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01. Calcule as integrais abaixo. a) ∫ 2 1 ∫ 4 0 2xydydx b) ∫ 2 0 ∫ 1 −1(x− y)dydx c) ∫ 0 −1 ∫ 1 −1(x+ y + 1)dxdy d) ∫ 3 0 ∫ 0 −2(x 2y − 2xy)dydx e) ∫ 1 0 ∫ 1 0 y 1+xy dxdy f) ∫ ln 2 0 ∫ ln 5 1 e2x+ydydx g) ∫ 1 0 ∫ 2 1 xyexdydx 02. Calcule a integral dupla sobre a região R. a) ∫∫ R (6y2 − 2x) dA, R:0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2. b) ∫∫ R √ x y2 dA, R:0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2. c) ∫∫ R y sen(x+ y) dA, R:−pi ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ pi. d) ∫∫ R e(x− y) dA, R:0 ≤ x ≤ ln 2, 0 ≤ y ≤ ln 2. e) ∫∫ R xyexy 2 dA, R:0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1. f) ∫∫ R xy3 x2+1 dA, R:0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2. g) ∫∫ R y x2y2+1 dA, R:0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. h) ∫∫ R 1 xy dA, R:1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2. i) ∫∫ R y cos(xy) dA, R:0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ 1. 03. Encontre o volume da região limitada superiormente pelo paraboloide z = x2 + y2 e inferior- mente pelo quadrado R : −1 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 1. 04. Encontre o volume sólido limitado superiormente pela paraboloide elíptico z = 16− x2 − y2 e inferiormente pelo quadrado R : 0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 2. 05. Encontre o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z = 2−x− y e inferiormente pelo quadrado R : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1. 06. Encontre o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z = y/2 e inferiormente pelo retângulo R : 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 2. 07. Encontre o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z = 2 senx cos y e inferior- mente pelo retângulo R : 0 ≤ x ≤ pi 2 ; 0 ≤ y ≤ pi 4 . 08. Encontre o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z = 4 − y2 e inferiormente pelo retângulo R : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2. 09. Esboce a região de integração e calcule a integral. a) ∫ pi 0 ∫ x 0 x sen ydydx b) ∫ pi 0 ∫ senx 0 ydydx c) ∫ ln 8 1 ∫ ln 8 0 ex+ydxdy d) ∫ 2 1 ∫ y2 y dxdy e) ∫ 1 0 ∫ y2 0 3y3exydxdy f) ∫ 4 1 ∫ √x 0 3 2 ey/sqrtxdydx 10. Calcule a integral de f sobre a região dada. a)f(x, y) = x/y sobre a região no primeiro quadrante limitada pelas retas y = x, y = 2x, x = 1 e x = 2. b)f(x, y) = x2 + y2 sobre a região triangular com vértices em (0, 0), (1, 0) e (0, 1). c)f(x, y) = y−√x sobre a região no primeiro quadrante obtida pela interseção da reta x+ y = 1 com os eixos coordenados. 11. Esboce a região sobre a qual a integral está sendo calculada, inverta a ordem de integração e calcule a integral. a) ∫ pi 0 ∫ pi x sen y y dydx b) ∫ 2 0 ∫ 2 x 2y2 sen(xy)dydx c) ∫ 1 0 ∫ 1 y x2exydxdy d) ∫ 2 0 ∫ 4−x2 0 xe2y 4−y dydx e) ∫ 8 0 ∫ 2 3√x 1 1+y4 dydx 12. Encontre o volume do sólido limitado superiormente pelo paraboloide z = x2 + y2 e inferior- mente pelo triângulo no plano xy limitado pelas retas y = x,x = 0 e x+ y = 2. 13. Determine o volume do sólido limitado superiormente pelo cilindro z = x2 e inferiormente pela região no plano xy limitada pela parábola y = 2− x2 e pela reta y = x. 14. Encontre o volume do sólido cuja base é região no plano xy limitada pela parábola y = 4−x2 e a reta y = 3x e o topo do sólido é limitado pelo plano z = x+ 4. 15. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, o cilindro x2 + y2 = 4 e o plano z + y = 3. 16. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, o plano x = 3 e o cilindro parabólico z = 4− y2. 17. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pela superfície z = 4− x2 − y. 18. Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 12 − 3y2 e pelo plano x+ y = 2. 19. Esboce a região limitada pelas retas e curvas dadas. Em seguida, expresse a área da região como uma integral dupla iterada ecalcule a integral. a)Os eixos coordenados e a reta x+ y = 2. b)A parábola x = −y2 e a reta y = x+ 2. c)A parábola x = y − y2 e a reta y = −x. d)A curva y = ex e as retas y = 0, x = 0 e x = ln 2. e)As parábolas x = y2 e x = 2y − y2. f)As parábolas x = y2 − 1 e x = 2y2 − 2. g)As retas y = x,y = x/3 e y = 2. 20. As integrais e somas de integrais fornecem as áreas de regiões no plano xy. Esboce cada região, marque cada curva limitante com sua equação e forneça as coordenadas dos pontos onde as curvas apresentam interseção. Em seguida. encontre a área da região. a) ∫ 6 0 ∫ 2y y2/3 dxdy b) ∫ 3 0 ∫ x(2−x) −x dydx c) ∫ pi/4 0 ∫ cosx senx dydx d) ∫ 0 −1 ∫ 1−x −2x dydx+ ∫ 2 0 ∫ 1−x −x/2 dydx Respostas 01. a)24 b)4 c)1 d)0 e)2 ln 2− 1 f)3 2 (5− e) g)3 2 02. a)14 b)8 3 c)4 d)1 2 e)1 2 (e2 − 3) f)2 ln 2 g)pi 4 − 1 2 ln 2 h)(ln 2)2 i) 2 pi 03. 8 3 04. 160 3 05. 1 06. 4 07. √ 2 08. 16 3 09. a) pi2 2 + 2 b) pi 4 c)8 ln 8− 16 + e d) 5 6 e)e− 2 f)7e− 1 10. a)3 2 ln 2 b)1 6 c)− 1 10 11. a)2 b)4-sen 4 c) e−2 2 d) e8−1 4 e) ln 17 4 12. 4 3 13. 63 20 14. 625 12 15. 9pi−8 3 16. 16 17. 128 15 18. 20 19. a)2 b) 9 2 c) 4 3 d)1 e) 1 3 f) 4 3 g)4 20. a)12 b) 9 2 c) √ 2− 1 d) 3 2
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