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Análise Combinatória 
Introdução à Análise Combinatória
Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes 
formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos 
de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles 
podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.
Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o 
cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!
Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí 
pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.
Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 
grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. 
Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.
Fórmula: Ar(m,p) = mp.
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 
16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no 
conjunto:
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma 
condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.
Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)
Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.
Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras 
escolhidas no subconjunto {A,B,C}?
Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que 
este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no 
conjunto:
PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:
PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}
Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto 
PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.
Permutações
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí 
pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!.
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que 
não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. 
Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição 
que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que 
m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original 
trocadas de posição.
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-
1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 
vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos 
do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos 
os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma 
circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m)=(m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas 
poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja 
repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, 
apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos 
entre sí apenas pela espécie.
Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 
grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos 
os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.
Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 
são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo 
aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 
2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já 
apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com 
repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
Regras gerais sobre a Análise Combinatória
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através 
de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro 
elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n 
formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode 
coincidir com uma escolha do outro.
Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes 
e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, 
a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.
Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em 
ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a 
segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1,s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos 
traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?
É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os 
pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n 
segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.
Número de Arranjos simples
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos 
(p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a 
p. Construiremos uma sequência com os m elementos de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento 
para a cor vermelha.
Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos 
supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora 
existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que 
sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se 
retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. 
Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.
Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os 
números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:
Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
3 m-2
... ...
p m-p+1
No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu 
cálculo será dada por:
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor 
estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor 
estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra 
do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.
O conjunto solução é:
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras 
iniciais e 4 algarismos no final?
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 
algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.
Número de Permutações simples
Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos 
distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de 
arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:
Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
... ...
p m-p+1
... ...
m-2 3
m-1 2
m 1
No.de permutações m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1
Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será 
dada por:
P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1
Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:
A(m,m) = P(m)
Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se 
simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:
P(m) = m!
Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número 
natural.
Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-
se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto 
podemos escrever:
0!=1
Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número 
real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.
O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função 
P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:
(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1
Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O 
número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é 
P(4)=24 e o conjunto solução é:
P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}
Número de Combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível 
escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p 
elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal 
(H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a 
necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a 
repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de 
combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m 
elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já 
apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de 
elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com 
os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir 
o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)
então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
que pode ser reescrito
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]
Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das 
seguintes:
Número de arranjos com repetição
Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma 
ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos 
tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número 
total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:
Arep(m,p) = mp
Número de permutações com repetição
Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem 
determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos10 
compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 
compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos 
restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades 
são C(10-3-2,5).
O número total de possibilidades pode ser calculado como:
Tal metodologia pode ser generalizada.
Número de combinações com repetição
Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes 
elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com 
repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a 
taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.
Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos de 
combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.
Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e 
colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve 
para separar os objetos em função das suas diferenças
(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø
(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#
(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ
Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma 
correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo 
exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras. Isto pode ser 
feito de C(10,6) modos. Assim:
Crep(5,6) = C(5+6-1,6)
Generalizando isto, podemos mostrar que:
Crep(m,p) = C(m+p-1,p)
Propriedades das combinações
O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade de 
elementos de cada escolha.
Taxas complementares
C(m,p)=C(m,m-p)
Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.
Relação do triângulo de Pascal
C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)
Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605
Número Binomial
O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado 
Coeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:
Exemplo: C(8,2)=28.
Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reais 
e podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um número inteiro 
negativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais utilizar a notação de 
combinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p são números inteiros não negativos. 
Como Pi=3,1415926535..., então:
A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade e 
Estatística.
Teorema Binomial
Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos mp no lugar de C(m,p). 
Então:
(a+b)m = am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm
Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4
(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5
A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.
Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:
P(m): (a+b)m=am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm
P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b
Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:
P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk
para provar a propriedade P(k+1).
Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:
(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2ak-1b2+...+(k+1)(k+1)bk+1
(a+b)k+1= (a+b).(a+b)k
= (a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk]
= a.[ak+k1ak-1b+k2ak-2 b2+k3ak-3b3+...+kkbk]+b.[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kk bk]
= ak+1+k1akb+k2ak-1b2+k3ak-2b3+...+kkabk+akb+k1ak-1b2+k2ak-2 b3+k3ak-3b4+...+kkbk+1
= ak+1+[k1+1]akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3+[k4+k3] ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1
= ak+1+[k1+k0] akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3+[k4+k3]ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1
Pelas propriedades das combinações, temos:
k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1
k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2
k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3
k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4
... ... ... ...
kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1
kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k
E assim podemos escrever:
(a+b)k+1= ak+1+(k+1)1akb + (k+1)2ak-1b2 + (k+1)3ak-2b3+(k+1)4ak-3b4 +...+ (k+1)k-1a2bk-1 + (k+1)kabk + kkbk+1
que é o resultado desejado.
Geometria Básica
Volume 
Volume de um sólido é a quantidade de espaço que esse sólido ocupa. Nesse cálculo, temos que 
ressaltar as três dimensões do sólido, observando o seu formato. O entendimento de volume é usado, 
mesmo que intuitivamente, em nossas ações no dia-a-dia, por exemplo: antes de estacionar um carro, 
calculamos mentalmente o espaço do carro e verificamos se tal espaço é compatível com as dimensões do 
carro, ao instalar uma TV em um móvel, conferimos, primeiro, se o espaço disponível pode comportar a TV, 
entre outros exemplos.
Alguns sólidos geométricos são formados por polígonos e esses polígonos recebem o nome de faces do 
polígono. Já o segmento que une duas faces do polígono recebe o nome de aresta do sólido. Assim como 
no cálculo da área, o cálculo do volume de um sólido depende do formato do sólido. Mas, de forma geral, o 
volume de um sólido geométrico é calculado a partir do produto de sua base por sua altura. Por enquanto, 
calcularemos o volume de alguns sólidos, como: o paralelepípedo retângulo, o cubo e o cilindro.
Paralelepípedo Retângulo
O paralelepípedo retângulo é um sólido cujas seis faces são 
retângulos. Para calcular o volume do paralelepípedo retângulo 
é necessário fazer o produto da área de sua base pela altura. 
Mas, como a base do paralelepípedo retângulo tem o formato 
retangular, exprimimos o valor de sua área por b x c. Portanto, 
se multiplicarmos o valor da área da base pela altura (a) do 
paralelepípedo retângulo, acharemos o valor do volume (V) 
desse sólido:
V = a x b x c
Cubo
O cubo é um sólido geométrico cujas seis faces são quadrados de 
mesmo lado. Para calcular o volume do cubo é necessário fazer o 
produto da área de sua base pela altura. Mas, como a base do cubo é 
um quadrado de lado a, o valor de sua área é, então, definido pelo 
lado ao quadrado (a²). Sendo assim, se multiplicarmos o valor da área 
da base pela altura (a) do cubo, acharemos o valor do volume (V) 
desse sólido:
V = a x a x a ou V = a³
Cilindro
Cilindro é um sólido geométrico que pode ser entendido como um círculo 
prolongado até uma altura h. O cilindro possui duas faces iguais e de formato 
circular. Para calcular o volume do cilindro, deve-se fazer o produto da área de 
sua base pela altura. No caso do cilindro, sua base é um círculo, portanto a área 
de sua base é igual a (pi) x r². Multiplicando esse valor pela altura (h) do cilindro, 
achamos o seu volume (V):
V = (pi) x r² x h 
http://1.bp.blogspot.com/_dVuXXRLA7DA/SDQbwwB3KSI/AAAAAAAAAFg/iGYaD9cwTQo/s1600-h/Paralelep%C3%ADpedo.JPG
http://1.bp.blogspot.com/_dVuXXRLA7DA/SDQYbwB3KQI/AAAAAAAAAFQ/wb7i1wDztk4/s1600-h/Cubo.bmp
http://3.bp.blogspot.com/_dVuXXRLA7DA/SDQYqQB3KRI/AAAAAAAAAFY/--HkYvjoWeQ/s1600-h/Cilindro.bmp
Área 
Área é a região plana interna delimitada pelos lados de um polígono. Tal conceito é amplamente usado no 
dia-a-dia, como na medição de um terreno, na delimitação de um espaço, entre outros. O valor da área de 
um polígono varia de acordo com seu formato.
Cada polígono tem uma forma peculiar para calcular sua área. Exemplificaremos alguns conhecidos, tais 
como: retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango e círculo.
Retângulo
Já sabemos que o retângulo possui dois lados iguais chamados de base e 
outros dois ladosiguais chamados de altura. Para sabermos o valor da 
área de um retângulo (A), devemos multiplicar a medida da base (b) pela 
medida da altura (h).
A = b x h
Quadrado
No quadrado, podemos aplicar o mesmo raciocínio usado para calcular a área do 
retângulo, multiplicando a medida da base pela medida da altura, mas, como no 
quadrado a medida de todos os lados é igual (l):
A = l x l ou A = l²
Paralelogramo
Se observarmos a figura ao lado, podemos notar que o 
paralelogramo é semelhante a um retângulo com os lados 
inclinados. Se tirarmos uma das partes inclinadas do paralelogramo 
e a enxertarmos no outro lado, formaremos um retângulo. Assim, a 
área do paralelogramo é calculado da mesma forma da área do 
retângulo, ou seja, multiplica-se o valor da base (b) pelo valor da 
altura (h).
A = b x h
Triângulo
No caso do triângulo, pode-se notar que ele é exatamente metade de um 
retângulo, portanto, num retângulo cabem dois triângulos, ambos de mesma 
área. Por conseguinte, a área do triângulo é metade da área do retângulo, ou 
seja:
A = b x h / 2
http://geometriaelementar.blogspot.com/2008/05/rea.html
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http://1.bp.blogspot.com/_dVuXXRLA7DA/SDQRxwB3KJI/AAAAAAAAAEY/obMsmggyQwY/s1600-h/Tri%C3%A2ngulo.bmp
Losango
Ao traçar as diagonais, maior (D) e menor (d) do losango, o dividimos em quatro triângulos de áreas iguais, 
onde cada um tem a oitava parte da área do retângulo de base igual ao valor da diagonal menor do losango 
e de alura igual ao valor da diagonal maior. Logo, a área do losango é igual a quatro vezes a área de um 
dos quatro triânglos, resultando na metade da área desse retângulo. Portanto:
A = D x d / 2
Trapézio
Dado um trapézio, como o da figura ao lado, contendo a base 
menor (b), a base maior (B) e a altura (h). Se ao lado desse 
trapézio colocarmos um segundo trapézio, idêntico ao 
primeiro, mas invertido, ou seja, sua base menor voltada para 
cima e sua base menor voltada para baixo, formaremos um 
paralelogramo de base igual à soma das bases do trapézio e 
de mesma altura do trapézio. Assim, encontramos a área 
desse paralelogramo multiplicando sua base pela altura. Note 
que o valor achado é igual a área dos dois trapézios idênticos. 
Portanto, para calcular a área do trapézio, basta dividir o valor 
encontrado para a área do paralelogramo.
A = [(B + b) x h] / 2
Círculo
Considere um círculo de raio r. Divida-o em várias partes iguais, corte-o de 
forma que os pedaços sejam de formato triangular e abra a figura, formando 
um retângulo de base igual a 2x(pi)x r e altura igual ao próprio raio r do 
círculo. Portanto a área desse retângulo é achada multiplicando sua base 
pela altura. Deve-se notar que a área desse retângulo é o dobro da área do 
círculo, sendo assim, acha-se a área do círculo dividindo a área do retângulo 
por 2.
A = (pi) x r² 
Perímetro 
Perímetro é a soma das medidas dos lados de um polígono. Notoriamente, tal conceito é muito simples, 
basta verificar se todos os lados estão representados pelas mesmas unidades de comprimento e somá-los. 
http://geometriaelementar.blogspot.com/2008/05/permetro.html
http://1.bp.blogspot.com/_dVuXXRLA7DA/SDQR8wB3KKI/AAAAAAAAAEg/u9ppGSFR9ns/s1600-h/Losango.bmp
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http://2.bp.blogspot.com/_dVuXXRLA7DA/SDQUMAB3KOI/AAAAAAAAAFA/Z_QIC8o_6dk/s1600-h/C%C3%ADrculo.bmp
Alguns casos valem ser ressaltados:
Retângulo
No retângulo, a medida de suas duas bases (b) são iguais, assim como a 
medida de suas duas alturas (h). Como perímetro é a soma de todos os 
lados, portanto seu perímetro é:
P = 2 x b + 2 x h
Polígonos Regulares
Nos polígonos regulares, tem-se uma particularidade: a medida de todos os lados é semelhante. Assim, o 
perímetro desses polígonos será o produto do número de lados (n) pela medida do lado (l), ou seja:
P = n x l
 
Medidas de Volume 
Quando falamos de medidas de volume, tem-se que mencionar que tal conceito vem sendo usado desde a 
antiguidade e, atualmente, convive-se com ele no dia-a-dia. Diversas são as atividades onde são usados o 
conhecimento sobre volume, como na construção de uma barragem, faz-se necessário calcular o volume de 
concreto para a obra; em um caminhão de transporte, onde é necessário conhecer o volume de carga total 
desse caminhão; na construção de uma piscina, onde é preciso conhecer o volume de água que a piscina 
suporta; em um botijão de gás, onde nele está marcado o volume de gás que ele contém, etc.
A unidade padrão de volume é o metro cúbico (m³), já que a unidade padrão de comprimento é o metro (m). 
Para calcular o valor de um volume, pode-se usar os múltiplos ou submúltiplos da unidade padrão de 
volume, se o valor for muito maior ou menor de que o metro cúbico, respectivamente. Os múltiplos são o 
quilômetro cúbico (km³), o hectômetro cúbico (hm³) e o decâmetro cúbico (dam³); os submúltiplos são o 
decímetro cúbico (dm³), o centímetro cúbico (cm³) e o milímetro cúbico (mm³).
http://geometriaelementar.blogspot.com/2008/05/medidas-de-volume.html
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Cada unidade de medida de volume vale 1000 vezes a unidade imediatamente inferior. Para fazer-se uma 
mudança de unidade entre as medidas de volume, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade 
maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do 
número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento um pouco mais viável, pode-se deslocar a 
vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança. Para cada unidade mudada, a vírgula se 
desloca três casas decimais para a esquerda ou para a direita.
Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 1000 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade 
mudada, a vírgula se desloca três casas decimais para a direita.
Ex: 0,0059 cm³ para mm³
Haverá a mudança para uma unidade de volume inferior, assim, desloca-se a vírgula três casas para a 
direita.
Portanto, o valor será de 0,0059 x 1000 = 5,9 mm³
Menor -> Maior: deve-se dividir por 1000 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a 
vírgula se desloca três casas decimais para a esquerda.
Ex: 526000 dm³ para dam³
Haverá a mudança para duas unidades de volume superiores, assim, desloca-se a vírgula seis casas para a 
esquerda.
Portanto, o valor será de 526000 : 1000000 = 0,526 dam³ 
Medidas de Superfície 
Não se sabe ao certo quando foi usado pela primeira o cálculo da área de uma superfície. O que se sabe é 
que é algo muito antigo, antes mesmo de Cristo. No Egito Antigo, essa noção era utilizada para calcular o 
valor do imposto que um agricultor tinha que pagar ao faraó pelo uso da terra nas proximidades do rio Nilo. 
O valor de tal imposto era proporcional à extensão de terra que o agricultor possuía.
Atualmente, podemos citar vários exemplos de aplicação do cálculo da área de uma superfície: para saber a 
extensão de um terreno rural ou urbano, para estimar a área da superfície de um rio, para calcular o valor 
da área de uma figura geométrica, etc.
Como a unidade padrão de comprimento é o metro (m), a unidade padrão de superfície é o metro quadrado 
(m²). Assim como na unidade de comprimento, a unidade de superfície tem seus múltiplos e submúltiplos, 
que são usados para medir superficies maiores ou menores do que o metro quadrado. Os múltiplos são o 
quilômetro quadrado (km²), o hectômetro quadrado (hm²) e o decâmetro quadrado (dam²); os submúltiplos 
são o decímetro quadrado (dm²), o centímetro quadrado (cm²) e o milímetro quadrado (mm²).
Cada unidade demedida de superfície vale 100 vezes a unidade imediatamente inferior. Para fazer-se uma 
http://geometriaelementar.blogspot.com/2008/05/medidas-de-superfcie.html
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http://4.bp.blogspot.com/_dVuXXRLA7DA/SDQupgB3KUI/AAAAAAAAAFw/XfgobuONf5M/s1600-h/Tabela+2.bmp
mudança de unidade entre as medidas de superfície, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade 
maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do 
número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento mais simples, pode-se deslocar a vírgula para 
a esquerda ou direita, dependendo da mudança. Para cada unidade mudada, a vírgula se desloca duas 
casas decimais para a esquerda ou para a direita.
Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 100 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade 
mudada, a vírgula se desloca duas casas decimais para a direita.
Ex: 0,09 m² para cm²
Haverá a mudança para duas unidades de superfície inferiores, assim, desloca-se a vírgula quatro casas 
para a direita.
Portanto, o valor será de 0,09 x 10000 = 900 cm²
Menor -> Maior: deve-se dividir por 100 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a 
vírgula se desloca duas casas decimais para a esquerda.
Ex: 2000 dm² para hm²
Haverá a mudança para três unidades de superfície superiores, assim, desloca-se a vírgula seis casas para 
a esquerda.
Portanto, o valor será de 2000 : 1000000 = 0,002 hm² 
Medidas de Comprimento 
Durante muito tempo as unidades de medida eram muitas, variavam de acordo com o povoado. Por 
exemplo: um povoado mais ao Norte usava um palmo de mão como referência para medir comprimento e 
um outro povoado mais ao Sul usava o pé como unidade. Assim, tornava-se inviável estabelecer relações 
comerciais, o que impedia o progresso de grande parte dos povoados. Devido a essa dificuldade, tornou-se 
necessário estabelecer uma unidade padrão de comprimento, algo que fosse aceito por todos. Isso 
aconteceu no final do século XVIII, quando reformadores franceses escolheram uma comissão de cinco 
matemáticos para que elaborassem um sistema padronizado, foi quando definiu-se o metro (m) como 
unidade internacional de comprimento e seu valor é igual a fração 1/300.000.000 da distância percorrida 
pela luz, no vácuo em um segundo.
Dependendo do que vai ser medido, fica inviável medir usando o metro. Portanto deve-se usar medidas 
maiores ou menores do que o metro, múltiplos ou submúltiplos, respectivamente. Os múltiplos são o 
quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam). Já os submúltiplos são o decímetro (dm), centímetro 
(cm) e milímetro (mm).
Para fazer-se uma mudança de unidade entre as medidas de comprimento, deve-se multiplicar, se a 
mudança for de uma unidade maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor 
para uma maior, dependendo do número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento mais simples, 
pode-se deslocar a vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança.
Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 10 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, 
a vírgula se desloca uma casa decimal para a direita.
Ex: 3,7 dm para mm
Haverá a mudança para duas unidades de comprimento inferiores, assim, desloca-se a vírgula duas casas 
para a direita.
Portanto, o valor será de 3,7 x 100 = 370 mm
Menor -> Maior: deve-se dividir por 10 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a 
http://geometriaelementar.blogspot.com/2008/04/sitema-mtrico.html
http://2.bp.blogspot.com/_dVuXXRLA7DA/SDQu9AB3KVI/AAAAAAAAAF4/wGat87PbGEI/s1600-h/Tabela.bmp
vírgula se desloca uma casa decimal para a esquerda.
Ex: 680 cm para dam
Haverá a mudança para três unidades de comprimento superiores, assim, desloca-se a vírgula três casas 
para a esquerda.
Portanto, o valor será de 680 : 1000 = 0,68 dam 
Juros Compostos
O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior 
rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo, 
e no caso do composto o juro incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do capital 
com o rendimento mensal, isto é, prática do juro sobre juro. As modalidades de investimentos e 
financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um 
maior rendimento, originando mais lucro.
Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao 
mês. Qual será o valor ao final da aplicação?
A tabela demonstrará mês a mês a movimentação financeira na aplicação do regime de juros 
compostos.
No final do 8º mês o montante será de R$ 541,43.
Uma expressão matemática utilizada no cálculo dos juros compostos é a seguinte:
M = C * (1 + i)t, onde:
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: tempo de aplicação 
Obs.: Os cálculos envolvendo juros compostos exigem conhecimentos de manuseio de 
uma calculadora científica.
Exemplo 2
Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 
1,5% durante um ano?
C: R$ 7.000,00
i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015
t: 1 ano = 12 meses
M = C * (1 + i)t
M = 7000 * (1 + 0,015)12
M = 7000 * (1,015)12 
M = 7000 * 1,195618
http://www.brasilescola.com/matematica/juros-compostos.htm#
http://www.brasilescola.com/matematica/juros-compostos.htm#
http://www.brasilescola.com/matematica/juros-compostos.htm#
M = 8369,33
O montante será de R$ 8.369,33.
Com a utilização dessa fórmula podemos também calcular o capital de acordo com o montante.
Exemplo 3 
Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de 
R$ 15.237,43?
M: R$ 15.237,43
t: 10
i: 2% a.m. = 2/100 = 0,02
M = C * (1 + i)t
15237,43 = C * (1 + 0,02)10
15237,43 = C * (1,02)10
15237,43 = C * 1,218994
C = 15237,43 / 1,218994
C = 12500,00
O capital é de R$ 12.500,00.
Calculando a taxa de juros da aplicação.
Exemplo 4
Qual a taxa de juros empregada sobre o capital de R$ 8.000,00 durante 12 meses que gerou o 
montante de R$ 10.145,93?
C: R$ 8.000,00
M: R$ 10.145,93
t: 12
i: ?
A taxa de juros da aplicação foi de 2%.
Calculando o tempo da aplicação. (Uso de técnicas de logaritmo)
Exemplo 5
Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês, para que 
produza um montante de R$ 1.444,89?
C: R$ 800,00
M: R$ 1.444,89
i: 3% a.m.= 3/100 = 0,03
t: ?
1.444,89 = 800 * (1 + 0,03)t 
1.444,89 = 800 * 1,03t
1.444,89/800 = 1,03t
1,03t = 1,806 (aplicar propriedade dos logaritmos)
log1,03t = log1,806
t * log1,03 = log1,806
t * 0,013 = 0,257
t = 0,257/0,013
t = 20
O capital deverá ficar aplicado por 20 meses. 
Na tabela dos 100 primeiros números naturais destacamos em azul os números primos, portanto os 
números primos entre 1 e 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 
71, 73, 79, 83, 89, 97.
Juros Simples
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros 
gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado 
ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
 
J = P . i . n
 
Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
 
 Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e 
devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: 
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. 
 Montante = Principal + Juros
 Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
 
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
 
 Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
 SOLUÇÃO:
 M = P . ( 1 + (i.n) )
 M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)]= R$72.960,42
 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 
dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
 Exercícios sobre juros simples:
 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
 0.13 / 6 = 0.02167
 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
 j = 1200 x 0.195 = 234
 
 2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
 Temos: J = P.i.n
 A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
 Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular 
diretamente:
 J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
 
 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
 Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
 Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
 P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
 
 4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado 
através de capitalização simples?
 Objetivo: M = 2.P
 Dados: i = 150/100 = 1,5
 Fórmula: M = P (1 + i.n)
 Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
Exercícios
1) O juro produzido por um capital de 5.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 6% a.a. durante 2 anos é igual a:
a) 500,00
b) 1.200,00
c) 1.000,00
d) 800,00
e) 600,00
2) O juro de uma aplicação de 1.000,00 em 18 meses, se a taxa de juros é de 42% a.a. é de:
a) 720,00
b) 420,00
c) 756,00
d) 630,00
e) 1.200,00
3) A quantia a ser aplicada em uma instituição financeira que paga a taxa de juros simples de 8% a.a., para que se 
obtenha 1.000,00 no fim de 4 anos é:
a) 320,00
b) 543,47
c) 238,09
d) 570,00
e) 757,58
4) Um capital aplicado a 5% ao mês a juro simples, triplicará em:
a) 3 anos
b) 80 meses
c) 40 meses
d) 12 meses
e) 50meses
5) Um principal de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 2,2% a.m., atingindo, depois de certo período, um 
montante equivalente ao volume de juros gerados por outra aplicação de R$ 12.000,00 a 5% a.m. durante 1 ano. O 
prazo de aplicação do primeiro principal foi de:
a) 10 meses
b) 20 meses
c) 2 anos
d) 1,5 ano
e) 30 meses
6) A taxa de juros simples relativa a uma aplicação de R$ 10.000,00 por um período de 10 meses, que gera um 
montante de R$ 15.000,00 é de:
a) 48% a.a.
b) 15% a.m.
c) 10% a.m.
d) 100% a.a.
e) 5% a.m.
7) Uma loja oferece um relógio por R$ 3.000,00 à vista ou 20% do valor à vista, como entrada, e mais um pagamento de 
R$ 2.760,00 após 6 meses. A taxa de juros cobrada é de:
a) 30% a.a.
b) 1% a.d.
c) 3% a.m.
d) 360% a.a.
e) 12% a.a.
8) As taxas de juros ao ano, proporcionais às taxas 25% a.t.; 18% a.b.; 30% a.q. e 15% a.m., são, respectivamente:
a) 100%; 108%; 90%; 180%
b) 100%; 180%; 90%; 108%
c) 75%; 26%; 120%; 150%
d) 75%; 150%; 120%; 26%
e) 100%; 150%; 120%; 108%
9) As taxas de juros bimestrais equivalentes às taxas de 120% a.a.; 150% a.s.; 86% a.q. e 90% a.t. são 
respectivamente:
a) 40%; 100%; 86%; 120%
b) 60%; 43%; 50%; 20%
c) 20%; 50%; 43%; 60%
d) 120%; 86%; 100%; 40%
e) 20%; 43%; 50%; 60%
10) Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de R$ 3.000,00. Que 
taxa equivalente semestral recebeu?
a) 10%
b) 40%
c) 6,6%
d) 8,4%
e) 12%
11) Os juros simples comercial e exato das propostas abaixo relacionadas são, respectivamente:
• R$ 800,00 a 20% a.a., por 90 dias 
• R$ 1.100,00 a 27% a.a., por 135 dias 
• R$ 2.800,00 a 30% a.a., por 222 dias 
a) 111,38 e 109,85; 518,00 e 510,90; 40,00 e 39,45
b) 40,00 e 39,45; 111,38 e 109,85; 518,00 e 519,90
c) 39,45 e 40,00; 109,85 e 111,38; 510,90 e 518,00
d) 40,00 e 39,95; 109,85 e 111,38; 518,00 e 510,90
e) 40,00 e 111,38; 39,45 e 109,85; 510,90 e 518,00
12) O juro simples exato do capital de R$ 33.000,00, colocado à taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 1945 a 28 de maio 
do mesmo ano, foi de:
a) R$ 664,52
b) R$ 660,00
c) R$ 680,00
d) R$ 658,19
e) R$ 623,40
13) A quantia de R$ 1.500,00 foi aplicada à taxa de juros de 42% a.a., pelo prazo de 100 dias. O juro dessa aplicação se 
for considerado juro comercial e juro exato, será, em R$, respectivamente:
a) 175,00 e 172,12
b) 172,12 e 175,00
c) 175,00 e 172,60
d) 172,60 e 175,00
e) 170,00 e 175,00
14) Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de 25% a.a. em 12 de fevereiro de 1996. Se o resgate for efetuado 
em 03 de maio de 1996, o juro comercial recebido pelo aplicador foi, em R$, de:
a) 138,89
b) 138,69
c) 140,26
d) 140,62
e) 142,60
15) Certa pessoa obteve um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de juros simples de 12% a.a. Algum tempo depois, 
tendo encontrado quem lhe emprestasse R$ 150.000,00 à taxa de juros simples de 11% a.a., liquidou a dívida inicial e, 
na mesma data, contraiu novo débito. Dezoito meses depois de ter contraído o primeiro empréstimo, saldou sua 
obrigação e verificou ter pago um total de R$ 22.500,00 de juros. Os prazos do primeiro e do segundo empréstimo são, 
respectivamente:
a) 12 meses e 6 meses
b) 18 meses e 6 meses
c) 6 meses e 12 meses
d) 6 meses e 18 meses
e) 12 meses e 18 meses
16) João fez um depósito a prazo fixo por 2 anos. Decorrido o prazo, o montante, que era de R$ 112.000,00, foi 
reaplicado em mais um ano a uma taxa de juros 15% superior à primeira. Sendo o montante de R$ 137.760,00 e o 
regime de capitalização juros simples, o capital inicial era, em R$:
a) 137.760,00
b) 156.800,00
c) 80.000,00
d) 96.000,00
e) 102.000,00
17) O prazo em que um capital colocado à taxa de 5% a.a., rende um juro comercial igual a 1/50 de seu valor é igual a:
a) 144 dias
b) 146 dias
c) 150 dias
d) 90 dias
e) 80 dias
18) Uma pessoa sacou R$ 24.000,00 de um banco sob a condição de liquidar o débito no final de 3 meses e pagar ao 
todo R$ 24.360,00. A taxa de juro cobrada pelo uso daquele capital foi de:
a) 4,06% a.a.
b) 6% a.a.
c) 4,5% a.a.
d) 8% a.a.
e) 1% a.m.
19) Um agricultor, possuidor de um estoque de 5.000 sacas de café, na esperança de uma alta do produto, rejeita uma 
oferta de compra desse estoque ao preço de R$ 80,00 a saca. Dois meses mais tarde, forçado pelas circustâncias, 
vende o estoque ao preço de R$ 70,00 a saca. Sabendo-se que a taxa corrente de juro é de 6% a.a., o prejuízo real do 
agricultor, em R$, foi de:
a) 350.000,00
b) 50.000,00
c) 54.000,00
d) 38.000,00
e) 404.000,00
20) A taxa de juros anual a que de ser colocado um capital para que produza 1/60 de seu valor em 4 meses é de:
a) 7,2%
b) 8%
c) 4%
d) 6%
e) 5%
21) Um negociante obteve R$ 100.000,00 de empréstimo à taxa de 7% a.a. Alguns meses depois, tendo encontrado 
quem lhe oferecesse a mesma importância a 6% a.a., assumiu o compromisso com essa pessoa e, na mesma data, 
liquidou a dívida com a primeira. Um ano depois de realizado o primeiro empréstimo, saldou o débito e verificou que 
pagou, ao todo, R$ 6.250,00 de juros. O prazo do primeiro empréstimo foi de?
a) 9 meses
b) 6 meses
c) 11 meses
d) 3 meses
e) 7 meses
22) Uma pessoa deposita num banco um capital que, no fim de 3 meses (na época do encerramento das contas), se 
eleva, juntamente com o juro produzido, a R$ 18.180,00. Este montante, rendendo juro à mesma taxa e na mesma 
conta, produz, no fim de 6 meses, outro montante de R$ 18.543,60.O capital inicial foi de, em R$:
a) 18.000,00
b) 16.000,00
c) 15.940,00
d) 17.820,00
e) 17.630,00
23) A taxa de juro do banco foi de:
a) 48% a.a.
b) 3% a.m.
c) 8% a.a.
d) 10% a.a.
e) 4% a.a.
24) O prazo para que o montante produzido por um capital de R$ 1.920,00, aplicado a 25% a.a., se iguale a um outro 
montante produzido por um capital de R$ 2.400,00 aplicado a 15% a.a., admitindo-se que os dois capitais sejam 
investidos na mesma data, é de:
a) 4 meses
b) 6 anos
c) 6 meses
d) 2 anos
e) 4 anos
25) Emprestei R$ 55.000,00, durante 120 dias, e recebi juros de R$ 550,00. A taxa mensal aplicada foi de:
a) 2,5% a.m.
b) 25,25% a.m.
c) 2,25% a.m.
d) 0,25% a.m.
e) 4% a.m.
26) Uma pessoa deposita R$ 30.000,00 num banco que paga 4% a.a. de juros, e receber, ao fim de certo tempo, juros 
iguais a 1/6 do capital. O prazo de aplicação desse dinheiro foi de:
a) 60 meses
b) 80 meses
c) 50 meses
d) 4 anos
e) 2100 dias
27) Uma pessoa emprestou certo capital a 6% a.a. Depois de um ano e meio retirou o capital e os juros e aplicou 
novamente o total, desta vez a 8% a.a. Sabendo que no fim de 2 anos e meio, após a segunda aplicação, veio a retirar 
o montante de R$ 26.160,00. O capital emprestado no início foi de, em R$:
a) 20.000,00
b) 21.800,00
c) 23.600,00
d) 19.000,00
e) 19.630,00
28) O capital que, aplicado a uma taxa de 3/4% a.m., produz R$ 10,80 de juros anuais é, em R$:
a) 144,00
b) 97,20
c) 110,00
d) 90,00
e) 120,00
29) Um capital aumentado de seus juros durante 15 meses se elevou a R$ 264,00. Esse mesmo capital diminuído de 
seus juros durante 10 meses ficou reduzido a R$ 224,00. A taxa empregada foi de:
a) 18% a.a.
b) 8% a.a.
c) 1% a.m.
d) 0,5% a.m.
e) 0,01% a.d.
30) Certa pessoa emprega metade de seu capital juros simples, durante 2 anos, à taxa de 5% a.a. e metade durante 3 
anos, à taxa de 8% a.a., obtendo, assim, o rendimento total de R$ 2.040,00. O seu capital é de, em R$:
a) 6.000,00
b) 12.000,00
c) 14.000,00
d) 7.000,00
e) 12.040,00
31) A taxa mensal de um capital igual R$ 4.200,00, aplicado por 480 dias e que rendeu R$ 1.232,00 de juros é de:
a) 2,08%
b) 8.08%
c) 1,83%
d) 3,68%
e) 2,44%
32) (TTN/89) Calcular os juros simples que um capital de 10.000,00 rende em um ano e meio aplicado à taxa de 6% a.a. 
Os juros são de:
a) 700,00
b) 1.000,00
c) 1.600,00
d) 600,00
e) 900,00
33) (TTN/89) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8 meses, é 
de:
a) 1.100,00
b) 1.000,00
c) 1.392,00
d) 1.200,00
e) 1.399,68
34) (TTN/92) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que se obtenha os mesmos juros simples que os produzidos 
por Cr$ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período?
a) Cr$ 420.000,00
b) Cr$ 450.000,00
c) Cr$ 480.000,00
d) Cr$ 520.000,00
e) Cr$ 500.000,00
Gabarito:
1E – 2D – 3E – 4C – 5B – 6E – 7A – 8A – 9C – 10A – 11B – 12B – 13C – 14D – 15C -16C – 17A – 18B – 19C – 20E – 
21D – 22A – 23E – 24E – 25D – 26C – 27A – 28E – 29B – 30B – 31C – 32E – 33D – 34E
Números Complexos 
Um pouco de história
No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo 
das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por 
Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números 
complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de 
Eletricidade.
Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada
de -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a 
exemplo das raízes quadradas de números negativos .
Ex: Ö-16 = Ö16 . Ö-1 = 4.i = 4i
Potências de i :
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 . i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = i4 . i = 1.i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1 
i7 = i6 . i = -i , etc.
Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 
1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero. 
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 
4. Assim , podemos resumir:
i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).
Exemplo: Calcule i2001
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .
NÚMERO COMPLEXO
Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo: 
z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária . 
Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)
w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)
u = 100i ( a = 0 e b = 100)
NOTAS:
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária. 
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .
d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real . 
Ex: z = 5 = 5 + 0i . 
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, 
o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos.
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) .
Exercícios Resolvidos:
1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.
Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.
2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .
Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável 
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser 
memorizada). 
Substituindo na expressão dada, vem: 
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64. 
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a-64.
3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 .
Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável 
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser 
memorizada). 
Substituindo na expressão dada, vem: 
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100. 
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte 
imaginária é zero.
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro 
número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte 
imaginária de z .
z = a + bi ® = a - bi 
Ex: z = 3 + 5i ; = 3 - 5i
Obs : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares 
ordenados . Assim é que z = a + bi = (a,b). 
Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente 
qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no 
eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e 
o eixo vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-
Gauss. 
O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA BINÔMIA
Regra : Para dividir um número complexo z por outro w ¹ 0 , basta multiplicar numerador e denominador 
pelocomplexo conjugado do denominador .
Ex: = = = 0,8 + 0,1 i
Agora que você estudou a teoria, tente resolver os seguintes exercícios:
1 - Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
2 - Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , 
calcule Im(z).w + Im(w).z .
3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i é:
4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser:
5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:
6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:
7) Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
Resp: 3
Clique aqui para ver a solução.
8) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240
Resp: 1+2i
9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real 
e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a. 
Resp: 50
10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a.
Resp: 32i
11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0.
12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é:
a)-3i 
b)1-i 
c) 5/2 + (5/2)i 
d) 5/2 - (3/2)i 
e) ½ - (3/2)i
13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1+2i 
b) 1+2i 
c) 1 - 2i 
d) 3 - 4i 
e) 3 + 4i
14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10 
b) 5 e 10 
c) 7 e 9 
d) 5 e 9 
e) 0 e -9
15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O 
módulo de z é:
a) Ö 13
b) Ö 7 
c) 13 
d) 7 
e) 5
16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16 
b) 161 
c) 32 
d) 32i 
e) 32+16i
http://www.paulomarques.com.br/arq5-6.htm
17 - UCSal - Sabendo que (1+i)22 = 2i, então o valor da expressão 
y = (1+i)48 - (1+i)49 é:
a) 1 + i 
b) -1 + i 
c) 224 . i 
d) 248 . i 
e) -224 . i
GABARITO:
1) -3 - i 
2) -3 + 18i 
3) 4 + 3i 
4) 3/2 
5) -2 + 18i 
6) i 
7) 3 
8) 1 + 2i 
9) 50 
10) 32i 
11) -1 - i 
12) B 
13) D 
14) A 
15) A 
16) A 
17) E
Os números inteiros: o conjunto Z 
Z = {... , – 4, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
O conjunto dos números inteiros é infinito. A escolha da letra Z para representar o conjunto dos números 
inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão, significar número.
É trivial entender que o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos números 
inteiros Z, ou seja: N ⊂ Z.
Define-se o módulo de um número inteiro como sendo o número sem o seu sinal algébrico. Assim é que , 
representando-se o módulo de um número inteiro x qualquer por |x|, poderemos citar como exemplos:
| –7 | = 7; | – 32 | = 32; | 0 | = 0; etc
O módulo de um número inteiro é, então, sempre positivo ou nulo.
Chama-se oposto (ou simétrico aditivo) de um número inteiro a ao número – a.
Propriedades dos números inteiros:
1 – Todo número inteiro n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por suc(n) = n + 1. 
Exemplos: suc(– 3) = – 3 + 1 = - 2; suc(3) = 3 + 1 = 4.
2 – Dados dois números inteiros m e n, ocorrerá uma e somente uma das condições :
m = n [ m igual a n ] (igualdade)
m > n [ m maior do que n ] (desigualdade)
m < n [ m menor do que n] (desigualdade).
Esta propriedade é conhecida como Tricotomia.
Nota: Às vezes teremos que recorrer aos símbolos ≥ ou ≤ os quais possuem a seguinte leitura:
a ≥ b [ a maior do que b ou a = b ].
a ≤ b [ a menor do que b ou a = b ]
Assim por exemplo, x ≤ 3, significa que x poderá assumir em Z os valores
3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, - 4, ...
Já x < 3, teríamos que x seria 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, ...
É óbvio que o zero é maior do que qualquer número negativo ou na sua forma equivalente, qualquer número 
negativo é menor do que zero.
... –10, – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
Operações em Z
1 – Adição: a + b = a mais b.
A adição de dois números inteiros obedece às seguintes regras:
a ) números de mesmo sinal : somam-se os módulos e conserva-se o sinal comum.
Exemplos:
(-3) + (-5) + (-2) = - 10
(-7) + (-6) = - 13
b) números de sinais opostos: subtraem-se os módulos e conserva-se o sinal do maior em módulo.
Exemplos:
(-3) + (+7) = + 4
(-12) + (+5) = -7
Propriedades:
http://www.paulomarques.com.br/arq1-7.htm
Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:
1.1 – Fechamento: a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Diz-se então que o 
conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à adição.
1.2 – Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c
1.3 – Comutativa: a + b = b + a
1.4 – Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero é o elemento neutro da adição.
1.5 – Unívoca: o resultado da adição de dois números inteiros é único.
1.6 – Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se somarmos um mesmo número inteiro a ambos os 
membros, ou seja, se a > b então a + c > b + c.
2 – Subtração: Observa-se que a subtração (diferença) é uma operação inversa da adição.
Se a + b = c então dizemos que a = c – b ( c menos b). É óbvio que o conjunto Z é fechado em relação à 
subtração, pois a subtração (diferença) entre dois números inteiros, sempre será um outro número inteiro. 
Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos números naturais, mas possui 
resultado no conjunto Z dos números inteiros, ou seja -7.
A subtração de dois números inteiros será feita de acordo com a seguinte regra:
a – b = a + (-b)
Exemplos:
10 – (-3) = 10 + (+3) = 13
(-5) – (- 10) = (-5) + (+10) = +5 = 5
(-3) – (+7) = (-3) + (-7) = - 10
3 – Multiplicação: é um caso particular da adição (soma), pois somando-se um número inteiro a si próprio n 
vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a . n = a x n
Na igualdade a . n = b, dizemos que a e n são os fatores e b é o produto.
A multiplicação de números inteiros, dar-se-á segundo a seguinte regra de sinais:
(+) x (+) = +
(+) x (-) = -
(-) x (+) = -
(-) x (-) = +
Apresentaremos uma justificativa para a regra acima, mais adiante neste capítulo, ou seja, o porquê 
de MENOS x MENOS ser MAIS!
Exemplos:
(-3) x (-4) = +12 = 12
(-4) x (+3) = -12
Propriedades:
Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:
3.1 – Fechamento: a multiplicação de dois números inteiros é sempre outro número inteiro. Dizemos então 
que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à operação de multiplicação.
3.2 – Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a . (b . c) = (a . b) . c
3.3 – Comutativa: a x b = b x a
3.4 – Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.
3.5 – Unívoca: o resultado da multiplicação de dois números inteiros é único.
3.6 – Uma desigualdade não se altera, se multiplicarmos ambos os membros, por um mesmo número inteiro 
positivo, ou seja, se a > b então a . c > b . c
3.7 - Uma desigualdade muda de sentido, se multiplicarmos ambos os membros por um mesmo número 
inteiro negativo, ou seja: a > b então a . c < b . c
Exemplo: 10 > 5. Se multiplicarmos ambos os membros por (-1) fica - 10 < - 5. Observe que o sentido da 
desigualdade mudou.
3.8 – Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).
A propriedade distributiva acima, nos permite apresentar uma justificativa simples, através de um exemplo, 
para o fato do produto de dois números negativos resultar positivo, conforme mostraremos a seguir:
Considere o seguinte produto:
A = (7 – 5) x (10 – 6) cujo resultado já sabemos ser 2 x 4 = 8.
Desenvolvendo o primeiro membro, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à 
adição,
vem:
A = (7x10) + [7x(-6)] +[(-5)x10] + [(-5)x(-6)]
A = 70 – 42 – 50 + [(-5)x(-6)]
Como já sabemos que A = 8, substituindo fica:
8 = 70 – 42 – 50 + [(-5)x(-6)]
Isolando o produto [(-5)x(-6)], vem:
[(-5)x(-6)] = 8 – 70 + 42 + 50 = 8 + 42 + 50 – 70 = 100 – 70 = 
30
Observa-se então que realmente 
[(- 5)x(- 6)] = 30 = +30.
4 – Potenciação: é um caso particular da multiplicação, onde os fatores são iguais. Assim é que 
multiplicando-se um número inteiro a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a que será 
indicado pelo símbolo a n , onde a será denominado base e n expoente. Assim é que, por exemplo, 53 = 
5.5.5 = 125, 71 = 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc.
Com base nas regras de multiplicação de números inteiros, é fácil concluir que:
a) Toda potencia de base negativa e expoente par não nulo, tem como resultado um número positivo.
Exemplos:
(-2)4 = +16 = 16
(-3)2 = +9 = 9
(-5)4 = +625 = 625
(-1)4 = + 1 = 1
b) Toda potencia de base negativa e expoente ímpar, tem como resultado um número negativo.
Exemplos:
(-2)3 = - 8
(-5)3 = - 125
(-1)13 = - 1
5 – Divisão: O conjunto Z dos números inteiros não é fechado em relação à divisão, pois o quociente de 
dois números inteiros nem sempre é um inteiro.
A divisão de números inteiros, no que concerne à regra de sinais, obedece às mesmas regras vistas para a 
multiplicação, ou seja:
(+) : (+) = +
(+) : (-) = -
(-) : (+) = -
(-) : (-) = +
Exemplos:
(–10) : (– 2) = + 5 = 5
(– 30) : (+ 5) = – 6
Para finalizar, vamos mostrar duas regras de eliminação de parêntesis ( ), que poderão ser bastante úteis:
R1) Todo parêntese precedido do sinal + pode ser eliminado, mantendo-se os sinais das parcelas interiores.
Exemplo:
+ (3 + 5 – 7) = 3 + 5 – 7 = 1
R2) Todo parêntese precedido do sinal – pode ser eliminado, desde que sejam trocados os sinais das 
parcelas interiores.
Exemplos:
– (3 + 4 – 7) = – 3 – 4 + 7 = 0
– (–10 – 8 + 5 – 6 ) = 10 + 8 – 5 + 6 = 19
– (–8 – 3 – 5 ) = 8 + 3 + 5 = 16
Exercícios resolvidos
1 – A temperatura de um corpo variou de – 20º C para 20º C. Qual a variação total da temperatura do 
corpo?
Solução: Sendo ∆T a variação total da temperatura, vem:
∆T = Tfinal – Tinicial = 20 – (– 20) = 20 + 20 = 40 º C.
2 – Um veículo movendo-se a uma velocidade de 20 m/s, parou após 50 m. Qual a variação da velocidade 
até o veículo parar?
Solução: Sendo ∆v a variação total da velocidade, vem:
∆V = vfinal – vinicial = 0 – 20 = – 20 m/s.
Números Irracionais
Os números irracionais
Assim como existem as dízimas periódicas, também existem as dízimas não periódicas que são justamente 
os números irracionais, uma vez que elas nunca poderão ser expressas como uma fração do tipo a / b .
Exemplos de dízimas não periódicas ou números irracionais:
a) 1,01001000100001000001...
b) 3,141592654...
c) 2,7182818272...
d) 6,54504500450004... etc
Existem dois tipos de números irracionais: os algébricos e os transcendentes.
Os números irracionais algébricos, são as raízes inexatas dos números racionais, a exemplo de Ö2 , Ö5 , 
Ö17 , Ö103 , ... etc, ou qualquer outra raiz inexata.
 
Já os números irracionais transcendentes complementam aqueles irracionais algébricos, sendo os 
exemplos mais famosos de números irracionais transcendentes, o número p (pi), o número de Euler e , 
cujos valores aproximados com duas decimais são respectivamente 3,14 e 2,72 .
O número p representa a razão do comprimento de qualquer circunferência dividido pelo diâmetro da 
mesma circunferência e o número e é a base do sistema de logaritmos neperianos.
É interessante comentar, que ao tratarmos na prática, dos números irracionais, deveremos sempre adotar 
os seus valores aproximados, uma vez que , por serem dízimas não periódicas, os valores adotados serão 
sempre aproximações.
Um exemplo clássico de não racionalidade de um número, é o caso da 
raiz quadrada de dois.
 
O valor aproximado da raiz quadrada de dois ( Ö2 ) é igual a 1,414. Vamos analisar o porquê do 
número Ö2 não ser racional:
Para isto , vamos utilizar o método da redução ao absurdo, que consiste em negar a tese, e concluir pela 
negação da hipótese.
Vamos supor inicialmente, por absurdo, que Ö2 seja um número racional.
Ora, neste caso, e se isto fosse verdadeiro, o número Ö2 poderia ser escrito na forma de uma fração 
irredutível a / b , ou seja, com a e b primos entre si , e, portanto, teríamos:
Ö2 = a / b , onde a e b são inteiros, com b diferente de zero.
Quadrando ambos os membros da igualdade anterior, teremos:
2 = a2 / b2 , de onde tiramos a2 = 2.b2 .
Ora, como a2 é o dobro de b2, é correto afirmar que a é um número par.
Sendo a um número par, podemos escreve-lo na forma a = 2k, onde k é um número inteiro. Daí, vem que: 
(2k)2 = 2b2 ou 4k2 = 2b2 , de onde tiramos que
b2 = 2k2 , ou seja, b também é par. Ora, sendo a e b pares, o quociente a / b não seria uma fração 
irredutível, já que o quociente de dois números pares é outro número par. Vemos portanto que isto nega a 
hipótese inicial de que a fração a / b seja irredutível, ou seja, de que a e b sejam primos entre si. Logo, 
concluímos que afirmar que Ö2 é racional , é falso , ou seja, Ö2 não é um número racional, e, portanto, Ö2 
é um número irracional.
http://www.paulomarques.com.br/arq14-1.htm
Nota: dois números inteiros são ditos primos entre si, se o máximo divisor comum
(MDC) destes números for igual à unidade, ou seja: MDC (a,b) = 1.
3 – Identificação de números irracionais
Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que:
3.1 – todas as dízimas periódicas são números racionais.
3.2 – todos os números inteiros são racionais.
3.3 – todas as frações ordinárias são números racionais.
3.4 – todas a s dízimas não periódicas são números irracionais.
3.5 – todas as raízes inexatas são números irracionais.
3.6 – a soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional.
3.7 – a diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: Ö5 - Ö5 = 0 e 0 é um número racional.
3.8 – o quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: Ö8 : Ö2 = Ö4 = 2 e 2 é um número racional.
3.9 – o produto de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: Ö5 . Ö5 = Ö25 = 5 e 5 é um número racional.
3.10 – a união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais, resulta num 
conjunto denominado conjunto R dos números reais.
3.11 – a interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, não possui 
elementos comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio ( Æ ).
Simbolicamente, teremos:
Q U I = R 
Q Ç I = Æ
http://www.paulomarques.com.br/arq1-14.htm
Números Naturais
Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse 
conjunto é representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar 
sempre entre chaves.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... } 
- Quando for representar o Conjunto dos Naturais não nulos (excluindo o zero) devemos 
colocar * ao lado do N.
Representado assim:
N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... } 
A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }
Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em 
antecessor de um número.
• 6 é o sucessor de 5.
• 7 é o sucessor de 6.
• 19 é antecessor de 20.
• 47 é o antecessor de 48.
Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.
Quando um conjunto é finito?
O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...}
Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}
Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos.
• O conjunto dos alunos da classe.
• O conjunto dos professores da escola.
• O conjunto das pessoas que formam a população brasileira. 
Números Racionais
Um número racional é o que pode ser escrito na forma
m
n
onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. 
Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade de 
divisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim: 
ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os 
números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}
Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o 
conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.
Todo número racional pode ser posto na forma de uma fração, então todas as propriedades válidas para 
frações são também válidas para números racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a 
palavra racionais para nos referirmos aos números racionais.
 
Representação, ordem e simetria dos racionais
Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada. 
Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida 
como a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente da 
esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é 
adotada por convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.
Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva. 
Quando esta diferença r-s é negativa, dizemos que o número r é maior do que s. Para indicar que r é menor 
do que s, escrevemos:
r < s
Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à 
direita na reta numerada.
Todo número racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é 
caracterizado pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Q 
que é 0. Como exemplo, temos que:
(a) O oposto de 3/4 é -3/4.
(b) O oposto de 5 é -5.
Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um 
espelho que está localizado na origem. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distância do 
ponto virtual -q ao espelho. 
Módulo de um número racional
O módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elemento oposto 
-q, que é denotado pelo uso de duas barras verticais | |, por:
|q| = max{-q,q}
Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.
Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até a 
origem (zero) que é a mesma distância do ponto -q à origem, na reta numérica racional. 
A soma (adição) de números racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição 
entre os números racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:
a 
b
+
c 
d
=
ad+bc 
bd
Propriedades da adição de números racionais
Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda 
é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
Comutativa: Para todos a, b em Q:
a + b = b + a
Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:
q + 0 = q
Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que
q + (-q) = 0
Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de 
adição do número p com o oposto de q, isto é:
p - q = p + (-q)
Na verdade, esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais. 
A Multiplicação (produto) de números racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto 
de dois números racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de:
a 
b
×
c 
d
=
ac 
bd
O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem 
nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale 
em toda a Matemática:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de 
dois números com sinais diferentes é negativo.
Propriedades da multiplicação de números racionais
Fecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um 
número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q:
a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
Comutativa: Para todos a, b em Q:
a × b = b × a
Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:
q × 1 = q
Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1=b/a em Q, tal que
q × q-1 = 1
Esta última propriedade pode ser escrita como:
a 
b
×
b 
a
= 1
Divisão de números racionais: A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de 
multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:
p ÷ q = p × q-1
Provavelmente você já deve ter sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra da 
forma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?
A divisão de números racionais esclarece a questão:
a 
b
÷
c 
d
=
a 
b
×
d 
c
=
ad 
bc
Na verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação é 
também desnecessária no conjunto dos números racionais. 
Propriedade distributiva (mista)
Distributiva: Para todos a, b, c em Q:
a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) 
Potenciação de números racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o 
número n é o expoente.
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:
(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125
(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8
(c) (-5)² =(-5)×(-5) = 25
(d) (+5)² =(+5)×(+5) = 25
Observação: Se o expoente é n=2, a potência q² pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o 
expoente é n=3, a potência q³ pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área do 
quadrado pode ser obtida por A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser 
obtido por V=q³ onde q é a medida da aresta do cubo. 
Raízes de números racionais
A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número 
racional r que elevado à potência n fornece o número q. O número n é o índice da raiz enquanto que o 
número q é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical).
Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical neste 
trabalho. Assim:
r = Rn[q] equivale a q = rn
Por deficiência da linguagem HTML, que ainda não implementou sinais matemáticos, denotarei aqui a raiz 
n-ésima de q por Rn[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um número 
racional q por R[q].
A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número 
racional r não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.
Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números racionais.
Exemplos:
(a) R³[125] = 5 pois 5³=125.
(b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.
(c) R[144] = 12 pois 12²=144.
(d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144.
Observação: Não existe a raiz quadrada de um número racional negativo no conjunto dos números 
racionais. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada 
mais tarde no contexto dos Números Complexos.
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o 
aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
Não existe um número racional não negativo que multiplicado