METODOS NUMERICOS APLICADOS EM ENGENHARIA MECANICA (1)

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MÉTODOS	NUMÉRICOS	APLICADOS	EM
ENGENHARIA	MECÂNICA
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8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA 
Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 
Pedro Lobarinhas*, Paulo Flores* 
 
* Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade do Minho 
Campus de Azurém, 4800-058 Guimarães, Portugal 
e-mail: pl@dem.uminho.pt, pflores@dem.uminho.pt 
 
 
 
RESUMO 
 
Neste artigo são apresentados alguns métodos numéricos em Engenharia Mecânica, nomeadamente em simulações 
computacionais associadas a fenómenos de transferência de calor e dinâmica de sistemas mecânicos. 
Como primeiro caso de aplicação, os diversos aspectos relacionados com a formulação numérica dos fenómenos 
associados à transferência de calor são apresentados e discutidos com detalhe. Desde a definição do modelo 
matemático, à escolha do método de solução, passando pelo método de discretização, dando particular atenção às 
condições de fronteira e ao tratamento da região de interface entre dois materiais distintos, ou seja, a resistência 
térmica de contacto, que se revela de primordial importância nos problemas de transferência de calor. 
A modelação dinâmica de sistemas mecânicos e as suas implicações ao nível dos métodos numéricos utilizados é 
também utilizada como exemplo de aplicação dos procedimentos numéricos inerentes a este tipo de análise. Especial 
enfoque é dado ao tipo de algoritmo de integração das equações diferenciais que caracterizam as equações do 
movimento de sistemas mecânicos. A solução numérica de sistemas de equações, quer lineares, quer não lineares, 
são também objecto de estudo e análise no âmbito do presente trabalho. . 
 
 
 PALAVRAS-CHAVE: Métodos numéricos; Sistemas Mecânicos; Transferência de calor; Análise dinâmica 
 
 
 
784 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
A resolução numérica de problemas surge como uma alternativa relativamente rápida e barata de obter estimativas de 
valores para fenómenos de interesse académico ou industrial, que de outra forma se revelariam de difícil alcance, 
senão mesmo impossível. 
São várias as alternativas que se apresentam ao modelador quanto ao caminho que este pode seguir. Porém, 
quaisquer que sejam as opções tomadas para a resolução numérica, de um determinado problema previamente 
identificado, o processo que leva à geração dessa solução, envolve os seguintes passos: definição do modelo 
matemático; escolha do método de discretização e por fim a escolha do método de solução do problema discretizado. 
É importante que o modelador antes de avançar para a implementação de cada um dos pontos anteriores, tenha já 
efectuado uma correcta definição do domínio de estudo, dos fenómenos físicos envolvidos, das propriedades dos 
materiais intervenientes e uma correcta definição das condições fronteira. 
No que diz respeito à análise dinâmica de sistemas mecânicos, é sabido que as soluções analíticas são apenas 
possíveis para casos simples. Assim, torna-se imprescindível que as equações que regem o movimento dos sistemas 
mecânicos sejam formuladas de forma eficiente e resolvidas recorrendo a métodos numéricos apropriados. No 
presente trabalho, as equações de Newton-Euler são usadas para descrever o comportamento dinâmico de sistemas 
mecânicos. Estas equações são, posteriormente resolvidas e integradas numericamente ao longo do tempo. Um 
sistema mecânico simples é usado como exemplo de demonstração. 
 
Nomenclatura 
a coeficientes da matriz (W/K) 
A área (m2) 
cp calor específico (J/kgK) 
h∞ coeficiente de transferência de calor exterior (W/m²K) 
hTC coeficiente térmico de contacto (W/m²K) 
k condutividade térmica (W/mK) 
m massa (kg) 
t tempo (s) 
T temperatura (K) 
u velocidade (m/s) 
V volume (m3) 
x,y,z coordenadas cartesianas (m) 
α função indicativa (-) 
ρ massa volúmica (kg/m3) 
 
ÍNDICES 
f face 
int interface 
∞ ambient 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS ASSOCIADOS À TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
O ponto de partida de qualquer método numérico é a definição do modelo matemático. Da análise a um conjunto de 
equações relevantes, é possível concluir que todas as variáveis dependentes, com interesse nas áreas da engenharia, 
obdecem a um princípio de conservação geral, que permite, considerando a variável dependente representada por φ, 
escrever a seguinte equação diferencial geral [1], 
 
( ) ( ) ( ) Sgraddivudiv
t
+Γ=+∂
∂ φφρρφ r (1) 
 
em que Г representa o coeficiente difusivo e S o termo fonte e ambos terão que ser especificados para cada φ. 
A equação fundamental para a resolução de um problema de transferência de calor, é a equação da energia, que pode 
ser obtida a partir da equação (1), impondo a temperatura como grandeza fundamental, resultando, 
 
( ) ( ) SgradTkdivTucdivTc
t PP
+=+∂
∂ )(rρρ (2) 
Para as zonas do domínio com a presença de um escoamento, porém sem geração interna de calor, a Equação (2) 
perde o termo fonte, reduzindo-se a: 
 
( ) ( ) )(kgradTdivTucdivTc
t PP
=+∂
∂ rρρ (3) 
 
Numa região do domínio sem escoamento e sem geração interna de calor, a equação a aplicar resulta muito mais 
simples, assumindo a forma: 
 
( ) )(kgradTdivTc
t P
=∂
∂ ρ (4) 
 
Condições Fronteira 
Nas faces exteriores do domínio é considerada a existência de uma fronteira convectiva, definida por hext, estabelecendo um 
balanço de conservação de energia, 
 
)( supTThdx
dTk −= ∞∞ (5) 
 
Caso o domínio em estudo seja atravessado por um escoamento, é necessário definir as condições fronteira de 
entrada e saída desse fluxo no domínio. A definição de uma temperatura constante na secção de entrada é uma das 
soluções possíveis, o que para um escoamento paralelo ao eixo zz, resulta na condição: 
 
iTtyxT =),0,,( (6) 
 
Caso se esteja perante um problema de fronteiras móveis, é possível optar por um de dois métodos: de superfície ou 
de volume [1]. Para a determinação da forma da interface em problemas 3D, o esquema VOF (Volume of Fluid) [2], 
revela-se particularmente atractivo. Neste método é resolvida uma equação chamada função indicadora, que varia de 
zero a um, indicando onde o fluido está. Este método tem a vantagem de preservar a conservação da massa, devido 
ao algorítmo de convecção, baseado na representação discreta das leis da continuidade; não necessitar de cálculos 
extras ou interpolações na interface, pois a mudança de zero para um indica a presença da interface e é de fácil 
implementação a 2D e 3D. 
No caso de existência de uma interface entre dois materiais no estado sólido, o conhecimento do valor da resistência 
térmica de contacto, RTC, é de primordial importância, para uma correcta simulação da transferência de calor. 
Contudo os valores conhecidos são escassos e pouco confiáveis, dada a dificuldade na sua obtenção, podendo a 
condição da interface ser descrita por: 
 
( )
int
intint
cpTCpc TThn
Tk
n
Tk −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
 (7) 
 
em que hTC é o inverso de RTC. 
 
Método de Discretização 
Uma vez definido o modelo matemático, é necessário escolher o método de discretização. O método dos volumes 
finitos é particularmente popular, devido a se caracterizar pela aplicação das equaçõesde conservação na forma 
integral a todos os volumes de controlo, de onde resulta a conservação das propriedades relevantes em cada qual. 
Assim, o ponto de partida para a discretização pelo método dos volumes finitos é a forma integral da equação 
diferencial, que para um caso geral apresenta a forma, 
 
dVGdAnkgradTdAnu
A A V
∫ ∫ ∫+= φρφ rrr .. (8) 
 
O domínio em estudo é subdividido num número finito de pequenos volumes, usando uma malha que define as 
fronteiras do volume de controlo e não os nós computacionais. 
A Figura 1 representa um volume de controlo típico, usado numa malha cartesiana 3D. Centrada no volume P, as 
células vizinhas seguem a notação NSEW. Na direcção yy, a célula anterior é B e a posterior T. 
 
N 
B 
W E
S
T 
P 
s
t
n 
e
b 
w 
Δz
Δx
Δy
x
z y 
 
 
Fig. 1: Volume de controlo típico e notação usada. 
 
A equação diferencial geral para a transferência de calor, num domínio sem geração de calor e sem um caudal 
mássico, é: 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∂
∂
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
xt
Tcpρ (9) 
 
A discretização implícita no tempo, para um volume P, origina: 
 
bTaTaTaTaTaTaTa BBTTSSNNWWEEpp ++++++= (10) 
 
onde, 
WP
wW x
zyka Δ
ΔΔ= ; 
PE
eE x
zyka Δ
ΔΔ= ; 
NP
nN x
zyka Δ
ΔΔ= ; 
PS
sS x
zyka Δ
ΔΔ= ; 
TP
tT x
zyka Δ
ΔΔ= ; 
PB
bB x
zyka Δ
ΔΔ= ; 
t
zyxca pP Δ
ΔΔΔ= ρ0 ; 00 PPTab = ; 0PBTSNWEP aaaaaaaa ++++++= 
 
Para uma região do domínio animada de uma velocidade, é necessário acrescentar o termo convectivo, responsável 
por descrever o transporte de energia pelo caudal mássico, 
 
( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂∂∂∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∂
∂+∂
∂
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x
uTc
zt
Tc pp ρρ (11) 
 
Para a discretização do fluxo difusivo, é recomendável a aplicação da regra do ponto médio [4]. Contudo, para o 
termo convectivo, isso já não se verifica, uma vez que a regra do ponto médio não tem em consideração o sentido do 
escoamento. Nestes casos, é pertinente a introdução do número de Peclet, que representa a relação entre os efeitos 
convectivos e difusivos num domínio e é definido por: 
xk
uPe δ
ρ= (12) 
Em que δx é um comprimento característico. Num caso de pura condução não existe movimento no interior e as 
propriedades de um ponto dependem de igual maneira das dos pontos vizinhos, sendo tratado como na regra do 
ponto médio. Conforme o número de Peclet aumenta, as propriedades de cada ponto assumem uma forma elíptica na 
direcção do escoamento. As propriedades a montante tornam-se progressivamente mais relevantes, em oposição às 
propriedades a juzante. Como consequência, a regra do ponto médio deve ser substituida pelo esquema upwind, 
simples e fácil de implementar, que tem em consideração o sentido do escoamento. Para os casos em que os vectores 
de velocidade não coincidem com a malha cartesiana, este método irá gerar a designada falsa difusão [5]. 
A discretização da Equação (11), usando o método upwind, dá: 
 
bTaTaTaTaTaTaTa BBTTSSNNWWEEpp ++++++= (13) 
onde os índices assumem expressões idênticas às da Equação (10), excepto aB: udxdycx
zyka p
PB
bB ρ+Δ
ΔΔ= 
Para as células na fronteira, é necessário resolver as equações tendo em consideração o balanço de energia nestas 
interfaces. Considerando a equação geral da transferência de calor por condução a 1D, numa malha ortogonal, como 
o a representada na Figura 2, assumindo a condutividade térmica constante, a discretização o volume P, enquanto 
volume na fronteira, dá: 
 ( ) ( )
dt
TTdxc
dx
TTk
dx
TTk
o
PP
p
WPPE −=−−− ρ
2
 (14) 
 
W EPW e
dxedx
dxWP dxPE 
T∞ 
 
Fig. 2: Esquema para uma fronteira convectiva. 
 
Comparando com a equação resultante para um volume de controlo interno, esta difere ao nível do segundo termo, 
uma vez que TW não pode ser definido explicitamente, porque não existe balanço de energia para o ponto W. 
Uma vez definido h∞, podem ser establecidos os seguintes balanços: 
 ( ) ( )WWP TThdx
TTk −=−− ∞∞2 (15) 
 
PW Tdx
kThT
dx
kh
22
1 +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ + ∞∞∞ (16) 
 
Os quais podem ser resolvidos para TW. 
PW T
dx
kh
dx
k
T
dx
kh
hT
2
1
2
1
2
1 +
+
+
= ∞
∞
∞ (17) 
 
Substituindo a Equação (17) na (14), dá: 
 
( ) =⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
+
−
−−
∞
∞
∞
2
2
1
2
1
2
1
dx
T
dx
kh
dx
k
T
dx
kh
hT
k
dx
TTk
PP
PE
dt
TTdxc
o
PP
P
−ρ 
 (18) 
 
Para os volumes de controlo localizados na interface entre dois corpos (Figura 3), é possível estabelecer os seguintes 
balanços térmicos: ( ) )( 211 TTdxdzhdy
TTkdxdz TCN −=− (19) 
( )
dy
TTkdxdzTTdxdzh STC
−=− 221 )( (20) 
 
Utilizando as equações (19) e (20), é possível construir um sistema a duas equações e duas incógnitas, que permite o 
cálculo das temperaturas superficiais, aqui representadas por T1 e T2, como uma função das temperaturas dos nós N e 
P. Esta solução dá: 
 
( ) ( )
( ) NTHK
K
HK
HHKHK
HKT
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−++
=
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1 ( ) ( )
ST
HK
HHKHK
HK
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−++
+
1
2
21
2 (21) 
 
 
( ) ( )
NT
HK
HHKHK
HKT
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−++
=
1
2
21
1
2
( )
ST
HK
HHK
K
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+
+
1
2
2
2 (22) 
 
em que os termos K1, H e K2, são definidos por: 
dy
dxdzkK
hdxdzH
dy
dxdzkK
S
N
2
2
2
1
=
=
=
 
 
Corpo S 
NN 
N NE NW 
T1 
T2 
S SE SW 
SS 
interface 
Corpo N 
 
Fig. 3: Típica malha de interface num caso 2D. 
 
A discretização de uma frente de avanço assume uma discretização particular [2-6], apresenta um exemplo de 
aplicação da frente de avanço numa situação com transferência de calor a 3D. 
Para a resolução do sistema de equações que resulta da discretização, é recomendável o recurso ao SIP [7], por se 
tratar de um processo iterativo, que requer menos esforço computacional que outros métodos alternativos. 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS NA DINÂMICA DE SISTEMAS MECÂNICOS 
 
Na sua definição mais genérica, um sistema multicorpo é um conjunto de corpos rígidos e/ou flexíveis constrangidos 
por juntas cinemáticas e solicitados por forças e momentos. As forças e momentos aplicados sobre o sistema podem 
resultar de forças geradas em molas, amortecedores e actuadores, ou ainda de um conjunto de forças exteriores, tais 
como as forças gravíticas, as forças de contacto/impacto, as forças atrito, entre outras. Os sistemas mecânicos de 
corpos múltiplos resultam, em geral, da associação de subsistemas estruturais e mecânicos com o objectivo de 
transmitir movimento [8]. A figura 4 ilustra esquematicamente um sistema multicorpo genérico. 
 
 
Fig. 4: Representação esquemática de um sistema multicorpo genérico. 
 
A configuração de um sistema multicorpo é definida por um conjunto de variáveis, designadas coordenadas 
generalizadas, que definem a localização e orientação de cada corpo. Independentemente do sistema mecânico a 
modelar, é necessário descrever, de forma sistemática e eficiente, as suas equações do movimento. Os tipos de 
coordenadas mais correntemente utilizadas na dinâmica de sistemas de corpos múltiplos são as coordenadas 
lagrangeanas e as coordenadas cartesianas. As primeiras possibilitam a localização dos corpos relativamente a um 
sistema de eixos móvel, enquanto que as coordenadas cartesianas definem a posição de cada corpo relativamente a 
um sistema de eixos global e fixo [8].Se a configuração do sistema for descrito por n coordenadas cartesianas q, então os m constrangimentos cinemáticos 
independentes Φ podem ser escritos como, 
 
0q =Φ )t,( (23) 
 
Derivando uma e outra vez a equação dos constrangimentos de posição resultam as equações cinemáticas das 
velocidades e das acelerações, respectivamente, 
 
υ=Φ qq & (24) 
γ=Φ qq && (25) 
 
em que Φq é a matriz jacobiana dos constrangimentos, υ é o lado direito da equação das velocidades, que contém as 
derivadas parciais dos constrangimentos em ordem ao tempo, γ é o lado direito da equação das acelerações, que 
contém os termos que são exclusivamente função das velocidades, posições ou tempo. 
As equações do movimento de translação e de rotação de um sistema de corpos rígidos e constrangidos pode ser 
escrita na forma [8], 
 
)(cggqM +=&& (26) 
 
onde M é a matriz de massas global do sistema, contendo as massas e os momentos mássicos de inércia, q&& é o 
vector das acelerações, g é o vector de forças generalizadas, e g(c) é o vector que contém as forças de reacção das 
juntas cinemáticas. As forças de reacção de uma junta cinemática podem ser expressas em função da matriz 
jacobiana como [8], 
λΦ−= T)( qcg (27) 
 
em que λ é o vector dos multiplicadores de Lagrange associados aos constrangimentos cinemáticos. Substituindo a 
equação (27) em (26) resulta em, 
 
gqM q =λΦ+ T&& (28) 
 
As equações (25) e (28) conjuntamente representam as equações que devem ser resolvidas de forma a obter o 
movimento de um sistema de corpos rígidos constrangidos. Na análise dinâmica, a solução do movimento do sistema 
é obtida considerando simultaneamente as equações dos constrangimentos de aceleração e as equações do 
movimento, e ainda um conjunto de condição iniciais. Assim, as equações (25) e (28) formam um conjunto de 
equações algebro-diferenciais que devem ser resolvidas em ordem às acelerações e aos multiplicadores de Lagrange. 
Este sistema é dado por, 
 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
γ=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
λ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ Φ
Φ
gqM q
q
&&
0
T
 (29) 
 
Em cada passo de integração, as acelerações q&& , conjuntamente com as velocidades q& , são integradas de modo a 
obter as novas velocidades e posições do sistema no instante seguinte. Este procedimento é repetido até se obter a 
descrição completa do movimento global do sistema. Durante este processo, admite-se que a matriz jacobiana é 
não-singular e bem condicionada. A integração numérica do sistema dado pelas equações (29) é levado a cabo 
utilizando um algoritmo do tipo predictor-corrector de ordem e passo variável, juntamente com um esquema de 
estabilização da violação dos constrangimentos. 
 
 
COMENTÁRIOS FINAIS 
 
Neste trabalho foram apresentadas duas metodologias genéricas correntemente utilizadas em Engenharia Mecânica e 
que requerem o recurso a métodos numéricos. Uma das metodologias é aplicada a fenómenos de transferência de 
calor, ao passo que a segunda foi dedicada a formulação das equações do movimento de sistema mecânicos. O 
principal propósito deste trabalho foi o de evidenciar a necessidade e utilização dos métodos numéricos na prática da 
Engenharia Mecânica, quer na vertente científica, quer na vertente académica. A eficiência computacional das 
metodologias apresentadas neste artigo será demonstrada através de simulações numéricas específicas. 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
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Journal of Computational Physics, 201-225. 
3. Ferziger, J.H. e Peric, M. (2000), “Computational Methods for Fluid Dynamics”, Springer, New York. 
4. Patankar, Suhas V. (1980), “Numerical Heart Transfer and Fluid Flow”, McGraw-Hill, New York. 
5. Veersteeg, H.K., Malalasekera, W. (1995) “An Introdution to Computational Fluid Dynamics – The Finite 
Volume Method”, Longman Group, London. 
6. Lobarinhas, P.A.M.; Teixeira, J.C.; Teixeira, S.F.T. (2006), “A Numerical Study of the Thermal Behavior of 
Calibrators for Polymer Extrusion”, Proceedings of IMECE06, 2006 ASME International Mechanical 
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7. Stone, H.L. (1968) “Iterative Solution of Implicit Approximations of Multidimensional Partial Differential 
Equations”, SIAM Journal Numerical Analysis, 5, 530-558. 
8. Nikravesh, P.E. (1988), Computer-Aided Analysis of Mechanical Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 
New Jersey, 1988. 
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