QUESTÕES CALCULO II - AVALIANDO AULA 1 A 5

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AULA 01 – CÁLCULO II
	1 - O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t)  = t3 i  + t2 j.
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1.
		
	 
	6ti+2j
	
	6ti+j
	
	ti+2j
	
	6ti -2j
	
	6i+2j
	
	
	2- Calcule o versor tangente  T(0),se:
r(t)=costi + 3tj + 2sen2tk.
		
	
	T(0)=<35,-45>
	
	T(0)=
	
	T(0)=<-35,-45>
	 
	T(0)=<-35,45>
	 
	T(0)=<35,45>
	3- Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas abaixo:
A função f(t) é contínua para t = 0;
A função g(t) é descontínua para t = 0;
A função h(t) não possui imagem para t = pi/6;
Encontramos afirmativas corretas somente em:
		
	
	II
	
	I
	
	I, II e III
	
	III
	 
	I e II
	4- 15 m/s. A velocidade, em m/s, num ponto em que o diâmetro é igual a 5,0 cm, será aproximadamente igual a:
		
	
	5,5
	
	3,5
	 
	6,5
	
	8,5
	
	4,5
	
	
	5- Determine a única resposta correta para:
(a) a derivada de r(t) =(1+t3)i+ te-tj+sen2tk
(b) o versor tangente T em t=0.
 
		
	
	(a) v(t)=t2i + (1 + t)e-tj +  2cos2tk
(b) T(0)=-15j + 25k
	 
	(a) v(t)=-3t2i - (1 + t)e-tj -  2cos2tk
(b) T(0)=25j - 25k
	
	(a) v(t)=3t2i + (1 - t)e-tj -  2cos2tk
(b) T(0)=15j - 25k
	 
	(a) v(t)=3t2i + (1 - t)e-tj +  2cos2tk
(b) T(0)=15j + 25k
 
	
	(a) v(t)= -3t2i + (1 - t)e-tj -  2cos2tk
(b) T(0)=15j - 25k
	6- Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja falsa:
1) (   ) A reta tangente a uma curva r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k   em t = t0  é   uma   reta   que   passa   pelo   ponto   P(x(t0),y(t0),z(t0)    paralela ao vetor  v(t) = x'(t0)i  + y'(t0)j + z'(t0)k.             
 2) (   ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são:
x =x(t0) + t.x'(t0)y= y(t0) + t.y'(t0)z= z(t0) + t.z'(t0)
3) (   ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t) é:
T= v(t)|v(t)|.
4) (   )  O comprimento L de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por           
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2
5) (   )  A reta normal unitária principal no plano é N=dTdt|dTdt|
 
		
	
	1) (V)               2) (F)                3) (V)                       4) (F)                   5) (V)
	 
	1) (V)                 2) (F)                    3) (V)                     4) (F)                 5) (F)
	
	1) (V)              2) (F)                 3) (V)                        4) (V)                   5) (V)
	
	1) (V)                     2) (V)                  3) (V)                  4) (F)                   5) (F)
	 
	1) (V)                2) (V)                     3) (V)                    4) (F)                  5) (V)
	
	
	7- Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1.
		
	 
	r'(t)=v(t)=12i - j
	
 
	r'(t)=v(t)=14i + j
	
	r'(t)=v(t)=32i - j
	
	r'(t)=v(t)=15i - 3j
	
	r'(t)=v(t)=13i - 2j
	8- Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r=42cosΘ-senΘ
		
	
	y = x
	
	y = x + 6
	 
	y = 2x - 4
	
	y = x + 1
	
	y = x - 4
	9 - Se  r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k,  então: ∫r(t)dt é:
		
	
	sent i - t2 k + C
	
	πsenti - cost j + t2 k + C
	 
	2sent i - cost j + t2 k + C
	
	2senti + cost j - t2 k + C
	
	-cost j + t2 k + C
	10 - Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª ordem fx e fy da função: f(x,y)=xe3y
		
	
	fx=π3y e fy=3πe3y
	
	fx=ey e fy=3xey
	
	fx= -e3y e fy= -3xe3y
	 
	fx=0 e fy=0
	 
	fx=e3y e fy=3xe3y
	11- O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é:
		
	 
	(0, -1, 1)
	
	(2, 1, -1)
	 
	(-1, 0, 1)
	
	(0, 2, -1)
	
	(1, 1, -1)
	12- Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para  coordenadas polares vamos obter:
		
	 
	( 2, π/6)
	
	( 4, π/6)
	 
	( 6, π/2)
	
	( 6, π/6)
	
	( 2, π/2)
	13- Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função quando t → 2 é dado por:
		
	 
	〈2,4,12〉
	
	〈2,3,11〉
	
	〈4,8,7〉
	 
	〈4,0,10〉
	
	〈6,8,12〉
	1 4- Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk
		
	 
	2j
	 
	2i + 2j
	
	i/2 + j/2
	
	2i
	
	2i + j
	15- Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t)  = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉
		
	 
	x= t ; y=2+5t, z=-1+6t
	 
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1
	
	x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	x=1+t ; y=2+5t
	16- Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti + (2 - t)j,em t = 1.
		
	 
	r'(t)=v(t)=32i - j
	 
	r'(t)=v(t)=12i - j
	
	r'(t)=v(t)=14i + j
	
	r'(t)=v(t)=13i - 2j
	
	r'(t)=v(t)=15i - 3j
	17- Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª ordem fx e fy da função: f(x,y)=xe3y
		
	
	fx=0 e fy=0
	 
	fx=e3y e fy=3xe3y
	
	fx=ey e fy=3xey
	
	fx= -e3y e fy= -3xe3y
	
	fx=π3y e fy=3πe3y
AULA 02 – CÁLCULO II
	1-Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t),  indicando a única resposta correta. 
		
	 
	(-sent, cost,1)
	
	(sect,-cost,1)
	
	(sent,-cost,2t)
	
	(sent,-cost,0)
	
	(sent,-cost,1)
	2 -Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2
		
	
	3a
	
	1/a
	 
	a
	 
	2a
	
	sqrt (a)
	3 -Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função quando t → 2 é dado por:
		
	
	〈6,8,12〉
	
	〈4,8,7〉
	
	〈2,3,11〉
	
	〈2,4,12〉
	 
	〈4,6,10〉
	4- Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) :
		
	 
	f ' (t) = 3 sen t + cos t
	
	f ' (t) = e^3t
	
	f ' (t) = 3 j
	 
	f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j
	
	f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j
	5- Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta.
		
	
	(1-cost,sent,1)
	
	(1-sent,sent,0)
	
 
	(1 +cost,sent,0)
	
	(1-cost,0,0)
	 
	(1-cost,sent,0)
	6- Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente.  Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente.
		
	
	18 e -30
	 
	0 e 0
	 
	9 e 15
	
	36 e 60
	
	36 e -60
	7 – O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k
		
	
	i + j - k
	
	j - k
	
	i - j - k
	
	- i + j - k
	 
	i + j + k
	8- Encontrando Derivadas.
Qual é a resposta correta para  a derivada de  r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk?
		
	 
	(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k
	
	(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k
	
	(sent - tcost)i + (sentcost)j - k
	
	(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1
	
	t(cost - sent)i - t(sent  + cost)j + k
	9- Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0.
		
	
	2
	
	9
	 
	3
	
	1
	
	14
	10 – Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada por 
		
	 
	r=3 tg θ. cos θ
	 
	r =3 tg θ . sec θ
	
	=cotg θ. cossec θ
	
	r =3 cotg θ. sec θ
	
	r=tg θ. cossec θ
	11 - O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2s.i-2j
	 
	12i+2j
	 
	12i-2j
	
	6i+j
	
	i+j
AULA 3 – CÁLCULO II
	1Qual o gradiente da função f(x,y) = -x2 - y + 4 ?
		
	 
	(-2x, -1)
	
	(2x, 1)
	
	(2x, -1)
	
	(-2, 1)
	
	(-2x, 1)
	2- Encontre dy/dx derivando implicitamente: x^(4 ) ( x+y)= y^2 (3x-y )
		
	
	(y^2-x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy)
	
	(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+y^(2 )-6xy)
	
	(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+y^(2 )-3xy)
	 
	(3y^3-5x^(3 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy)
	 
	(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy)
	3- Encontre a derivada parcial fy    se f(x,y) = y.senxy.
		
	 
	xy.cosxy - senxy
	
	x.cosxy + senxy
	
	cosxy + senxy
	 
	xy.cosxy + senxy
	
	y.cosxy + senxy
		
	
	   x4+exy.30xy   e    12x2y + 40y4exy
	 
	
	
	   20x4+exy.2xy    e    12x2y + y4exy
	
	x40+exy.2xy     e    12x20y + y4exy
	
	   x4+exy.2xy    e   12x2y + y4exy
	5- Encontre ∂z/∂x se a equação é yz - ln z = x + y.
		
	 
	z / (yz - 1)
	
	z / ( z - 1)
	
	z / (y - 1)
	
	z / y
	 
	z / (yz + 1)
	6- A circunferência  x2+y2=9 em coordenadas polares é dada por:
		
	
	r = 4
	 
	r = 6
	 
	r = 3
	
	r = 7
	
	r = 5
	7 -Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é:
		
	 
	V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t)
	
	V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t)
	
	V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t)
	
	não existe
	
	V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t)
	8- Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a
		
	 
	0
	
	-2
	
	-1
	 
	2
	
	1
	
	9- Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1)
		
	
	9,31
	
	2,56
	
	2,28
	 
	4,47
	
	3,47
	10- Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita.
		
	
	(x+y cos(xy))/(y-x cos(xy))
	 
	(2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
	
	(2x+y cos(xy))/(y-x cos(xy))
	
	(2+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
	
	(x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
	11- Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é:
		
	 
	V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t)
	
	V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t)
	
	V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t)
	
	não existe
	 
	V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t)
	12-Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt.
		
	
	-0,25i + 7j + 1,5k
	 
	-0,25i - 7j - 1,5k
	 
	0,25i + 7j + 1,5k
	
	0,25i + 7j - 1,5k
	
	0,25i - 7j + 1,5k
	13- Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x2 + y2.
		
	
	fxx = 2, fxy = 4, fyx = 0, fyy = 0
	
	fxx = 2, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 4
	 
	fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2
	
	fxx= 0, fxy = 0, fyx = 4, fyy = 2
	
	fxx = 0, fxy = 0, fyx = 2, fyy = 4
	14- Encontre ∂z/∂x se a equação é yz - ln z = x + y.
		
	 
	z / (yz - 1)
	
	z / (y - 1)
	 
	z / y
	
	z / ( z - 1)
	
	z / (yz + 1)
AULA 4 – CÁLCULO II
	1Calcule a integral dupla:
∫24 ∫12 (x² + y²) dydx
		
	 
	70/3
	
	70/11
	
	70/13
	
	70/15
	
	70/9
	2- Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k
		
	 
	(-sen t)i + (cos t)j
	 
	(-sen t)i - (cos t)j
	
	(-sen t)i + (cos t)j + k
	
	(-sen t - cos t)i + (cos t)j
	
	(-sen t)i + (cos t)j - k
	3- Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que:
		
	 
	O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local.
	 
	O ponto (-1,0) e ponto de Sela.
	
	O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local.
	
	O ponto (1,1) e ponto de Máximo.
	
	O ponto (0,1) e ponto de Máximo.
	4- Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x
		
	
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	2sen(x + 3y)cos(x + 3y)
	 
	2sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	2cos(x - 3y)
	 
	2sen(x - 3y)
	
	5- ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy
		
	 
	xy cos xy + sen xy
	 
	xy2 cos xy + sen xy
	
	x y2 cos xy + x sen xy
	
	x2 y cos xy + x sen xy
	
	y2 cos xy + x sen xy
	6- Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2).
		
	 
	z=-8x+12y -14        
	 
	z=-8x+12y-18     
	
	 z=-8x+10y-10      
	
	z=8x - 10y -30
	
	z=8x-12y+18    
	7- Encontre dwdt se: w = x.y + z,
x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t = 0?
		
	 
	-2
	
	1
	
	-1
	 
	2
	
	0
	8-Determine a integral ∫01∫02∫0(1-z)dydxdz
		
	 
	0
	
	2-2z
	 
	1
	
	2
	
	1-z
	9- Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=e-x+e-y+e-zno ponto P0(-1,-1,-1)
		
	 
	∇f=<-e,-1,-e>
	 
	∇f=<-e,-e,-e>
	
	∇f=<-1,-1,-1>
	
	 ∇f=<e, e,-e>
	
	∇f=<-e,-e, e>
	10- O domínio da função f(x, y) = √(25 - x^2 - y^2 ) está:
		
	 
	no centro do círculo.
	
	no interior do círculo com centro na origem e raio menor que 5.
	
	no raio do círculo.
	 
	Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a 5, com centro em (0, 0).
	
	na reta y = x.
	11- Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 metros quadrados. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 metros na frente, 20 metros atrás e 12 metros em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão.
		
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (17,33) e (95,62)
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (97,33) e (145,62)
	 
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (147,33) e (105,62)
	 
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (104,33) e (195,62)
	
	n.r.a
	12- Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = cost.
		
	
	2/t + 2btgt + cotgt
	 
	2/t + 2bcotgt + tgt
	
	2/t + 2bcotgt
	
	2bcotgt + tgt
	
	2/t + 2bt + tgt
	13- Use a regra da cadeia para encontrar a derivada de w = xy em relação a t ao longo do caminho x = cost, y = sent. Qual é o valor da derivada em t = Π/2?
		
	
	2
	
	-2
	 
	0
	 
	-1
	
	1
	14- Determine a única resposta correta para a equação paramética para a reta que passa por P(3, -4, -1) paralela ao vetor v = i + j + k.
		
	
	x=t; y=-t; z=-1+t
	 
	x=-3+t; y=-4+t; z=-1+t
	
	x=3+t; y=-4+t; z=1-t
	
	x=3+t; y=4+t; z=-1+t
	 
	x=3+t; y=-4+t; z=-1+t
	15- Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) e na direção do vetor U = (0,-1)
		
	
	-3
	
	-4
	 
	-1
	 
	-2
	
	-5
	16- Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que:
		
	 
	O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local.
	
	O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local.
	
	O ponto (0,1) e ponto de Máximo.
	
	O ponto (-1,0) e ponto de Sela.
	
	O ponto (1,1) e ponto de Máximo.
	17- ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy
		
	 
	xy cos xy + sen xy
	
	x y2 cos xy + x sen xy
	
	x2 y cos xy + x sen xy
	
	y2 cos xy + x sen xy
	 
	xy2 cos xy + sen xy
AULA 5 – CÁLCULO II
	1Qual o gradiente da função f(x,y) = -x2 - y + 4 ?
		
	 
	(-2, 1)
	
	(2x, -1)
	
	(2x, 1)
	 
	(-2x, -1)
	
	(-2x, 1)
	2- Considere as seguintes afirmações:
1)O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de seis maneiras diferentes.
2)O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de quatromaneiras diferentes.
 3)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo se duas ( ou três ) integrais simples, de diferentes maneiras, segundo o sistema de coordenadas considerado.
 4)A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário.
 5)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo de duas ( ou três ) integrais simples, sempre da mesma forma.
 As seguintes afirmações são verdadeiras:
 
		
	 
	2,4,5
	
	2,3,4
	 
	1,3,4
	
	1,2,3
	
	1,3,5
	3- Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1].
		
	
	15(u.v.)
	
	21(u.v.)
	 
	8(u.v.)
	
	17(u.v.)
	
	2(u.v.)
	4- Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) encontre 2∂f∂x+2∂f∂y-∂f∂z
		
	
	cos(y+2z)-sen(x+2z)
	
	cos(y+2z)+(1x)+(1y)+(1z)-sen(x+2z)
	
	1xyz
	 
	2(xz+yz-xy)xyz
	
	 (1x+1y+1z)
	5- Marque apenas a alternativa correta:
		
	
	Se as dimensões de uma caixa retangular medem 75 cm, 60 cm e 40 cm e que a cada medida a precisão e de 0,2 cm, então podemos afirmar que a diferença entre o volume do sólido e o volume estimado pelo diferencial é maior que 5%.
	 
	Todas as opções são verdadeiras.
	
	Considerando a função z=3x^2+xy+y^3, podemos afirmar que ∂z/∂x=3xy+y.
	 
	Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total para estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de aproximadamente 20π cm^3.
	
	Sobre a função z=3x^3 y^2+y^3 x^2, podemos afirmar que ∂z/∂x∂y=6xy+6xy^2.
	6- Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, z)dzdydx.
Considerar F(x, y, z) = 1.
		
	 
	1/6
	
	2/3
	
	7/6
	 
	5/6
	
	1/2
	7- Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação  f(x,y) =  e(x+2y) dxdy, para os intervalos
R= [0,1]x[0,3].
		
	
	-1/2(e-1)(e6-1)
	
	1/2(e6-1)
	
	(e-1)(e6-1)
	 
	1/2(e-1)
	 
	1/2(e-1)(e6-1
	8- O divergente de F(x, y) = 
(4x2 - y)i + (x.y - 3y2)j vale:
		
	 
	9x -6y
	
	3y - x
	
	6y + 2x
	
	2y - x
	
	2y -3x
	9- Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1):
		
	 
	½ ua
	
	1/4 ua
	
	1 ua
	
	1/5 ua
	 
	1/3 ua
	10-Considere a regiao delimitada por y = (a2 - x2 )1/2 ,  o eixo x e as retas x = - a e x = a, sendo girada ao redor do eixo x. Determine qual o sólido gerado e qual o volume referente a mesma.
		
	
	O solido gerado é uma elipse de raio a e o volume gerado será (4/3) pi a.
	 
	O solido gerado é uma esfera de raio 5 e o volume gerado será (4/3) pi  .
	 
	O solido gerado é uma esfera de raio a e o volume gerado será (4/3) pi a3 .
	
	O solido gerado é uma esfera de raio 3 e o volume gerado será (4/3) pi.
	
	O solido gerado é uma elipse  e o volume gerado será  pi a3 .
11-
	
	33/19
	
	22
	
	41
	
	18/5
	 
	27/2
	12- Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5
		
	
	105
	 
	125
	
	110
	
	115
	
	120
	13- Determine as derivadas de primeira ordem da função:
 f(x,y,z) = x2y - 3xy2 + 2yz. 
		
	
	fx = xy - 3y , fy = x - 6xy + 2z,  fz​​​​​​​ = 2y
	
	fx = 2xy - 3y , fy = x2 - 3xy + 2z,  fz = 2z
	 
	fx = 2xy - 3y2 , fy = x2 - 6xy + 2z,  fz = 2y
	
	fx = 2xy - y2 , fy = x2 - 6x + 2z,  fz = y
	
	fx = 2x - 3y2 , fy = x2 - 3xy + 2y,  fz = 2y
	14- Calcule o limite de:
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y)
		
	 
	11
	 
	- 11
	
	12
	
	-12
	
	5