Derivadas parciais

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Cap´ıtulo 1
Derivadas Parciais
1.1 Derivadas Parciais
Antes de definirmos o conceito de derivada parcial vejamos o seguinte exemplo:
Problema: A temperatura em uma placa de metal em cada ponto (x, y) e´ dada por T (x, y) = 9x2 +4y2.
1. Determine a curva de n´ıvel que passa pelo ponto (2, 1).
2. Uma formiga esta´ no ponto (2, 1) e caminha na direc¸a˜o do eixo x, isto e´, sobre a reta y = 1 ate´ o
ponto sobre a curva de n´ıvel z = 80. Calcule a taxa me´dia de variac¸a˜o da temperatura sofrida pela
formiga.
3. Calcule, agora, a taxa (instantaˆnea) de variac¸a˜o da temperatura sofrida pela formiga, em relac¸a˜o a`
distaˆncia andada na direc¸a˜o do eixo x sofrida pela formiga.
4. Se ela andar na direc¸a˜o do eixo y, qual e´ a taxa instantaˆnea de variac¸a˜o de temperatura?
Figura 1.1: Direc¸a˜o eixo x e direc¸a˜o eixo y, respectivamente.
Soluc¸a˜o:
1. T (2, 1) = 9.22 +4.1 = 40. Logo a equac¸a˜o da curva de n´ıvel que passa pelo ponto (2, 1), chamada
de isoterma, e´
9x2 + 4y2 = 40.
2. Como podemos ver na figura acima, a temperatura no ponto (2, 1) e´ de 40 graus. Determinando
o ponto de intersec¸a˜o da curva de n´ıvel z = 80 com a reta y = 1,
9x2 + 4 = 80 −→ x = 2, 9
Assim a taxa me´dia de variac¸a˜o de temperatura para a formiga ir do ponto (2, 1) ate´ ponto (2.9,
1) e´ aproximadamente:
80− 40
2, 9− 2 =
40
0, 9
= 44, 4
graus
metro
1
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na direc¸a˜o do eixo x.
3. Para calcularmos a taxa (instantaˆnea) de variac¸a˜o de temperatura no ponto (2, 1) em relac¸a˜o a`
distaˆncia andada na direc¸a˜o do eixo x, observe que y permanece constante e igual a 1, o que varia
e´ apenas a varia´vel x. Neste caso, o que fazemos e´ calcular o limite das taxas me´dias de variac¸a˜o
de temperatura em relac¸a˜o a` variac¸a˜o de x,
lim
∆x→0
T (2 + ∆x; 1)− T (2, 1)
∆x
= lim
∆x→0
9(2 + ∆x)2 + 4− 40
∆x
= lim
∆x→0
36∆x+ 9∆x2
∆x
=⇒
lim
∆x→0
T (2 + ∆x; 1)− T (2, 1)
∆x
= lim
∆x→0
36 + 9∆x = 36
graus
metro
,
andando na direc¸a˜o do eixo x.
4. Se a formiga andar na direc¸a˜o do eixo y, a varia´vel x permanece constante e neste caso calculamos
o limite,
lim
∆y→0
T (2; 1 + ∆y)− T (2, 1)
∆y
= lim
∆y→0
40 + 4(1 + ∆y)2 − 40
∆y
= lim
∆y→0
8 + 4∆y = 8
graus
metro
,
andando na direc¸a˜o do eixo y.
Observe que em (3) quando calculamos a taxa de variac¸a˜o de temperatura na direc¸a˜o do eixo
x, y permanece constante. De forma similar, quando calculamos a taxa de variac¸a˜o de temperatura
na direc¸a˜o do eixo y no item (4), a varia´vel x permanece constante. Isto nos leva a` definic¸a˜o de
Derivada Parcial:
Definic¸a˜o 1 A Derivada Parcial de f em relac¸a˜o a x em um ponto (x, y) e´ definida como sendo o
valor do limite
fx(x, y) =
∂f
∂x
(x, y) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x, y)− f(x, y)
∆x
,
se este limite existir.
Definic¸a˜o 2 A Derivada Parcial de f em relac¸a˜o a y em um ponto (x, y) e´ definida como sendo o
valor do limite
fy(x, y) =
∂f
∂y
(x, y) = lim
∆y→0
f(x, y + ∆y)− f(x, y)
∆y
,
se este limite existir.
Exemplo 1 Calcule as derivadas parciais ∂z∂x e
∂z
∂y da func¸a˜o z = f(x, y) = x
2y3sen(xy).
Soluc¸a˜o: Para calcular a derivada parcial de f em relac¸a˜o a x, considera-se y como uma constante e
deriva-se f normalmente como uma func¸a˜o de uma varia´vel x. Primeiro aplica-se a regra do produto
e depois a regra da cadeia para func¸a˜o de uma varia´vel,
∂z
∂x
= 2xy3sen(xy) + x2y3ycos(xy) = 2xy3sen(xy) + x2y3cos(xy).
Para calcular a derivada parcial de f em relac¸a˜o a y, considera-se x como uma constante e da mesma
forma obte´m-se,
∂z
∂y
= 3x2y2sen(xy) + x3y3cos(xy).
Exemplo 2 Calcule ∂z∂x e
∂z
∂y .
(a) f(x, y) =
√
x2 + 3xy2.
(b) z = ex
3y + (x5 + 10xy).ln(xy2).
Soluc¸a˜o.
(a) ∂z∂x =
2x+3y2
2
√
x2+3xy2
e ∂z∂y =
3xy√
x2+3xy2
.
(b)
∂z
∂x
= 3x2yex
3y + (5x4 + 10y).ln(xy2) + (x5 + 10xy).
1
x
e
∂z
∂y
= x3ex
3y + 10xln(xy2) + (x5 + 10xy).
2
y
.
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1.2 Interpretac¸a˜o Geome´trica das derivadas parciais
A figura a seguir nos mostra a interpretac¸a˜o geome´trica da derivada parcial de f em relac¸a˜o a x, no
ponto (x0, y0),
∂f
∂x (x0, y0). Quando derivamos em relac¸a˜o a x mantemos a varia´vel y fixa. Com isto temos
uma func¸a˜o de uma varia´vel x, z = f(x, y0). O gra´fico desta func¸a˜o de uma varia´vel x e´ a curva C1 ,
obtida pela intersec¸a˜o do gra´fico de f com o plano y = y0 . A curva C1 tem uma reta tangente T1 no
ponto P do gra´fico de f no plano y = y0 . A derivada parcial
∂f
∂x (x0, y0) representa, enta˜o, a tangente do
angulo α, que e´ o angulo que a reta tangente T1 forma com a reta y = y0 paralela ao eixo x, ou seja, ela
e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de z = f(x, y0) (curva C1 no ponto P no plano y = y0).
Da mesma forma, a figura posterior nos mostra a interpretac¸a˜o geome´trica da derivada parcial de
f com relac¸a˜o a y no ponto (x0, y0 ),
∂f
∂y (x0, y0). O plano x = x0 intercepta o gra´fico de f na curva C2, que
e´ o gra´fico da func¸a˜o z = f(x0, y). A curva C2 tem uma reta tangente neste plano que forma um angulo
β, com a reta x = x0 paralela ao eixo y. Assim, a derivada parcial de f em relac¸a˜o a y,
∂f
∂y (x0, y0), e´ igual
ao valor da tangente do angulo β, ou seja, ela e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de z = f(x0, y)
(curva C2 ) no ponto P no plano x = x0.
Figura 1.2: Derivada na direc¸a˜o do eixo x e na direc¸a˜o y
1.3 Derivadas de Ordem Superior
Como vimos nos exemplos da sec¸a˜o anterior, as derivadas parciais ∂f∂x e
∂f
∂y de uma func¸a˜o z = f(x, y)
sa˜o, tambe´m, func¸o˜es de duas varia´veis. Assim, podemos considerar novamente suas derivadas parciais,
chamadas de derivadas parciais de segunda ordem de z = f(x, y), assim definidas:
• fxx = ∂
2f
∂x2 =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
• fyy = ∂
2f
∂y2 =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
• fyx = ∂
2f
∂x∂y =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
• fxy = ∂
2f
∂y∂x =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
Do mesmo modo podemos ter derivadas parciais de 3a ordem, 4a ordem, . . .
Exemplo 3 Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de z = f(x, y) = x3 + 2y3 +
3x2y2
Soluc¸a˜o.
• ∂z∂x = 3x2 + 6xy2 e ∂z∂y = 6y2 + 6x2y;
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• ∂2z∂x2 = 6x+ 6y2 e ∂
2z
∂y2 = 12y + 6x
2;
• ∂2z∂x∂y = ∂
2z
∂y∂x = 12xy.
Observe que, nos dois exemplos acima, as derivadas parciais mistas ∂
2z
∂x∂y e
∂2z
∂y∂x coincidem. Este
fato na˜o e´ uma coincideˆncia, isto se verifica para a grande maioria das func¸o˜es com as quais trabalhamos
em Ca´lculo. O exerc´ıcio 6 mostra que a igualdade nem sempre se verifica. As condic¸o˜es que garantem
a igualdade das derivadas parciais mistas sa˜o dadas pelo pro´ximo teorema do matema´tico franceˆs Alexis
Clairaut (1713-1765).
1.3.1 Exerc´ıcios
1. Determine as derivadas parciais ∂z∂x e
∂z
∂y das func¸o˜es:
(a) z = 4x2y − 5x3y2 + 2x− y;
(b) z = x
√
y;
(c) z = ln(xy2);
(d) z =
√
x2 + y2 − 1;
(e) f(x, y) = 2xy3x−2y .
2. Encontre a declividade da reta tangente a` curva resultante da intersecc¸a˜o de z = x2 + y2 com o
plano x = 1 no ponto (1, 2, 5).
3. Determine as taxas de variac¸a˜o das func¸o˜es dadas a seguir, nos pontos indicados.
(a) z = sen(y2 − 4x), no ponto (2, 1);
(b) z = 1x+y , no ponto (−2, 4).
4. Considere que a func¸a˜o T (x, y) = 16 − 2x2 − y2 representa a temperatura em qualquer ponto de
uma placa, em graus. Determine raza˜o de variac¸a˜o da temperatura em relac¸a˜o a` distaˆncia ao longo
da placa, medida em cent´ımetros, na direc¸a˜o dos eixos positivos x e y, no ponto (1 , 2).
5. Suponha que uma pessoa em uma festa beba x = x(t) = 0.8t litros de refrigerantee coma y =
y(t) = 0, 2t quilogramas de bolo de chocolate apo´s t horas. Com isso ele produz E(x, y) = 12x+ 3y
calorias de energia ao beber x litros de refrigerante e comer y quilogramas de bolo. Quanta energia
ele produziu apo´s 5 horas de festa? Qual a taxa de produc¸a˜o de energia em t = 5? (Resposta)
6. Mostre que a func¸a˜o
f(x, y) =
{
xy(x2−y2)
x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0).
tem derivadas parciais cont´ınuas em (0, 0), pore´m, as derivadas parciais mistas na˜o sa˜o a´ı cont´ınuas.
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