Apostila 01 - Sistemas de Projeção

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL
COMUNIDADE EVANGÉLICA LUTERANA "SÃO PAULO"
Autorizada pelo Decreto n. 95.623 - D.O.U. de 13-01-88.
 
GEOMETRIA DESCRITIVA:
Geometria Descritiva é a ciência que ensina a representar (projetar) sobre um plano os 
elementos do espaço (tridimensional) de modo a poder resolver graficamente os problemas 
relativos a sua forma, grandeza e posição por meio de traçados. 
Gaspar Monge (matemático francês) foi o inventor da geometria descritiva, 1746 a 1818. 
Monge imaginou dois planos cortando-se perpendicularmente e os chamou de Plano 
Vertical e Plano Horizontal de projeção. Esses planos dividiram o espaço geométrico em quatro 
diedros, que ele numerou na ordem anti-horário. 
PVI
3º DIEDRO
PHP
L.
T.
2º DIEDRO
4º DIEDRO
1º DIEDRO
PHA
PVS
~ A1
~~1 2
2~
P
~
~
I2
1
2~
~1
~2S
~1
 
2
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SISTEMAS DE PROJEÇÃO: 
Esses traçados obtém-se projetando sobre um plano dado os diversos pontos de uma 
figura ou, pelo menos, os necessários a sua determinação no espaço. 
Entende-se geralmente, por projeção de um ponto sobre um plano a interseção com 
esse plano de uma reta que passa pelo ponto. Essa reta é a projetante do ponto no plano e 
pode ser traçada paralelamente a uma direção determinada ou sujeita a passar por um ponto 
fixo. 
Estas duas condições dividem a projeção em dois grandes sistemas: 
Obs: Vista é a imagem vista por um observador num plano de referência. 
Algumas Definições: 
ÂNGULO DIEDRO é o ângulo formado pela interseção de dois planos (quadrantes). 
PROJEÇÃO ORTOGONAL de um ponto sobre um plano é o pé da perpendicular baixada 
desse ponto até esse plano ( P1, P2, P0 ). 
PROJETANTE é a perpendicular traçada do ponto do espaço até sua projeção no plano 
( PP2 , PP1 , PP0 ). 
LINHA DE CHAMADA é a linha que liga as projeções de um ponto na épura, é a 
projeção da projetante ( P2 R P1 , P2 Q P0 , P1 S P0 ). 
SISTEMA ORTOGONAL é quando as suas projetantes chegam a 90� em relação ao 
plano de projeção. 
Vistas ortográficas
PERPENDICULARES
(ortogonais)
Perspectivas Axonométricas
SISTEMAS
DE 
PROJEÇÃO
PROJ.
CILINDRICAS
OBLIQUAS
Perspectivas Cônicas
Perspectiva Cavaleira
PROJ.
CÔNICAS
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0~
~2 P
Po
P2
1PR
Q
S
~1
Vistas Ortográficas: 
Utilizam mais de um plano de projeção (frontal, superior, inferior, laterais direita e 
esquerda, posterior). 
Perspectiva Axonométricas: utiliza apenas um plano de projeção e posiciona o objeto no 
espaço de modo que o observador possa ver mais de uma face. 
Tipos: isométricas, dimétricas e trimétricas. 
Isométrica: as três arestas se projetam de forma a ficar 120º entre si. 
120°
120°120°
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Dimétrica: formada por dois ângulos iguais e um diferente. 
Trimétrica: formada por três ângulos diferentes. 
Perspectiva Isométrica 
Os eixos isométricos da largura e profundidade formam 30º em relação a uma 
horizontal. 
120°
30° 30°
Perspectiva Cavaleira
A face principal do objeto é paralela ao plano vertical de projeção. 
30° ou 45° ou 60°b
a
- se for 30º a medida “a” sofre uma redução de 1/3 do objeto real. 
- se for 45º a medida “a” sofre uma redução de 1/2 do objeto real. 
- Se for 60º a medida “a” sofre uma redução de 2/3 do objeto real. 
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Projeções Cônicas: passam por um ponto único. 
h (altura)
Plano de referência
P.F. (Ponto de Fuga)
Ponto de fuga é por onde as projetantes se convergem, coincide com a posição do 
observador. 
A altura do observador é em relação a um plano de referência onde esta o objeto. 
MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO DAS PROJEÇÕES ORTOGONAIS:
Será usado o de Gaspar Monge, que combina dois planos perpendiculares entre si 
para planos de projeção, de sorte que o ponto do espaço seja determinado pela interseção 
de duas retas perpendiculares a esses planos de projeção. 
É o método da dupla projeção ortogonal. Esse método é nas convenções seguintes: 
2º DIEDRO
1º DIEDRO
3º DIEDRO
4º DIEDRO
L.T.
HP
VS
VI
HA
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1º- Os planos ortogonais escolhidos são: horizontal de projeção e o outro o vertical de 
projeção. A interseção desses dois planos chama-se Linha de Terra (LT). 
2º- Separados pela linha de terra esses dois planos constituem quatro semi-planos: 
horizontal anterior HA, horizontal posterior HP, vertical superior VS, vertical inferior VI. 
3º- Estes dois planos formam quatro diedros retos. Chama-se 1ºdiedro, ao formado 
pelos semi-planos VS-HA; 2ºdiedro ao formado pelos semi-planos VS-HP; 3ºdiedro, àquele 
que é formado pelos semi-planos VI-HP; e finalmente o 4ºdiedro é formado pelos semi-
planos VI-HA. 
4º- Fazendo coincidir o plano vertical com o horizontal de projeção, com uma rotação 
em torno da Linha de Terra obtemos a planificação do sistema, obtendo-se as projeções 
das figuras nesses dois planos num só plano. Transformamos o sistema tridimensional em 
um bidimensional. 
VS
LT
HA
LT
 ÉPURA
(É A PLANIFICAÇÃO DO
SISTEMA DE PROJEÇÃO)
1º DIEDRO
¶2
¶1
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Convenções:
A(x,y,z)➨(abscissa, afastamento, cota). 
Projeção horizontal: índice 1, A1 .
Projeção vertical: índice 2, A2.
3º vista : índice 0, A0 (auxiliar). 
Linha de Terra: ¶1 ¶2.
Pontos: letras latinas maiúsculas ( A, B, C ...). 
Retas: letras latinas minúsculas ( a, b, c ....). 
Planos: letras gregas minúsculas ( � , �, �....). 
Traços do Plano: Plano Vertical ( �¶2 , �¶2 ...) 
 Plano Horizontal ( �¶1 , �¶1 ...) 
Traços da Reta: Traço Vertical ( V ) 
 Traço Horizontal ( H ) 
Linhas de Terra auxiliares: ¶1¶4 , ¶2¶3 , ¶3¶4
ÉPURA:
É o resultado do rebatimento do plano vertical de projeção sobre o plano horizontal de 
projeção no sentido anti-horário . 
ou 
É o resultado do rebatimento do plano horizontal de projeção sobre o plano vertical de 
projeção no sentido horário. 
VS VS - HP
¶1¶2
¶1
¶2
HA
VI
HP
¶1¶2
VI - HA
¶2
¶1
¶1¶2
VS - HP
VI - HA
¶2
¶1
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Planificando o sistema X, Y, Z que é formado pela interseção dos planos de projeção 
( ¶1 e ¶2 ) e um plano auxiliar projeção lateral de terceira vista (¶0) 
Obs: 
De acordo com a geometria plana, um plano é considerado infinito, por isso o sistema é 
representado somente pela interseção dos planos..
Z
1~
~2
1~
~0
0~
X
Y
2~~1
Z
Y
Y
X
PLANIFICAÇÃO SIMPLIFICADA 
 DO SISTEMA
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REPRESENTAÇÃO DO PONTO:
A-A2 ➨ afastamento(y) 
A-A1 ➨ cota(z) 
A-A0 ➨ abscissa(x) 
1~
X
Z
A2
~2
A1
A
A0
Y
~0
A0
~0
PRO
JETA
NTE
PROJETANTE
P
R
O
JE
T
A
N
T
E
LINHADE CHAMADA
LINH
A DE
CHA
MAD
A
L
IN
H
A
 D
E
 C
H
A
M
A
D
A
LI
N
H
A
 D
E
 C
H
A
M
A
D
A
LINH
A DE
CHA
MAD
A
LINHA DE CHAMADA