Geometria Analitica UERJ FEN lista 3 retas planos

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Geometria Anal´ıtica com Ca´lculo Vetorial I
Retas e Planos
Questa˜o 1. E´ poss´ıvel uma reta interceptar os treˆs planos coordenados? (apresente equac¸a˜o).
Questa˜o 2. Quantas retas passam por A = (−10, 1, 5) e sa˜o perpendiculares a um dos planos
coordenados? (apresente equac¸a˜o).
Questa˜o 3. Uma reta tem equac¸o˜es na forma sime´trica
x + 4
3
=
y − 6
−11 =
z − 2
3
Calcule dois pontos sobre ela, bem como dois vetores diretores, um unita´rio e outro de
norma 2.
Questa˜o 4. Determine as equac¸o˜es da reta que conte´m A = (−1, 7, 1) e e´ paralela a` reta de
equac¸o˜es parame´tricas
x = −3 + a
y = 5− 4a
z = −15 + 2a
Questa˜o 5. Estude a posic¸a˜o relativa de r :
x + 7
3
=
y − 1
4
=
z − 5
5
e s : (x, y, z) = (1,−20, 2)+
a(−4, 3, 2). Determine a equac¸a˜o vetorial de uma reta t que e´ perpendicular a r e s.
Questa˜o 6. Seja r a reta que passa por A = (2,−1, 5) e B = (4,−8, 1). Verifique se P =
(2, 11,−6) pertence a r e obtenha dois vetores diretores de r e dois pontos de r, distintos de A
e B.
Questa˜o 7. Determine a equac¸a˜o vetorial da reta r que conte´m (3, 4, 7), sabendo que o co-seno
do aˆngulo entre r e s :
x− 1
−4 =
y − 1
4
=
z − 1
−2 e´ −
4
21
e que as retas se interceptam.
Questa˜o 8. Determine a distaˆncia de r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + a(4, 5, 6) ate´ O.
Questa˜o 9. Determine a distaˆncia de P = (1,−1, 4) a r : x− 9
2
=
y + 4
−3 =
z − 1
2
.
Questa˜o 10. Determine a distaˆncia entre y = 3x− 1 e x− 2
3
=
y − 6
2
=
z − 5
−2 .
Questa˜o 11. Calcule a distaˆncia entre r :
x + 4
3
=
y
4
=
x + 5
−2 e s :


x = 21 + 6a
y = −5− 4a
z = 2− a
.
Questa˜o 12. Considere A = (16, 7, 4), B = (7,−2, 7) e r : X = (5, 3,−4)+a(1,−1, 1). Verifique
se existe ponto C sobre r, de modo que ABC seja retangular.
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 1 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1
Questa˜o 13. Obtenha dois pontos que distam 7 de r : (x, y, z) = (3, 1, 8) + a(−2, 3, 2) e se
encontram em um reta perpendicular a r que conte´m (3, 1, 8).
Questa˜o 14. Quais sa˜o as func¸o˜es de y e de z em relac¸a˜o a x para a reta que passa por
A = (−1, 9, 1) e B = (4,−1, 6)? Determine o ponto da reta mais pro´ximo de C = (5, 1, 3).
Questa˜o 15. Estabelec¸a equac¸o˜es vetorial, parame´trica e sime´trica da reta que passa por
(0,−8, 1) e tem inclinac¸o˜es indicadas por cosα = 2
7
, cosβ = −3
7
e cosγ =
6
7
. Qual e´ o ponto
sobre essa reta que se encontra mais pro´ximo da origem do sistema de coordenadas?
Questa˜o 16. A equac¸a˜o de um plano que conte´m pontos A = (xA, yA, zA), B = (xB, yB, zB)
e C = (xC , yC , zC), ja´ vimos em sala de aulas, e´ determinada da seguinte maneira: um ponto
D = (x, y, z) esta´ no plano se e somente se−→u .−→v ∧−→w = 0, em que−→u = −−→AD,−→v = −→AB e−→w = −→AC.
Desenvolvendo-se essa equac¸a˜o vetorial, teremos uma equac¸a˜o da forma ax + by + cz = d, em
que x, y, z sa˜o as coordenadas de qualquer ponto no plano e a, b, c, d sa˜o nu´meros fixos que
caracterizam o plano. Ache a equac¸a˜o do plano que conte´m os pontos A = (2,−1, 1), B =
(3, 2,−1) e C = (−1, 3, 2). Analise qual e´ o significado geome´trico dos coeficientes a, b, c. Use
um ponto e dois vetores para determinar as coordenadas de qualquer ponto do plano.
Questa˜o 17. Quais sa˜o as equac¸o˜es gerais dos planos coordenados?
Questa˜o 18. Determine as equac¸o˜es gerais dos planos que conteˆm (3,−2, 4) e sa˜o paralelos,
um a Oxy, outro a Oxz outro a Oyz.
Questa˜o 19. Estabelec¸a todas as equac¸o˜es poss´ıveis para o plano que conte´m A = (1, 2, 3) e
e´ ortogonal a −→v = (−2, 1, 5).
Questa˜o 20. Ha´ um u´nico plano que conte´m O,A = (−1,−2, 3) e B = (3, 7, 1). Certo?
Estabelec¸a as equac¸o˜es desse plano.
Questa˜o 21. Determine a intersec¸a˜o entre x + 2y − z − 1 = 0 e 2x + y − z − 1 = 0.
Questa˜o 22. Sejam A = (7, 11, 8) e B = (10,−1, 5). Determine as coordenadas de um ponto
X tal que d(A,X) = d(B,X) = 9 e X dista 2 do plano−xy.
Questa˜o 23. Determine as equac¸o˜es do plano que conte´m A = (7, 2, 1) e e´ paralelo a −→u =
(1,−1, 2) e −→v = (3, 2, 1).
Questa˜o 24. Sejam Π e Σ planos distintos que admite os mesmos vetores diretores −→u =
(4, 5,−6) e −→v = (1,−1, 1). O queˆ na equac¸a˜o geral diferencia um plano de outro?
Questa˜o 25. Sejam Π e Σ os planos de intersec¸a˜o (x, y, z) = (1, 1, 2)+a(5,−1,−1), o primeiro
conte´m A = (5, 6, 7) e o segundo, B = (1, 1, 1). Qual e´ o aˆngulo formado pelos planos?
Questa˜o 26. Considere Π: x+8y +13z− 7 = 0 e −→a = (1, 5, 12). Determinar −→x ‖ Π e −→y ⊥ Π
tais que −→a = −→x +−→y .
Questa˜o 27. Considere Π: (x, y, z) = (3, 2,−2)+p(5, 2, 3)+ q(1, 1, 1) e Σ: 3x+y−7z +3 = 0.
1) Estabelec¸a a intersecc¸a˜o e o aˆngulo entre os planos.
2) Algue´m diz ”devido ao valor do aˆngulo formado por aqueles planos, na˜o existem pontos
P ∈ Π, S ∈ Σ, A ∈ Π ∩ Σ tais que APS seja retangular”. O que voceˆ acha dessa afirmac¸a˜o?
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Questa˜o 28. Considere A = (6,−1, 2) e Π: 3x− 15y + z + 2 = 0. Determine o ponto A′ sobre
Π que esta´ mais pro´ximo de A.
Questa˜o 29. Determine a distaˆncia de Π: (x, y, z) = (1, 1, 7) + a(2,−1, 1) + b(7, 8, 1) ate´ O.
Questa˜o 30. Considere o plano (x, y, z) = (1, 0,−5) + p(10, 3, 2) + q(1, 1, 7). Determinar as
intersec¸o˜es com os planos coordenados. Qual e´ o ponto do plano mais pro´ximo de O?
Questa˜o 31. Sa˜o consideradas r :
x + 5
−2 =
y − 8
2
=
z + 2
−1 e s :


x = 1 + 2k
y = 5 + k
z = 7− 2k
. Verifique se
verdadeiro ou falso.
1) r e s sa˜o paralelas.
2) Um reta dista 3 da outra.
3) As retas formam aˆngulo de 90o.
4) Existe plano equ¨idistante das retas.
Questa˜o 32. Determine um ponto que dista 7 de 2x + y + 2z − 3 = 0. Determine uma reta
paralela ao plano, cuja distaˆncia e´ 3. Mostre que o plano separa A = (3, 2, 1) de B = (1,−5,−6),
isto e´, os pontos esta˜o em lados opostos da superf´ıcie.
Questa˜o 33. Determine equac¸a˜o geral do plano que conte´m r :
x
2
= y = z − 1, equ¨idista de
A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0), e separa A de B.
Questa˜o 34. Admita A = (5,−1, 2) e o plano Π que conte´m B = (1, 1, 1), C = (3, 2, 3) e
D = (4,−2, 4). Calcule uma equac¸a˜o para uma reta r que conte´m A e e´ paralela a Π. Calcule
o aˆngulo formado pela reta s e Π, sabendo que A,B ∈ s.
Questa˜o 35. Obtenha equac¸a˜o vetorial da reta r que conte´m P = (3, 0, 3), e´ paralela a Π: 2x+
2y − z + 1 = 0 e forma 45o com Σ: x + 4y + z + 4 = 0.
Questa˜o 36. Qual e´ a equac¸a˜o geral do plano que conte´m M = (8, 6, 5) e r : X = (4, 10, 1) +
a(6,−6, 7)? Determine o ponto do plano mais pro´ximo de N = (3, 3, 1).
Questa˜o 37. Qual e´ a equac¸a˜o geral do plano que conte´m P = (3,−2,−1) e a reta que passa
por A = (2, 1,−5) e B = (−1, 3, 4)? Descreva a intersecc¸a˜o deste plano com Oxy.
Questa˜o 38. Determine um vetor normal a 3x + 5y + 4z − 1 = 0 de norma 10. Calcule a
equac¸a˜o de duas retas horizontais sobre o plano dado.
Questa˜o 39.
←→
AB e
←→
AC sa˜o projetadas sobre Σ: x+y +z +1 = 0. Considere A = (1, 3, 6), B =
(4, 2, 1), C = (5, 4,−1). Determine o aˆngulo que surge sobre Σ. Calcule a a´rea do triaˆngulo que
surge sobre Σ.
Questa˜o 40. Considere Π: 17x + 4y + 3z − 39 = 0, Σ: (x, y, z) = (1, 1, 6) + a(2,−3,−2) +
b(1,−2,−3) e r : X = (2,−1, 3) + k(−2, 4, 6). Estude cada afirmac¸a˜o seguinte.
1) s :
x− 3
−1 =
y + 2
3
=
z − 4
−1 na˜o intercepta Π.
2) s intercepta Σ segundo aˆngulo inferior a 30o.
3) Π ∩ Σ = r.
4) Os planos formam aˆngulo numericamente igual a arccos
3
√
273
91
.
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 3 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1
Questa˜o 41. Considere Π: 3x − 5y + 2z − 4 = 0 e r : X = (2, 1, 2) + a(1, 3,−2). Qual e´ o
aˆngulo que r fazcom Π ? Determine a distaˆncia de (2, 1, 2) a Π.
Questa˜o 42. Existe ponto, sobre a reta que conte´m A = (1,−1, 1), B = (3, 2,−1), cuja
distaˆncia de Π(x, y, z) = (4,−1, 1) + p(1, 2, 3) + q(7, 1, 6) e´ 5?
Questa˜o 43. Obtenha a intersec¸a˜o de Π: x + 2y − 3z + 4 = 0 com a reta que passa pelos
pontos (1,−3,−2) e (−2, 1, 1).
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R E S P O S T A S
Resposta Q1 - Pense na reta de equac¸a˜o vetorial X = (1, 1, 1)+a(2, 1, 4). A intersecc¸a˜o com
Oxy determina que z = 0 e da´ı a = −1
4
, e´ o ponto (
1
2
,
3
4
, 0). Para a intersecc¸a˜o com Oxz, o
ponto deve ter y = 0 e a = −1, logo e´ o ponto (−1, 0,−3). E a intersecc¸a˜o com Oyz estabelece
que x = 0 e a = −1
2
, e´ o ponto (0,
1
2
,−1). >
Resposta Q2 - Como visto em sala de aulas, (0, 1, 5) ∈ Oyz e, assim, a reta r : X = (0, 1, 5)+
a−→e1 = (0, 1, 5) + a(1, 0, 0) e´ perpendicular a Oyz. (−10, 0, 5) ∈ Oxz e s : X = (−10, 0, 5) +
a−→e2 = (−10, 0, 5) + a(0, 1, 0) e´ perpendicular a Oxz. E (−10, 1, 0) ∈ Oxy, de modo que
t : X = (−10, 1, 0) + a−→e3 = (−10, 1, 0) + a(0, 0, 1) e´ perpendicular a Oxy. >
Resposta Q3 - Tome valor para x e obtenha os respectivos valores funcionais para y e z;
assim, (1,−37
3
, 7) e (2,−16, 8) sa˜o exemplos de pontos sobre a reta. Usando o vetor diretor
(3,−11, 3) presente na equac¸a˜o, dois outros sa˜o 1√
139
(3,−11, 3) e − 2√
139
(3,−11, 3). >
Resposta Q4 - Claro que (1,−4, 2) e´ um vetor diretor para a reta procurada, e assim sua
equac¸a˜o vetorial e´ (x, y, z) = (−1, 7, 1) + a(1,−4, 2). As equac¸o˜es parame´tricas sa˜o
x = −1 + a
y = 7− 4a
z = 1 + 2a
e as equac¸o˜es sime´tricas,
x + 1
1
=
y − 7
−4 =
z − 1
2
. >
Resposta Q5 - A substituic¸a˜o, na equac¸a˜o de r, de x por 1 − 4a, y por −20 + 3a e z por
2 + 2a conduz a
8− 4a
3
=
−21 + 3a
4
=
−3 + 2a
5
sem soluc¸a˜o, logo as retas na˜o se interceptam
(= na˜o teˆm ponto em comum). E os vetores diretores (3, 4, 5) e (−4, 3, 2) sa˜o evidentemente
L.I., logo as retas sa˜o reversas.
Π
r
s
B
.
s
rA
.
A ide´ia e´ determinar A ∈ r e B ∈ s, tais que −→AB ⊥
−→r e −→AB ⊥ −→s . De fato, A = (−7 + 3p, 1 + 4p, 5 +
5p), B = (1− 4q,−20+3q, 2+2q) e −→AB = (−3p− 4q +
8,−4p + 3q − 21,−5p + 2q − 3), e surge o sistema de
equac¸o˜es
−→
AB.−→r = 10p− 2q + 15 = 0
−→
AB.−→s = 10p− 29q + 101 = 0
cuja soluc¸a˜o e´ p = −233
270
, q =
86
27
. Desse modo, A = (−863
90
,−331
135
,
37
54
),
−→
AB =
(−581
270
,−1079
135
,
415
54
) e t : X = (−863
90
,−331
135
,
37
54
) + a(−581
270
,−1079
135
,
415
54
). >
Resposta Q6 - A reta tem equac¸o˜es sime´tricas
x− 2
2
=
y + 1
−7 =
z − 5
−4 , que sa˜o boas para
testar pontos. Substitu´ındo-se as coordenadas de P nessas, obte´m-se
2− 2
2
6= 11 + 1−7 e fica
estabelecido que P 6∈ r. Dois vetores diretores sa˜o 3−→AB = (6,−21,−12) e −2−→AB = (−4, 14, 8).
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Os pontos A e B esta˜o associados aos paraˆmetros 0 e 1, respectivamente, escolha quaisquer
outros valores diferentes desses para conseguir dois pontos distintos, digamos C = (2,−1, 5) +
2(2,−7,−4) = (6,−15,−3) e D = (2,−1, 5) + 5(2,−7,−4) = (12,−36,−15). >
Resposta Q7 - r passa por s em (x, y, z) = (1 − 4a, 1 + 4a, 1 − 2a) e por (3, 4, 7), logo
−→r .−→s = (2 + 4a, 3 − 4a, 6 + 2a).(−4, 4,−2) = −8 − 36a = √36a2 + 16a + 49 6(− 4
21
) ⇒
√
36a2 + 16a + 49 =
14 + 63a
2
⇒ 36a2 + 16a + 49 = 3969a
2 + 1764a + 196
4
⇒ a = 0 ou
a = −4
9
. Para a = 0, o ponto comum e´ (1, 1, 1) e enta˜o r : X = (1, 1, 1) + b(2, 3, 6). E para
a = −4
9
, o ponto comum e´ (
25
9
,−7
9
,
17
9
) e r : X = (
25
9
,−7
9
,
17
9
) + b(
2
9
,
43
9
,
46
9
). >
Resposta Q8 - Tomando-se A = (1, 2, 3), B = (5, 7, 9) ∈ r, a distaˆncia de O a` r e´ igual a
|−→AO ∧ −→AB|
|−→AB|
=
√
54
77
. >
Resposta Q9 - Escolha dois pontos em r, digamos (9,−4, 1) e (11,−7, 3), ligue um deles com
P para formar um vetor, digamos (−8, 3, 3). Enta˜o, a distaˆncia e´ igual a |(−8, 3, 3) ∧ (2,−3, 2)||(2,−3, 2)| =√
1033
17
. >
Resposta Q10- Comece por escolher um ponto de r : y = 3x − 1, digamos A = (0,−1, 0),
um ponto de s :
x− 2
3
=
y − 6
2
=
z − 5
−2 , digamos B = (2, 6, 5), com os quais se estabelece−→
AB = (2, 7, 5). Um vetor diretor de r e´ (1, 3, 0) e enta˜o −→r ∧ −→s = (−6, 2,−7). Assim, a
distaˆncia e´ igual a
|−→AB.−→r ∧ −→s |
|−→r ∧ −→s | =
|(2, 7, 5).(−6, 2, 7)|
|(−6, 2, 7)| =
√
37
89
.
Alguns esclarecimentos. y = 3x−1 estabelece a reta r ⊂ plano-xy, cujos pontos sa˜o da forma
(x, 3x− 1, 0), por exemplo (0,−1, 0) e (1, 2, 0). Com esses, tira-se o vetor −→r = (1, 3, 0) diretor
de r. Esse e o vetor diretor −→s = (3, 2,−2) de s sa˜o claramente L.I., as retas na˜o sa˜o paralelas.
s intercepta o plano-xy no ponto (
19
2
, 11, 0), o qual na˜o pertence a` reta r. Isto significa que as
retas na˜o teˆm ponto comum. Enta˜o, sa˜o reversas e a distaˆncia calculada e´ geometricamente a
distaˆncia de A ao plano que conte´m s e e´ paralelo a r, ou seja,
|−→AB.−→r ∧ −→s |
|−→r ∧ −→s | . >
Resposta Q11 - Usando A = (−4, 0,−5) ∈ r, B = (21,−5, 2) ∈ s, a distaˆncia e´ exatamente
|(25,−5, 7).(3, 4,−2) ∧ (6,−4,−1)|
|(3, 4,−2) ∧ (6,−4,−1)| =
√
3
3
. >
Resposta Q12 - A ide´ia e´ investigar por valor de a, tal que
−→
AC.
−−→
BC = 0. Ora,
−→
AC =
(−11 + a,−4 − a,−8 + a), −−→BC = (−2 + a, 5 − a,−11 + a) e o produto escalar determina
3a2 − 33a + 90 = 0. Resolvendo com a fo´rmula quadra´tica, tem-se a = 6. Agora, substitua
a = 6 na equac¸a˜o vetorial da reta e o resultado e´ o ponto C = (11,−3, 2)! >
Resposta Q13 - Um vetor ortogonal a −→r = (−2, 3, 2) verifica −2x + 3y + 2z = 0, digamos
(1, 0, 1). Enta˜o, −→v = 7√
2
(1, 0, 1) = (
7√
2
, 0,
7√
2
) e´ ortogonal e mede 7. Portanto, A = (3, 1, 8)+
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 6 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1
(
7√
2
, 0,
7√
2
) = (
6 + 7
√
2
2
, 1,
16 + 7
√
2
2
) e B = (3, 1, 8)− ( 7√
2
, 0,
7√
2
) = (
6− 7√2
2
, 1,
16− 7√2
2
)
sa˜o dois pontos como no enunciado. >
Resposta Q14 - A reta tem equac¸o˜es sime´tricas
x + 1
5
=
y − 9
−10 =
z − 1
5
, de sorte que
y = −2x + 7 e z = x + 2. Assim, todo ponto dessa reta e´ da forma (x,−2x + 7, x + 2).
O ponto P dessa reta mais pro´ximo de C faz com que
−→
CP.(1,−2, 1) = (x − 5, y − 1, z −
3).(1,−2, 1) = x− 2y + z− 6 = 0, logo x− 2(−2x+7)+x+2− 6 = 0, x = 3 e P = (3, 1, 5). >
Resposta Q15 - Claro que o vetor diretor −→r = (r1, r2, r3) da reta verifica −→r .−→e1 = r1 =
|−→r |2
7
, −→r .−→e2 = r2 = −|−→r |3
7
, −→r .−→e3 = r3 = |−→r |3
7
. Fixando a norma desse vetor em 1, trata-
se de −→r = (2
7
,−3
7
,
6
7
)! Portanto, as equac¸o˜es solicitadas sa˜o X = (0,−8, 1) + a(2
7
,−3
7
,
6
7
),

x =
2a
7
y = −8− 3a
7
z = 1 +
6a
7
e
x
2
7
=
y + 8
−3
7
=
z − 1
6
7
. >
Resposta Q16 - (x− 2, y + 1, z − 1).(1, 3,−2)∧ (−3, 4, 1) = (x− 2, y + 1, z − 1).(11, 5, 13) =
11x + 5y + 13z − 30 = 0 e 11x + 5y + 13z = 30. Fica evidente que os coeficientes a = 11, b =
5, c = 13 sa˜o precisamente as coordenadas de um vetor ortogonal ao plano. Pela teoria de
soma de ponto e vetor, e soma de vetores, segue que qualquer ponto do plano e´ da forma
X = A + p
−→
AB + q
−→
AC = (2,−1, 1) + p(1, 3,−2) + q(−3, 4, 1). >
Resposta Q17 - −→e3 e´ ortogonal a Oxy, logo a equac¸a˜o geral e´ 0x + 0y + 1z + d = 0. Como
(0, 0, 0) pertence ao plano, segue que d = 0 e a equac¸a˜o geral e´ z = 0. Mesmo racioc´ınio levaa
Oxz de equac¸a˜o geral y = 0 e Oyz, x = 0. >
Resposta Q18 - O plano paralelo a Oxy tem vetor normal (0, 0, 1), logo a equac¸a˜o geral e´
0x + 0y + 1z + d = 0, isto e´, z + d = 0, sendo que a subtituic¸a˜o das coordenadas do ponto dado
leva a d = −4. Portanto, o plano tem equac¸a˜o geral z− 4 = 0. Analogamente, o plano paralelo
a Oxz tem equac¸a˜o y + 2 = 0. E o plano paralelo a Oyz, x− 3 = 0. >
Resposta Q19 - Os coeficientes a, b, c da equac¸a˜o geral sa˜o −2, 1, 5, respectivamente. Usando
as coordenadas de A, obte´m-se d = −15 e, enta˜o, −2x+y+5z−15 = 0 e´ a equac¸a˜o geral. Para
as equac¸o˜es na forma parame´trica sa˜o necessa´rios dois vetores diretores L.I., que sa˜o paralelos
ao plano, isto e´, (v1, v2, v3) verificando −2v1 + v2 + 5v3 = 0. Servem −→v = (1,−8, 2) e −→u =
(3, 11,−1). Portanto, o plano tem equac¸a˜o vetorial (x, y, z) = (1, 2, 3)+p(1,−8, 2)+q(3, 11,−1)
e equac¸o˜es parame´tricas 

x = 1 + p + 3q
y = 2− 8p + 11q
z = 3 + 2p− q
>
Resposta Q20 - Tome
−→
OA = (−1,−2, 3) e −−→OB = (3, 7, 1) como vetores diretores, o´bvio
L.I. A equac¸a˜o vetorial e´ (x, y, z) = p(−1,−2, 3) + q(3, 7, 1), as equac¸o˜es parame´tricas sa˜o

x = −p + 3q
y = −2p + 7q
z = 3p + q
. Para a equac¸a˜o geral, tome
−→
OA ∧ −−→OB = (−23, 10,−1) como vetor normal
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 7 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1
e, enta˜o, −23x + 10y − z = 0. >
Resposta Q21 - Resolva o sistema de equac¸o˜es
{
x + 2y − z − 1 = 0
2x + y − z − 1 = 0 . A soluc¸a˜o indica
y = x, z = 3x− 1, que pode ser reescrita na forma
x = 0 + a
y = 0 + a
z = −1 + 3a
Obviamente e´ a reta que passa por (0, 0,−1) com direc¸a˜o de −→r = (1, 1, 3). >
Resposta Q22 - A condic¸a˜o ”dista 2 do plano−xy”significa que a cota de X e´ 2. Por um
lado, d(A,X) = (x−7)2+(y−11)2+36 = 81 implica em x2+y2−14x−22y+125 = 0, por outro
lado, d(B,X) = (x− 10)2 + (y + 1)2 + 9 = 81 leva a x2 + y2− 20x + 2y + 29 = 0. Subtra´ındo-se
uma equac¸a˜o de 2o grau de outra, ocorre 6x− 24y + 96 = 0 e y = x
4
+ 4. Substitu´ındo-se y na
primeira equac¸a˜o de 2o grau, tem-se 17x2 − 280x + 848 = 0 e x = 280± 144
34
, isto e´, x =
212
17
e
x = 4. Os pontos (
212
17
,
121
17
, 2) e (4, 5, 2) sa˜o soluc¸a˜o do problema. >
Resposta Q23 - Tal plano tem equac¸a˜o geral (x, y, z) = (7, 2, 1) + p(1,−1, 2) + q(3, 2, 1),
equac¸o˜es parame´tricas


x = 7 + p + 3q
y = 2− p + 2q
z = 1 + 2p + q
e equac¸a˜o geral −x + y + z + 4 = 0. >
Resposta Q24 - Vamos tomar Π: p1x + p2y + p3z + p4 = 0 e Σ: s1x + s2y + s3z + s4 = 0.
Ora, −→u ∧ −→v = (−1,−10,−9) e, pelo desenvolvimento da equac¸a˜o geral de um plano, p1 =
−1, p2 = 10, p3 = −9, s1 = −1, s2 = 10 e s3 = −9. Portanto, Π: − x + 10y − 9z + p4 = 0 e
Σ: − x + 10y− 9z + s4 = 0, e se conclui que sa˜o os nu´meros p4 e s4 que diferenciam os planos,
evidentemente paralelos. >
Resposta Q25 - Π suporta os pontos (1, 1, 2) e A, com os quais se tem −→u = (4, 5, 5), Σ
suporta (1, 1, 2) e B, os extremos de −→v = (0, 0, 1). Assim, −→u ∧ (5,−1,−1) = (0, 29,−29) e´
ortogonal a Π, −→v ∧ (5,−1,−1) = (1, 5, 0) e´ ortogonal a Σ. Esses vetores forma aˆngulo igual a
46, 1021o, que e´ o aˆngulo formado pelos planos. >
Resposta Q26 - Basta que −→y = k(1, 8, 13), para algum k ∈ R, e −→x = (a, b, c), com a + 8b +
13c = 0. Portanto, (1, 5, 12) = (a, b, c) + k(1, 8, 13)⇒ a = 1− k, b = 5− 8k e c = 12− 13k ⇒
1−k+8(5−8k)+13(12−13k) = 0⇒ k = 197
234
⇒ −→x = ( 37
234
,−203
117
,
19
18
) e −→y = (197
234
,
788
117
,
197
18
).
>
Resposta Q27 - 1) E´ indicado obter a equac¸a˜o geral de Π, que e´ −x − 2y + 3z + 13 = 0.
A intersecc¸a˜o e´ o conjunto soluc¸a˜o do sistema
{
−x− 2y + 3z + 13 = 0
3x + y − 7z + 3 = 0 , ou seja, os pontos
de coordenadas x = a, y =
2
11
a +
100
11
, z =
5
11
a +
19
11
(a ∈ R), os quais claramente formam a
reta r : (x, y, z) = (0,
100
11
,
19
11
) + a(11, 2, 5). O vetor (−1,−2, 3) normal a Π e o vetor (3, 1,−7)
normal a Σ formam arccos− 26√
826
= 154, 777o, portanto o aˆngulo formado pelos planos e´ igual
a 180o − 154, 777o = 25, 223o, bem menor do que 90o.
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 8 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1
P
P
.
S
A
S .
.
2) Note que (A,P ) ∈ Π, (A, S) ∈ Σ implicam em −→AP =
p1(5, 2, 3) + p2(1, 1, 1) e
−→
AS = s1(11, 2, 5) + s2(7,−14, 1).
Logo,
−→
AP.
−→
AS = p1s1(5, 2, 3).(11, 2, 5)+p1s2(5, 2, 3).(7,−14, 1)+
p2s1(1, 1, 1).(11, 2, 5)+p2s2(1, 1, 1).(7,−14, 1) = 74p1s1+10p1s2+
18p2s1 − 6p2s2 = 0. As escolhas p1 = 1, p2 = 2, s1 = 1
5
, s2 = 11
sa˜o va´lidas e, desse modo,
−→
AP = (7, 4, 5) e
−→
AS = (
396
5
,−768
5
, 12)
sa˜o ortogonais. >
Resposta Q28 - A′ = (x, y, z) ∈ Π e´ tal que −−→AA′ = a(3,−15, 1) = (x − 6, y + 1, z − 2) =
(3a,−15a, a). Portanto, 3(6 + 3a)− 15(−1− 15a) + 2 + a + 2 = 235a + 37 = 0 leva a a = − 37
235
e A′ = (6,−1, 2) + (−111
235
,
111
47
,− 37
235
) = (
1299
235
,
64
47
,
433
235
). >
Resposta Q29 - Basta fixar um ponto do plano e um vetor ortogonal a ele, digamos A =
(1, 1, 7) e −→n = (−72, 40, 27); enta˜o a distaˆncia e´ igual a |
−→
AO.−→n |
|−→n | =
157
√
7513
7513
. >
Resposta Q30 - E´ melhor trabalhar com a equac¸a˜o geral do plano, que e´ 19x−68y+7z+16 =
0. Assim, as intersecc¸o˜es com Oxy,Oxz e Oyz sa˜o, respectivamente, as retas de equac¸a˜o geral
19x − 68y + 16 = 0, 19x + 7z + 16 = 0 e −68y + 7z + 16 = 0. O ponto P mais pro´ximo e´
tal que
−→
OP = k(19,−68, 7). Assim P = (19k,−68k, 7k) e a substituic¸a˜o de valores na equac¸a˜o
geral determina k = − 8
2517
. Em consequ¨eˆncia, P = (− 152
2517
,
544
2517
,− 56
2517
). >
Resposta Q31 - 1) −→r = (−2, 2,−1) e −→s = (2, 1,−2) sa˜o claramente L.I., logo as retas na˜o
sa˜o paralelas.
2) Sendo P = (−5, 8,−2) ∈ r e Q = (1, 5, 7) ∈ s, a distaˆncia entre essas retas reversas e´
igual a
|(6,−3, 9).(−2, 2,−1) ∧ (2, 1,−2)|
|(−2, 2,−1) ∧ (2, 1,−2)| = 6.
3) −→r .−→s = 0, sa˜o retas reversas ortogonais.
4) Visto que as retas sa˜o reversas, com certeza existe tal plano. Vamos ver. Deve-se obter
R ∈ r e S ∈ s tais que −→RS.−→r = −→RS.−→s = 0. Ora, R = (−5 − 2a, 8 + 2a,−2 − a), S =
(1+2b, 5+ b, 7− 2b), −→RS = (6+2a+2b,−3− 2a+ b, 9+a− 2b), logo
{
−9a− 27 = 0
−9 + 9b = 0 admite
soluc¸a˜o a = −3, b = 1. Desse modo, R = (1, 2, 1) e S = (3, 6, 5). Agora, o ponto me´dio de RS
e´ (2, 4, 3) e constitui um ponto do plano em ana´lise. Esse admite −→r ∧−→s = (−3,−6,−6) como
vetor normal e, portanto, −3x−6y−6z +48 = 0 e´ uma equac¸a˜o geral do plano. Outras formas
sa˜o −x− 2y − 2z + 16 = 0 e x + 2y + 2z − 16 = 0. >
Resposta Q32 - O ponto P = (1, 1, 0) pertence ao plano, que tem vetor normal −→n = (2, 1, 2)
de norma 3, logo P +
7
3
−→n = (17
3
,
10
3
,
14
3
) e´ um ponto como no enunciado.
Basta determinar −→r = (x, y, z) perpendicular a −→n para ser vetor diretor da reta. Por
exemplo, −→r = (1,−4, 1). Visto que P pertence ao plano, o ponto P +−→n = (1, 1, 0)+(2, 1, 2) =
(3, 2, 2) dista 3 do plano, logo uma reta e´ de equac¸a˜o vetorial (x, y, z) = (3, 2, 2) + a(1,−4, 1).
Claro que existe uma infinidade de respostas, dependendo da escolha de −→r e de P .
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 9 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1
A reta por A, perpendicular ao plano, e´ de equac¸a˜o vetorial (x, y, z) = (3, 2, 1) + a(2, 1, 2)
e intercepta o plano no ponto A′ = (
13
9
,
11
9
,−5
9
). E a reta por B, tambe´m perpendicular ao
plano, tem equac¸a˜o vetorial (x, y, z) = (1,−5,−6) + b(2, 1, 2) e intercepta o plano no ponto
B′ = (5,−3,−2). Veˆ-se que −−→A′A = (14
9
,
7
9
,
14
9
) =
7
9
−→n e −−→B′B = (−4,−2,−4) = −2−→n teˆm
sentido contra´rio, indicando claramenteque A e B esta˜o em lados opostos do plano.
Nota. Ha´ um outro modo, considere a reta que passa por A e B, determine a intersecc¸a˜o C
com o plano e verique que
−→
CA e
−−→
CB teˆm sentido contra´rio. >
Resposta Q33 - Se −→n = (u, v, w) aponta para o semi-espac¸o que conte´m A, enta˜o −−→n aponta
para o semi-espac¸o que conte´m B. Bem fa´cil ver que C = (0, 0, 1) esta´ na superf´ıcie. Devido
a` condic¸a˜o de equ¨idistaˆncia,
−→
CA.−→n
|−→n | =
−−→
CB.−→n
|−→n | ⇒ (1, 0,−1).(u, v, w) = −(0, 1,−1).(u, v, w) ⇒
w =
u + v
2
(1). E −→n e´ ortogonal a −→r = (2, 1, 1), logo 2u+ v +w = 0 (2). A soluc¸a˜o do sistema
de equac¸o˜es (1) e (2) e´ v = −5u
3
e w = −u
3
, de modo que −→n = (u,−5u
3
,−u
3
) = −u
3
(−3, 5, 1).
Assim o plano tem equac¸a˜o −3x + 5y + z − 1 = 0. >
Resposta Q34 - Por exemplo, a reta paralela a
−−→
BC = (2, 1, 2) tem equac¸a˜o vetorial X =
(5,−1, 2) + p(2, 1, 2). Um vetor normal ao plano e´ −→n = (9, 0,−9), e −→s = (4,−2, 1) e´ um vetor
diretor de s. Portanto, a(s, Π) = 90o − arccos( 27
9
√
2
√
21
) = 27, 575o. >
Resposta Q35 - Seja −→r = (u, v, w) um vetor diretor da reta. O vetor −→p = (2, 2,−1) normal
a Π verifica −→r .−→p = 2u + 2v − w = 0 e enta˜o w = 2u + 2v. E −→s = (1, 4, 1) normal a Σ
forma 45o com −→r , logo u + 4v + w = √18√u2 + v2 + w2
√
2
2
. A substituic¸a˜o de w por 2u + 2v
na equac¸a˜o precedente leva a u + 4v + 2u + 2v = 3u + 6v = 3
√
u2 + v2 + 4u2 + 8uv + 4v2 =
3
√
5u2 + 5v2 + 8uv ⇒ 9u2 +36uv+36v2 = 9(5u2 +5v2 +8uv)⇒ 4u2 +4uv+v2 = 0⇒ u = −v
2
ou v = −2u. Portanto, −→r = (u,−2u,−2u) = u(1,−2,−2) e r : X = (3, 0, 3) + k(1,−2,−2). >
Resposta Q36 - O ponto (4, 10, 1) e os vetores (1,−1, 1) e (6,−6, 7) servem, enta˜o x+y−14 =
0. O ponto P do plano e´ tal que
−−→
NP = k(1, 1, 0), logo x = 3 + k, y = 3 + k, z = 1 sa˜o as
coordenadas de P . Por substituic¸a˜o, P = (7, 7, 1). >
Resposta Q37 - Considerando P e o vetor normal
−→
AP ∧ −−→BP = 7(5, 3, 1), a equac¸a˜o geral e´
5x + 3y + z − 8 = 0. E´ a reta dada por 5x + 3y − 8 = 0. >
Resposta Q38 - Serve
10√
50
(3, 5, 4) =
√
2(3, 5, 4). Para determinar retas horizontais contidas
no plano (existe uma infinidade delas em qualquer plano), basta fazer a intersec¸a˜o do plano
com qualquer plano horizontal [z = p], o resultado e´ a reta de equac¸a˜o 3x + 5y + 4p − 1 = 0.
Tome, por exemplo, p = 1 e p = 2 e as retas sa˜o 3x + 5y + 3 = 0 e 3x + 5y + 7 = 0. >
Resposta Q39 - Sejam A′, B′ e C ′ os pontos projetados em questa˜o. Observe que
−−→
A′A =
a−→n ,−−→B′B = b−→n e −−→C ′C = c−→n , em que −→n = (1, 1, 1) e´ normal a Σ. Assim, (1− x, 3− y, 6− z) =
(a, a, a) ⇒ x = 1 − a, y = 3 − a, z = 6 − a e 1 − a + 3 − a + 6 − a + 1 = 11 − 3a = 0, logo
a =
11
3
e A′ = (−8
3
,−2
3
,
7
3
). Do mesmo modo, (4− x, 2− y, 1− z) = (b, b, b)⇒ x = 4− b, y =
2− b, z = 1− b e 4− b+2− b+1− b+1 = 8− 3b = 0, logo b = 8
3
e B′ = (
4
3
,−2
3
,−5
3
). Por fim,
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 10 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1
(5−x, 4−y,−1−z) = (c, c, c)⇒ x = 5−c, y = 4−c, z = −1−c e 5−c+4−c−1−c+1 = 9−3c = 0,
logo c = 3 e C ′ = (2, 1,−4). Claro agora que o aˆngulo entre as retas projetadas e´ o aˆngulo
formado por
−−→
A′B′ = (4, 0,−4) e −−→A′C ′ = (14
3
,
5
3
,−19
3
), qual seja 14,7047o.
O´bvio que a a´rea e´ numericamente igual a
|(4, 0,−4) ∧ (14
3
,
5
3
,−19
3
)|
2
=
10
√
3
3
. >
Resposta Q40 - 1) Escrevendo y e z em func¸a˜o de x, tem-se y = −3x + 7, z = x + 1.
Substituindo-se na equac¸a˜o do plano vem que x = 1, y = 4, z = 2, ou seja, a reta corta o plano
no ponto (1, 4, 2).
Outro modo. O vetor diretor de s e o vetor normal de Π na˜o sa˜o ortogonais, isto estabelece
inequivocamente que a reta corta o plano.
2) Um vetor normal ao plano e´ (5, 4,−1), logo α = arccos (5, 4,−1).(−1, 3,−1)√
462
= 68, 149o.
Esse e´ o aˆngulo entre o vetor normal e o vetor diretor de s, logo o aˆngulo entre s e Σ e´ igual a
21,851o.
3) A equac¸a˜o geral de Σ e´ 5x+4y−z−3 = 0 e a soluc¸a˜o do sistema
{
17x + 4y + 3z − 39 = 0
5x + 4y − z − 3 = 0
e´ o conjunto de pontos cujas coordenadas sa˜o da forma x = a, y = 3− 2a, z = 9− 3a (a ∈ R),
ou seja, a reta de equac¸a˜o vetorial X = (0, 3, 9) + a(1,−2,−3). Comparando-se essa com a
equac¸a˜o fornecida de r, vemos que o ponto (2,−1, 3) satisfaz a ambas e, ale´m disso, os vetores
diretores sa˜o L.D., portanto trata-se da mesma reta.
4) Os vetores normais (17, 4, 3) e (5, 4,−1) formam aˆngulo igual a arccos 98√
13188
' 31, 42o.
Teste com uma calculadora mostra que arccos
3
√
273
91
' 56, 99o. >
Resposta Q41 - Via produto interno, o aˆngulo entre o vetor diretor de r e o vetor normal
de Π e´ igual a arccos− 16√
38
√
14
= 133, 9228◦, portanto o aˆngulo entre a reta e o plano e´ igual
a 43,9228◦.
Escolhendo B = (1, 1, 3) ∈ Π para o ca´lculo, vale |(1, 0,−1).(3,−5, 2)||(3,−5, 2)| =
1√
38
=
√
38
38
. >
Resposta Q42 - A reta em questa˜o tem equac¸a˜o vetorial X = (1,−1, 1) + a(2, 3,−2), o
plano tem equac¸a˜o geral 9x + 15y − 13z − 8 = 0. Desenvolvendo |9x + 15y − 13z − 8|√
370
= 5,
tem-se |89a − 27| = 5√370 ⇒ 89a − 27 = ±5√370 ⇒ a = 27± 5
√
370
89
. Portanto, os pontos
X1 = (1,−1, 1) + 27 + 5
√
370
89
(2, 3,−2) e X2 = (1,−1, 1) + 27− 5
√
370
89
(2, 3,−2) distam 5 do
plano.
Nota: det

2 3 −21 2 3
7 1 6

 6= 0 implica que a reta e´ transversal a Π. >
Resposta Q43 - r admite equac¸o˜es sime´tricas
x− 1
−3 =
y + 3
4
=
z + 2
3
, e assim tem-se
y =
−4x− 5
3
, z = −x− 1. Substituic¸a˜o na equac¸a˜o do plano leva ao ponto (−11
4
, 2,
7
4
). >
Geometria anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial I, IME03-01913 IME/UERJ 11 Lista de exerc´ıcios suplementares 2015/1