Grandezas físicas e Cinemática 1

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CENTRO UNIVERSITÁRIO JORGE AMADO 
CURSO: ENGENHARIAS 
 
 
Física é a Ciência que procura explicar os fenômenos da natureza, referentes à matéria, à energia e à 
radiação bem como as suas interações. 
Grandezas Físicas 
Definimos como grandeza física tudo que pode ser medido e representado numericamente, isto é, que é 
mensurável. Para a realização dessa medida podemos utilizar determinados instrumentos, cuja precisão pode 
fazer com que tenhamos um maior ou menor grau de incerteza. Quanto maior a precisão do instrumento e, 
portanto, menor a incerteza, maior será a quantidade de algarismos significativos utilizada para a representação 
numérica da grandeza. 
Cada grandeza física é caracterizada por uma quantidade e pela unidade respectiva. 
Posição, tempo, velocidade e massa são exemplos de grandezas físicas, pois podem ser medidos e representados 
numericamente. Para essas medidas, utilizamos um padrão de comparação denominado unidade. 
Sentido geral: comprimento, tempo, massa, temperatura, resistência elétrica. 
Sentido específico: - Comprimento de uma barra; 
 - resistência elétrica de um fio; 
 -percentual de álcool em uma amostra de gasolina. 
Medição: Conjunto de operações (procedimentos) que tem por objetivo determinar um valor de uma grandeza. 
Medir, em termos técnicos, significa comparar. Sempre que desejamos realizar alguma medida, não a fazemos 
com perfeita exatidão. Isto é, há uma margem de erro correspondente ao próprio instrumento e também devida 
à falta de precisão humana. Por isso, quando queremos representar numericamente uma medida, devemos 
mostrar também a sua incerteza. 
Incerteza de medição é a parcela de dúvida associada à medição. 
Por exemplo, imaginemos que vamos medir o comprimento de algo: 
 
DISCIPLINA: Física Mecânica PROFESSORA: Kelly Abreu 
ALUNO(A): SEMESTRE: 2017.2 TURMA: 
Começando pelo zero, a outra extremidade do objeto ficou situada entre a medida 1,3 e 1,4. Dando um “chute” 
para essa medida, podemos dizer que o objeto mede 1,36 cm. Ou seja, sempre que citamos uma medida, 
colocamos o último algarismo como sendo o algarismo duvidoso. 
 
Grandezas Físicas Escalares e Vetoriais 
 
 
 
Já vimos que as grandezas dividem-se em físicas e não físicas. Agora, veremos que, dentro das 
grandezas físicas, existe uma divisão, isto é, as grandezas físicas podem ser classificadas em 
dois grupos: Grandezas Físicas Escalares e Grandezas Físicas Vetoriais. 
GRANDEZAS 
FÍSICAS 
ESCALARES 
São grandezas que definem somente um significado; elas podem ser expressas por um 
único número escalar (quantidade). 
 
Ex: massa (kg), tempo (seg), temperatura (T), entre outras. 
VETORIAIS 
São grandezas que não podem ser expressas somente com um único número. Para defini-
las, é necessário que tenhamos três características: 
 
- módulo ou intensidade (quantidade); 
- direção no espaço; 
- sentido. 
 
Ex: velocidade (v), força (F), campo elétrico (E), entre outras. 
Vetores 
Para operarmos com grandezas físicas vetoriais, é necessário que conheçamos um conceito muito 
importante: o vetor. Isto é, as grandezas físicas vetoriais são representadas por um ente 
matemático denominado vetor. 
O vetor possui, em si, o módulo, expresso por um valor numérico ou intensidade da grandeza, 
a direção e o sentido (apresentado pela orientação da grandeza). 
Faremos aqui uma explanação sobre a diferença entre direção e sentido, pois, normalmente, 
existe uma pequena confusão entre o que é direção e o que é sentido. Para podermos evitar essa 
confusão, vejamos o seguinte exemplo: 
Um conjunto de retas paralelas (na horizontal, na vertical ou inclinada a qualquer angulação) tem a mesma 
direção. 
Enquanto as grandezas escalares definem 
somente um significado, as vetoriais 
expressam três características. 
 
 
retas horizontais 
 retas verticais 
 
 
retas inclinadas 
Para cada reta acima, podemos definir um sentido, isto é: 
reta horizontal 
para a esquerda 
 
 
 
reta horizontal 
para a direita 
 
Portanto, podemos representar uma grandeza física vetorial qualquer como sendo um segmento 
(pedaço) de reta orientada (isto é, direção da reta e sentido da flecha) com um valor de medida 
determinado (módulo ou intensidade). 
 
vetor 
- Módulo: expresso pelo comprimento do segmento CD 
- Direção: é a direção da reta formada pelos pontos CD 
- Sentido: de C para D (representa pela flecha) 
Quando queremos indicar um vetor podemos utilizar dois tipos de símbolos. São eles: 
 
 
Agora, para representar o módulo ou intensidade de um vetor, podemos encontrar as seguintes 
formas: 
 
Logo, quando temos só v, isso representa o módulo do vetor e, quando temos , estamos nos 
referindo ao vetor v (isto é, o ente matemático que possui módulo, direção e sentido). 
Sistema Internacional de Unidades (SI) 
Há 4.000 anos as unidades de 
medição primitivas estavam 
baseadas em partes do corpo 
humano, que eram referências 
universais. 
 
 
 
Algumas medidas-padrão continuam sendo empregadas até hoje: 
1 polegada = 2,54 cm=25,4mm 
1 pé = 30,48 cm=304,8mm 
1 jarda = 91,44 cm=0,91440m 
Hoje, o padrão do metro em vigor no Brasil é recomendado pelo INMETRO, baseado na velocidade da luz, de 
acordo com decisão da 17ª Conferência Geral dos Pesos e Medidas de 1983. 
O INMETRO (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial), em sua resolução 3/84, 
assim definiu o metro: 
 
 
 
Hoje, em plena era da nanotecnologia, é possível reproduzir o metro com incertezas de apenas 10-11 m, isto é 
0,000 000 000 01 m. 
Múltiplos e submúltiplos do metro 
 
A tabela abaixo é baseada no Sistema Internacional de Medidas (SI). 
 
 
 
 
 
COMPOSIÇÃO DAS UNIDADES 
 
 
 
 
 
BASE DERIVADAS 
UNIDADES 
Unidades de Base: unidades das grandezas físicas fundamentais, das grandezas físicas independentes. 
Grandezas Fundamentais 
Denominamos de grandezas físicas fundamentais um grupo limitado de grandezas que vão nos servir 
como base para escrevermos outras grandezas que possam surgir. Um exemplo, a velocidade, que 
pode ser escrita como a razão entre espaço e tempo. 
 
Seguem alguns exemplos: 
 
Grandeza fundamental Unidade definição Unidade símbolo 
Comprimento O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, 
durante o intervalo de tempo de 1/299792458 do segundo m 
Massa O quilograma é a unidade de massa: ele é igual à massa do 
protótipo internacional do quilograma kg 
Tempo 
O segundo é a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação 
correspondente à transição entre dois níveis hiperfinos do estado 
fundamental do Césio 133 
s 
 
Unidades Derivadas: São formadas pela combinação de unidades de base. 
 
Seguem alguns exemplos: 
grandeza Nome (SI) Símbolo (SI) expressão em unidade 
de base (SI) 
superfície metro quadrado 
 
m
2 
 
m
2 
 
volume metro cúbico m
3 
 
m
3
 
velocidade 
 
metro por segundo 
 
m/s 
 
m/s 
 
aceleração 
 
metro por segundo ao 
quadrado 
m/s
2 
 
m/s
2 
 
massa específica quilograma por metro cúbico 
 
kg/m
3 
 
kg/m
3 
 
frequência hertz 
 
Hz 
 
s
-1 
 
força 
 
Newton N m.kg.s
-2 
 
pressão 
 
Pascal Pa m
-1
.kg.s
-2
 
energia, trabalho 
 
Joule J m
2
.kg.s
-2 
 
potência Watt W m
2
.kg.s
-3 
 
 
 
UNIDADES BRITÂNICAS (COMPRIMENTO) 
 
 
Exercícios 
1. O padrão do metro em vigor no Brasil é recomendado pelo: 
a) ( ) INMETRO; 
b) ( )IPT; 
c) ( ) BIPM; 
d) ( ) INT. 
2. Os múltiplos e submúltiplos do metro estão entre: 
a) ( ) metro e micrometro; 
b) ( ) exametro e attometro; 
c) ( ) quilômetro e decâmetro; 
d) ( ) metro e milímetro. 
3. Usando a transformação de unidades opere correta e adequadamente os casos possíveis: 
 
a) 1 m + 10 cm + 0,5 km + 2 m 
b) 1 mm + 4 dm + 7 dam + 4 km 
c) 34 (mm)³ + 12 ml + 15 (cm)³ + 8 dl 
d) 2 horas + 15 minutos 
e) 23h37m15s – 21h15min25s. 
f) 10h35 min – 9h50min 
 
4. Em um campo de futebol não oficial, as traves verticais do gol distam entre si 8,15 m. Considerando que 1 
jarda vale 3 pés e que 1 pé mede 30,48 cm, a largura mais aproximada desse gol em jardas é? R: ≈8,91 
jardas 
 
Km hm dam m dm cm mm 
Kl hl dal l dl cl ml 
1litro = 1000ml= 1dm3 
1dm3 = 1000 cm3 
5. Transforme: 
a) 2 km em m 
b) 1,5 m em mm 
c) 5,8 km em cm 
d) 0,4 m em mm 
e) 27 mm em cm 
 
Definição de derivada 
Chamamos de derivada de uma função x=x(t) ao limite da relação incremental 
 
 
 quando tende a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notações: 
 
 
 
 x´ou f ´(x) 
 
Exemplos de funções com as suas respectivas derivadas: 
 
f(t) 
 
 
constante 0 
at a 
 2at 
 
 
sen u (cosu)
 
 
 
cos u (-sen u)
 
 
 
u+v+w 
 
 
 
 
 
 
 
 
u.v 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: Encontre as derivadas das funções: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
d) 
e) 
 
Movimento Unidimensional 
 
É o movimento que ocorre em apenas uma dimensão. Por esse motivo é necessária apenas uma 
coordenada para descrever a posição da partícula em cada instante de tempo. 
 
 
Para um bom entendimento de como os objetos se movem, devemos ter noção bastante precisa, 
matemática e física, sobre deslocamento, velocidade, aceleração, e o relacionamento entre elas. 
 
Para começar precisamos de 3 grandezas que caracterizam o movimento. 
 
 
 
Posição serve para localizar o objeto ao longo da trajetória. 
 
Trajetória é a linha formada pela união dos pontos que representam as sucessivas posições de um móvel 
durante um intervalo de tempo, ou seja, são lugares do espaço que a partícula ocupa quando se move. 
Toda trajetória tem que ser orientada, portanto, ela precisa de um referencial. 
 
Deslocamento é a variação da posição, ou seja, distância medida do ponto de partida ao ponto de chegada 
de um móvel. 
 
Movimento de uma partícula seria a mudança de sua posição em relação ao tempo. Sendo assim, só se 
pode afirmar que um corpo está em movimento ou repouso tomando-se um determinado objeto ou 
posição como referencial. 
 
Estudo Unidimensional 
 
Vamos supor agora um movimento unidimensional ao longo do eixo x. Onde sua posição em qualquer 
tempo (t) pode ser descrita pela distância (x) entre a origem e a partícula. 
 
Temos então: x=f(t) 
 
Pois a cada valor distinto de x associamos um valor do tempo t. Portanto podemos construir o gráfico do 
deslocamento (x) versus o tempo (t). 
 
 
Em vista do exposto definimos velocidade média. 
 
Velocidade Média é a razão entre o deslocamento (x) e o tempo gasto (t) para efetuá-lo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A velocidade média é o coeficiente angular (inclinação) da reta que passa pelos pontos . 
 
Observem que a velocidade média não descreve tudo que pode ter ocorrido com o corpo durante o 
deslocamento. Podemos durante o deslocamento parar, trocar de sentido e no final do intervalo de tempo 
estar na posição final. Esta velocidade não descreve o que ocorre com o corpo durante a passagem pelos 
infinitos pontos entre a posição inicial e final, ou a cada um dos infinitos instantes entre o tempo inicial e 
final, pois só observa o corpo no início e no fim do deslocamento. 
 (m) 
 (m) 
 
Atividade 1: Um carro avança em linha reta com uma velocidade média de 80 km/h durante 2,5h e 
depois com uma velocidade média de 40 km/h durante 1,5h. 
a) Qual o deslocamento total nessas 4h? 260km 
b) Qual a velocidade média sobre todo o percurso? 65km/h 
 
Vamos definir agora o que chamamos de velocidade instantânea, a qual será uma velocidade onde o 
intervalo de observação seja tão pequeno quanto se queira. 
 
Velocidade Instantânea 
 
É o limite da razão 
 
 
 quando ∆t tende a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aceleração 
 
Quando a velocidade instantânea de uma partícula se altera com o tempo, diz-se que a partícula está 
acelerada. 
 
Aceleração média é a variação da velocidade instantânea no intervalo de tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 2: Um corpo, com velocidade inicial de 5m/s, tem a aceleração constante de . Quando a 
sua velocidade for de 15m/s, que distância terá percorrido? 
 
Aceleração instantânea é o limite da 
 
 
 razão quando ∆t tende a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Já sabemos que tendo o vetor posição podemos através da derivada de em relação a t obter o vetor 
velocidade e em seguida, derivarmos em relação a t e encontrarmos o vetor aceleração . 
 
No gráfico da velocidade contra o tempo ela corresponde à inclinação da reta 
que passa pelos pontos v1 e v2 (inclinação da reta secante). 
 
 
 
Atividade 3: A posição de uma partícula em movimento ao longo do eixo (x) varia no tempo de acordo 
com a expressão , na qual r está em metro (m) e t em segundos (s). Encontre: 
a) A velocidade média entre os instantes 1s e 3s; 
b) A expressão da velocidade instantânea do tempo; 
c) A aceleração média entre os instantes 1s e 3s; 
d) A aceleração em função do tempo; 
 
Atividade 4: A posição de uma partícula em movimento ao longo do eixo (x) varia no tempo de acordo 
com a expressão , na qual x está em metro (m) e t em segundos (s). Encontre a 
expressão para a velocidade e pra a aceleração em função de (t) para qualquer tempo e esboce o gráfico 
para cada uma das expressões. 
 
Atividade 5: Um corpo tem a seguinte equação para o seu deslocamento no eixo horizontal: 
 
 
 
 
 
Sendo valores constantes. Calcule: 
a) v(t) b) a (t) 
 
Atividade 6: Se a posição de uma partícula é dada por x(t) = 4 – 12t + 3t2, encontre: 
a) A velocidade média no tempos t1 = 1s e t2 = 2s. Resposta: -3m/s 
b) A função que representa a velocidade instantânea. Resposta: 6t -12 (m/s) 
c) A velocidade instantânea para o tempo t = 1s. Resposta: -6m/s 
 
Movimento com Aceleração Constante 
O movimento de uma partícula com aceleração constante (movimento uniformemente acelerado) é 
bastante comum na natureza. Por exemplo, nas vizinhanças da superfície da Terra, todos os corpos caem 
na vertical com a aceleração constante (desprezando-se o efeito da resistência do ar). 
 
 
 
Queda Livre 
• Galileo, o primeiro físico moderno, estudou a queda dos corpos. Refutou as hipóteses de 
Aristóteles. Usando experimentos, mostrou que os corpos caem com a mesma velocidade, 
independente de sua massa. 
• Mas... Devemos notar que há, em geral, outras forças atuando no corpo considerado, que pode 
frustrar uma experiência se não fomos suficientemente cuidadosos. 
• Devido à resistência do ar, sempre existe, sobre esse corpo uma força de arraste. Quanto menor o 
módulo dessa força de arraste, comparado com o móduloda força peso, mais próximo de um 
movimento de queda livre é o movimento do corpo. 
y2gvvatvvgt
2
1
tvyyconstantea 222oo 
• A queda Livre é um movimento vertical de qualquer corpo que se move nas proximidades da 
superfície da Terra, sob a influência unicamente da sua força peso. 
• O movimento de queda livre é um MRUV com direção vertical e uma aceleração de módulo 
• Embora falemos de corpos em queda, os corpos que sobem estão sujeitos à mesma aceleração de 
queda livre (em módulo e sentido). Isto é, não importa se a velocidade da partícula é para cima ou 
para baixo, o sentido de sua aceleração sob a influência da gravidade terrestre é sempre para baixo. 
• Sendo assim, os corpos podem ter um movimento de queda livre, desde que o movimento seja 
vertical e a aceleração constante e de módulo .O valor exato da aceleração de queda 
livre varia com a latitude e com a altitude. 
Equações aplicadas no movimento de Queda Livre 
 
 
 
 
Atividade 8 
Uma pedra é lançada numa direção vertical, de 
baixo para cima, a partir do solo, com velocidade 
inicial de módulo igual a 20m/s num referencial 
fixo na terra. Encontre a altura máxima atingida 
pela pedra. 
 
Atividade 10 
Em uma construção, uma chave inglesa cai no 
solo com uma velocidade de 24,0 m/s. 
a) De qual altura a chave foi inadvertidamente 
largada? 
b) Por quanto tempo ela esteve caindo? 
Resp.:a)
mh 4,29
 e b) 
st 45,2
. 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 9 
Um corpo foi abandonado de uma altura de 80m. 
a) Encontre o tempo de queda. 
b) Encontre a velocidade antes de tocar o 
solo. 
 
2/8,9 smg 
ga 
y2gvv
gt
2
1
tvyy
gtvv
gconstantea
2
oy
2
2
oo
oyy




Exercícios 
1. Um carro para em um semáforo. A seguir ele percorre um trecho retilíneo de modo que sua 
distancia ao sinal é dada por x(t) = bt² − ct³, onde b = 2, 40 m/s² e c = 0, 120 m/s³. 
(a) Calcule a velocidade média do carro para o intervalo de tempo t = 0 até t = 10,0s. 
(b) Calcule a velocidade instantânea do carro para t = 0, t = 5,0s e t = 10,0 s. 
(c) Quanto tempo após partir do repouso o carro retorna novamente ao repouso? 
Respostas: a) 12,0 m/s; b) 0 m/s, 15,0 m/s, 12,0 m/s; c) 13,3 s. 
 
2. Um rifle dispara uma bala na vertical, para cima, com velocidade inicial de 300m/s. Que 
altura atingirá está bala (despreze o efeito da resistência do ar)? 
 
3. Uma bola é arremessada para cima com velocidade inicial de 20m/s. 
a) Quanto tempo fica a bola no ar? 4,08s 
b) Qual a maior altura atingida pela bola? 20,4m 
c) Em que instante a bola está a 15m de altura? 0,99s ou 3,09s ambas aceitáveis. 
 
4. (Questão 2 do capítulo 2 do Halliday volume 1, 8ª Edição) Um carro sobe uma ladeira com 
uma velocidade constante de 40 km/h e desce a ladeira com uma velocidade constante de 60 
km/h. Calcule a velocidade escalar média da viagem de ida e volta. Resposta: 48 km/h. 
 
5. (Adaptado da Questão 6 do capítulo 2 do Halliday volume 1, 8ª Edição ) Calcule a 
velocidade média para todo seguinte percurso: você caminha 73,2 m a uma velocidade de 1,22 
m/s e depois corre 73,2m a 3,05 m/s em uma pista reta. Resposta: 1,74 m/s 
 
6. (Adaptada da questão 13 do capítulo 2 do Halliday volume 1, 8ª Edição) Você dirige do Rio 
de Janeiro a São Paulo metade do tempo a 55 km/h e a outra metade do tempo a 90 km/h. Qual a 
velocidade média do percurso Rio São Paulo? Resposta: 72,5 km/h 
 
7. (Adaptado questão 14 do capítulo 2 Halliday volume 1, 8ª Edição) A função da posição x(t) 
de uma partícula que está se movendo ao longo do eixo x é x(t) = 4 – 6t2, onde x está em metros 
e o tempo em segundos. 
a) Em que instante de tempo a partícula para momentaneamente? 
b) Em que posição a partícula para momentaneamente? 
c) Existe algum instante de tempo diferente de zero em que a velocidade da partícula seja 
zero? 
Respostas: (a) 0; (b) 4, 0 m; 
 
8. Se a posição de uma partícula é dada por x(t) = 4 – 12t + 3t2, encontre: 
a) A velocidade média no tempos t1 = 1s e t2 = 2s. Resposta: -3m/s 
b) A função que representa a velocidade instantânea. Resposta: 6t -12 (m/s) 
c) A velocidade instantânea para o tempo t = 1s. Resposta: -6m/s 
 
9. (Adaptada da questão 17 do capitulo 2 do Halliday volume 1, 8ª Edição) A posição de 
uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em centímetros por x(t) = 9,75 + 
1,5t3, onde t está em segundos. 
a) Calcule a velocidade média entre as posições t = 2s e t = 3s. 
b) Calcule a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distancia entre as 
posições t = 2s e t = 3 s. 
Resp.: a) 28,5 cm/s e b) 30,18 cm/s 
 
10. A posição de um corpo está relacionada com o tempo pela equação 
,)( 2 CBtAttx 
 
onde 
,8m/sA 2
 
6m/sB 
 e 
4m.C 
 Achar a velocidade instantânea e a aceleração em função do 
tempo. 
Resp.: a)
2/16)()/(616)( smtaesmttv 
 
 
11. Uma partícula se move ao longo de uma linha reta de tal modo que sua aceleração é dada 
por a = 3t² + t. 
a) Calcule a velocidade da partícula entre 0 e 1s, sabendo-se que a velocidade inicial é nula. 
V=1,5m/s 
b) O espaço percorrido entre 0 e 2s, sabendo-se que o espaço inicial é 0m. 
 
 
 
 
12. A posição de um objeto que se move em linha reta é dada por 
,32 CtBtAtx 
 A=3,0m/s, 
2/0,4 smB 
 e 
./0,1 3smC 
 
a) Qual é a posição do objeto em 
?40 set 
 
b) Qual é o deslocamento do objeto entre 
?40 stet 
 
c) Qual é a velocidade média no intervalo desde 
2t
 até t=4s? 
 
Resp.: a)
mxex 12)4(0)0( 
 , b) 
mxxx 12)0()4( 
 e c)
smvm /7
 
13. Um mesmo fenômeno físico pode ser representado 
de várias maneiras, através de gráficos ou equações 
algébricas, por exemplo. Muitas vezes, os gráficos 
sintetizam e tornam visuais informações que não são 
evidentes em equações algébricas, bem como as 
equações são capazes de quantificar fatos que através de 
gráficos são apenas qualitativos. Assim, por exemplo, a 
velocidade de um objeto móvel, como função do tempo, é 
representada pelo gráfico ao lado: 
a) Com base no gráfico, assinale a alternativa cuja 
equação descreve, corretamente, a velocidade do objeto, em função do tempo: 
a) v(t) = 5 + t 
b) v(t) = 5 - t 
c) v(t) = 3 + 2 t 
d) v(t) = 5 - 2 t 
e) v(t) = -5 + 5 t 
b) Considere que no instante inicial o objeto esteja na origem, x(0)=0. Nessas condições, é 
correto afirmar que a equação que descreve a posição x(t) do objeto, em função do tempo, é dada 
por: 
a) x(t) = 5t + 5t²/2 b) x(t) = -5t + 5t²/2 c) x(t) = 3t + t² 
d) x(t) = 5t – t²/2 e) x(t) = 5t – t² 
 
Resp.:a)
)(
2
5)())/(5)(
2
m
t
ttxbesmttv 