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01. Calcule as integrais abaixo.
a)
∫ 2
1
∫ 4
0
2xydydx b)
∫ 2
0
∫ 1
−1(x− y)dydx c)
∫ 0
−1
∫ 1
−1(x+ y + 1)dxdy
d)
∫ 3
0
∫ 0
−2(x
2y − 2xy)dydx e) ∫ 1
0
∫ 1
0
y
1+xy
dxdy f)
∫ ln 2
0
∫ ln 5
1
e2x+ydydx
g)
∫ 1
0
∫ 2
1
xyexdydx
02. Calcule a integral dupla sobre a região R.
a)
∫∫
R
(6y2 − 2x) dA, R:0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
b)
∫∫
R
√
x
y2
dA, R:0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2.
c)
∫∫
R
y sen(x+ y) dA, R:−pi ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ pi.
d)
∫∫
R
e(x− y) dA, R:0 ≤ x ≤ ln 2, 0 ≤ y ≤ ln 2.
e)
∫∫
R
xyexy
2
dA, R:0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.
f)
∫∫
R
xy3
x2+1
dA, R:0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
g)
∫∫
R
y
x2y2+1
dA, R:0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
h)
∫∫
R
1
xy
dA, R:1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2.
i)
∫∫
R
y cos(xy) dA, R:0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ 1.
03. Encontre o volume da região limitada superiormente pelo paraboloide z = x2 + y2 e inferior-
mente pelo quadrado R : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1.
04. Encontre o volume sólido limitado superiormente pela paraboloide elíptico z = 16− x2 − y2
e inferiormente pelo quadrado R : 0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 2.
05. Encontre o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z = 2−x− y e inferiormente
pelo quadrado R : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1.
06. Encontre o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z = y/2 e inferiormente pelo
retângulo R : 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 2.
07. Encontre o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z = 2 senx cos y e inferior-
mente pelo retângulo R : 0 ≤ x ≤ pi
2
; 0 ≤ y ≤ pi
4
.
08. Encontre o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z = 4 − y2 e inferiormente
pelo retângulo R : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2.
09. Esboce a região de integração e calcule a integral.
a)
∫ pi
0
∫ x
0
x sen ydydx b)
∫ pi
0
∫ senx
0
ydydx
c)
∫ ln 8
1
∫ ln 8
0
ex+ydxdy d)
∫ 2
1
∫ y2
y
dxdy
e)
∫ 1
0
∫ y2
0
3y3exydxdy f)
∫ 4
1
∫ √x
0
3
2
ey/sqrtxdydx
10. Calcule a integral de f sobre a região dada.
a)f(x, y) = x/y sobre a região no primeiro quadrante limitada pelas retas y = x, y = 2x, x = 1 e
x = 2.
b)f(x, y) = x2 + y2 sobre a região triangular com vértices em (0, 0), (1, 0) e (0, 1).
c)f(x, y) = y−√x sobre a região no primeiro quadrante obtida pela interseção da reta x+ y = 1
com os eixos coordenados.
11. Esboce a região sobre a qual a integral está sendo calculada, inverta a ordem de integração
e calcule a integral.
a)
∫ pi
0
∫ pi
x
sen y
y
dydx b)
∫ 2
0
∫ 2
x
2y2 sen(xy)dydx c)
∫ 1
0
∫ 1
y
x2exydxdy
d)
∫ 2
0
∫ 4−x2
0
xe2y
4−y dydx e)
∫ 8
0
∫ 2
3√x
1
1+y4
dydx
12. Encontre o volume do sólido limitado superiormente pelo paraboloide z = x2 + y2 e inferior-
mente pelo triângulo no plano xy limitado pelas retas y = x,x = 0 e x+ y = 2.
13. Determine o volume do sólido limitado superiormente pelo cilindro z = x2 e inferiormente
pela região no plano xy limitada pela parábola y = 2− x2 e pela reta y = x.
14. Encontre o volume do sólido cuja base é região no plano xy limitada pela parábola y = 4−x2
e a reta y = 3x e o topo do sólido é limitado pelo plano z = x+ 4.
15. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, o cilindro
x2 + y2 = 4 e o plano z + y = 3.
16. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, o plano
x = 3 e o cilindro parabólico z = 4− y2.
17. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pela
superfície z = 4− x2 − y.
18. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 12 − 3y2 e pelo
plano x+ y = 2.
19. Esboce a região limitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região
como uma integral dupla iterada ecalcule a integral.
a)Os eixos coordenados e a reta x+ y = 2.
b)A parábola x = −y2 e a reta y = x+ 2.
c)A parábola x = y − y2 e a reta y = −x.
d)A curva y = ex e as retas y = 0, x = 0 e x = ln 2.
e)As parábolas x = y2 e x = 2y − y2.
f)As parábolas x = y2 − 1 e x = 2y2 − 2.
g)As retas y = x,y = x/3 e y = 2.
20. As integrais e somas de integrais fornecem as áreas de regiões no plano xy. Esboce cada
região, marque cada curva limitante com sua equação e forneça as coordenadas dos pontos onde
as curvas apresentam interseção. Em seguida. encontre a área da região.
a)
∫ 6
0
∫ 2y
y2/3
dxdy b)
∫ 3
0
∫ x(2−x)
−x dydx
c)
∫ pi/4
0
∫ cosx
senx
dydx d)
∫ 0
−1
∫ 1−x
−2x dydx+
∫ 2
0
∫ 1−x
−x/2 dydx
Respostas
01.
a)24 b)4 c)1 d)0 e)2 ln 2− 1 f)3
2
(5− e)
g)3
2
02.
a)14 b)8
3
c)4 d)1
2
e)1
2
(e2 − 3) f)2 ln 2
g)pi
4
− 1
2
ln 2 h)(ln 2)2 i) 2
pi
03.
8
3
04.
160
3
05.
1
06.
4
07.
√
2
08.
16
3
09.
a)
pi2
2
+ 2
b)
pi
4
c)8 ln 8− 16 + e
d)
5
6
e)e− 2
f)7e− 1
10.
a)3
2
ln 2 b)1
6
c)− 1
10
11.
a)2
b)4-sen 4
c)
e−2
2
d)
e8−1
4
e)
ln 17
4
12.
4
3
13.
63
20
14.
625
12
15.
9pi−8
3
16.
16
17.
128
15
18.
20
19.
a)2
b)
9
2
c)
4
3
d)1
e)
1
3
f)
4
3
g)4
20.
a)12
b)
9
2
c)
√
2− 1
d)
3
2

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