Esforços internos em vigas

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Teoria das 
Estruturas I 
Professor Júlio César 
 
Aula 3 
INTRODUÇÃO 
Nesta aula serão estudados os esforços internos 
de uma viga e seus diagramas ao longo do 
comprimento. 
 
2 
Esforços internos em uma viga 
3 
Considerando uma viga plana, para uma 
seção S qualquer, três esforços internos 
podem existir: normal (N); cortante (Q) e 
momento fletor (M). 
Convenção de sinais para esforços internos 
4 
Cálculo dos Esforços Internos 
5 
kNHa
Ha
xF
2
020

  3
030

 
VbVa
VbVayF
kNVa
kNVb
xVb
AM
1
2
063.90


 
Cálculo dos Esforços Internos 
6 
)(21012
010
traçãokNNN
NHa
xF

 
kNQQ
VaQyF
101
00

 
mkNMM
QM
AM
.303).1(
03.0

 
Cálculo dos Esforços Internos 
7 
kNNN
NHa
xF
22022
020

 
kNQQ
QVayF
12021
020

 
mkNMM
QM
AM
.620)1.(62
02.620

 
À esquerda de S2 
Cálculo dos Esforços Internos 
8 
kNNN
NHa
xF
020222
0220

 
kNQQ
QVayF
220231
0230

 
mkNMM
QM
AM
.62018)2.(62
06.32.620

 
À direita de S2 
Diagramas esforços internos 
9 
Carga concentrada 
- Inicialmente determinamos Va e Vb; 
- O esforço normal ao longo da AB é 0; 
- O DEN é a função constante nula. 
Diagramas esforços internos 
10 
Carga concentrada 
- Inicialmente determinamos Va e Vb; 
- O esforço cortante ao longo da AB é constante; 
sendo antes da carga concentrada Va e depois, -Vb. 
Diagramas esforços internos 
11 
Carga concentrada 
O momento fletor ao longo de AB varia 
linearmente com x, a partir de A, atingindo seu 
valor máximo, no ponto de atuação da carga. 
Decresce linearmente até zero, em B. L
baP
Mmáx
..

Diagramas do exemplo 
(DEN) 
12 
Diagramas do exemplo 
(DEC) 
13 
Diagramas do exemplo 
(DMF) 
14 
mkN
L
baP
Mmáx .6
9
3.6.3..

Diagramas esforços internos 
15 
Carga uniformemente distribuída 
- Inicialmente determinamos Va e Vb; 
- O esforço normal ao longo da AB é 0; 
- O DEN é a função constante nula. 
Diagramas esforços internos 
16 
Carga uniformemente distribuída 
O esforço cortante ao longo da AB varia 
linearmente ao longo de x sendo em A, +q.L/2 e 
em B – q.L/2. 
Diagramas esforços internos 
17 
Carga uniformemente distribuída 
 
O momento fletor varia com x2, sendo nulo em A e 
B. Atinge seu valor máximo no ponto médio da 
barra. 8
. 2Lq
Mmáx 
Exemplo 
18 
Determine os diagramas do esforço normal, 
esforço cortante e momento fletor da estrutura 
com o carregamento mostrado. 
Exemplo - solução 
19 
Determinar as reações nos apoios A e B 
kNHb
Hb
xF
8
080

  83
08030

 
VbVa
VbVayF
kNVakNVb
Vb
xxVb
AM
2,448,38
427.11
080593.110


 
Diagrama do 
corpo livre 
Exemplo - solução 
20 
Diagrama do esforço normal - DEN kNH
H
xF
01
0010

 
kNH
H
xF
82
0280

 
Exemplo - solução 
21 
Diagrama do esforço normal - DEN 
Exemplo - solução 
22 
Diagrama do esforço cortante - DEC 
AC: carga concentrada – função constante; 
CD: carga distribuída – função linear; 
DE: carga concentrada – função constante; 
EB: carga concentrada – função constante. 
Exemplo - solução 
23 
kNV
VyF
2,441
012,440

 
kNV
V
yF
8,383
033802,44
0


 
kNV
V
yF
8,352
02802,44
0


 
Diagrama do esforço cortante- DEC 
Exemplo - solução 
24 
Diagrama do esforço cortante- DEC 
Exemplo - solução 
25 
Diagrama do momento fletor - DMF 
AC: carga concentrada – função linear; 
CD: carga distribuída – função do 2º grau; 
DE: carga concentrada – função linear; 
EB: carga concentrada – função linear. 
Exemplo - solução 
26 
Diagrama do momento fletor- DMF 
mkNM
xM
M
.6,1321
032,441
0


 
mkNM
xxM
M
.4,1492
028072,442
0


 
Exemplo - solução 
27 
Diagrama do momento fletor- DMF 
mkNM
xxM
M
.8,773
048092,443
0


 
04
023680112,444
0


 
M
xxxM
M
Exemplo - solução 
28 
Diagrama do momento fletor - DMF 
mkNM
xxxM
mxemocorremáximoM
máx
máx
.44,181
0)21,5(2,44)
2
21,2
(21,220
21,2



Exemplo - solução 
29 
Determinação do momento máximo. 
 
mx
xx
triângulosdeSemelhança
xIDxCI
xQqueem
posiçãonaocorreMmáximo
dx
xdM
máximoM
xQ
dx
xdM
21,2
4
8,352,44
:
4/
0)(
0
)(
/
)(
)(







Teoria das Estruturas I 
Professor Júlio César 
Atividade 
31 
a) Cálculo de Reações; 
b) Cálculo de esforços internos; 
c) Diagramas (DEN, DEC e DMF)