 
𝑆3: 
 
∑𝑀𝐷 = 0 
100 × 9 − 50 × 6 − 50 × 3 − 𝑁𝐾𝐽 × 4 = 0 
50𝐾𝑁 
 
S1 
𝑁 
𝐴 
𝑀 
𝐵 
𝜃 
𝜃 
100𝐾𝑁 
 
100𝐾𝑁 
 
𝑁 
𝜃 
𝜃 
𝐴 
𝑀 
𝐵 
𝐿 
50𝐾𝑁 
 
𝐶 
50𝐾𝑁 
 
S2 
C D 
L K 
50KN 
B 
A 
N M 
50KN 50KN 
100KN 
S3 
θ 
θ 
10 
 
𝑁𝐾𝐽 = −112,5𝐾𝑁 
𝑆4: 
 
∑𝑀𝐸 = 0 
100 × 12 − 50 × 3 − 50 × 6 − 50 × 9 − 𝑁𝐼𝐽 × 4 = 0 
𝑁𝐼𝐽 = −75𝐾𝑁 
𝑆5:

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