lista 02 parte1

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Lista 2 - Parte 1
21 de Setembro de 2017
1) Considere uma certa porc¸a˜o de um corpo em equil´ıbrio. As forc¸as de su-
perf´ıcie que atuam nesta porc¸a˜o do corpo e´ dada por
dF i = σij nˆjda,
onde nj e´ a j−e´sima componente covariante do vetor normal a` superf´ıcie, da
e´ o elemento de a´rea invariante e dF i e´ a componente contravariante da forc¸a
infinitesimal em coordenadas generalizadas, isto e´ dF i = dF · ~ε i. Sendo ρ(r) a
densidade do corpo, mostre que
Djσ
ij + ρgi = 0,
onde gi e´ a i−e´sima componente contravariante da acelerac¸a˜o da gravidade.
Mostre tambe´m que σij = σji. σij e´ um tensor?
2) Se as transformac¸o˜es de coordenadas sa˜o tais que gij = ~ε i · ~ε j sa˜o constan-
tes mostre que os vetores ~ε i e ~ε
j sa˜o constantes. Para o caso em que gij e´ a
identidade, mostre que ~ε i = ~ε
i ou seja na˜o ha´ distinc¸a˜o entre ı´ndices covarian-
tes de contravariantes. Mostre que numa rotac¸a˜o dos sistema de coordenadas
cartesiano a me´trica δij e´ um tensor invariante.
3) Seja T um tensor cartesiano de posto 2 em treˆs dimenso˜es . Mostre que
f(λ) = det(T + λ11),
onde λ e´ um paraˆmetro escalar, e´ um polinoˆmio invariante do terceiro grau sob
rotac¸o˜es. Determine os invariantes f(0), f ′(0) e f ′′(0). Na equac¸a˜o acima, 11 e´
o tensor identidade: 11ij = δij .
4) Construa um tensor do tipo (2,2) mais geral poss´ıvel, cujas componentes
sejam invariantes, isto e´,
T ′ijkl(~x
′) = T ijkl (~x),
onde ~x = (x1, x2, x3) e ~x ′ = (x ′1, x ′2, x ′3) sa˜o as coordenadas nos respectivos
sistemas.
5) Determine Rmijk em termos dos s´ımbolos de de Christoffel atrave´s da identi-
dade abaixo
Dj(DkAi)−Dk(DjAi) = RmijkAm,
onde Ai sa˜o componentes de um vetor tipo (0,1) arbitra´rio. Conclua da´ı que
Rmijk e´ um tensor do tipo (1,3). Este tensor e´ conhecido como o tensor de
curvatura de Riemann.
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6) Seja T 20 o espac¸o dos tensores tipo (2,0). Definimos o produto escalar entre
dois tensores de T 20 como sendo
(A,B) = AijBklgkiglj = (B,A),
onde gij sa˜o as componentes do tensor me´trico. A norma de um tensor T ∈ T 20
e´ dada por
||T || =
√
(T, T ), (T, T ) ≥ 0, ∀ T ∈ T 20
Mostre que |(A,B)| ≤ ||A||||B||, ∀ A,B ∈ T 20 .
7) Considere {eˆ∗i (t)} uma base cartesiana girante tal que
deˆ∗i (t)
dt
= ω(t)× eˆ∗i (t).
Escrevendo um vetor nesta base mostre que,
dA
dt
=
d∗A
dt
+ ω ×A,
onde
d∗A
dt
=
dA∗i
dt
eˆ∗i .
Determine dT/dt para um tensor de ordem 2, onde T = T ∗ij eˆ
∗
i ⊗ eˆ∗j .
onde R(t) e´ regia˜o que define a forma do corpo num instante de tempo t.
8) Sendo nˆi, i = 1, 2, 3 as componentes do vetor normal a` superf´ıce de uma
esfera unita´ria, determine usando a teoria de tensores e um pouco de integrac¸a˜o
Iij =
∫
s
nˆinˆjda,
e
Iijkl =
∫
s
nˆinˆj nˆknˆlda.
Mostre ainda que
Ii1i2···ik =
∫
s
nˆi1 nˆi2 · · · nˆikda = 0,
para k = 2n+ 1, n ∈ Z.
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