HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS (1)

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HIPERBOLOIDE DE DUAS FOLHAS
Os problemas da antiguidade levaram a grandes descobertas na matemática. Um deles foi o das seções cônicas, que desencadeou as superfícies quádricas. 
As curvas foram obtidas a partir das seções de um cone circular reto com planos perpendiculares a uma seção meridiana, obtendo 3 tipos distintos de curva conforme o ângulo, era agudo, reto ou obtuso.
Apolônio demonstrou que a elipse, a hipérbole e a parábola podem ser alcançadas a partir das seções de um mesmo cone, não necessariamente o próprio deve ser reto.
 Hiperboloide de duas folhas
O traço no plano xz é um ponto (origem)
Traços em planos paralelos e acima dele são elipse
Os traços nos planos yz e xz e planos paralelos a ele são parábolas. 
Equação padrão
Os parâmetros a, b e c são todos positivos.
O parâmetro c tem uma imediata identificação geométrica, pois os dois pontos (0, 0, ± c) são os vértices do hiperboloide elíptico de duas folhas.
 a = b na equação-padrão, obtemos um hiperboloide circular de duas folhas , que sempre é uma superfície de revolução
Os cortes do hiperboloide de duas folhas com qualquer plano vertical paralelo a um dos planos coordenados xy ou yz sempre produz uma hipérbole da equação. 
O hiperboloide elíptico de duas folhas nunca é o gráfico de uma função real de duas variáveis reais; no entanto, como sempre ocorrem dois cortes por retas verticais, podemos separá-lo em dois gráficos, dados pelas duas funções
As curvas de nível de cada uma destas funções aparecem ao lado: são as elipses vistas acima, dadas pelos cortes por planos horizontais.
Concluímos esta visualização do hiperboloide de duas folhas deixando-o girar livremente em torno da origem. 
Aplicações
Na engenharia civil
Na arquitetura