Aula 05

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CÁLCULO I
Prof. Marcos Diniz | Prof. André Almeida | Prof. Edilson Neri Júnior
Aula n
o
05: Limite e Continuidade
Objetivos da Aula
• Definir limite de funções;
• Calcular o limite de uma função;
• Utilizar as propriedades operatórias do limite para calcular o limite de uma função;
• Definir função contínua;
• Reconhecer uma função contínua através do seu gráfico;
1 Velocidade Instantânea
Considere o seguinte problema:
Exemplo 1. Uma bola é solta a partir do ponto de observação no alto da Torre CN, em Toronto, 450 m
acima do solo. Desprezando a resistência do ar, encontre a velocidade da bola após 5 segundos.
Solução: De acordo com a Lei de Galileu, temos que a posição da bola s(t), medida em metros, e em
função do tempo t, medido em segundos é dado pela equação:
s(t) = 4, 9t2
A dificuldade encontrada em encontrar a velocidade após 5 segundos, está em tratarmos de um único
instante, t = 5, e não de um intervalo de tempo. Com isso, tentaremos aproximar a quantidade desejada
pelas velocidade médias calculados em intervalos de tempo cada vez menores e próximos de t = 5. Sendo
assim, basta utilizar a fórmula:
s(t)− s(5)
t− 5
E obtemos a seguinte tabela:
Intervalo de Tempo(t) Velocidade Média(m/s)
5 ≤ t ≤ 6 53, 9
5 ≤ t ≤ 5, 1 49, 49
5 ≤ t ≤ 5, 05 49, 245
5 ≤ t ≤ 5, 01 49, 049
5 ≤ t ≤ 5, 001 49, 0049
E a partir desses dados, conseguimos notar que sempre que os intervalos de tempo em torno de t = 5
ficam cada vez menores, temos que as velocidades médias se aproximam de velocidade 49m/s. Então,
esperamos que exatamente em t = 5 segundos, a velocidade seja cerca de 49m/s.
Definimos a velocidade instantânea no instante t0, como sendo o número real para o qual o valor
das velocidades médias se aproximam, sendo essas calculadas em intervalos de tempo cada vez menores,
começando em t0 . No caso do nosso exemplo, a velocidade instantânea da bola, no instante t = 5, é de
49m/s.
Dizer que tomamos intervalos de tempo cada vez menores e próximos de um instante t0, pode ser
escrito como t → t0 (Lê-se: t tende a t0). Na próxima seção, utilizaremos as noções discutidas aqui para
determinar o limite de uma função.
1
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2 Limite de Uma Função
Conforme visto na seção anterior, podemos conjecturar sobre o valor da velocidade instantânea de um
objeto, verificando para qual valor as velocidades médias tendem em intervalos de tempo cada vez menores.
Podemos também aplicar esse raciocínio para encontrar um número real L para o qual uma função f(x) se
aproxima, quando x tende a um número p.
Vamos considerar o seguinte exemplo:
Exemplo 2. Se x tende a 1, os valores de f(x) =
x2 − 1
x− 1 se aproximam de algum número real?
Solução: Inicialmente podemos notar que a função f não está definida em x = 1. Mas assim como no
problema da velocidade instantânea, podemos tentar calcular os valores que a função assume em pontos
próximos de 1 e obter alguma informação sobre o comportamento da função. Desse modo, obtemos as
seguintes tabelas:
x f(x)
0, 9 1, 9
0, 99 1, 99
0, 999 1, 999
0, 9999 1, 9999
x f(x)
1, 1 2, 1
1, 01 2, 01
1, 001 2, 001
1, 0001 2, 0001
Observando os valores encontrados nas tabelas, podemos sugerir que quando x se aproxima de 1 então
os valores de f(x) se aproximam de 2, e assim, escrevemos:
lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = 2
Exemplo 3. Qual o valor de lim
x→1
(x2 − 5x+ 6)?
Solução: Utilizando as seguintes tabelas
x f(x)
0, 9 2, 31
0, 99 2, 0301
0, 999 2, 003001
0, 9999 2, 00030001
x f(x)
1, 1 1, 71
1, 01 1, 9701
1, 001 1, 997001
1, 0001 1, 99970001
podemos observar que quando x se aproxima de 1, f(x) assume valores muito próximos de 2. Desse modo,
podemos intuir que
lim
x→1
(x2 − 5x+ 6) = 2
Exemplo 4. Estime o valor de lim
x→1
x− 1
x2 − 1 .
Solução: Observe que a função f(x) =
x− 1
x2 − 1 não está definida em x = 1. Então, como fizemos antes,
vamos considerar pontos próximos de 1. E assim, obtemos as seguintes tabelas:
x f(x)
0, 9 0, 526316
0, 99 0, 502513
0, 999 0, 500250
0, 9999 0, 500025
x f(x)
1, 1 0, 476190
1, 01 0, 497512
1, 001 0, 499750
1, 0001 0, 499975
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e, através delas podemos intuir que
lim
x→1
x− 1
x2 − 1 =
1
2
E esse fato pode ser confirmado pelo gráfico da função f .
Figura 1: Gráfico da função f(x) =
x− 1
x2 − 1
�
Exemplo 5. Faça uma estimativa para lim
x→0
senx
x
.
Solução: Primeiramente, note que f(x) =
senx
x
é par, pois
f(−x) = sen(−x)−x =
− senx
−x =
senx
x
= f(x)
Logo, utilizando o fato de f(x) ser par e uma calculadora, construímos a seguinte tabela:
x f(x)
±1, 0 0, 84147098
±0, 5 0, 95885108
±0, 4 0, 97354586
±0, 3 0, 98506736
±0, 2 0, 99334665
±0, 1 0, 99833417
±0, 05 0, 99958339
±0, 01 0, 99998333
±0, 005 0, 99999583
±0, 001 0, 99999983
Desse modo, podemos inferir que
lim
x→0
senx
x
= 1
E essa afirmação pode ser vista pelo gráfico de f
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Figura 2: Gráfico da função f(x) =
senx
x
Dessa forma, podemos propor uma definição "intuitiva"de limite, como segue:
Definição 1 (Definição Intuitiva (Imprecisa) de Limite ). Suponha que f(x) esteja definido quando x
está próximo de p (Isso significa que f está definido em algum intervalo aberto que contenha p, exceto
possivelmente no próprio p). Então escreveremos:
lim
x→a f(x) = L
e diremos
"o limite de f(x) quando x tende a p é L"
se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L quanto quisermos),
tornando x suficientemente próximo de p (por ambos os lados de p), mas não igual a p.
Observação 1. Podemos também utilizar a notação
f(x)→ L se x→ p
para representar que L = lim
x→p f(x).
Veremos no exemplo a seguir que esta definição proposta NÃO é adequada para o que queremos, sendo
necessária uma definição que exija "um pouco mais"do comportamento da função.
Exemplo 6. Analise lim
x→0
sen
(pi
x
)
.
Solução: Note que f(x) = sen
(pi
x
)
não está definida em x = 0. Então, procedendo como anteriormente,
utilizamos a seguinte tabela
x f(x)
1 0
0, 1 0
0, 01 0
0, 001 0
0, 0001 0
0, 0000001 0
Dessa forma,pela definição que propusemos, teríamos que lim
x→0
sen
(pi
x
)
= 0. Mas observe a tabela a seguir:
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x f(x)
2/101 0, 19801... 1
2/1001 0, 001998... 1
2/10001 0, 00019998... 1
2/100001 0, 0000199998... 1
x f(x)
2/103 0, 19417... −1
2/1003 0, 001994... −1
2/10003 0, 00019994... −1
2/100003 0, 0000199994... −1
Logo, pela definição 1, também teríamos que
lim
x→0
sen
(pi
x
)
= 1 e lim
x→0
sen
(pi
x
)
= −1,
pois encontramos até infinitos ponto próximos de 0 cujas imagens são iguais a 1 e −1.
Pensando nisso, devemos encontrar uma definição mais precisa de limite de uma função. Sendo assim,
considere o seguinte exemplo:
Exemplo 7. Seja
f(x) =
{
2x− 1 se x 6= 3
6 se x = 3
Determine lim
x→3
f(x).
Solução: Para determinarmos o limite pedido, notamos intuitivamente que se tomarmos x próximo de 3,
mas x 6= 3, temos que lim
x→3
f(x) = 5. Porém, buscamos um modo de verificar essa afirmação, e assim tornar
mais precisas as frases "x suficientemente próximo de p" e "f(x) arbitrariamente próximo de L" contidas na
definição 1.
Sendo assim,devemos nos fazer a seguinte pergunta:
"Quão próximo de p, x dever estar para que f(x) difira de L por menos uma quantidade pré-fixada?"
Trazendo para o nosso exemplo,
"Quão próximo de 3, x dever estar para que f(x) difira de 5 por menos uma quantidade pré-fixada?"
Essa "quantidade pré-fixada" serárepresentada pela letra grega ε (épsilon).
Quando falamos de proximidade de dois números, falamos de distância entre eles, que é justamente o
módulo da diferença entre os mesmos, ou seja, nossa indagação pode ser reescrita como o seguinte problema:
Fixado um ε > 0 arbitrário, é possível encontrar um número δ > 0 tal que todo x ∈ Df que
satisfaça a desigualdade 0 < |x− p| < δ garanta que |f(x)− L| < ε?
Reescrevendo para o nosso exemplo,
Fixado um ε > 0 arbitrário, é possível encontrar um número δ > 0 tal que todo x ∈ Df que
satisfaça a desigualdade 0 < |x− 3| < δ garanta que |f(x)− 5| < ε?
A partir desse momento, vamos analisar o exemplo dado. Suponha que ε = 0, 1. Ou seja nosso
questionamento agora é: exibir δ > 0 tal que
0 < |x− 3| < δ ⇒ |f(x)− 5| < 0, 1
Afirmamos que δ = 0, 05 serve ao nosso propósito. De fato:
0 < |x− 3| < 0, 05 ⇒ −0, 05 < x− 3 < 0, 05
⇒ −0, 1 < 2(x− 3) < 0, 1
⇒ −0, 1 < (2x− 1)− 5 < 0, 1
⇒ |(2x− 1)− 5| < 0, 1.
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Mas e se tomássemos ε = 0, 01? Afirmamos que δ = 0, 005 serviria ao nosso propósito (Verifique!). E
se ε = 0, 001? (Conjecture você e verifique).
Observe no entanto, que, para respondermos positivamente à questão principal, precisaríamos garantir
que, dado um ε > 0 arbitrário, é possível exibir um δ > 0 (que certamente dependerá de ε) que garanta
que
0 < |x− 3| < δ ⇒ |f(x)− 5| < ε
Afirmamos então que, dado um tal ε > 0 arbitrário, basta que tomemos δ =
ε
2
! De fato, observe que:
0 < |x− 3| < ε
2
⇒ −ε
2
< x− 3 < ε
2
⇒ ε < 2x− 6 < ε
⇒ |(2x− 1)− 5| < ε
como gostaríamos.
A questão que se coloca agora é como sabíamos (ou suspeitávamos) que δ =
ε
2
serviria ao nosso
propósito. Estimar um tal δ geralmente é uma tarefa difícil, mas no caso deste nosso exemplo, uma simples
manipulação algébrica nos dá a indicação. Observe:
|(2x− 1)− 5| < ε ⇔ |2x− 6| < ε
⇔ |2|.|x− 3| < ε
⇔ |x− 3| < ε
2
Então encontramos que δ = ε2 servirá!
Desse modo, podemos definir limite mais precisamente através da seguinte definição:
Definição 2 (Limite de Uma Função). Seja f uma função definida em um intervalo aberto que contenha
o número p, exceto possivelmente no próprio p. Então, dizemos que o limite de f quando x tende a a
é L e escrevemos
lim
x→p f(x) = L
se sempre que tomarmos valores para x suficientemente próximos de p, mas não iguais a p, pudermos tornar
os valores de f(x) tão próximos de L quanto quisermos isto é, dado um número ε > 0 existe um número
δ > 0 (que certamente dependerá de ε) tal que
Se x ∈ Df , 0 < |x− p| < δ então |f(x)− L| < ε
Um fato importante a ser destacado na Definição 2 é a frase: "x for suficientemente próximo de p, mas
não igual a p", pois f nem sequer precisa estar definida em p para que se tenha o limite L e o exemplo
2 ilustra esse fato, pois o que importa é o comportamento de f próximo ao ponto p. Nos gráficos abaixo
podemos destacar três situações em que o limite L de f , quando x tende a p, existirá:
Figura 3: A função f está definida em p e f(p) = L
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Figura 4: A função f está definida em p, mas f(p) 6= L
Figura 5: A função f não está definida em p, mas possui limite
Podemos também reformular a definição 2 em notação de intervalos, pois
0 < |x− p| < δ
−δ < x− p < δ, x 6= p
p− δ < x < p+ δ, x 6= p
Mostrando que x pertence ao intervalo aberto (p− δ, p+ δ) mas x 6= p . E
|f(x)− L| < ε
−ε < f(x)− L < ε
L− ε < x < L+ ε
Mostrando que f(x) pertence ao intervalo aberto (L − ε, L + ε). Desse modo, podemos reescrever a
definição 2 como
Definição 3. A expressão lim
x→p f(x) = L significa que para qualquer ε > 0 podemos encontrar δ > 0 tal
que se x ∈ Df e x ∈ (p− δ, p+ δ), x 6= p então f(x) ∈ (L− ε, L+ ε).
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Figura 6: Limite de uma função.
Exemplo 8. Vamos mostrar que lim
x→p c = c (O limite da função constante é a própria constante).
Solução: Vamos utilizar o procedimento. Note que
|f(x)− c| = |c− c| = 0 < ε
para qualquer ε > 0, logo, podemos escolher δ como sendo qualquer número real positivo.
�
Exemplo 9. Vamos mostrar que lim
x→px = p.
Solução: Iniciaremos conjecturando a cerca do δ.
(i) Conjectura sobre o valor de δ. Suponha que existe δ tal que se 0 < |x−p| < δ então |f(x)−p| < ε.
Sendo assim,
|f(x)− a| = |x− p| < ε
Assim, escolheremos δ = ε.
(ii) Verificação do Valor de δ. Se δ = ε, então 0 < |x− p| < ε. Logo,
0 < |x− p| < ε⇒ |f(x)− p| < ε
�
Contudo, provar a existência de limites pela definição não é um trabalho muito fácil na maioria das vezes
e necessita de resultados mais elaborados, além de que foge ao objetivo de um curso inicial de cálculo 1.
Pensando nisso, exibiremos nas próximas seções alguns resultados que podem facilitar o cálculo de limites.
2.1 Propriedades de Limites
Teorema 1. Supondo c uma constante e que os limites
lim
x→a f(x) e limx→a g(x)
existam, então:
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1. lim
x→p[f(x)± g(x)] = limx→p f(x)± limx→p g(x) (O limite da soma é a soma dos limites)
2. lim
x→p[cf(x)] = c limx→p f(x) (O limite do produto por uma constante é a constante vez o limite da
função);
3. lim
x→p[f(x).g(x)] = limx→p f(x) · limx→p g(x) (O limite do produto é o produto dos limites);
4. Se g(x) 6= 0 e lim
x→p g(x) 6= 0 então limx→p
f(x)
g(x)
=
lim
x→p f(x)
lim
x→p g(x)
(O limite do quociente é o quociente dos
limites).
Vamos analisar alguns exemplos:
Exemplo 10. Utilizando as propriedades dos limites, verifique que lim
x→px
2 = p2, para qualquer p ∈ R.
Solução: Sabemos pelo exemplo 9 que lim
x→px = p. Logo, tomando f(x) = x e g(x) = x, segue da
propriedade (4) que
lim
x→px
2 = lim
x→p(x · x) = limx→px · limx→px = p.p = p
2
�
Exemplo 11. Verifique que lim
x→2
(−3x2 + 2x+ 10) = 2.
Solução: Sabemos que
lim
x→2
x2 = 22 = 4,
lim
x→2
x = 2,
lim
x→2
10 = 10.
Segue que
lim
x→2
(−3x2 + 2x+ 10) = lim
x→2
(−3x2) + lim
x→2
2x+ lim
x→2
10 (Propriedade 1)
= −3
(
lim
x→2
x2
)
+ 2
(
lim
x→2
x
)
+ lim
x→2
10 (Propriedade 3)
= −3.4 + 2.2 + 10
= 2.
�
Exemplo 12. Calcule lim
x→−5
x2 − 1
x2 + 1
.
Solução: Note que g(x) = x2 + 1 6= 0 para todo x ∈ Dg. Observe também que
lim
x→−5
x2 − 1 = lim
x→−5
x2 − lim
x→−5
1 = (−5)2 − 1 = 25− 1 = 24.
E que,
lim
x→−5
x2 + 1 = lim
x→−5
x2 + lim
x→−5
1 = (−5)2 + 2 = 25 + 1 = 26 6= 0.
Então,
lim
x→−5
x2 − 1
x2 + 1
=
lim
x→−5
x2 − 1
lim
x→−5
x2 + 1
=
24
26
=
12
13
.
�
Até agora, os os valores de lim
x→p f(x) coincidiram com f(p), e os métodos para calcular limite apresen-
tados até agora utilizam muito esse fato. Contudo, existem exemplos em que o limite existe mesmo que a
função não esteja definida no ponto p (Veja o exemplo 2).
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Exemplo 13. Retomemos ao exemplo 2. Sabemos que f(x) =
x2 − 1
x− 1 não está definida em x = 1 e
intuitivamente, sugerimos que lim
x→1
f(x) = 2, porém é necessário verificarmos essa afirmação. Para isso,
notamos um padrão na tabela apresentada no mesmo exemplo:
x f(x)
0, 9 1, 9 = 1 + 0, 9
0, 99 1, 99 = 1 + 0, 99
0, 999 1, 999 = 1 + 0, 999
0, 9999 1, 9999 = 1 + 0, 9999
x f(x)
1, 1 2, 1 = 1 + 1, 1
1, 01 2, 01 = 1 + 1, 01
1, 001 2, 001 = 1 + 1, 001
1, 0001 2, 0001 = 1 + 1, 0001
o que sugere alguma relação entre as funções f e g(x) = x+ 1. Observando os dois gráficos
Figura 7: Gráfico da função f(x) =
x2 − 1
x− 1
Figura 8: Gráfico da função g(x) = x+ 1
podemos notar que nos pontos próximos de 1 as duasfunções assumem os mesmos valores, isto é, f(x) =
g(x) para x próximos de 1. A diferença está no fato de que g está definida em x = 1 e
lim
x→1
(1 + x) = lim
x→1
1 + lim
x→1
x = 1 + 1 = 2.
Então, o limite de g coincide com o limite que sugerimos ser o de f . Isto se dá pelo seguinte teorema
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Teorema 2. Sejam f e g duas funções. Se existir δ > 0 tal que f(x) = g(x) para a − δ < x < a + δ,
x 6= a e se lim
x→a g(x) existir, então limx→a f(x) também existirá e
lim
x→a f(x) = limx→a g(x).
Isto é, quando a função f não estiver definida no ponto p, mas existir uma função g que seja igual a f
nos pontos vizinhos de p e que possua limite quando x tende a p, então o limite de f quando x tende a p
existe e coincide com o limite de g quando x tende a p.
Exemplo 14. Calcule:
lim
x→2
x2 − 4
x− 2 .
Solução: Note que não podemos utilizar o teorema 1, pois
lim
x→2
x− 2 = 0
Então vamos tentar utilizar o Teorema 2. Desse modo, devemos encontrar uma função g(x) tal que
f(x) = g(x) em todo ponto próximo de 2, tal que lim
x→2
g(x) exista. Pela definição da função f , notamos
que
f(x) =
x2 − 4
x− 2 =
(x− 2)(x+ 2)
x− 2
Como consideramos pontos x próximos, mas diferentes de 2, então temos que x − 2 6= 0. Dessa forma,
podemos fazer:
x2 − 4
x− 2 =
���
�(x− 2)(x+ 2)
���x− 2 = x+ 2, x 6= 2
Logo, considerando g(x) = x+ 2, temos que f(x) = g(x) para todos os pontos próximos de 2, exceto o 2.
Sabemos que lim
x→2
(x+ 2) = 4. Então, pelo Teorema 2, temos que
lim
x→2
x2 − 4
x− 2 = limx→2x+ 2 = 4
�
3 Funções Contínuas
Definição 4. Uma função f : R→ R é contínua em p ∈ R se
lim
x→p f(x) = f(p)
Observação 2. Para que f seja contínua em p, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
(1) f está definida em p;
(2) lim
x→p f(x) existe e;
(3) lim
x→p f(x) = f(p).
Exemplo 15. As funções f, g : R→ R dada por f(x) = c e g(x) = x são contínuas em todo a ∈ R.
Solução: Seja a um número real qualquer. Então
lim
x→a f(x) = limx→a c = c = f(a)
E também
lim
x→a g(x) = limx→ax = a = g(a)
Logo, as funções constante e identidade são contínuas �
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Observação 3. Uma função é contínua se ela é contínua em todos os pontos de seu domínio.
Graficamente, podemos reconhecer o gráfico de uma função contínua como sendo um gráfico que
possamos traçá-lo em cada intervalo do seu domínio "sem tirar o lápis do papel".
Se f não atende a Definição 4 em um ponto p de seu domínio, então é chamada descontínua em p.
Graficamente, podemos reconhecer que uma função é descontínua em p se o seu gráfico apresenta "furos"e
"saltos"nesse ponto, tais como os gráficos dos seguintes exemplos:
Figura 9: Gráfico de uma função descontínua(1)
Figura 10: Gráfico de uma função descontínua(2)
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Figura 11: Gráfico de uma função descontínua(3)
Teorema 3. As seguinte funções são contínuas:
(i) Polinomiais;
(ii) Racionais;
(iii) Exponenciais;
(iv) Trigonométricas;
(v) Potências;
(vi) Logarítmicas.
Exemplo 16. Calcule:
(a) lim
x→2
(5x2 − 6x+ 2);
(b) lim
x→3
3x2 + 2x
5x− 10 ;
(c) lim
x→−1
e−x;
(d) lim
x→0
senx;
(e) lim
x→4pi
cosx;
(f) lim
x→10
5
√
x;
(g) lim
x→25
lnx.
Solução: Utilizando o teorema 3, sabemos que todas essas funções são contínuas, isto é, os valores dos
limites coincidirão com os valores das funções nos pontos, portanto
(a) lim
x→2
5x2 − 6x+ 2 = 5.22 − 6.2 + 2 = 20− 12 + 2 = 10
(b) Fazendo f(x) =
3x2 + 2x
5x− 10 , temos que 5.3− 10 = 5 6= 0. Logo, 3 ∈ Df . Dessa forma,
lim
x→3
3x2 + 2x
5x− 10 =
3.32 + 2.3
5.3− 10 =
33
5
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o
05
(c) lim
x→−1
e−x = e−(−1) = e1 = e
(d) lim
x→0
senx = sen 0 = 0
(e) lim
x→4pi
cosx = cos(4pi) = 1
(f) lim
x→10
5
√
x =
5
√
10
(g) lim
x→25
lnx = ln 25 = ln 52 = 2 ln 5
�
3.1 Operações com Funções Contínuas
O resultado dessa seção é de grande importância para efetuarmos cálculos com funções contínuas.
Teorema 4. Sejam f, g : I → R funções contínuas em a ∈ I e considere c uma constante. Então,
(i) f + g é contínua em a e lim
x→a(f + g)(x) = f(a) + g(a);
(ii) f − g é contínua em a e lim
x→a(f − g)(x) = f(a)− g(a);
(iii) cf é contínua em a e lim
x→a(cf)(x) = cf(a);
(iv) fg é contínua em a e lim
x→a(fg)(x) = f(a)g(a);
(v) Se além disso, g(a) 6= 0 então f
g
é contínua em a e lim
x→a
(
f
g
)
(x) =
f(a)
g(a)
Os seguintes exemplos ilustram bem a utilização do teorema 4.
Exemplo 17. Calcule:
(a) lim
x→−2
x2 − 6x+ 2
x3 − 4x+ 5 ;
(b) lim
x→5
x2 + lnx− 6 senx
x2 − 16x ;
(c) lim
x→0
2x− cosx+ 1
2x− 1 ;
(d) lim
x→2pi
ex(tg x+ secx);
(e) lim
x→3
(x2 − 6x)(3x− 5)(x− 10).
Solução:
(a) Escrevendo
h(x) =
x2 − 6x+ 2
x3 − 4x+ 5 =
f(x)
g(x)
onde
f(x) = x2 − 6x+ 2 e g(x) = x3 − 4x+ 5.
Podemos entender f(x) e g(x) como soma de funções:
f(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) e g(x) = g1(x) + g2(x) + g3(x)
dadas por
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f1(x) = x
2
f2(x) = −6x
f3(x) = 2
g1(x) = x
3
g2(x) = −4x
g3(x) = 5
Note que as funções f1(x), f2(x),f3(x), g1(x), g2(x) e g3(x) são contínuas. Então, pelo Teorema 4
(i) temos que f(x) e g(x) são contínuas. Sendo assim,
lim
x→−2
f(x) = (−2)2 − 6.(−2) + 2 = 18
e
lim
x→−2
g(x) = (−2)3 − 4.(−2) + 5 = 5
Como g(−2) 6= 0 então, segue do item (v) que
lim
x→−2
h(x) = lim
x→−2
f(x)
g(x)
=
18
5
Os próximos limites serão calculados diretamente, sem explicitar todos os passos do cálculo.
(b) Considere
h(x) =
x2 + lnx+−6 senx
x2 − 16x =
f(x)
g(x)
Noter que f(x) e g(x) são funções contínuas, pois são soma e diferença de funções contínuas. Agora,
note que
g(5) = 52 − 16.5 = 25− 80 = −55 6= 0
Logo, pelo teorema 4 (v), temos que
lim
x→5
x2 + lnx+−6 senx
x2 − 16x =
52 + ln 5− 6 sen 5
52 − 16.5 =
25 ln 5− 6 sen 5
−55
(c) Observe que
h(x) =
2x− cosx+ 1
2x− 1
f(x)
g(x)
em que f(x) = 2x− cosx+ 1 e g(x) = 2x− 1. Note que f(x) e g(x) são contínuas, pois são soma
de funções contínuas. Agora, como
g(0) = 2.0− 1 = −1 6= 0
então, segue do teorema 4(v) que
lim
x→0
2x− cosx+ 1
2x− 1 =
2.0− cos 0 + 1
2.0− 1 =
0
−1 = 0
(d) Consideremos
h(x) = ex(tg x+ secx) = f(x).g(x)
onde f(x) = ex e g(x) = (tg x + secx). Como f(x) e g(x) são contínuas, então segue do teorema
4(iv)que
lim
x→2pi
ex(tg x+ secx) = e2pi(tg(2pi) + sec(2pi)) = e2pi(0 + 1) = e2pi
(e) Note que podemos escrever
p(x) = (x2 − 6x)(3x− 5)(x− 10) = f(x)g(x)h(x)
em que f(x) = x2 − 6x, g(x) = 3x− 5 e h(x) = x− 10. Note que f(x), g(x) e h(x) são contínuas,
pois são soma de funções contínuas. Logo, segue do teorema 4(iv) que
lim
x→3
(x2 − 6x)(3x− 5)(x− 10) = (32 − 6.3)(3.3− 5)(3− 10) = (−9).4.(−7) = 252
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�
Exemplo 18. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→3
√
x−√3
x− 3 ;
(b) lim
x→2
3
√
x− 3√2
x− 2 ;
(c) lim
x→1
√
x−√1√
2x+ 3−√5
Solução:
(a) Nossa intenção é utilizar o teorema 2, pois
lim
x→3
x− 3 = 0
Logo, para pontos x próximos de 3, mas x 6= 3, temos
f(x) =
√
x−√3
x− 3 =
√
x−√3
(
√
x)2 − (√3)2
= �
���
�√
x−√3
(
√
x+
√
3)���
���(
√
x−√3)
=
1√
x+
√
3
Desse modo, pelo Teorema 2
lim
x→3
√
x−√3
x− 3 = limx→3
1√
x+
√
3
E pelo Teorema 4,
lim
x→3
1√
x+√
3
=
1
2
√
3
�
(b) Utilizaremos o Teorema 2. Sendo assim,
lim
x→2
3
√
x− 3√2
x− 2 = limx→2
3
√
x− 3√2
( 3
√
x)3 − ( 3√2)3
= lim
x→2
���
��3√x− 3√2
���
���( 3
√
x− 3√2)(( 3√x)2 + 3√x 3√2 + ( 3√2)2))
= lim
x→2
1
( 3
√
x)2 + 3
√
x 3
√
2 + ( 3
√
2)2
=
1
3 3
√
4
�
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(c) Utilizando os teoremas 2 e 4, obtemos que
lim
x→1
√
x−√1√
2x+ 3−√5 = limx→1
(
√
x− 1)(√2x+ 3 +√5)
(
√
2x+ 3)2 − (√5)2
= lim
x→1
(
√
x− 1)(√2x+ 3 +√5)
2x+ 3− 5
= lim
x→1
(
√
x− 1)(√2x+ 3 +√5)
2x− 2
= lim
x→1
(
√
x− 1)(√2x+ 3 +√5)
2(x− 1)
= lim
x→1
√
x− 1
x− 1 limx→1
√
2x+ 3 +
√
5
2
Agora, note que
lim
x→1
√
x− 1
x− 1 = limx→1
√
x− 1
(
√
x)2 − (√1)2
= lim
x→1
���
�√x− 1
���
��(
√
x− 1)(√x+ 1)
= lim
x→1
1√
x+ 1
=
1
2
E
lim
x→1
√
2x+ 3 +
√
5
2
=
√
2.1 + 3 +
√
5
2
=
2
√
5
2
=
√
5
Logo,
lim
x→1
√
x−√1√
2x+ 3−√5 =
√
5
2
�
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as definições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 2.1 a 2.5 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das 2.1 a 2.5 do livro texto.
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