2019_Diagramas de força normal, força cortante e momento fletor

Prévia do material em texto

NOTAS DE AULA 1 
DIAGRAMAS DE FORÇA NORMAL, FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR 
 
APLICAÇÃO DOS DIAGRAMAS (GRÁFICOS) 
Utilizados para determinar o esforço agindo em qualquer trecho da estrutura. 
 
Exemplo: 
 
Após a construção dos diagramas de força cortante e momento fletor, podemos obter as 
seguintes informações, por exemplo: 
 
Força cortante 
 
 
A 1m do início da estrutura (X=1m), a força cortante resultante é de 10kN. 
A 6,5m do início da estrutura (X=6,5m), a força cortante resultante é nula. 
A máxima força cortante resultante ocorre entre as secções II e III, com valor de 20kN. 
 
 
Momento fletor 
 
A 1m do início da estrutura (X=1m), o momento resultante é de 10kNm. 
A 6,5m do início da estrutura (X=6,5m), o momento resultante é nulo. 
O máximo momento resultante ocorre na secção III, com valor de 25kNm. 
Utilizar o máximo momento para dimensionamento da estrutura para resistir à flexão. 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 2 
RESISTÊNCIA À FLEXÃO 
 
Depende do material e secção transversal da viga / estrutura. 
 
 
Exemplo: 
 
2 2
3 3
X X
3 x 8 8 x 3
W = = 32 cm , W = = 12 cm (W: Módulo de resistência)
6 6
 
A primeira situação de aplicação de força apresentará maior resistência à flexão. 
 
 
Para calcular o W (módulo de resistência) e J ou I (momento de inércia), 
utilizamos valores tabelados ou fórmulas já definidas para secções transversais 
mais comuns, ou temos que calculá-los a partir do CG (centro de gravidade) da 
secção transversal da estrutura, para secções transversais mais complexas. 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 3 
CENTRO DE GRAVIDADE (BARICENTRO ou CENTRÓIDE) 
Todas as forças de mesma direção e sentindo atuando em uma determinada área podem ser 
substituídas por uma única força equivalente F, agindo no baricentro desta área. 
 
Os valores das coordenadas do baricentro, XG e YG, são calculados em relação à origem dos 
eixos das coordenadas X-Y. 
 
 
 
Posição das 
coordenadas é em 
relação a um dos 
vértices de um 
retângulo. 
 
 
 
 
 
Posição das 
coordenadas é em 
relação a um dos 
vértices de um 
quadrado. 
 
 
 
Posição das 
coordenadas é em 
relação ao vértice 
do ângulo de 90 
de um triângulo 
retângulo. 
 
 
 
 
Posição das 
coordenadas é em 
relação ao centro do 
círculo. 
 
MOMENTO DE INÉRCIA 
O momento de inércia é muito importante no dimensionamento de elementos de construção, 
pois através dos seus valores numéricos temos uma noção da resistência da estrutura. 
Quanto maior o momento de inércia da secção transversal de uma estrutura, maior será a 
resistência da estrutura. 
 
Dimensionamento da secção transversal da viga (peça) para resistir à flexão: 
 
 
 
Viga bi-apoiada com 
esforços atuando na parte 
superior 
 Cálculo das reações 
 nos apoios A e B 
 Diagrama de Momento 
 Fletor 
 
Cálculo da Tensão admissível: adm = e / k, k: fator de segurança. 
Dimensionamento do perfil: adm = M / W 
M: Momento Fletor; W: Módulo de Resistência (depende da secção transversal do 
perfil). 
Valores de Wx e Wy podem variar; neste caso utilizar a pior condição, ou seja, o menor 
dos W, a não ser que a viga já tenha a sua posição de apoio definida. 
W: Quando o perfil é conhecido, este dado já está tabelado. 
 
 
NOTAS DE AULA 4 
Secção 
Momento de Inércia 
J 
Módulo de 
Resistência W 
 
 
 
 
 
 
 
 
A flexão verifica-se em vigas, postes engastados, eixos, etc... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 5 
CONSTRUÇÃO DE DIAGRAMAS DE FORÇA NORMAL, FORÇA CORTANTE E MOMENTO 
FLETOR 
 
Convenção de sinais para forças e momentos 
 
Os diagramas (gráficos) permitem identificar o esforço resultante que está agindo em cada 
secção transversal da viga (estrutura). 
 
Para construção dos diagramas, adotamos os sinais indicados acima para forças e momentos, 
bem como partimos da esquerda para a direita para cálculo do esforço resultante. 
Portanto, a distância x = 0 no início (lado esquerdo) da estrutura. 
 
Representação das resultantes no diagrama - convenção de sinais: 
 
 Força normal +: parte superior (tração) 
 Força normal -: parte inferior (compressão) 
 
 Força cortante +: parte superior 
 Força cortante -: parte inferior 
 
 Momento fletor +: parte superior 
 Momento fletor -: parte inferior 
 
Ex: Diagrama de momento fletor 
 
 
 
Exemplos de cálculo: 
 
1) Construir os diagramas de momento fletor e força cortante da estrutura representada a seguir. 
 
Convenção de sinais adotada: 
 
a) Cálculo das reações nos apoios: 
 
 
NOTAS DE AULA 6 
 
RAx = 0, RAy = 30,7 kN, RBy = 58,7 kN 
Nota: Caso, nos cálculos, alguma reação tenha como resultado um valor negativo, inverter o sentido da 
força representada e trocar o sinal para positivo. 
 
b) Definir secções para cálculo dos esforços resultantes, onde já existe algum esforço atuante ou início 
ou fim da viga (estrutura) para início dos cálculos. 
 
 
c) Cálculo dos esforços resultantes: 
 
 
FORÇA NORMAL N 
 
N = 0 em qualquer ponto da viga (estrutura). Não existe força normal atuante ao longo de toda a 
estrutura. 
 
 
FORÇA CORTANTE Q 
 
Antes da secção I: não temos esforços agindo. Portanto Q = 0. 
 
Secção I: x = 0, Q = -30,7kN 
 
 
Entre secção I e II: 
x = 0,5m, Q = -30,7kN 
x = 1,0m, Q = -30,7kN 
Q permanece constante = -30,7kN 
 
 
Secção II: x = 1,5m, Q = -30,7 + 58,7 = 28kN 
 
Entre secção II e III: 
x = 2m, Q = 28kN 
Q permanece constante = 28kN 
 
NOTAS DE AULA 7 
 
 
Secção III: x = 2,5m, Q = -30,7 + 58,7 – 10 = 18kN 
 
Entre secção III e IV: 
X = 3m, Q = 18kN 
Q permanece constante = 18kN 
 
Secção IV: x = 3,5m, Q = -30,7 + 58,7 – 10 – 18 = 0 
 
A soma de todas as forças cortantes tem que se igualar a Zero no final. 
 
 
 
MOMENTO FLETOR M 
 
Antes da secção I: não temos esforços agindo. Portanto M = 0. 
 
Secção I: x = 0, M = 30,7 x 0 = 0 
 
 
Entre secção I e II: 
x = 0,5m, M = 30,7 x 0,5 = 15,35kNm 
x = 1,0m, M = 30,7 x 1,0 = 30,7kNm 
M uniformemente crescente: M = 30,7x 
 
 
Secção II: x = 1,5m, M = 30,7 x 1,5 = 46,05kNm 
 
NOTAS DE AULA 8 
 
 
Entre secção II e III: 
x = 2m, M = 30,7 x 2 - 58,7 x 0,5 = 32,05kNm 
 
 
Secção III: x = 2,5m, M = 30,7 x 2,5 – 58,7 x 1 = 18kNm 
 
Entre secção III e IV: 
x = 3m, M = 30,7 x 3 – 58,7 x 1,5 + 10 x 0,5 = 9,05kNm 
 
Secção IV: x = 3,5m, M = 30,7 x 3,5 - 58,7 x 2 + 10 x 1 + 18 x 0 = 0 
 
A soma de todos momentos tem que se igualar a Zero no final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 9 
2) Construir os diagramas de momento fletor, força normal e força cortante da estrutura representada a 
seguir. 
Nota: Neste exemplo já temos um momento agindo sobre a estrutura, na secção II. Atenção na 
construção do diagrama de momento fletor nesta secção, com um detalhe diferente do exemplo anterior. 
 
 
Convenção de sinais adotada: 
 
a) Cálculo das reações nos apoios: 
 
 
b)Definir secções para cálculo dos esforços resultantes, onde já existe algum esforço atuante ou início 
ou fim da viga (estrutura) e secção para início dos cálculos. 
 
 
c) Cálculo dos esforços resultantes: 
 
 
FORÇA NORMAL N 
 
Antes da secção I: não temos esforços agindo. Portanto N = 0. 
 
Secção I: x = 0, N = -26kN (compressão) 
 
Entre secção I e II: 
x = 1m, N = -26kN 
x = 2m, N = -26kN 
N permanece constante = -26kN 
 
NOTAS DE AULA 10 
 
Entre secção II e III: 
x = 3m, N = -26kN 
x = 3,5m, N = -26kN 
N permanece constante = -26kN 
 
Entre secção III e IV: 
x = 4m, N = -26kN 
x = 4,49m, N = -26kN 
N permanece constante = -26kN 
 
x = 4,5m, N = 0 
Entre secção IV e V: 
x = 5m, N = 0 
x = 7m, N = 0 
N permanece constante = 0 
 
 
 
FORÇA CORTANTE Q 
 
Antes da secção I: não temos esforços agindo. Portanto Q = 0. 
 
Secção I: x = 0, Q = -10 + 7,1 = -2,9kN 
 
 
Entre secção I e II: 
x = 0,5m, Q = -2,9kN 
x = 1,5m, Q = -2,9kN 
Q permanece constante = -2,9kN 
 
 
Secção II: x = 2m, Q = -2,9kN 
 
NOTAS DE AULA 11 
 
Entre secção II e III: 
x = 3m, Q = -2,9kN 
Q permanece constante = -2,9kN 
 
 
Secção III: x = 3,5m, Q = -10 + 7,1 + 17,9 = 15kN 
 
Entre secção III e IV: 
x = 4m, Q = 15kN 
Q permanece constante = 15kN 
 
Secção IV: x = 4,5m, Q = --10 + 7,1 + 17,9 - 15 = 0 
 
Entre secção IV e V: 
x = 5m, Q = 0 
x = 6m, Q = 0 
Q permanece constante = 0 
 
 
A soma de todas as forças cortantes tem que se igualar a Zero no final. 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 12 
MOMENTO FLETOR M 
 
Antes da secção I: não temos esforços agindo. Portanto M = 0. 
 
Secção I: x = 0, M = 10 x 0 + 7,1 x 0 = 0 
 
Entre secção I e II: 
x = 0,5m, M = 10 x 0,5 – 7,1 x 0,5 = 1,45kNm 
x = 1,5m, M = 10 x 1,5 – 7,1 x 1,5 = 4,35kNm 
M uniformemente crescente: M = 30,7x 
 
Secção II: 
Como nesta secção já temos um momento agindo, exatamente neste ponto, calcular o momento 
imediatamente antes deste ponto e imediatamente após este ponto. 
 
Imediatamente antes: x = 1,9999m, M = 10 x 1,9999 – 7,1 x 1,9999 = 5,8kNm 
Lembramos que o momento já existente está agindo no ponto da secção II. Antes deste ponto, não há 
momento. 
 
Imediatamente após: x = 2,0001m, M = 10 x 2,0001 – 7,1 x 2,0001 + 5 = 10,8kNm 
Lembramos que o momento já existente está agindo no ponto da secção II. Após deste ponto, já temos 
momento. 
 
 
Entre secção II e III: 
x = 3m, M = 10 x 3 – 7,1 x 3 + 5 = 13,7kNm 
 
 
Secção III: x = 3,5m, M = 10 x 3,5 – 7,1 x 3,5 + 5 = 15kNm 
 
Entre secção III e IV: 
 
NOTAS DE AULA 13 
x =4m, M = 10 x 4 – 7,1 x 4 + 5 – 17,9 x 0,5 = 7,65kNm 
 
Secção IV: x = 4,5m, M = 10 x 4,5 – 7,1 x 4,5 + 5 – 17,9 x 1 + 15 x 0 = 0 
 
Entre secção IV e V: 
x = 5m, M = 0 
x = 6,5m, M = 0 
Não existem esforços agindo. 
M permanece constante = 0 
 
 
A soma de todos momentos tem que se igualar a Zero no final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 14 
3) Construir os diagramas de momento fletor, força normal e força cortante da estrutura representada a 
seguir. 
Nota: Neste exemplo temos uma carga distribuída agindo na estrutura. Atenção para a construção do 
diagrama na trecho da carga distribuída. 
 
Convenção de sinais adotada: 
 
a) Cálculo das reações nos apoios: 
Transformar a carga distribuída numa carga concentrada equivalente. 
 
 
b) Definir secções para cálculo dos esforços resultantes, onde já existe algum esforço atuante ou início 
ou fim da viga (estrutura) para início dos cálculos. 
 
 
c) Cálculo dos esforços resultantes: 
 
 
FORÇA NORMAL N 
 
F = 0 em qualquer ponto da viga (peça). Não existe força normal atuante ao longo de toda a estrutura. 
 
 
FORÇA CORTANTE Q 
 
Antes da secção I: não temos esforços agindo. Portanto Q = 0. 
 
Trecho I a II – carga uniformemente distribuída 
 
NOTAS DE AULA 15 
 
 
Secção I: x = 0, Q = 10,9 + 4 x 0 = 10,9kN 
 
 
Entre secção I e II: 
x = 1m, Q = 10,9 – 4 x 1 = 6,9kN 
 
 
Secção II: x = 2m, Q = 10,9 – 4 x 2 = 2,9kN 
 
 
Entre secção II e III: 
x = 3m, Q = 2,9kN 
Q permanece constante = 2,9kN 
 
 
Secção III: x = 3,5m, Q = 10,9 – 8 – 15 = - 12,1kN 
 
Entre secção III e IV: 
x = 4,5m, Q = 12,1N 
Q permanece constante = 12,1kN 
 
NOTAS DE AULA 16 
 
Secção IV: x = 5m, Q = 10,9 – 8 – 15 + 12,1 = 0 
 
A soma de todas as forças cortantes tem que se igualar a Zero no final. 
 
 
MOMENTO FLETOR M 
 
Antes da secção I: não temos esforços agindo. Portanto M = 0. 
 
Trecho I a II – carga uniformemente distribuída 
 
 
Secção I: x = 0, M = 10,9 x 0 = 0 
 
Entre secção I e II: 
x = 1m, M = -10,9 x 1 + 4 x 12 / 2 = -8,9kNm 
x = 1,5m, M = -10,9 x 1,5 + 4 x 1,52 / 2 = -11,85kNm 
M da carga distribuída: M = 4 x X x X/2 = 4X2 / 2 
 
Secção II: 
x = 2m, M = -10,9 x 2 + 4 x 22 / 2 = -13,8kNm 
 
 
 
NOTAS DE AULA 17 
Entre secção II e III: 
 
x = 3m, M = -10,9 x 3 + 8 x 2 = -16,7kNm 
 
 
Secção III: x = 3,5m, M = -10,9 x 3,5 + 8 x 2,5 + 15 x 0 = -18,15kNm 
 
 
Entre secção III e IV: 
x =4m, M = -10,9 x 4 + 8 x 3 + 15 x 0,5 = -12,1kNm 
 
 
Secção IV: x = 5m, M = -10,9 x 5 + 8 x 4 + 15 x 1,5 + 12,1 x 0 = 0 
 
 
NOTAS DE AULA 18 
 
 
A soma de todos momentos tem que se igualar a Zero no final. 
 
 
 
 
Outros exemplos de diagrama de força cortante e momento fletor 
 
 
 
 
 
 
REF: MECÂNICA TÉCNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – SARKIS MELCONIAN