FUNÇÃO - ESPCEX - 1994 A 2017

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EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÃO – EsPCEx 1994 A 2017 
 
 
ENUNCIADOS: 
 
1) (EsPCEx 2017) Os gráficos de 
 f x 2
 e 
  2g x x x 
 têm dois pontos em comum. O valor da 
soma das abscissas dos pontos em comum é igual a 
a) 0 b) 4 c) 8 d) 10 e) 15 
 
2) (EsPCEx 2016) Considere a função real definida por 
 
2
2 x 3 , se x 2
f x
x 2x 1, se x 2
   
 
   
, o valor de 
   f 0 f 4
 é 
a) 
8
 b) 
0
 c) 
1
 d) 
2
 e) 
4
 
 
3) (EsPCEx 2016) Considere as funções reais f e g, tais que 
 f x x 4 
 e 
   2f g x x 5 
, onde 
 g x
 é não negativa para todo x real. Assinale a alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis 
valores de x, que satisfazem os dados do enunciado. 
a) 
 3,3 
 
b) 
5, 5   
 
c) 
5, 5  
 
d) 
 3,3
 
e) 
 ,3 
 
 
4) (EsPCEx 2015) Considere a função bijetora 
   f : 1, ,3  
, definida por 
  2f x x 2x 2   
 e seja 
 a,b
 o ponto de interseção de 
f
 com sua inversa. O valor numérico da 
expressão 
a b
 é 
a) 
2
 b) 
4
 c) 
6
 d) 
8
 e) 
10
 
 
5) (EsPCEx 2015) Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os 
quais está definida a função 
 
2
3 2
x 6x 5
f x
x 4
 


. 
a) 
 2,2 
 
b) 
   , 2 5,   
 
c) 
     , 2 2,1 5,     
 
d) 
   ,1 5,  
 
e) 
   , 2 2,   
 
 
 
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6) (EsPCEx 2015) Sabendo que “c” e “d” são números reais, o maior valor de “d” tal que a função 
f : 
 definida por 
 
2
x c, para x d
f x
x 4x 3, para x d
  
 
  
 seja injetora é 
a) 
0
 b) 
1
 c) 
2
 d) 
3
 e) 
4
 
 
7) (EsPCEx 2014) Na figura abaixo está representado o gráfico da função polinomial 
f
, definida no 
intervalo real 
 a,b
. Com base nas informações fornecidas pela figura, podemos afirmar que: 
 
a) 
f
 é crescente no intervalo 
 a,0
. 
b) 
   f x f e
 para todo 
x
 no intervalo 
 d,b
. 
c) 
 f x 0
 para todo 
x
 no intervalo 
 c,0
. 
d) a função 
f
 é decrescente no intervalo 
 c,e
. 
e) se 
 1x a,c
 e 
 2x d,e
 então 
   1 2f x f x
. 
 
8) (EsPCEx 2013) Sejam as funções reais 
  2f x x 4x 
e 
 g x x 1 
. O domínio da função 
  f g x
 é 
a) 
 D x |x 3 ou x 1   
 
b) 
 D x | 3 x 1    
 
c) 
 D x |x 1  
 
d) 
 D x |0 x 4   
 
e) 
 D x |x 0 ou x 4   
 
 
9) (EsPCEx 2013) Na figura abaixo estão representados os gráficos de três funções reais, sendo 
a 1
 e 
b 0
. 
 
 
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As expressões algébricas que podem representar cada uma dessas funções são, respectivamente, 
a) 
y x a b  
; x1
y a
1 b
 
  
 
 e 
x a
y
x a



 
b) 
y x a b  
; 
xy (1 a) b  
 e x
y a
x
 
 
c) 
y x a b  
; x1
y b
a
 
  
 
 e 
x a
y
x a



 
d) 
y x a b  
; x1
y b
a
 
  
 
 e x
y a
x
 
 
e) 
y x a b  
; x1
y a
1 b
 
  
 
 e 
x a
y
x a



 
 
10) (EsPCEx 2013) Seja a função   4
2
2x 1, se x for racional
f x 2x , se x for irracional
x 8, se x não for real


 


. 
Assim, o valor de 
    64 1101f f i 5i f f 2
2
 
    
 
, em que 2i 1  é 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
11) (EsPCEx 2012) Considere a função real 
 f x
, cujo gráfico está representado na figura, e a 
função real 
 g x
, definida por 
   g x f x 1 1  
. 
 
 
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O valor de 
1
g
2
 
 
 
 é 
a) 
3
 b) 
2
 c) 
0
 d) 
2
 e) 
3
 
 
12) (EsPCEx 2012) O domínio da função real 
 
2
2 x
f x
x 8x 12


 
 é 
a) 
 2,
 b) 
 2,6
 c) 
 ,6
 d) 
 2,2
 e) 
 , 2
 
 
13) (EsPCEx 2012) Considere as funções reais 
 f x 3x
, de domínio 
 4,8
 e 
 g y 4y
, de 
domínio 
 6,9
. Os valores máximo e mínimo que o quociente  
 
f x
g y
 pode assumir são, 
respectivamente 
a) 
2
3
 e 
1
2
 b) 
1
3
 e 
1
 c) 
4
3
 e 
3
4
 d) 
3
4
 e 
1
3
 e) 
1
 e 
1
3
 
 
14) (EsPCEx 2011) A represa de uma usina hidroelétrica está situada em uma região em que a 
duração do período chuvoso é 100 dias. A partir dos dados hidrológicos dessa região, os projetistas 
concluíram que a altura do nível da represa varia, dentro do período chuvoso, segundo a função real 
 
2
t
8, para 0 t 20
5
t 4t
N t , para 20 t 50
100 5
3t
21, para 50 t 100
25

  


    


   

 
Em que 
 N t
 é a altura do nível da represa, medido em metros, t é o número de dias, contatos a 
partir do início do período chuvoso. 
Segundo esse modelo matemático, o número de dias, dentro do período chuvoso, em que a altura 
do nível da represa é maior ou igual a 12 metros é 
a) 40 b) 41 c) 53 d) 56 e) 60 
 
15) (EsPCEx 2010) Considere a função real 
 g x
 definida por: 
 
x
2
5 , se x 1
3x 3x 17
g x , se 1 x 3.
4 2 4
x 1
, se x 3
2 2
 

    

  

 
O valor de 
   g g g 1
 é 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
16) (EsPCEx 2009) Os gráficos das funções 
  x 2f x a 
 
 a
 e 
  2g x x 9x 7  
 se 
interceptam em um ponto cuja abscissa é igual a 5. Nesse caso o valor de a é 
 
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a) 
1
3

 b) 
1
3
 c) 3 d) 
3
 e) 27 
 
17) (EsPCEx 2007) Temos as funções: 
 f x x 1 
 
  3 2g x x ax bx c   
 
    h x g f x .
 
Considerando que as raízes de 
 h x
 são 
 1;0;1 ,
 determine 
 h 2 .
 
a) 0 
b) 
3
 
c) 4 
d) 5 
e) 
6
 
 
18) (EsPCEx 2005) Analise os itens abaixo para a função 
f : 
. 
I - Se 
   f x f x 0  
, então 
f
 é uma função par. 
II - Se 
 f x
 é uma função constante, então 
f
 é função par. 
III - Se 
   f x f x
, então 
 Im f 
. 
IV - Se 
   f x f x
, então f é função bijetora. 
São corretas as afirmativas: 
a) I e II 
b) II e IV 
c) II e III 
d) I e III 
e) III e IV 
 
19) (EsPCEx 2005) Com relação à função 
x 1
g(x)
x 1



, definida para 
x 1 
, pode-se afirmar que a 
única alternativa correta é: 
a) 
g(x) 0
 para todo 
 x 1,0  
 
b) 
x 
 tal que 
 g x 0
 
c) 
g(x) 0
 para todo 
 x 1,  
 
d) 
 g x 0
 para todo 
 x 1,1 
 
e) 
x 
 tal que 
 g x 2
 
 
20) (EsPCEx 2005) Sejam as funções reais 
 f x
 e 
 g x .
 Se 
 f x x 2 
 e 
  
x
f g x ,
2

 pode-se 
afirmar que a função inversa de 
 g x
 é: 
a) 
1 f (x)g (x)
2
 
 
b) 
1 x 4g (x)
2
 Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira 
 
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c) 
1g (x) f (x) 
 
d) 
1g (x) 2f (x) 
 
e) 
1 x 4g (x)
2
 
 
 
21) (EsPCEx 2004) Sejam as funções 
f : 
 e 
g : 
, definidas 
  2f x ax cos x 
 e 
  2g x bx sen x, 
 em que a e b são constantes reais. Se 
 f 6 2 
 e 
 g 6 9, 
 então o valor de 
       f 6 2f 6 3g 6 4g 6    
 é: 
a) 
69
 
b) 3 
c) 11 
d) 57 
e) 
61
 
 
22) (EsPCEx 2003) Seja f uma função real, de variável real, definida por 
 
1,se x for racional
f x
0, se x for irracional

 

. Assim, pode afirmar que 
a) 
 f 2 f (2)
 
b) 
     f 3 f 2 f 1 
 
c) 
 f 3,14 0
 
d) 
 f 
 é irracional 
e) 
 f x
 é racional para todo x real 
 
23) (EsPCEx 2003) Sejam f e g funções de A em , definidas por x 1
f (x)
x 1



 e 
x 1
g(x)
x 1



. 
Nessas condições, pode-se afirmar que f = g se: 
a) 
 A x | x 1ou x 1    
 
b) 
 A x | x 1   
 
c) 
A 
 
d) 
 A x | x 1  
 
e) 
 A x | x 1   
 
 
24) (EsPCEx 2003) Sejam as funções reais 
 f x 2x 1 
 e 
  2g x x 6x 4.  
 A função composta 
    h x g f x
 é: 
a) 24x 6x 1  
b) 22x 2x 1  
c) 24x 1 
d) 24x 8x 1  
e) 22x 12x 1  
 
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25) (EsPCEx 2002) Se o domínio da função 
     2 2 2f x x 9 x 4 x    
 e 
   D f 3, 2,0,2,3  
, 
pode-se dizer que seu conjunto imagem possui: 
a) exatamente 5 elementos; 
b) exatamente 4 elementos; 
c) exatamente 3 elementos; 
d) um único elemento; 
e) exatamente 2 elementos. 
 
26) (EsPCEx 2001) Pode-se afirmar que a função real    2
2
2x x 1 x 3
y ,
x 2x 3
   

 
 após 
convenientemente simplificada, é equivalente a 
a) 
y 2x 1 
 para 
 3,1 
 
b) 
2y x 1 
 para 
 3,1 
 
c) 
y x 2 
 para 
 3,1 
 
d) 
1
y x
2
 
 para 
 3,1 
 
e) 
y 3x 1 
 para 
 3,1 
 
 
27) (EsPCEx 2000) A função  
2
1 1
1 x
x xf x ,
2 1
1
x x
  
   
  
 
 definida em 
 0,1 ,
 tem, para o mesmo 
domínio, os mesmos valores numéricos que a função 
a) 
 f x 1
 
b) 
 f x x 1 
 
c) 
  2f x x
 
d) 
 
x
f x
x 1


 
e) 
 
 2
1
f x
x 1


 
 
28) (EsPCEx 2000) Seja f uma função real tal que 
 f x 2 ax b, x ,    
 
 f 2 5
 e 
 f 3 8,
 
então o valor de 
a b
 é 
a) 
32
 
b) 
23
 
c) 
21
 
d) 12 
e) 36 
 
29) (EsPCEx 1999) Os gráficos abaixo representam duas funções reais “f” e “g”, cujas únicas raízes 
são 
1
 e 2, respectivamente. 
 
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O conjunto de todos os números reais tais que 
   f x g x 0 
 é dado por: 
a) 
x 0
 ou 
x 1 
 
b) 
1 x 0  
 
c) 
0 x 2 
 
d) 
1 x 2  
 
e) 
x 1 
 ou 
x 2
 
 
30) (EsPCEx 1999) Considere a função real 
 f x 1 x. 
 Dentre as proposições abaixo: 
I) O maior valor de 
 f x
 é 1. 
II) Se 
 f p
 existe, então o maior valor de p é 1. 
III) Se 
 f x
 é igual a 
1
,
3
 então x é igual a 
8
.
9
 
IV) O gráfico de 
 f x
 intercepta o eixo das ordenadas no ponto 
 0,1 .
 
Pode-se afirmar que são verdadeiras apenas as proposições: 
a) I e II. 
b) II e III. 
c) I e III. 
d) III e IV. 
e) II, III e IV. 
 
31) (EsPCEx 1999) Seja a função real 
     2 2f x m 4 x m 2 x 1    
. Das afirmações abaixo: 
I) f é função afim para 
m 2.
 
II) f é função constante para 
m 2. 
 
III) f é função quadrática para 
m 2
 e 
m 2. 
 
IV) f tem uma raiz igual a 
1
 para 
m 3.
 
Estão corretas apenas as afirmações 
a) I, II e IV 
b) I e III 
c) II, III e IV 
d) III e IV 
e) I, II, III 
 
32) (EsPCEx 1999) O gráfico abaixo fornece a relação entre o custo das ligações telefônicas locais 
de um assinante e o número de pulsos utilizados pelo mesmo. Considerando-se que: 
I – Em Maio/98 o assinante utilizou 100 pulsos. 
 
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II – Em Junho/98 o valor de sua conta telefônica foi o dobro do valor de Maio/98. 
III – Só foram realizadas ligações locais à mesma tarifa. 
 
Pode-se afirmar que o número de pulsos utilizados por esse assinante em Junho/98 foi: 
a) 180 
b) 260 
c) 270 
d) 280 
e) 300 
 
33) (EsPCEx 1999) A temperatura T de aquecimento de um forno, em ºC, varia com o tempo t, em 
minutos, segundo a função abaixo: 
2
20 28t , se t 10
T
t 5t 150, se t 10
 
 
  
 
O tempo necessário para que a temperatura do forno passe de 
160 C
 para 
564 C
 é: 
a) 5 minutos. 
b) 12 minutos. 
c) 13 minutos. 
d) 18 minutos. 
e) 23 minutos. 
 
34) (EsPCEx 1999) O domínio da função 
 
x 2
1
f x
1
3
9
 


 é: 
a) 
*

 
b) 

 
c) 

 
d) 
*

 
e) 
 
35) (EsPCEx 1998) Seja a função 
 
1, se x é irracional
f x
1, se x é racional

 

. O valor da expressão 
     
 
f f 0 f 1,333
3f 2
   é: 
 
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a) 
1
3
 
b) 
1
3

 
c) 1 
d) 1 
e) 
2
3
 
 
36) (EsPCEx 1998) O domínio da função real 
1 1
y
x 3 5 x
 
 
 é: 
a) 
 3;5
 
b) 
 3; 
 
c) 
 5;3
 
d) 
   ; 3 5;   
 
e) 
 ;5
 
 
37) (EsPCEx 1998) A função linear f, dada por 
 f x ax b, 
 satisfaz a condição 
   f 5x 2 5f x 2,  
 pode-se afirmar então que: 
a) 
a 2b
 
b) 
a b 2 
 
c) 
 a 2 b 2 
 
d) 
 a 2 b 1 
 
e) 
a 2b 1 
 
 
38) (EsPCEx 1998) Num sistema cartesiano de eixos, duas curvas A e B, se interceptam nos pontos 
 0,5
 e 
 0, 5 .
 Dentre as afirmações abaixo, a alternativa correta é: 
a) A e B são representações gráficas de funções do tipo 
 y f x ,
 com raízes 
 0,5
 e 
 0, 5 .
 
b) somente A ou B poderá ser representação gráfica de uma função do tipo 
 y f x .
 
c) A ou B é a representação gráfica da função dada por 
2y 25 x . 
 
d) A ou B é a representação gráfica da função dada por 
x 0.
 
e) nem a nem B poderá ser a representação gráfica de uma função do tipo 
 y f x .
 
 
39) (EsPCEx 1997) Na função 
 f x 3x 2, 
 sabemos que 
 f a b 2 
 e 
 f b 2b a 
. O valor de 
  f f a
 é: 
a) 2 
b) 1 
c) 0 
d) 
1
 
e) 
2
 
 
 
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40) (EsPCEx 1997) Seja 
f : 
 uma função tal que 
 2 f x 5  
 e 
g : 
 dada por 
   g x 1 f x . 
 Então o conjunto imagem da função 
 g x
 é: 
a) 
 4,3
 
b) 
 4,3
 
c) 
 4,3
 
d) 
 3,4
 
e) 
 3,4
 
 
41) (EsPCEx 1997) O domínio da função 
 
2x x 6
f x
3x 6
 


 é: 
a) 
   2,2 3,  
 
b) 
   2,0 2,3 
 
c) 
   0,2 3,
 
d) 
   , 2 2,3  
 
e) 
   ,0 2,3 
 
 
42) (EsPCEx 1996) A função f, de domínio real mais amplo possível, é tal que 
 
ax b 5
f x .
ax 3b
 


 
Sabendo que 
 f 3
 não existe e 
 f 1 1, 
 o valor de 2 2a b é: 
a) 
50
16
 
b) 
25
3
 
c) 
25
2
 
d) 
50
8
 
e) 
50
9
 
 
43) (EsPCEx 1995) As funções 
f : 
 e 
g : 
 são definidas por 
 f x 2x 3 
 e 
 g x 3x m 
. Se 
     f g x g f x ,
 então 
 f m
 vale: 
a) 3 
b) 6 
c) 9 
d) 12 
e) 15 
 
 
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44) (EsPCEx 1995) Sendo 
f : 
 definida por  
*
*
1
, se x
xf x
2, se x


 
  
 e 
g : 
 definida 
por 
 
1, se x
g x 1
, se x
2
 

 
 
, então 
  f g f g 2 2
 é igual a: 
a) 
1
 
b) 
1
2
 
c) 2 
d) 2
1
2

 
e) 
2
 
 
45) (EsPCEx 1995) Sejam as funções 
 f : 3,   
 e 
 g : 2,  
, definidas 
respectivamente por 
  2f x 3x 3 
 e 
  2g x 2x 2. 
 Se 
    h x g f x ,
 então o valor de 
 1h 10 ,
 onde 
 1h x
 é a função inversa de 
 h x ,
 é: 
a) 10
3
 
b) 13
2
 
c) 15
5
 
d) 15
3
 
e) 13
3
 
 
46) (EsPCEx 1995) Seja a função 
 f : 1,1 ,  
 definida por 
 
3
2
x
f x ,
x 1


 não inversível. 
Podemos afirmar que essa função é: 
a) bijetora e não par e nem ímpar. 
b) par e injetora. 
c) ímpar e injetora. 
d) par e sobrejetora. 
e) ímpar e sobrejetora. 
 
47) (EsPCEx 1994) Considere as funções 
f : 
 e 
g : 
 definidas por 
 f x x 1 
 e 
  2g x 2x 3 
. O conjunto dos valores de x tais que 
    1f g x f x
 está contido em: 
a) 
 2,0
 
 
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b) 
 1,2
 
c) 
 10, 2 
 
d) 
 1,10
 
 
48) (AMAN 2005) Dadas as funções 
 f x x cos x 
 e 
 
x
x
1 2
g x ,
1 2



 com *x podemos afirmar 
que: 
a) ambas são ímpares 
b) f(x) é ímpar e g(x) não é par nem ímpar 
c) f(x) é ímpar e g(x) é par 
d) f(x) é par e g(x) é ímpar 
e) ambas são pares 
 
 
RESPOSTAS: 
 
1) a; 2) d; 3) e; 4) b; 5) c; 6) c; 7) d; 8) a; 9) b; 10) c; 11) d; 12) e; 13) e; 14) d; 15) c; 16) d; 17) e; 
18) c; 19) d; 20) d; 21) b; 22) e; 23) d; 24) d; 25) d; 26) a; 27) b; 28) c; 29) e; 30) e; 31) e; 32) b; 
33) c; 34) a; 35) d; 36) a; 37) e; 38) e; 39) b; 40) a; 41) a; 42) c; 43) e; 44) a; 45) d; 46) e; 47) b; 48) a 
 
 
 
 
RESOLUÇÕES: 
 
1) (EsPCEx 2017) Os gráficos de 
 f x 2
 e 
  2g x x x 
 têm dois pontos em comum. O valor da 
soma das abscissas dos pontos em comum é igual a 
a) 0 b) 4 c) 8 d) 10 e) 15 
 
RESOLUÇÃO: a 
Vamos identificar os pontos em comum igualando as duas funções. 
    2 2f x g x 2 x x x x 2 0.       
 
Se 
x 0,
 então 
x x.
 Assim, temos: 
2 1 3x x 2 0 x x 1(não convém) ou x 2.
2

        
 
Se 
x 0,
 então 
x x. 
Assim, temos: 
 2 2
1 3
x x 2 0 x x 2 0 x x 1(não convém) ou x 2.
2
 
             
 
Portanto, as abscissas dos pontos em comum são 
x 2
 e 
x 2, 
 cuja soma é 
 2 2 0.  
 
 
 
 
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2) (EsPCEx 2016) Considere a função real definida por 
 
2
2 x 3 , se x 2
f x
x 2x 1, se x 2
   
 
   
, o valor de 
   f 0 f 4
 é 
a) 
8
 b) 
0
 c) 
1
 d) 
2
 e) 
4
 
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
  20 2 f 0 0 2 0 1 1       
 
 4 2 f 4 2 4 3 2 1 1       
 
   f 0 f 4 1 1 2    
 
 
 
3) (EsPCEx 2016) Considere as funções reais f e g, tais que 
 f x x 4 
 e 
   2f g x x 5 
, onde 
 g x
 é não negativa para todo x real. Assinale a alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis 
valores de x, que satisfazem os dados do enunciado. 
a) 
 3,3 
 
b) 
5, 5   
 
c) 
5, 5  
 
d) 
 3,3
 
e) 
 ,3 
 
 
RESOLUÇÃO: e 
Inicialmente, observemos que o domínio de 
 f x x 4 
 é 
fD 
. 
Analisando a função composta, temos: 
      2 2 2f g x x 5 g x 4 x 5 g x x 9        
 
Como 
 g x 0
, 
x 
, então 
 g x
 está sempre definida. 
Entretanto, para que a identidade 
   2f g x x 5 
 seja satisfeita, é necessário que 
2x 9 0 x 3 x 3      
. 
Portanto, o domínio de validade da função composta é 
 f gD 3,3  
. 
Dessa forma, o conjunto que contém todos os possíveis valores de x, que satisfazem os dados do 
enunciado é 
 f f gD D ,3   
. 
 
 
4) (EsPCEx 2015) Considere a função bijetora 
   f : 1, ,3  
, definida por 
  2f x x 2x 2   
 e seja 
 a,b
 o ponto de interseção de 
f
 com sua inversa. O valor numérico da 
expressão 
a b
 é 
a) 
2
 b) 
4
 c) 
6
 d) 
8
 e) 
10
 
 
 
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RESOLUÇÃO: b 
As interseções do gráfico de uma função bijetora com o gráfico de sua inversa estão sobre a reta 
y x
. Assim, temos: 
  2 2y f x x 2x 2 x x x 2 0 x 1 ou x 2             
 
Como 
 fx 1 D 1,    
, então a única interseção entre o gráfico de 
f
 e o de sua inversa ocorre 
quando 
x 2
 e 
  2y f 2 2 2 2 2 2      
. 
Logo, 
   a,b 2,2
 e 
a b 2 2 4   
. 
 
 
5) (EsPCEx 2015) Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os 
quais está definida a função 
 
2
3 2
x 6x 5
f x
x 4
 


. 
a) 
 2,2 
 
b) 
   , 2 5,   
 
c) 
     , 2 2,1 5,     
 
d) 
   ,1 5,  
 
e) 
   , 2 2,   
 
 
RESOLUÇÃO: c 
Para que a função esteja definida devemos ter 
 2x 6x 5 0 x 1 ou x 5     
 e 
2x 4 0 x 2    
. 
Portanto, o domínio da função é 
     fD , 2 2,1 5,      
. 
 
 
6) (EsPCEx 2015) Sabendo que “c” e “d” são números reais, o maior valor de “d” tal que a função 
f : 
 definida por 
 
2
x c, para x d
f x
x 4x 3, para x d
  
 
  
 seja injetora é 
a) 
0
 b) 
1
 c) 
2
 d) 
3
 e) 
4
 
 
RESOLUÇÃO: c 
Sejam as funções 
  2
1f x x 4x 3  
, para 
x d
, e 
 
2f x x c  
, para 
x d
. 
A função 
  2
1f x x 4x 3  
 possui um ponto de mínimo em 
V
4
x 2
2
 
 e 
 
V 1y f 2 1  
. 
Se 
d 2
, então 
 
1f x
 não é injetora e, consequentemente, 
 f x
 também não é injetora. 
Se 
d 2
, então 
  2
1f x x 4x 3  
, para 
x d
, é injetora, mas para que 
 f x
 seja injetora, 
devemos ter 
    2 2
1 2f d f d d 4d 3 d c c d 3d 3          
. 
 
Assim, o maior valor de “d” para o qual a função é injetora é 
d 2
 com a condição de que 
c 1
. 
 
 
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Para ficar mais claro, abaixo, apresentamos o gráfico da função para 
d 2
 e 
c 1
.7) (EsPCEx 2014) Na figura abaixo está representado o gráfico da função polinomial 
f
, definida no 
intervalo real 
 a,b
. Com base nas informações fornecidas pela figura, podemos afirmar que: 
 
a) 
f
 é crescente no intervalo 
 a,0
. 
b) 
   f x f e
 para todo 
x
 no intervalo 
 d,b
. 
c) 
 f x 0
 para todo 
x
 no intervalo 
 c,0
. 
d) a função 
f
 é decrescente no intervalo 
 c,e
. 
e) se 
 1x a,c
 e 
 2x d,e
 então 
   1 2f x f x
. 
 
RESOLUÇÃO: d 
a) INCORRETA, pois no intervalo 
   c,0 a,0
 a função é decrescente. 
b) INCORRETA, pois 
   f e f x
 para todo 
 x d,b
. 
c) INCORRETA, pois 
 f x 0
 para todo 
 x c,0
. 
d) CORRETA, pois 
1 2x x 
 em 
 c,e
 tem-se 
   1 2f x f x
, ou seja, 
f
 é decrescente em 
 c,e
. 
 
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e) INCORRETA, pois 
   1 2f x 0 f x 
. 
 
 
8) (EsPCEx 2013) Sejam as funções reais 
  2f x x 4x 
e 
 g x x 1 
. O domínio da função 
  f g x
 é 
a) 
 D x |x 3 ou x 1   
 
b) 
 D x | 3 x 1    
 
c) 
 D x |x 1  
 
d) 
 D x |0 x 4   
 
e) 
 D x |x 0 ou x 4   
 
 
RESOLUÇÃO: a 
A função 
  2f x x 4x 
 está definida quando 
2x 4x 0 x 4 ou x 0     
. 
Para que a função 
  f g x
 esteja definida, devemos ter 
   g x 4 ou g x 0  
. 
 g x x 1 4 x 3      
 
 g x x 1 0 x 1    
 
Assim, o domínio da função 
  f g x
 é 
 fD x | x 3 ou x 1    
. 
 
 
9) (EsPCEx 2013) Na figura abaixo estão representados os gráficos de três funções reais, sendo 
a 1
 e 
b 0
. 
 
 
 
As expressões algébricas que podem representar cada uma dessas funções são, respectivamente, 
a) 
y x a b  
; x1
y a
1 b
 
  
 
 e 
x a
y
x a



 
b) 
y x a b  
; 
xy (1 a) b  
 e x
y a
x
 
 
c) 
y x a b  
; x1
y b
a
 
  
 
 e 
x a
y
x a



 
 
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d) 
y x a b  
; x1
y b
a
 
  
 
 e x
y a
x
 
 
e) 
y x a b  
; x1
y a
1 b
 
  
 
 e 
x a
y
x a



 
 
RESOLUÇÃO: b 
Gráfico 1: As semirretas têm inclinação de 
45
, logo esse gráfico vem de um deslocamento de a 
para a direita e de b para cima do gráfico de 
y x
. Portanto, a expressão dessa função é 
y x a b  
. 
Gráfico 2: O gráfico assemelha-se ao de uma função exponencial deslocada de b para cima. Uma 
possível expressão da função é 
  xf x k b 
. O ponto 
 1,a b f  
, então 
  1
1
f 1 k b a b k
a
      
. Portanto, a expressão dessa função pode ser 
 
x
1
f x b
a
 
  
 
. 
Gráfico 3: Esse gráfico vem do deslocamento de a para cima do gráfico de 1, se x 0x
y
1, se x 0x

  
 
. 
Portanto, a expressão dessa função é 
 
x
f x a
x
 
. 
 
 
10) (EsPCEx 2013) Seja a função   4
2
2x 1, se x for racional
f x 2x , se x for irracional
x 8, se x não for real


 


. 
Assim, o valor de 
    64 1101f f i 5i f f 2
2
 
    
 
, em que 2i 1  é 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
RESOLUÇÃO: c 
1 1
f 2 1 0
2 2
 
    
 
 
       
16 27
64 110 4 4 2 16 27i 5i i 5 i i 1 5 1 1 1 5 1 1 4                
 
     64 110f i 5i f 4 2 4 1 9        
 
   
2
2 f 2 2 8 2 8 6          
 
    f f 2 f 6 2 6 1 11     
 
      64 1101f f i 5i f f 2 0 9 11 2
2
 
          
 
 
 
 
11) (EsPCEx 2012) Considere a função real 
 f x
, cujo gráfico está representado na figura, e a 
função real 
 g x
, definida por 
   g x f x 1 1  
. 
 
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O valor de 
1
g
2
 
 
 
 é 
a) 
3
 b) 
2
 c) 
0
 d) 
2
 e) 
3
 
 
RESOLUÇÃO: d 
Considerando a forma segmentária da equação da reta, temos:  
 
x f x 2
1 f x x 2
3 2 3
    

. 
Assim, 
1 1 3 2 3
g f 1 1 f 1 2 1 2
2 2 2 3 2
        
                             
. 
 
 
12) (EsPCEx 2012) O domínio da função real 
 
2
2 x
f x
x 8x 12


 
 é 
a) 
 2,
 b) 
 2,6
 c) 
 ,6
 d) 
 2,2
 e) 
 , 2
 
 
RESOLUÇÃO: e 
O domínio de 
f
 deve ter 
2 x 0 x 2   
 e 
2x 8x 12 0 x 2 x 6      
. 
Logo, 
 fD ,2 
 
 
 
13) (EsPCEx 2012) Considere as funções reais 
 f x 3x
, de domínio 
 4,8
 e 
 g y 4y
, de 
domínio 
 6,9
. Os valores máximo e mínimo que o quociente  
 
f x
g y
 pode assumir são, 
respectivamente 
a) 
2
3
 e 
1
2
 b) 
1
3
 e 
1
 c) 
4
3
 e 
3
4
 d) 
3
4
 e 
1
3
 e) 
1
 e 
1
3
 
 
RESOLUÇÃO: e 
 12 3 4 f x 3x 3 8 24      
 
 24 4 6 g y 4y 4 9 36      
 
 
 
  
 
MAX
MAX MIN
f x f x 24
1
g y 24g y
 
        
 
 
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 
 
  
 
MIN
MIN MAX
f x f x 12 1
g y 36 3g y
 
        
 
 
 
14) (EsPCEx 2011) A represa de uma usina hidroelétrica está situada em uma região em que a 
duração do período chuvoso é 100 dias. A partir dos dados hidrológicos dessa região, os projetistas 
concluíram que a altura do nível da represa varia, dentro do período chuvoso, segundo a função real 
 
2
t
8, para 0 t 20
5
t 4t
N t , para 20 t 50
100 5
3t
21, para 50 t 100
25

  


    


   

 
Em que 
 N t
 é a altura do nível da represa, medido em metros, t é o número de dias, contatos a 
partir do início do período chuvoso. 
Segundo esse modelo matemático, o número de dias, dentro do período chuvoso, em que a altura 
do nível da represa é maior ou igual a 12 metros é 
a) 40 b) 41 c) 53 d) 56 e) 60 
 
RESOLUÇÃO: d 
A função 
 
1
t
f t 8
5
 
, para 
 t 0,20
, é uma função do 1º grau com coeficiente líder positivo, 
então cresce de 
 
1f 0 8
 até 
 
1f 20 12
 (aberto). 
A função 
 
2
2
t 4t
f t
100 5
  
 é uma função quadrática com coeficiente líder negativo. Ela assume o 
valor 12 quando 
 
2
2
2
t 4t
f t 12 t 80t 1200 0 t 20 ou t 60
100 5
          
 e tem ponto de 
máximo em 
 V
4 5
x 40
2 1 100

 
 
. Assim, a função 
2f
 cresce de 
 
2f 20 12
 até 
 
2f 40 16
 e 
decresce até 
 
2f 50 15
 (aberto). 
A função 
 
3
3t
f t 21
25
  
, para 
 t 50,100
, é uma função do 1º grau com coeficiente líder 
negativo, então decresce de 
 
3f 50 15
 até 
 
3f 100 9
 passando por 
 
3f 75 12
. 
Assim, 
   f x 12 x 20,75  
. 
Portanto, o número de dias, dentro do período chuvoso, em que a altura do nível da represa é maior 
ou igual a 12 metros é 
75 20 1 56  
. 
 
 
15)(EsPCEx 2010) Considere a função real 
 g x
 definida por: 
 
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 
x
2
5 , se x 1
3x 3x 17
g x , se 1 x 3.
4 2 4
x 1
, se x 3
2 2
 

    

  

 
O valor de 
   g g g 1
 é 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
RESOLUÇÃO: c 
Para calcular 
 g 1 ,
 devemos utilizar a expressão para 
x 1:
 
  1g 1 5 5 
 
Para calcular 
    g g 1 g 5 ,
 devemos utilizar a expressão para 
x 3:
 
    
5 1
g g 1 g 5 3
2 2
   
 
Para calcular 
     g g g 1 g 3 ,
 devemos utilizar a expressão para 
1 x 3: 
 
     
23 3 3 3 17
g g g 1 g 3 2
4 2 4
  
    
 
 
 
16) (EsPCEx 2009) Os gráficos das funções 
  x 2f x a 
 
 a
 e 
  2g x x 9x 7  
 se 
interceptam em um ponto cuja abscissa é igual a 5. Nesse caso o valor de a é 
a) 
1
3

 b) 
1
3
 c) 3 d) 
3
 e) 27 
 
RESOLUÇÃO: d 
Se os gráficos de f e g se interceptam no ponto de abscissa 5, então 
    5 2 2 3f 5 g 5 a 5 9 5 7 a 27 a 3.           
 
 
 
17) (EsPCEx 2007) Temos as funções: 
 f x x 1 
 
  3 2g x x ax bx c   
 
    h x g f x .
 
Considerando que as raízes de 
 h x
 são 
 1;0;1 ,
 determine 
 h 2 .
 
a) 0 b) 
3
 c) 4 d) 5 e) 
6
 
 
RESOLUÇÃO: e 
Como as raízes de 
 h x
 são 
 1;0;1 ,
 então 
      h 1 g f 1 g 0 0    
 
      h 0 g f 0 g 1 0  
 
 
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      h 1 g f 1 g 2 0  
 
Logo, a função g tem raízes 0, 1 e 2. 
Como g é um polinômio de grau 3 e mônico (coeficiente líder unitário), então 
      3 2g x x 0 x 1 x 2 x 3x 2x.      
 
Vamos agora calcular 
 h 2 .
 
            3 2h 2 g f 2 g 1 1 3 1 2 1 6              
 
 
 
18) (EsPCEx 2005) Analise os itens abaixo para a função 
f : 
. 
I - Se 
   f x f x 0  
, então 
f
 é uma função par. 
II - Se 
 f x
 é uma função constante, então 
f
 é função par. 
III - Se 
   f x f x
, então 
 Im f 
. 
IV - Se 
   f x f x
, então f é função bijetora. 
São corretas as afirmativas: 
a) I e II b) II e IV c) II e III d) I e III e) III e IV 
 
RESOLUÇÃO: c 
I - Se 
   f x f x 0  
, então 
f
 é uma função par. (INCORRETA) 
       f x f x 0 f x f x      
 o que implica que f é uma função ímpar. 
 
II - Se 
 f x
 é uma função constante, então 
f
 é função par. (CORRETA) 
Se 
 f x
 é uma função constante, então 
   f x f x , x ,   
 o que implica que f é uma função 
par. 
 
III - Se 
   f x f x
, então 
 Im f 
. (CORRETA) 
Se 
   f x f x
, então 
 f x 0,
 o que implica 
 Im f .
 
 
IV - Se 
   f x f x
, então f é função bijetora. (INCORRETA) 
Se 
   f x f x
, então 
 Im f 
, o que implica que a imagem de f é diferente de seu 
contradomínio 
.
 
 
 
19) (EsPCEx 2005) Com relação à função 
x 1
g(x)
x 1



, definida para 
x 1 
, pode-se afirmar que a 
única alternativa correta é: 
a) 
g(x) 0
 para todo 
 x 1,0  
 
b) 
x 
 tal que 
 g x 0
 
c) 
g(x) 0
 para todo 
 x 1,  
 
d) 
 g x 0
 para todo 
 x 1,1 
 
e) 
x 
 tal que 
 g x 2
 
 
 
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RESOLUÇÃO: d 
a) INCORRETA 
 
x 1
g(x) 0 1 x 1 x 1,1
x 1

        

 
b) INCORRETA 
x 1
g(x) 0 x 1 0 x 1
x 1

      

 
c) INCORRETA 
     g x 0 x , 1 1,      
 
Logo, há valores de 
 x 1,  
 tais que g é negativo. 
Uma outra maneira de concluir que a alternativa está incorreta seria apresentar um contraexemplo. 
Nesse caso, basta observar que 
 g 0 1 0  
 e 
 0 1, .  
 
d) CORRETA 
 
x 1
g(x) 0 1 x 1 x 1,1
x 1

        

 
e) INCORRETA 
x 1
g(x) 2 x 1 2x 2 x 3
x 1

        

 
 
 
20) (EsPCEx 2005) Sejam as funções reais 
 f x
 e 
 g x .
 Se 
 f x x 2 
 e 
  
x
f g x ,
2

 pode-se 
afirmar que a função inversa de 
 g x
 é: 
a) 
1 f (x)g (x)
2
 
 
b) 
1 x 4g (x)
2
 
 
c) 
1g (x) f (x) 
 
d) 
1g (x) 2f (x) 
 
e) 
1 x 4g (x)
2
 
 
 
RESOLUÇÃO: d 
Se 
 f x x 2 
 e 
  
x
f g x ,
2

 então 
      
x x
f g x g x 2 g x 2
2 2
     
 
Vamos obter a inversa de 
 
x
g x 2.
2
 
 
            1 1
x
g x 2 x 2g x 4 g g x 2g x 4 g x 2x 4 2 f x
2
             
 
 
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Note que sempre vale a relação 
     1 1g g x g g x x.  
 A expressão 
  
x
f g x
2

 implica 
     2f g x x 2f g x x,  
 ou seja, a função 2f é a inversa de g. 
 
 
21) (EsPCEx 2004) Sejam as funções 
f : 
 e 
g : 
, definidas 
  2f x ax cos x 
 e 
  2g x bx sen x, 
 em que a e b são constantes reais. Se 
 f 6 2 
 e 
 g 6 9, 
 então o valor de 
       f 6 2f 6 3g 6 4g 6    
 é: 
a) 
69
 
b) 3 
c) 11 
d) 57 
e) 
61
 
 
RESOLUÇÃO: b 
Inicialmente, observemos que 
 sen x sen x  
 e 
 cox x cos x. 
 
  2f 6 a 6 cos6 2    
 
       2 2f 6 a 6 cos 6 a 6 cos6 f 6 2           
 
  2g 6 b 6 sen 6 9    
 
           2 2 2g 6 b 6 sen 6 b 6 sen 6 b 6 sen 6 g 6 9 9                   
 
           f 6 2f 6 3g 6 4g 6 2 2 2 3 9 4 9 2 4 27 36 3                    
 
 
 
22) (EsPCEx 2003) Seja f uma função real, de variável real, definida por 
 
1,se x for racional
f x
0, se x for irracional

 

. Assim, pode afirmar que 
a) 
 f 2 f (2)
 
b) 
     f 3 f 2 f 1 
 
c) 
 f 3,14 0
 
d) 
 f 
 é irracional 
e) 
 f x
 é racional para todo x real 
 
RESOLUÇÃO: e 
   f 2 0 1 f 2  
 
     f 3 f 2 0 0 0 1 f 1     
 
 f 3,14 1,
 pois 
3,14
 
 f 0  
 
1 1, se x
f (x) f (x) , x
0 0, se x
  
    
 
 
 
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23) (EsPCEx 2003) Sejam f e g funções de A em , definidas por x 1
f (x)
x 1



 e 
x 1
g(x)
x 1



. 
Nessas condições, pode-se afirmar que f = g se: 
a) 
 A x | x 1ou x 1    
 
b) 
 A x | x 1   
 
c) 
A 
 
d) 
 A x | x 1  
 
e) 
 A x | x 1   
 
 
RESOLUÇÃO: d 
x 1 x 1
f (x) 0 x 1 ou x 1
x 1 x 1
 
      
 
 
x 1 0 x 1x 1
g(x) x 1
x 1 0 x 1x 1
   
   
     
 
As funções f e g quando definidas possuem o mesmo valor. Para que sejam iguais devem possuir o 
mesmo domínio. Isso é possível para 
 A x | x 1  
. 
 
 
24) (EsPCEx 2003) Sejam as funções reais 
 f x 2x 1 
 e 
  2g x x 6x 4.  
 A funçãocomposta 
    h x g f x
 é: 
a) 24x 6x 1  
b) 22x 2x 1  
c) 24x 1 
d) 24x 8x 1  
e) 22x 12x 1  
 
RESOLUÇÃO: d 
            2 2 2h x g f x g 2x 1 2x 1 6 2x 1 4 4x 4x 1 12x 6 4 4x 8x 1                 
 
 
 
25) (EsPCEx 2002) Se o domínio da função 
     2 2 2f x x 9 x 4 x    
 e 
   D f 3, 2,0,2,3  
, 
pode-se dizer que seu conjunto imagem possui: 
a) exatamente 5 elementos; 
b) exatamente 4 elementos; 
c) exatamente 3 elementos; 
d) um único elemento; 
e) exatamente 2 elementos. 
 
RESOLUÇÃO: d 
     f 3 9 9 9 4 9 0      
 
 
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     f 2 4 9 4 4 4 0      
 
     f 0 0 9 0 4 0 0     
 
     f 2 4 9 4 4 4 0     
 
     f 3 9 9 9 4 9 0     
 
   Im f 0
 
 
 
26) (EsPCEx 2001) Pode-se afirmar que a função real    2
2
2x x 1 x 3
y ,
x 2x 3
   

 
 após 
convenientemente simplificada, é equivalente a 
a) 
y 2x 1 
 para 
 3,1 
 
b) 
2y x 1 
 para 
 3,1 
 
c) 
y x 2 
 para 
 3,1 
 
d) 
1
y x
2
 
 para 
 3,1 
 
e) 
y 3x 1 
 para 
 3,1 
 
 
RESOLUÇÃO: a 
Vamos, inicialmente, identificar o domínio da função (apesar de ele estar igual em todas as 
alternativas). 
2x 2x 3 0 x 1 x 3       
 
Logo, o domínio é 
 3,1 . 
 
Agora, vamos simplificar a expressão da função. 
        
   
2
2
2x x 1 x 3 2x 1 x 1 x 3
y 2x 1
x 1 x 3x 2x 3
       
   
   
 
 
 
27) (EsPCEx 2000) A função  
2
1 1
1 x
x xf x ,
2 1
1
x x
  
   
  
 
 definida em 
 0,1 ,
 tem, para o mesmo 
domínio, os mesmos valores numéricos que a função 
a) 
 f x 1
 
b) 
 f x x 1 
 
c) 
  2f x x
 
d) 
 
x
f x
x 1


 
e) 
 
 2
1
f x
x 1


 
 
RESOLUÇÃO: b 
 
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 
   
 
2
2 2
2 2
1 1 x 1 x 1
1 x
x 1 x 1 x 1x x x xf x x 1
2 1 x 2x 1 x 11
x x x
      
                   
   
 
 
 
28) (EsPCEx 2000) Seja f uma função real tal que 
 f x 2 ax b, x ,    
 
 f 2 5
 e 
 f 3 8,
 
então o valor de 
a b
 é 
a) 
32
 
b) 
23
 
c) 
21
 
d) 12 
e) 36 
 
RESOLUÇÃO: c 
   x 4 f 2 f 4 2 a 4 b 5       
 
   x 5 f 3 f 5 2 a 5 b 8       
 
Resolvendo o sistema 4a b 5
,
5a b 8
 

 
 temos 
a 3
 e 
b 7. 
 
Logo, 
 a b 3 7 21.     
 
 
 
29) (EsPCEx 1999) Os gráficos abaixo representam duas funções reais “f” e “g”, cujas únicas raízes 
são 
1
 e 2, respectivamente. 
 
O conjunto de todos os números reais tais que 
   f x g x 0 
 é dado por: 
a) 
x 0
 ou 
x 1 
 
b) 
1 x 0  
 
c) 
0 x 2 
 
d) 
1 x 2  
 
e) 
x 1 
 ou 
x 2
 
 
RESOLUÇÃO: e 
Analisando os gráficos concluímos que 
 f x 0 x 1   
 e 
 f x 0 x 1   
 
 
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 g x 0 x 2  
 e 
 g x 0 x 2  
 
Assim, temos: 
       x 1 f x 0 g x 0 f x g x 0        
 
       1 x 2 f x 0 g x 0 f x g x 0         
 
       x 2 f x 0 g x 0 f x g x 0       
 
Portanto, 
   f x g x 0 x 1ou x 2.     
 
 
 
30) (EsPCEx 1999) Considere a função real 
 f x 1 x. 
 Dentre as proposições abaixo: 
I) O maior valor de 
 f x
 é 1. 
II) Se 
 f p
 existe, então o maior valor de p é 1. 
III) Se 
 f x
 é igual a 
1
,
3
 então x é igual a 
8
.
9
 
IV) O gráfico de 
 f x
 intercepta o eixo das ordenadas no ponto 
 0,1 .
 
Pode-se afirmar que são verdadeiras apenas as proposições: 
a) I e II. 
b) II e III. 
c) I e III. 
d) III e IV. 
e) II, III e IV. 
 
RESOLUÇÃO: e 
I) FALSA 
Contraexemplo: 
   f 3 1 3 4 2 1      
 
II) VERDADEIRA 
Se 
 f p 1 p 
 existe, então 
1 p 0 p 1,   
 ou seja, o maior valor de p é 1. 
III) VERDADEIRA 
 
1 1 1 8
f x 1 x 1 x x 1
3 9 9 9
         
 
IV) VERDADEIRA 
A interseção do gráfico com o eixo das ordenadas é o ponto de abscissa 0. Assim, temos: 
 f 0 1 0 1.  
 Logo, a interseção ocorre no ponto 
 0,1 .
 
 
 
31) (EsPCEx 1999) Seja a função real 
     2 2f x m 4 x m 2 x 1    
. Das afirmações abaixo: 
I) f é função afim para 
m 2.
 
II) f é função constante para 
m 2. 
 
III) f é função quadrática para 
m 2
 e 
m 2. 
 
IV) f tem uma raiz igual a 
1
 para 
m 3.
 
Estão corretas apenas as afirmações 
a) I, II e IV 
b) I e III 
c) II, III e IV 
 
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d) III e IV 
e) I, II, III 
 
RESOLUÇÃO: e 
I) Correta 
     2 2m 2 f x 2 4 x 2 2 x 1 4x 1         
 que é uma função afim. 
II) Correta 
      2 2m 2 f x 2 4 x 2 2 x 1 1          
 que é uma função constante. 
III) Correta 
  2m 2 m 2 m 4 m 2 m 2 0,         
 o que implica que f é uma função quadrática. 
IV) Incorreta 
     2 2 2m 3 f x 3 4 x 3 2 x 1 5x 5x 1         
 e 
     2f 1 5 1 5 1 1 11 0,         
 o 
que implica que 
1
 não é raiz. 
 
 
32) (EsPCEx 1999) O gráfico abaixo fornece a relação entre o custo das ligações telefônicas locais 
de um assinante e o número de pulsos utilizados pelo mesmo. Considerando-se que: 
I – Em Maio/98 o assinante utilizou 100 pulsos. 
II – Em Junho/98 o valor de sua conta telefônica foi o dobro do valor de Maio/98. 
III – Só foram realizadas ligações locais à mesma tarifa. 
 
Pode-se afirmar que o número de pulsos utilizados por esse assinante em Junho/98 foi: 
a) 180 
b) 260 
c) 270 
d) 280 
e) 300 
 
RESOLUÇÃO: b 
O trecho após 90 pulsos é regido por uma equação do 
1
 grau, que passa pelos pontos 
 90,30
 e 
 140,40 .
 A equação dessa função é dada por 
   
y 30 40 30 1 x
y 30 x 90 f x y 12.
x 90 140 90 5 5
 
         
 
 
Como em maio/98 foram utilizados 100 pulsos, então o valor da conta foi 
 
100
f 100 12 32.
5
  
 
Em junho/98, o valor da conta foi o dobro de maio/98, que corresponde a 
2 32 64. 
 
 
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Para encontrar o número de pulsos utilizados em junho/98, devemos encontrar x tal que 
 f x 64.
 
 
x
f x 12 64 x 260
5
    
 pulsos 
 
 
33) (EsPCEx 1999) A temperatura T de aquecimento de um forno, em ºC, varia com o tempo t, em 
minutos, segundo a função abaixo: 
2
20 28t , se t 10
T
t 5t 150, se t 10
 
 
  
 
O tempo necessário para que a temperatura do forno passe de 
160 C
 para 
564 C
 é: 
a) 5 minutos. 
b) 12 minutos. 
c) 13 minutos. 
d) 18 minutos. 
e) 23 minutos. 
 
RESOLUÇÃO: c 
A função 
y 20 28t, 
 para 
0 t 10, 
 tem imagem 
 20,300 .
 
A função 
2y t 5t 150  
 tem abscissado vértice 
V
5
t 2,5.
2 1

  

 Logo, para 
t 10,
 ela é 
crescente e sua imagem é 
 300, .
 
Portanto, para encontrarmos o tempo correspondente à temperatura de 
160 C,
 devemos usar a 
expressão 
 T t 20 28t. 
 Assim, temos: 
 1 1 1 1T t 20 28t 160 28t 140 t 5 min.      
 
Já para encontrarmos o tempo correspondente à temperatura de 
564 C,
 devemos usar a expressão 
  2T t t 5t 150.  
 Assim, temos: 
  2 22 2 2 2 2 2 2 2
5 41
T t t 5t 150 564 t 5t 414 0 t t 23 t 18.
2
 
              
 
Como 
t 10,
 então 
2t 18 min.
 
Logo, o tempo necessário para que a temperatura do forno passe de 
160 C
 para 
564 C
 é 
2 1t t 18 5 13 min.   
 
 
 
34) (EsPCEx 1999) O domínio da função 
 
x 2
1
f x
1
3
9
 


 é: 
a) 
*

 
b) 

 
c) 

 
d) 
*

 
e) 
 
RESOLUÇÃO: a 
 
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Para que a função f esteja definida, devemos ter 
x 2 x 2 213 0 3 3 x 2 2 x 0.
9
              
 
Logo, o domínio de f é 
*
fD .
 
 
 
35) (EsPCEx 1998) Seja a função 
 
1, se x é irracional
f x
1, se x é racional

 

. O valor da expressão 
     
 
f f 0 f 1,333
3f 2
   é: 
a) 
1
3
 
b) 
1
3

 
c) 1 
d) 1 
e) 
2
3
 
 
RESOLUÇÃO: d 
 f 1   
 
 0 f 0 1   
 
 
4
1,333 f 1,333 1
3
    
 
 2 f 2 1  
 
     
 
   f f 0 f 1,333 1 1 1
1
3 13f 2
      
 

 
 
 
36) (EsPCEx 1998) O domínio da função real 
1 1
y
x 3 5 x
 
 
 é: 
a) 
 3;5
 
b) 
 3; 
 
c) 
 5;3
 
d) 
   ; 3 5;   
 
e) 
 ;5
 
 
RESOLUÇÃO: a 
O domínio da função é dado por 
x 3 0 x 3    
 e 
5 x 0 x 5.   
 Assim, temos: 
 fD 3;5 . 
 
 
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37) (EsPCEx 1998) A função linear f, dada por 
 f x ax b, 
 satisfaz a condição 
   f 5x 2 5f x 2,  
 pode-se afirmar então que: 
a) 
a 2b
 
b) 
a b 2 
 
c) 
 a 2 b 2 
 
d) 
 a 2 b 1 
 
e) 
a 2b 1 
 
 
RESOLUÇÃO: e 
   f 5x 2 a 5x 2 b 5ax 2a b       
 
     f 5x 2 5f x 2 5ax 2a b 5 ax b 2 5ax 2a b 5ax 5b 2
2a 4b 2 a 2b 1
               
     
 
 
 
38) (EsPCEx 1998) Num sistema cartesiano de eixos, duas curvas A e B, se interceptam nos pontos 
 0,5
 e 
 0, 5 .
 Dentre as afirmações abaixo, a alternativa correta é: 
a) A e B são representações gráficas de funções do tipo 
 y f x ,
 com raízes 
 0,5
 e 
 0, 5 .
 
b) somente A ou B poderá ser representação gráfica de uma função do tipo 
 y f x .
 
c) A ou B é a representação gráfica da função dada por 
2y 25 x . 
 
d) A ou B é a representação gráfica da função dada por 
x 0.
 
e) nem a nem B poderá ser a representação gráfica de uma função do tipo 
 y f x .
 
 
RESOLUÇÃO: e 
Como ambas as curvas têm uma abscissa 0 que está relacionada com duas ordenadas 
5
 e 
5,
 então 
nenhuma delas pode ser a representação gráfica de uma função. 
No diagrama de flechas, do 0 estariam saindo duas flechas para o 5 e o 
5,
 o que não é permitido 
para funções. 
 
 
39) (EsPCEx 1997) Na função 
 f x 3x 2, 
 sabemos que 
 f a b 2 
 e 
 f b 2b a 
. O valor de 
  f f a
 é: 
a) 2 
b) 1 
c) 0 
d) 
1
 
e) 
2
 
 
RESOLUÇÃO: b 
 f a 3a 2 b 2 b 3a     
 
 f b 3b 2 2b a b 2 a      
 
Substituindo 
b 3a
 em 
b 2 a, 
 temos: 
3a 2 a a 1.   
 
 
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         f f a f f 1 f 3 1 2 f 1 3 1 2 1         
 
 
 
40) (EsPCEx 1997) Seja 
f : 
 uma função tal que 
 2 f x 5  
 e 
g : 
 dada por 
   g x 1 f x . 
 Então o conjunto imagem da função 
 g x
 é: 
a) 
 4,3
 
b) 
 4,3
 
c) 
 4,3
 
d) 
 3,4
 
e) 
 3,4
 
 
RESOLUÇÃO: a 
       2 f x 5 2 f x 5 3 1 f x 4 4 g x 3               
 
Logo, a imagem de g é 
 gIm 4,3 . 
 
 
 
41) (EsPCEx 1997) O domínio da função 
 
2x x 6
f x
3x 6
 


 é: 
a) 
   2,2 3,  
 
b) 
   2,0 2,3 
 
c) 
   0,2 3, 
 
d) 
   , 2 2,3  
 
e) 
   ,0 2,3 
 
 
RESOLUÇÃO: a 
Para que f esteja definida devemos ter   
 
2x x 6 x 3 x 2
0 0.
3x 6 3 x 2
   
  
 
 
O numerador possui raízes 3 e 
2
, e o denominador possui raiz 2. Dispondo essas raízes sobre a reta 
real, colocando “bola fechada” nas raízes do numerador e “bola aberta” nas raízes do denominador, 
podemos fazer o estudo de sinal dessa fração algébrica. 
 
Assim, temos: 
2 x 2 ou x 3   
, que em notação de intervalo é representado como 
   2,2 3, .  
 
 
 
 
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42) (EsPCEx 1996) A função f, de domínio real mais amplo possível, é tal que 
 
ax b 5
f x .
ax 3b
 


 
Sabendo que 
 f 3
 não existe e 
 f 1 1, 
 o valor de 2 2a b é: 
a) 
50
16
 
b) 
25
3
 
c) 
25
2
 
d) 
50
8
 
e) 
50
9
 
 
RESOLUÇÃO: c 
Se 
 f 3
 não existe, então 3 deve ser raiz do denominador de f, então 
a 3 3b 0 b a.     
 
Assim, f pode ser reescrita na forma 
 
ax a 5
f x .
ax 3a
 


 
 
 
 
a 1 a 5 2a 5 2a 5 5
f 1 1 2a 5 4a a
a 1 3a 4a 4a 2
      
         
   
 
2 2
2 25 5 5 5 25 25 25a b a a b
2 2 2 2 4 4 2
   
                
   
 
 
 
43) (EsPCEx 1995) As funções 
f : 
 e 
g : 
 são definidas por 
 f x 2x 3 
 e 
 g x 3x m 
. Se 
     f g x g f x ,
 então 
 f m
 vale: 
a) 3 
b) 6 
c) 9 
d) 12 
e) 15 
 
RESOLUÇÃO: e 
             f g x g f x f 3x m g 2x 3 2 3x m 3 3 2x 3 m
6x 2m 3 6x 9 m m 6
            
       
 
   f m f 6 2 6 3 15     
 
 
 
 
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44) (EsPCEx 1995) Sendo 
f : 
 definida por  
*
*
1
, se x
xf x
2, se x


 
  
 e 
g : 
 definida 
por 
 
1, se x
g x 1
, se x
2
 

 
 
, então 
  f g f g 2 2
 é igual a: 
a) 
1
 
b) 
1
2
 
c) 2 
d) 2
1
2

 
e) 
2
 
 
RESOLUÇÃO: a 
  12 2 g 2 2
2
     
 
  *1 1f g 2 2 f 2
2 2
 
      
 
 
     2 g f g 2 2 g 2 1     
 
      * 11 f g f g 2 2 f 1 1
1
        

 
       f g f g 2 2 f g f g 2 2 1    
 
 
 
45) (EsPCEx 1995) Sejam as funções 
 f : 3,   
 e 
 g : 2,  
, definidas 
respectivamente por 
  2f x 3x 3 
 e 
  2g x 2x 2. 
 Se 
    h x g f x ,
 então o valor de 
 1h 10 ,
 onde 1h x
 é a função inversa de 
 h x ,
 é: 
a) 10
3
 
b) 13
2
 
c) 15
5
 
d) 15
3
 
e) 13
3
 
 
RESOLUÇÃO: d 
 
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   1h 10 x h x 10   
 
            2 2h x g f x 10 2 f x 2 10 f x 4 f x 2          
 
O valor de 
 f x
 deve pertencer a 
gD 
, então 
 f x 2.
 
  2 2
15
f x 3x 3 2 3x 5 x
3
       
 
Como 
fD ,
 então devemos ter 15
x .
3

 
 
 
46) (EsPCEx 1995) Seja a função 
 f : 1,1 ,  
 definida por 
 
3
2
x
f x ,
x 1


 não inversível. 
Podemos afirmar que essa função é: 
a) bijetora e não par e nem ímpar. 
b) par e injetora. 
c) ímpar e injetora. 
d) par e sobrejetora. 
e) ímpar e sobrejetora. 
 
RESOLUÇÃO: e 
Vamos, inicialmente, analisar a paridade da função. 
 
 
 
 
3 3
2 2
x x
f x f x
x 1x 1
 
    
 
 
Portanto, 
 f x
 é uma função ímpar. 
Vamos analisar a sobrejetividade da função. 
Seja 
y
 um elemento do contradomínio de f, então 
 
3
3 2
2
x
f x y x yx y 0
x 1
     

 
Essa é uma equação do 
3
 grau e coeficientes reais. Por ter grau ímpar possui pelo menos uma raiz 
real, o que implica que existe 
x
 tal que 
 f x y.
 Entretanto, é preciso verificar se para algum 
valor de y, o valor de x é 
1
 ou 1, pois esses dois elementos não pertencem ao domínio de f. 
3 2x 1 1 y 1 y 0 1 0       
 
   3 2x 1 1 y 1 y 0 1 0          
 
Logo, 
1
 e 1 nunca são raízes da equação 
3 2x yx y 0,  
 o que implica que 
y 
 
(contradomínio de f), existe um 
 x 1,1  
 tal que 
 y f x .
 Isso garante que f é sobrejetora. 
Em relação à injetividade, podemos afirmar que a função não é injetora, pois o enunciado afirma que 
a função não é inversível. Se não é inversível, então não é bijetora. Se não é bijetora e é sobrejetora, 
conclui-se que não é injetora. 
Portanto, f é ímpar e sobrejetora. 
 
 
 
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47) (EsPCEx 1994) Considere as funções 
f : 
 e 
g : 
 definidas por 
 f x x 1 
 e 
  2g x 2x 3 
. O conjunto dos valores de x tais que 
    1f g x f x
 está contido em: 
a) 
 2,0
 
b) 
 1,2
 
c) 
 10, 2 
 
d) 
 1,10
 
 
RESOLUÇÃO: b 
Aplicando f nos dos lados da igualdade 
    1f g x f x ,
 temos: 
              
   
1 2 2
2 2 2
f f g x f f x f f g x x f f 2x 3 x f 2x 3 1 x
1
f 2x 2 x 2x 2 1 x 2x x 1 0 x ou x 1
2
         
              
 
Logo, o conjunto dos valores de x que satisfazem a expressão dada é 
   1 ,1 1,2 .
2
  
 
 
 
48) (AMAN 2005) Dadas as funções 
 f x x cos x 
 e 
 
x
x
1 2
g x ,
1 2



 com *x podemos afirmar 
que: 
a) ambas são ímpares 
b) f(x) é ímpar e g(x) não é par nem ímpar 
c) f(x) é ímpar e g(x) é par 
d) f(x) é par e g(x) é ímpar 
e) ambas são pares 
 
RESPOSTA: a 
 
RESOLUÇÃO: 
Para determinar a paridade de uma função f, devemos calcular 
 f x
 e verificar como esse 
resultado se relaciona com 
 f x .
 
       f x x cos x x cos x f x          
 f é uma função ímpar 
   
x x xx
x x x
x
1
1
1 2 2 1 1 22g x g x
11 2 2 1 1 21
2



  
        
  
 g é uma função ímpar