modelo_de_relatorio_tecnico_2005

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Universidade de Passo Fundo 
Faculdade de Engenharia e Arquitetura 
Curso de Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO E CONSTRUÇÃO DE “HELICÓPTEROS” DE PAPEL: 
PROJETO COMBINADO TEÓRICO/EXPERIMENTAL 
Relatório Técnico para a Disciplina Síntese I 
 
 
 
 
 
 
 
 
Joaquim B. Araújo 
Manuel S. Soares 
acadêmicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo Fundo 
2002 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
O presente relatório diz respeito ao primeiro projeto proposto para a disciplina de 
Síntese I, no primeiro semestre de 2002: Projeto e Construção de “Helicópteros” de Papel: 
Projeto Combinado Teórico/Experimental. 
Na primeira fase do projeto é adotado um modelo matemático simplificado que calcula 
a velocidade de descida de helicópteros de papel, em função de parâmetros físicos e 
geométricos. Um modelo experimental é construído e testado e os resultados são comparados 
com a velocidade predita pelo modelo. 
Na segunda fase do projeto, são adotadas técnicas de otimização de experimentos para 
que conclusões a respeito das variáveis relevantes no projeto possam ser obtidas, com um 
mínimo de experimentos (modelos de “helicóptero”) possível. 
 
 
 
 
PROJETO E CONSTRUÇÃO DE “HELICÓPTEROS” DE PAPEL 
1. Primeira Fase: Predição do Comportamento com Modelo Matemático e Construção 
de um Protótipo. 
 
 O presente projeto diz respeito ao estudo dos fatores que influem no desempenho de 
helicópteros de papel. O objetivo da primeira fase do projeto é encontrar combinações de 
variáveis que maximizem o tempo de descida do helicóptero. 
 Embora exista um sem número de variáveis que podem influir no comportamento do 
helicóptero, por simplicidade adotamos como variáveis de projeto (mostradas na Figura 1, 
abaixo): comprimento do rotor ( ), largura da cauda ( ) e comprimento da cauda ( ). rR wT lT
 
 
Figura 1. Desenho esquemático do helicóptero de papel. 
 
1.1 Modelamento matemático 
 
 Consideraremos um modelo matemático simplificado, ou seja, que obedece às leis 
físicas, mas que ignora vários fatores que estão presentes em análises mais sofisticadas. 
 Ignorando o tempo requerido para que o helicóptero entre em regime permanente, (ou 
seja, deve-se encontrar uma elevação para o lançamento do helicóptero suficientemente 
grande para que tal transiente seja ignorado), a equação do balanço de forças fica resumida a: 
 
WD = , (1) 
 
Onde representa a força de arrasto e W o peso do helicóptero. D
 A força de arrasto é dada pela equação: 
 
DCSVD
2
2
1 ρ= , (2) 
 
onde ρ é a densidade do ar, V a velocidade de descida, , a área coberta pela rotação do 
rotor. Segundo a literatura, o coeficiente de arrasto , nesta situação, é aproximadamente 
igual a 1,1. A área é dada pela equação: 
S
DC
S
 
2
rRS π= . (3) 
 
 Substituindo a Equação 2 na Equação 1, e isolando na expressão resultante a velocidade 
, obtém-se: V
 
Dr CρπR
WV 2
2= . (4) 
 
 Em conformidade com o objetivo do trabalho, devem ser encontradas configurações que 
minimizem a velocidade de descida (maximizem o tempo de descida). 
 O peso total W é dado pelo somatório dos pesos das asas, cauda e corpo, além dos 
pesos do clipe de papel, adicionado para dar estabilidade ao modelo: 
 
clipecaudacorpoasas WWWWW +++= . (5) 
 
 O peso do clipe é medido com uma balança de precisão. Os pesos do corpo e da cauda 
são dados pelas áreas multiplicadas pela gramatura1 do papel e a aceleração gravitacional: 
 
grgBBW wlcorpo = , (6) 
 
grgTTW wlcauda = , (7) 
 
sendo gr , nas equações, a gramatura do papel. 
 Para atender as exigências decorrentes das leis de resistência dos materiais, é assumido 
que o peso das asas (rotor), aumenta cubicamente com o raio: 
 
3
0
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
r
r
refasas R
RWW , (8) 
 
sendo e um peso de referência (nominal) do rotor e o raio correspondente a este 
peso, respectivamente. 
refW 0rR
 
1.2 Dimensionamento e Construção do Protótipo 
 
 Em uma planilha Excel foram inseridos os dados e as equações do modelo matemático 
descrito acima, conforme a Figura 2. Com auxílio da ferramenta Solver do Excel, a Equação 
4 foi resolvida de forma a minimizar a velocidade de descida, tendo como parâmetros faixas 
de valores, arbitradas para cada variável de projeto. O Solver determina os valores das três 
variáveis de projeto (dentro da faixa estipulada), cuja combinação minimiza a velocidade, 
como pode ser visto na Figura 3. 
 
 
1 A gramatura é dada pelo quociente entre a massa de uma amostra do papel com dimensões conhecidas (obtido 
com uma balança de precisão) e a área da amostra. 
 
Figura 2. Planilha Excel para cálculo da velocidade máxima de descida. 
 
 
Figura 3. Janela da ferramenta Solver mostrando a condição de minimização do valor da 
velocidade e as restrições para os valores que as variáveis podem assumir (faz 
referência à planilha mostrada na Figura 2). 
 
 De acordo com a solução obtida pela planilha, um protótipo foi construído, conforme o 
modelo da Figura 1. Uma vez construído, o protótipo foi lançado do poço do elevador do 
prédio G1 da FEAR, cuja altura é de 9,32 m, por cinco (cinco) vezes. O tempo de cada 
lançamento foi registrado e uma média, bem como um desvio padrão da média, foram 
calculados. Os resultados são mostrados na Tabela 1. 
 
Distância(m) Tempos(s)
Velocidades 
(m/s) 
9,32 3,58 2,60 
9,32 3,81 2,45 
9,32 3,87 2,41 
9,32 3,98 2,34 
9,32 3,95 2,36 
 
Velocidade média 2,43 
Desvio padrão da média 0,07 
Velocidade mínima 2,36 
Velocidade máxima 2,51 
Tabela 1. Velocidade média e erro aleatório (considerado como o desvio padrão da média) 
associado, para o modelo construído de acordo com os valores mostrados na Figura 
2. 
 
2. Segunda Fase: Planejamento de Experimento com o Método de Box-Behnken. 
Construção de Modelos Experimentais e Experimentação dos Protótipos. 
 
O método de Box-Behnken é um dos métodos que podem ser utilizados para 
planejamento de experimentos. O planejamento de experimentos visa obter, com o mínimo 
de experiências possível, o máximo de informações. 
No presente trabalho, consideramos como variáveis de projeto apenas as medidas , e 
. O método de Box-Behnken exige que cada uma das variáveis possa assumir um valor 
mínimo (representado por –1), um valor máximo (representado por +1) e um valor médio 
entre os dois primeiros (representado pelo algarismo 0). Na Tabela 2 são apresentadas as 
treze combinações possíveis para as três variáveis em questão. 
lT wT
rR
 No presente trabalho adotamos como valores mínimo, médio e máximo, para cada 
variável, os valores, em centímetros, vistos na Tabela 3. 
Substituindo os algarismos –1, 0 e +1, da Tabela 2, pelos seus valores, dados acima, 
resulta na Tabela 4. 
 
Nº lT wT rR 
1 0 -1 1 
2 0 1 -1 
3 0 1 14 0 -1 -1 
5 -1 0 1 
6 1 0 -1 
7 1 0 1 
8 -1 0 -1 
9 -1 1 0 
10 1 -1 0 
11 1 1 0 
12 -1 -1 0 
13 0 0 0 
Tabela 2. Combinações possíveis para as três variáveis, pelo método de Box-Behnken. 
 
Variável 
Valor 
Mínimo
Valor 
Médio
Valor 
Máximo 
lT 5 7 9 
wT 3 5 7 
rR 6 8 10 
Tabela 3. Valores adotados para as variáveis, em centímetros. 
 
Nº lT wT rR 
1 7 3 10
2 7 7 6
3 7 7 10
4 7 3 6
5 5 5 10
6 9 5 6
7 9 5 10
8 5 5 8
9 5 7 8
10 9 3 8
11 9 7 8
12 5 3 8
13 7 5 8
Tabela 4. Medidas das variáveis para os treze protótipos, pelo método de Box-Behnken. 
 
 O próximo passo foi a construção e teste dos protótipos tendo por medidas aquelas 
vistas na Tabela 4. Um total de três tomadas de tempo foram feitas para cada protótipo. Os 
resultados podem ser vistos abaixo na Tabela 5. 
 
 Tomadas de tempos 
Nº 1ª 2ª 3ª Média (s) Distância(m) Velocidade(m/s) 
1 4,53 4,10 4,90 4,51 9,32 2,07 
2 3,50 3,68 3,70 3,63 9,32 2,57 
3 4,80 4,90 4,90 4,87 9,32 1,92 
4 4,23 4,35 4,30 4,29 9,32 2,17 
5 5,00 4,55 4,50 4,68 9,32 1,99 
6 3,30 3,90 3,71 3,64 9,32 2,56 
7 5,02 4,73 4,72 4,82 9,32 1,93 
8 4,12 4,30 3,90 4,11 9,32 2,27 
9 3,37 3,71 3,72 3,60 9,32 2,59 
10 4,23 4,17 4,27 4,22 9,32 2,21 
11 4,16 4,24 4,34 4,25 9,32 2,19 
12 4,23 4,66 4,18 4,36 9,32 2,14 
13 3,72 4,17 4,30 4,06 9,32 2,29 
Tabela 5. Velocidades médias de descida para os protótipos obtidos pelo método de Box-
Behnken. 
 
 A fim de se determinar a influência de cada uma das três variáveis na velocidade de 
descida do helicóptero, os dados foram reunidos da seguinte maneira. Para cada variável foi 
feita a média das velocidades de descida para cada condição: medida mínima, média e 
máxima. Os resultados são apresentados nas Figuras 4, 5 e 6 abaixo. 
 
Velocidades médias vs. Tl
2,25
2,20
2,22
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
Tl
Ve
lo
ci
da
de
 m
éd
ia
 
(m
/s
)
 
Figura 4. Velocidades médias de descida para diferentes alturas da cauda ( ). lT
 
Velocidades médias vs. Tw
2,15
2,21
2,32
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
Tw
Ve
lo
ci
da
de
 m
éd
ia
 
(m
/s
)
 
Figura 5. Velocidades médias de descida para diferentes larguras da cauda ( ). wT
 
Velocidades médias vs. Rr
2,39 2,28
1,98
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
Rr
Ve
lo
ci
da
de
s 
m
éd
ia
s 
(m
/s
)
 
Figura 6. Velocidades médias de descida para diferentes comprimentos do rotor ( ). rR
 
 
 
 
CONCLUSÕES 
Com relação à primeira parte do trabalho, a comparação entre os valores obtidos 
através do modelo matemático simplificado e os resultados experimentais, pode-se dizer que 
foi conseguida uma excelente concordância entre o valor predito (velocidade igual a 2,44 m/s, 
conforme Figura 2) e obtido (velocidade média igual a 2,43 m/s, conforme tabela 1). Isto 
valida o modelo matemático para a situação apresentada no presente trabalho. 
Com relação à segunda parte do trabalho, conclusões podem ser tiradas a respeito do 
papel desempenhado por cada uma das três variáveis, se forem analisadas as Figuras 4, 5 e 6. 
Na Figura 4 pode-se ver que a velocidade média de descida atinge um mínimo quando 
a altura da cauda assume o seu valor central. Aumentando ou diminuindo a altura da cauda, 
em relação ao valor central, a velocidade tende a aumentar. 
Na Figura 5 verifica-se facilmente que, à medida que a largura da cauda aumenta, 
aumenta também a velocidade de descida. 
A influência do comprimento do rotor pode ser avaliada pela Figura 6. À medida que 
o comprimento do rotor aumenta, a velocidade de descida decresce. Isto já era esperado, uma 
vez que, aumentando a superfície coberta pelas hélices, aumenta também a força de arrasto, 
desacelerando o helicóptero. 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
MASON, William H. Haftka’s helicopter project: combined theoretical/experimental design. 
Disponível em: http://www.aoe.ut.edu/~mason/Mason_f/ASEE98.pdf. Acesso em: 10 
fev.2002. 
 
	Universidade de Passo Fundo
	Manuel S. Soares
	INTRODUÇÃO
	PROJETO E CONSTRUÇÃO DE “HELICÓPTEROS” DE PAPEL
	1. Primeira Fase: Predição do Comportamento com Modelo Matem
	1.1 Modelamento matemático
	1.2 Dimensionamento e Construção do Protótipo
	2. Segunda Fase: Planejamento de Experimento com o Método de
	CONCLUSÕES
	REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS