MOdulo II Juros e Desconto

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Recife-PE, 10 de Agosto de 2017
(Juro e Capitalização Simples)
1
1. Calcule os juros simples obtidos nas seguintes condições:
Solução. Aplicando a fórmula para juros simples em cada caso, com a unidade de tempo de aplicação igual à unidade de tempo da taxa, temos:
a) Um capital de R$220,00 é aplicado por três meses, à taxa de 4% a.m.
a) 
.
b) Um capital de R$540,00 é aplicado por um ano, à taxa de 5% a.m.
b) 
.
2
2. Obtenha o montante de uma dívida, contraída a juros simples, nas seguintes condições:
Solução. Aplicando a fórmula para montante a juros simples, em cada caso, com a unidade de tempo da dívida igual à unidade de tempo da taxa, temos:
 
a) a) capital: R$400,00; taxa: 48% ao ano; prazo: 5 meses;
.
b) capital: R$180,00; taxa: 72% ao semestre; prazo: 8 meses;
.
) 
) 
3
3. Um capital aplicado a juros simples durante dois anos e meio, à taxa de 4% a.m., gerou, no período, um montante de R$17600,00.
a) Qual foi o capital aplicado? 
Solução. Escrevendo a fórmula e do montante a juros simples, temos:
a) 
.
b) Qual teria sido o montante gerado se a taxa de rendimento mensal fosse reduzida à metade?
Solução. A taxa de 4% a.m. fosse reduzida a 2% a.m. teríamos:
b) 
.
) 
) 
.
.
.
.
.
.
4
4. Um boleto de mensalidade escolar, com vencimento para 10/08/2012, possui valor nominal de R$740,00.
a) Se o boleto for pago até o dia 20/07/2012, o valor a ser cobrado será R$703,00. Qual o percentual do desconto concedido?
Solução. Como há um desconto, a fórmula para o valor final é Vf = Vi.(1 – i), onde o sinal negativo indica o desconto.
 
a
.
.
.
.
.
.
.
b) 
.
c) 
.
.
b) Se o boleto for pago depois do dia 10/08/2012, haverá cobrança de juros de 0,25% sobre o valor nominal do boleto, por dia de atraso. Se for pago com 20 dias de atraso, qual o valor a ser cobrado?
 
Solução. O valor cobrado será um montante calculado a juros simples com t = 20 dias e i = 0,25% a.d.
 
.
5
5. Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de 5% a.m. Quanto tempo, no mínimo, ele deverá ficar aplicado, a fim de que seja possível resgatar:
 
a) O dobro da quantia aplicada? b) O triplo da quantia aplicada? c) dez vezes a quantia aplicada?
5. Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de 5% a.m. Quanto tempo, no mínimo, ele deverá ficar aplicado, a fim de que seja possível resgatar:
 
a) O dobro da quantia aplicada? b) O triplo da quantia aplicada? c) dez vezes a quantia aplicada?
 
Solução. Considerando C o capital a ser aplicado, temos:
a) 
.
b) 
.
) 
) 
.
.
.
.
) 
.
b) 
.
c) 
.
6
6. Lia fez compras em uma loja no valor total de R$2400,00. Há duas opções para pagamento:
 
- à vista, com 3% de desconto; 
- entrada de R$1200,00 mais uma parcela de R$1200,00 um mês após a compra.
 
a) 
.
b) 
.
) 
) 
.
.
.
.
) 
.
b) 
.
c) 
.
a) Que valor Lia pagará se optar pelo pagamento à vista?
Solução. Com o pagamento à vista há o desconto de 3%.
.
b) Que taxa mensal de juros simples a loja embute no pagamento parcelado?
Solução. O valor à vista é de R$2328,00. Com a entrada de R$1200,00 faltaria ser pago R$1128,00. Mas será pago outra parcela de R$1200,00. Ou seja, o valor que faltava sofre um juros no tempo igual a 1 mês. 
 
.
7
7. Uma loja oferece duas opções de pagamento:
- 1ª opção: à vista com desconto de 15% no valor da compra;
- 2ª opção: em duas parcelas iguais, a primeira paga no momento da compra e a segunda, passados dois meses da data da compra. Indique o inteiro mais próximo do valor percentual da taxa de juros mensais simples embutidos na 2ª opção.
.
 
a) 
.
b) 
.
) 
) 
.
.
.
.
) 
.
b) 
.
c) 
.
Solução. Considerando V o valor da compra, na 1ª opção o pagamento seria de P = V(1 – 0,15) = 0,85V.
Na 2ª opção, no ato seria pago P1 = V/2 e faltaria P2 = V/2 = 0,5V. Mas, sem os juros, e, já tendo pagado V/2, deveria faltar a diferença 0,85V – 0,5V = 0,35V. No entanto a loja espera receber em 2 meses P2 = 0,5V. 
.
.
. Inteiro = 21.
Inteiro = 21.
8
8. Calcule os juros e o montante de uma aplicação financeira a juros compostos, nas seguintes condições:
a) 
.
b) 
.
) 
) 
.
.
.
.
) 
.
b) 
.
c) 
.
Solução. Aplicando a fórmula para juros simples em cada caso, com a unidade de tempo de aplicação igual à unidade de tempo da taxa, temos:
 
a) capital: R$300,00; taxa: 2% a.m.; prazo: 4 meses; b) capital: R$2500,00; taxa: 5% a.m.; prazo: 1 ano;
 
c) capital: R$100,00; taxa: 16% a.a.; prazo: 3 anos;
.
.
. Inteiro = 21.
a) 
.
b) 
.
c) 
.
9
8. Calcule os juros e o montante de uma aplicação financeira a juros compostos, nas seguintes condições:
9. Uma poupança especial rende 1% ao mês, em regime de juros compostos. Décio aplicou R$480,00 nessa poupança e retirou a quantia um ano depois.
a) Que valor Décio retirou? b) Que valor Décio teria retirado, se a taxa de juros fosse de 2% a.m.?
a) 
.
b) 
.
10. Ana emprestou x reais de uma amiga, prometendo devolver a quantia emprestada, acrescida de juros, após oito meses. O regime combinado foi de juros compostos, e a taxa, de 2,5% a.m. Se após o prazo combinado Ana quitou a dívida com R$500,00, determine:
a) O número inteiro mais próximo de x; b) O valor que Ana deveria devolver á amiga, caso tivesse estabelecido regime de juros simples. 
 
Solução. Aplicando as fórmulas de juros simples e compostos quando necessário, temos:
a) 
.
.
a) 
. Inteiro x = 410.
Inteiro x = 410
b) 
.
11) Um capital de R$200,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 5% a.m., gerando um montante de R$268,00. (Use log1,34 = 0,13; log1,05 = 0,02 e log2,25 = 0,35).
a) Qual é o tempo em que esse capital ficou aplicado? 
 
Solução. Aplicando as fórmulas de juros simples e compostos quando necessário, temos:
a) 
.
.
a) 
b) 
.
a) 
. 
b) Qual o nº mínimo de meses necessário para que o montante fosse de R$450,00?
b) 
. 
Logo, no mínimo 18 meses.
12) Uma dívida, contraída a juros compostos, aumentou de R$200,00 para R$242,00 em dois meses. Admitindo que a taxa mensal de juros é fixa, determine:
a) 
.
.
a) 
b) 
.
a) 
. 
b) 
. 
a) O valor da taxa. b) O montante dessa dívida meio ano após a data em que foi contraída.
 
Solução. Aplicando as fórmulas de juros compostos, temos:
a) 
. 
b) 
. 
JURO COMPOSTO
14
Juros Composto
Juro (J)
Taxa de juro (i)
Período de tempo (n)
Montante (FV)
Prestações ou Rendas (PMT)
Valor Presente Líquido (NPV)
Taxa Interna de Retorno (IRR)
Siglas 
3. Juros Composto
3.1 Formula dos Juros Compostos 
3.2 Taxas Equivalentes 
3.3 Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
Índice 
3. Juros Compostos 
	 O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. 
	Esse montante, por sua vez passará render juros no período seguinte formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.
Juro: Conceito
	Define-se juros como sendo:
remuneração do capital emprestado em atividades produtivas;
custo do capital de terceiros;
remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado.
3.1 Formula do Juros Compostos 
No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre juro periodicamente. 	
Aqui usaremos as siglas PV (Valor Presente), que corresponde ao Capital estudado em Juros Simples, e FV (Valor Futuro) correspondente ao Montante. Fórmulas:
e
FV= PV (1 + i)n
PV= FV_
 (1 + i)n
3.1 Formula do Juros Compostos 
onde (1 + i)n é o fator de capitalização (ou de valor futuro) a juros compostos, e 1/(1 +i)n o fator de atualização (ou de valor presente) a juros compostos. 	
e
FV=
PV (1 + i)n
PV= FV_
 (1 + i)n
Por outro lado, sabe-se que o valor monetário dos juros (J) é apurado pela diferença entre o montante (FV) e o capital (PV), podendo-se obter o seu resultado também pela seguinte expressão:
J = FV – PV
Como: FV = PV (1 + i)n , colocando-se PV em evidência:
J = PV [(1 + i)n - 1]
1. Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?
FV =
R$ 27.500,00
N =
1 ano (12 meses)
I =
1,7% a.m.
PV= FV__
 (1 + i)n
PV =?
PV= 27.500,00__
 (1 + 0,017)
12
=
 27.500,00_ 
 (1 + 0,017)
PV= 27.500,00__
 1,224197
=
 22.463,70
22
27500 CHS FV
1,7 i
12 n
PV 22.463,70
2. Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?
PV =
R$ 12.000,00
N =
8 meses
I =
3,5% a.m..
FV= PV (1 + i)
FV =?
n
=
FV= 12.000,00 (1 + 0,035)
8
FV= 12.000,00 x 1,316809
FV= $15.801,71
24
12000 CHS PV
3,5 i
8 n
FV 15.801,71
3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $40.000,00 que produz um montante de $43.894,63 ao final de um quadrimestre.
PV =
R$ $40.000,00
FV =
R$43.894,63
N =
4 meses
 FV__ = (1 + i) n 
 PV
PV = i
1,097366 = (1 + i) 4
 FV = PV (1 + i)n
 43.894,63__ = (1 + i) n 
 40.000,00
=
1,097366 = (1 + i) 4
1+i 1,0235 = 
i =
0,0235 ou 2,35% a.m.
26
40000 CHS PV
43894,63 FV
4 n
i 2,35%
4. Uma aplicação de $22.000,00 efetuada em certa data produz, á taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação.
PV =
R$ $22.000,00
FV =
R$26.596,40
N =
?
 FV__ = (1 + i) n 
 PV
i = 2,4% a.m.
1,208927273 = (1,024)n , aplicando-se logaritmos, tem-se:
 FV = PV (1 + i)n
 26.596,40__ = (1,024)n
 22.000,00
log 1,208927273 = n x log 1,024
n= log 1,208927273
 log 1,024
=
_0,189733415_ 0,023716527
n = 8 meses
28
220000 CHS PV
26.596,40 FVV
2,4 i
n 8 meses 
5. Determinar o juro pago de um empréstimo de $88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês.
PV =
R$ $88.000,00
J = 88.000,00 [(1 + i) n – 1]
i = 4,5% a.m.
 J = PV (1 + i)n-1
J =? 
N = 5 meses
J = 88.000,00 [(1,045)5 n – 1]
J = 88.000,00 (0,246182) = 
$ 21.664,02
30
3.2 Taxas Equivalentes 
	 Ao se tratar de juros simples, foi comentado que a taxa equivalente é a própria taxa proporcional da operação. Por exemplo, a taxa de 3% ao mês e 9% ao trimestre são ditas proporcionais.
	São também equivalentes, pois promove a igualdade dos montantes de um mesmo capital ao final de certo período de tempo.
3.2 Taxas Equivalentes 
	
Por exemplo, em juros simples um capital de $80.000,00 produz o mesmo montante em qualquer data se capitalizado a 3% a.m. e 9% a.t.
n = 3 meses
FV (3% a.m.) = 80.000,00 ( 1 + 0,03 x 3) = $ 87.200,00
FV (9% a.t.) = 80.000,00 (1 + 0,09 x 1) = $ 87.200,00
O conceito enunciado de taxa equivalente permanece válido para o regime de juros compostos diferenciando-se, no entanto, a fórmula de cálculo da taxa de juros.
Podemos utilizar a seguinte fórmula para encontrar a taxa equivalente:
i quero = [(1 + i)quero/tenho – 1] x100
Exemplo: 2% ao mês e 26,82% ao ano são Equivalentes:. 
i anual = [(1,02)360/30 – 1] x 100
i anual = [(1,02)12 – 1] x 100
i anual = [1,2682 – 1] x 100
i anual = 0,2682 x 100
i anual = 26,82%
33
1,02 enter
360 (quero) enter
30 (tenho) divide
yx
1-
100%
3.3 Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
TAXA NOMINAL - é aquela consignada nos contratos relativos a operações financeiras. É também conhecida como taxa contratada ou taxa oferecida.
	Na taxa nominal emprega-se uma unidade de tempo que não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é quase sempre fornecida em
termos anuais. Assim, por exemplo:
12% ao ano, com capitalização mensal;
 24% ao ano, com capitalização semestral;
 10% ao ano, com capitalização trimestral;
 18% ao ano, capitalizados diariamente
A taxa nominal é muito utilizada no mercado, quando da formalização dos negócios.
Não é, porém, utilizada diretamente nos cálculos, por não corresponder, de fato, ao
ganho/custo financeiro do negócio.
3.3 Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
TAXA EFETIVA – A Taxa Nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. E essa taxa é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.
	Nos exemplos anteriores as taxas efetivas que estão implícitas nos enunciados das taxas nominais são:
12% ao ano = 12% a.a. / 12 meses = 1% a.m.
 24% ao ano = 24% a.a. / 2 semestres = 12% a.s.
 10% ao ano = 10% a.a. / 4 trimestres = 2,5% aotrimestre
 18% ao ano = 18% a.a. / 360 dias = 0,050% ao dia Devem
3.3 Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos os cálculos financeiros, no regime de juros compostos.
A taxa anual equivalente a esta taxa efetiva implícita é sempre maior que a taxa nominal que lhe deu origem, pois esta equivalência é sempre feita no regime de juros compostos.
Fórmula da Taxa Efetiva: (if = (1 + i/q)q – 1)
12% a.a. = (1 + 0,12/12)12 – 1 = (1,01)12 – 1 = 12,68% a.a.
 24% a.a. = (1 + 0,24/2)2 – 1 = (1,12)2 – 1 = 25,44% a.a.
10% a.a. = (1 + 0,10/4)4 – 1 = (1,025)4 – 1 = 10,38% a.a.
 18% a.a. = (1 + 0,18/360)360 – 1 = (1,0005)360 – 1 = 19,72% a.a.
Exemplo: A caderneta de poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal a base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicação financeira.
Taxa Efetiva: if = (1 + i/q)q – 1 
= (1 + 0,06/12)12 –1 
= (1,005)12 = 6,17% a.a.
38
DESCONTO 
39
Vr: Valor atual ( ou valor descontado racional)
n:Número de períodos antes do vencimento 
 
i: Taxa de desconto 
 
Dr: Valor do desconto
Dc: desconto comercial
Vc: valor atual (ou valor descontado comercial)
Siglas 
4. Desconto
4.1 Desconto Simples 
 4.1.1Desconto Racional Ou Desconto “Por Dentro”
 4.1.2 Desconto Racional Ou Desconto “Por Fora” 
Índice 
4. Desconto 
	 Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título em sua data de vencimento. 
	Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação.
 	A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, o desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado no períodos antes do seu vencimento.
42
4. Desconto 
Por outro lado, o valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja:
	
As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para as operações de longo prazo.
Valor Descontado = Valor Nominal – Desconto
DESCONO 
SIMPLES 
Desconto Comercial Ou Desconto “Por Fora” 
 
É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado no períodos antes do seu vencimento.
Valor Descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto. 
N: Valor nominal (ou montante ou valor futuro)
Vr: Valor atual ( ou valor descontado racional)
n: Número de períodos antes do vencimento 
i: Taxa de desconto
Dr: Valor do desconto
45
Desconto Racional Ou Desconto “Por Dentro” Formula e Aplicação 
Temos: Vr =
 N 
1 + i x n
Tem-se: Dr = N – Vr
Dr = N -
 N 
 1 + i x n
Dr = N (1+ i x n) –
N
 1 + i x n
Dr = N x i x n) 
 1 + i x n
Esta fórmula permite que seja obtido o valor do desconto racional, calculado para um dado valor nominal (N), a uma taxa de juros (i) e para um prazo de antecipação (n).
O valor do desconto “por dentro” também é obtido multiplicando-se o Capital (ou Valor Presente) pela taxa de desconto i, e esse produto pelo prazo da operação n:
 Dr = C x i x n
46
Desconto Racional Ou Desconto “Por Dentro” Formula e Aplicação 
Como o valor presente é sempre incógnita, sendo normalmente conhecido o Valor Nominal, normalmente utilizaremos a fórmula citada anteriormente.
 O valor descontado de acordo com a definição, é dado por:
Vr = N – Dr
Vr = N -
 N x i x n 
 1 + i x n
Dr = N (1+ i x n) – N x i x n
 1 + i x n
Vr =
 N 
 1 + i x n
OBSERVE-SE QUE, EM JUROS SIMPLES, O VALOR DESCONTADO É O PRÓPRIO VALOR ATUAL.
47
1. Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40%a.a., qual o desconto e quanto vai obter?
Temos: N = 5.500,00 
n = 3 meses
i = 40% a.a. / 3,3333% a.m.
Calcular:
a) O desconto:
Dr = N x i x n
 1 + i x n
Dr = 5.500,00 x 0,033 x 3 
 1 + 0,033 x 3
5.500,00 x 0,10
 1 + 0,10
550,00
1,10
Dr = $ 500,00
b) Valor Descontado
Vr =
5.500,00 – 500,00
= $ 5.000,00
ou
Vr =
 N 
1 + i x n
5.500,00
1 + 0,10
5.000,00
1 ,10
= $ 5.000,00
Note-se então que, no desconto comercial, é preciso distinguir entre a taxa de desconto utilizada na operação e a taxa implícita que é cobrada de fato.
49
Desconto Comercial Ou Desconto “Por Fora” 
 
 É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado n períodos antes do seu vencimento.
Observe que, ao contrário dos juros “por dentro”, que calculam os encargos sobre o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, sobre o valor presente, o critério “por fora” apura os juros sobre o montante, indicando custos adicionais ao tomador de recursos.
50
Desconto Racional Ou Desconto “Por Fora” Formula e Aplicação 
Dc: desconto comercial
 
Vc: valor atual (ou valor descontado comercial)
 
Obtém-se o valor do desconto comercial aplicando-se a definição:
Dc = N x i x n
E o valor descontado comercial:
Vc = N – Dc 
Vc = N - N x i x n
Vc = N (1 – i x n)
51
1. Consideraremos o exemplo do item anterior, em que o título de $ 5.500,00é descontado à taxa de 40% a.a., 3 meses antes do vencimento.
Dc = 5.500,00 x 0,0333 x 3 = $ 550,00
Desconto Comercial 
Dc = N x i x n 
b) Desconto Comercial 
Vc = N (1 – i x n) 
Vc = 5.500,00 x (1 - 0,0333 x 3) 
Vc = 5.500,00 x 0,9
Vc = 
$ 4.950,00
Então a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto comercial, que é menos que os $ 5.000,00 que receberia se o desconto fosse racional.
É evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comercial a taxa de desconto utilizada não é mais igual à taxa de juros simples capaz de reproduzir o montante. Observa-se que, se o banco ganha $550,00 sobre um valor de $ 4.950,00, em 3 meses, a taxa de juros da operação é:
i = 550,00	= 0,111 ao trimestre
4.950,00
ou i = 0,044 ao ano
i = 550,00	= 0,111 ao trimestre
 i= 550,0 = 0,111 ao trimestre 
 4.950,00
ou i = 0,044 ao ano
53