MATEMATICA BASICA

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Conjuntos
Introdução 
A Teoria dos Conjuntos, um dos temas de matemática que aparecem no Enem, foi formulada no fim do século XIX pelo matemático russo Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor. Conjuntos não podem ser definidos, mas entende-se por conjunto toda lista de objetos, símbolos que seja bem definida.
Conceitos primitivos:
- Conjunto;
- Elemento;
- Pertinência.
Ao pensarmos em uma coleção de objetos, podemos associar a conjunto. Esses objetos da coleção são o que chamamos de elementos do conjunto. Se um elemento está presente em um conjunto, dizemos que o elemento pertence (∈∈) ao conjunto. Caso contrário, dizemos que ele não pertence.
Símbolos 
A linguagem escrita pode ser simplificada com os símbolos descritos nos exemplos a seguir:
- O elemento 1(um) pertence ao conjunto A: 3∈A3∈A
- O elemento 3 não pertence ao conjunto A: 3∉A3∉A
- Existe algum: ∃∃
- Qualquer que seja: ∀∀
- Tal que: |
Conjuntos importantes:
- Conjunto vazio: não possui nenhum elemento. É representado por ∅∅ ou {  }.
- Conjunto unitário: possui um único elemento.
Representações 
Um conjunto pode ser representado da seguinte maneira:
Enumerando seus elementos entre chaves, separados por vírgulas;
Exemplos:
A = {–1, 0, 1}
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracterize cada um de seus elementos;
Exemplos:
A=x∈Z |−2<x<2A=x∈Z |−2<x<2
N=x∈Zx≥0N=x∈Zx≥0
Por meio de uma figura fechada, dentro da qual podem-se escrever seus elementos. “Diagrama de Venn-Euler”.
A   NN
Conjuntos Iguais
Os conjuntos A e B são iguais quando possuem os mesmos elementos. Representa-se A = B.
Subconjuntos
O conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de A é elemento de B. Representa-se A⊂BA⊂B(A está contido em B).
Propriedades: 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, tem-se:
- A ⊂⊂ A
- ∅⊂∅⊂ A
- (A⊂B e B⊂A)⇔A=B(A⊂B e B⊂A)⇔A=B
- (A⊂B e B⊂C)=>A⊂C(A⊂B e B⊂C)=>A⊂C
Conjunto das partes
É o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de A. É representado por P(A).
Propriedade: se o conjunto A possui n elementos, então P(A) possui 2n2n elementos, ou seja, o conjunto A possui 2n2n subconjuntos.
Operações com conjuntos 
União
Intuitivamente, unir dois ou mais conjuntos significa agrupá-los com intuito de torná-los um s
Definição: 
Dados dois conjuntos A e B, representa-se e define-se o conjunto união de A e B por:
A∪B=A∪B= {xx∈A ou x∈Bxx∈A ou x∈B}
- A∪∅A∪∅ = A (elemento neutro);
- A∪AA∪A = A (recíproca)
- A∪B=B∪AA∪B=B∪A (comutativa)
- A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C (associativa)
Exemplos:
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter:
a) A ∪ B.
b) A ∪ B ∪ C.
Solução:
a) A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}
b) A ∪ B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Interseção
Intuitivamente, um elemento faz parte da interseção de dois ou mais conjuntos, se ele pertence a todos esses conjuntos ao mesmo tempo.
Definição:                                                                                                                                            Dados dois conjuntos A e B, representa-se e define-se o conjunto interseção de A e B por:
A ∩ B = {x  x ∈ A e x ∈ B}
Para três conjuntos arbitrários A, B e C, valem as seguintes propriedades:
- A ∩ ∅ = ∅
- A ∩ A = A (recíproca)
- A ∩ B = B ∩ A (comutativa)
- A ∩ (B ∩ C)  =  (A ∩ B) ∩ C (associativa)
Exemplos:
Dados os conjuntos A = {0, 1, 5}, B = {0, 2, 5, 7}, C = {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos obter:
a) A ∩ B.
b) A ∩ C.
c) A ∩ B ∩ D.
Solução:
a) A ∩ B = {0, 5}
b) A ∩ C = Ø
c) A ∩ B ∩ D = {0}
Diferença entre conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, define-se o conjunto diferença A - B por:
A – B = {x  x ∈ A e x ∉ B}
Para a diferença entre conjuntos, valem as seguintes propriedades:
- A – ∅ = A
- ∅ – A = ∅
- A – A = ∅
Exemplo 1:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}, obtenha:
a) A – B.
b) B – A.
Solução:
a) A – B = {1, 2, 3, 4, 5} – {2, 4, 6} = {1, 3, 5}
b) B – A = {2, 4, 6} – {1, 2, 3, 4, 5} = {6}
Exemplo 2:
Se A = {x natural, menor que 10 / x é par} e B = {x natural, menor que 10 / x é primo}. Determine A – B e B – A.
Respostas:
a) A – B = {0, 4, 6, 8}
b) B – A = {3, 5, 7}
Complementar de um conjunto
Dados dois conjuntos A e V tais que A ⊂ V, representa-se o complementar de A em relação a V porC_V_VA, A¯¯¯A¯¯¯ ou A'. Por definição, C_V_VA = V – A.
São válidas as seguintes propriedades:
- CV=(A∪B)=CVA∩CVBCV=(A∪B)=CVA∩CVB
- CV(A∪B)=CVA∩CVBCV(A∪B)=CVA∩CVB
Exemplo:
Dados os conjuntos X = {1, 2, 4}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}, X ⊂ Y. Obter C_Y_YX.
C_Y_YX = Y – X = {1, 2, 3, 4, 5} – {1, 2, 4} = {3, 5}
Princípio da inclusão e exclusão (para dois conjuntos)
Princípio que serve para calcular o número de elemento da união de dois conjuntos A e B, em função do número de elementos de A, de B e de A interseção B.
 
n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)
Onde:
n(A) = número de elementos do conjunto A;
n(B) = número de elementos do conjunto B;
n(A ∩ B) = número de elementos da interseção;
n(A ∪ B) = número de elementos da união.
Exemplo:
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, temos:
- A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
- A ∩ B = {4, 5, 6, 7}
Podemos comprovar pelo princípio da inclusão e exclusão que:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
9 = 7 + 6 – 4 (verdadeiro)
Exercícios 
1. Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: “Quem é torcedor do Flamengo?” 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: “Quem é nascido na cidade do Rio de Janeiro?” 28 levantaram o braço. Sabendo que nenhum aluno deixou de levantar o braço, vamos determinar quantos alunos são flamenguistas e cariocas.
Solução 
Flamenguistas: F
Cariocas: C
n(F U C) = 42 (total de alunos)
n(F) = 36; n(C) = 28; n(F  C) = x
Pelo PIE, temos:
42 = 36 + 28 – x
42 = 64 – x; assim, x = 22
Logo; n(F  C) = x = 22
2. (UFF) Os conjuntos não-vazios M, N e P estão, isoladamente, representados abaixo. Considere a seguinte figura que estes conjuntos formam.
A região hachurada pode ser representada por:
a) M ∪ (N ∩ P) 
b) M – (N ∪ P) 
c) M ∪ (N – P)
d) N – (M ∪ P)
e) N ∪ (P ∩ M)
Solução
Opção (B). Os elementos da região hachurada pertencem a M e não pertencem a N∪PN∪P.
O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.[1] [2]
Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.
Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.
Denomina-se corpo dos números reais a coleção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais,[3] formado pelo corpo de frações associado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infinito.
Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada ..
Aritmética
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Tabela de adição (Tabela de Dupla Entrada em português europeu).
A aritmética (da palavra grega ἀριθμός, arithmós[Nota 1] , "número") é o ramo da matemática que lida com números e com as operações possíveis entre eles. É o ramo mais antigo e mais elementar da matemática, usado por quase todos, seja em tarefas do cotidiano, em cálculos científicos ou de negócios. Matemáticos profissionais, por vezes, usam o termo "aritmética superior"[1] quando se refere a resultados mais avançados relacionados à teoria dos números, mas isso não deve ser confundido com a aritmética elementar. Resumidamente são as quatro operações matemáticas, ou seja, adição, subtração, multiplicação e divisão
Proporcionalidade
Grandezas inversamente proporcionaisCarlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
Algumas proporções (relação entre grandezas) merecem atenção especial na hora de sua resolução. Não basta aplicar a regra de três simples, já que se trata de proporções de grandezas inversamente proporcionais: enquanto uma grandeza cresce a outra diminui.
Se 5 operários levantam um muro em 10 dias, quantos operários serão necessários para levantar o mesmo muro em 2 dias?
Note que as grandezas são inversamente proporcionais, pois, quanto mais operários são contratados, menor o tempo necessário para o trabalho. Como equacioná-las? 
1ª regra: colocar as grandezas iguais na mesma coluna:
	<="" td="">
2ª regra: como as grandezas são inversamente proporcionais, deve-se inverter uma das colunas:
	<="" td="">
3ª regra multiplicar em cruz:
	<="" td="">
Logo:
	<="" td="">
Será necessário aumentar de 5 para 25 o número de operários a fim de diminuir o tempo de 10 para 2 dias.
Juros Simples e Compostos 
Juros Simples
Regime de Juros Simples
O regime de juros simples não é muito utilizado pelo atual sistema financeiro nacional, mas ele se relaciona à cobrança em financiamentos, compras a prazo, impostos atrasados, aplicações bancárias, etc. Nesse regime, a taxa de juros é somada ao capital inicial durante o período da aplicação. O cálculo para juros simples é dado pela fórmula:
J = PV x i x n
J = Juro
PV = Capital inicial, principal ou valor presente
i = taxa de juros
n = número de períodos em que foi aplicado o capital
No cálculo do juro simples, também chamado de juro comercial, o juro sob o capital aplicado é diretamente proporcional ao capital e o tempo de aplicação. Através da taxa de juros, irá variar ao longo do período. Assim, utiliza-se o ano comercial, sendo 360 dias no ano e 30 dias no mês. Ex.:
Saiba Calcular Juros Simples
1) Qual o valor dos juros aplicados a um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros simples de 6% ao mês?
Dados encontrados:
PV= R$ 200
i = 6 %a.m.
n = 6 meses
J = ?
Conversão da taxa de juros:
6% → 6/100 → 0,06
Resolução:
J = PV x i x n → J = R$ 200 x 0,06 x 6 → J = R$ 72,00
Explicação do Problema em Juros Simples
1º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
2º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
3º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
4º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
5º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
6º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
Na soma dos juros durante seis meses temos R$ 72,00 de juros. Com esse exemplo, verifica-se que no cálculo de juros simples, os juros são iguais, pois ele sempre será acrescentado ao capital inicial.
Importante 
Os períodos sempre devem estar na mesma unidade de tempo da taxa de juros:
Taxa de Juros = 6% ao mês (a.m.)
Número de Períodos= 6 meses 
Caso contrário, é preciso ajustar os elementos. Veja:
Taxa de Juros = 0,06% ao semestre (a.s.)
Número de Períodos = 3 anos → 6 semestres
 
Cálculo de Juros Simples em Períodos Não Inteiros
Existem situações em que o prazo da aplicação é um número não inteiro, sendo preciso utilizar frações de períodos para que não hajam erros no valor final. Supondo que o período de aplicação é 5 anos e 9 meses, é sugerido as seguintes soluções para transformá-lo de acordo com a taxa de juros:
1) transformar o período para semestres ou meses: 69 meses ou 11,5 semestres.
2) transformar o período e a taxa para a mesma unidade de tempo:
n = 5 anos e 9 meses → 69 meses
i =Juros Compostos
Regime de Capitalização Composta
Esse regime é utilizado amplamente pelo sistema financeiro, no dia a dia e em diversos cálculos econômicos. Os juros são gerados em cada período e acrescentados ao capital principal para o cálculo dos juros no período posterior.
Nesse regime, diz-se que os juros são capitalizados, pois a cada período o juro é adicionado ao capital inicial. Assim, não existe capitalização no regime de juros simples, pois apenas o capital inicial rende juros.
Para o cálculo do juro composto é utilizado a seguinte fórmula:
M= C (1+i)ᵑ
Saiba Calcular Juros Compostos
1) Qual será o montante de um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros composta de 6% ao mês?
Dados encontrados:
PV= R$ 200
i = 6 %a.m.
N = 6 meses
M= ?
Conversão da taxa de juros:
6% → 6/100 → 0,06
Resolução:
M = C (1+i)n → M = R$ 200 (1+ 0,06)⁶ → M = R$ 200 (1,06)⁶ → M = R$ 200 x 1,41 → M= R$283,70
A diferença entre o capital inicial e o montante é o Juro Composto. Veja:
J = C – M → J = R$ 200 – 283,70 → J = R$ 83,70
Veja a diferença dos juros simples para os juros compostos:
 20% a.s → 20/6 → 3,3 % ao mês
Importante:
No mercado financeiro, a taxa de juros sempre é dada na forma percentual, mas para a realização dos cálculos é preciso transformar a taxa em fracionária. Veja o quadro:
 
Outro fato que deve ser considerado no cálculo dos juros é o tempo da aplicação. Se os meses forem de 30 dias, os juros são comerciais, referente aos anos comerciais (360 dias). Se for considerado o ano civil (365 dias), os juros serão chamados de exatos.
Saiba como calcular juros:
1) Calcule os juros de uma aplicação de R$5.000 durante um ano à uma taxa simples de 25% a.a.
Dados encontrados:
C = R$ 5.000
i = 25%a.a.
J = ?
Conversão da taxa de juros:
25% → 25/100 → 0,25
Resolução:
J = C x i → J = R$ 5.000 x 0,25 → J = R$ 1.250,00
 
2) Descubra o montante do capital aplicado de R$ 2.600 durante um ano à taxa simples de 55% a.a.
Dados encontrados:
C = R$ 2.600
i = 55%a.a.
J = ?
Conversão da taxa de juros:
55% → 55/100 → 0,55
Resolução:
J = C x i → J = R$ 2.600 x 0,55 → J = R$ 1.430,00 M = C + J → M = R$ 2.600 + R$ 1.430 → M = R$ 4.030,00
A regra de três, na matemática, é uma forma de se descobrir uma quantidade que tenha para outra conhecida a mesma relação que têm entre si entre outros dois valores numéricos conhecidos.
Existem dois tipos de regra de três: simples e composta. Aqui apenas vou usar a regra de três simples.
Regra de Três Simples
Serve para se descobrir um único valor a partir de outros três. 
Relacionam-se quatro valores, divididos em dois pares de mesma grandeza e unidade interdependentes e relacionadas. 
Matematicamente, ae b são o primeiro par de mesma grandeza e unidade, e re ssão o segundo par, também de mesma grandeza e unidade. 
Se as grandezas associadas forem diretamente proporcionais, deve-se usar a relação de proporção direta: 
ab=rs 
Se as grandezas forem inversamente proporcionais, deve-se usar a relação de proporção inversa:
ab=sr
 
É muito comum que as pessoas tenham o hábito de armar uma regra de três para obter o quanto resulta um simples "45% de 350", por exemplo.
Encontramos hábito nisso porque realmente está correto tal procedimento no trabalho das grandezas diretamente proporcionais. 
Sendo Y o resultado de 45% de 350, estabelecemos uma proporção como: 350 está para 100 assim como 45 está para Y ou, em simbologia, 350 : 100 :: 45 : y ou, em esquema: 
	350
	
	100
	
	
	
	45
	
	Y
 
Mesmo com pequenas variações nas montagens que alguém possa dar a este pequeno problema; em todos os casos, terá interesse em provocar uma equação e resolvê-la. Assim, a equação 35045=100y fecha o problema proposto.
35045=100y 
 
É necessário tanto? 
A porcentagem x de A é nada mais que o produto da porcentagem x por A. Com um significado definido pela seguinte dica:
Se x é um número real positivo, tem-se que x % de A é o produto de x% por A, ou seja: (x%)·A