Av1 - Cálculo Diferencial e Integral III

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1)As superfícies podem ser definidas como conjuntos de pontos (x,y,z) do espaço 
cartesiano que satisfazem a uma equação da forma f(x,y,z) = 0, sendo f uma 
função contínua. A partir dessas estruturas, podemos fazer diversos estudos, como 
por exemplo o do plano tangente. 
Seja uma superfície S descrita pela equação z = 3x² + y². 
Qual é a equação do plano tangente a essa superfície, passando pelo ponto P(0,-
1,2)? 
 
Alternativas: 
• a) 
3x + 2y + z = 0 
• b) 
y - z + 2 = 0 
• c) 
-2y + z - 4 = 0 Alternativa assinalada 
• d) 
x - 2y - z + 4 = 0 
• e) 
6x + 2y + 1 = 0 
2) 
As integrais triplas são estudadas a partir de funções de três variáveis e de regiões 
definidas no espaço cartesiano. Para o cálculo desse tipo de integral, utilizamos as 
técnicas e resultados das integrais definidas em conjunto com integrais iteradas. 
Considere a função de três variáveis definida por f(x,y,z) = 2x - y + 4z. 
Qual é o resultado da integral tripla da função f(x,y,z) calculada sobre a região de 
integração R = [0,1]x[2,3]x[-1,1]? 
 
Alternativas: 
• a) 
-3Alternativa assinalada 
• b) 
-1 
• c)0 
• d) 
4 
• e) 
9 
3) 
Para o cálculo de integrais triplas podemos empregar o sistema de coordenadas 
cartesianas tradicionais, mas também podemos optar pelo uso de coordenadas 
cilíndricas ou esféricas, de acordo com o formato da região de integração. 
Considere um cilindro construído ao longo do eixo z, de equação x² + y² = 9. 
Limita-se esse cilindro inferiormente pelo plano xy e superiormente pelo plano 2x + 
2y + 5z = 10. 
Com base nessas informações, assinale a alternativa que indica corretamente o 
volume da região limitada pelo cilindro e pelos planos apresentados: 
 
Alternativas: 
• a) 
2π 
• b) 
18π Alternativa assinalada 
• c) 
18/5 
• d) 
π/108 
• e) 
108π/5 
4) 
Uma das aplicações para o cálculo de integrais múltiplas é o estudo de massa e 
centro de massa associados a regiões multidimensionais. 
Nesse contexto, seja, no espaço cartesiano, a região S limitada superiormente pelo 
plano 2x + 3y + z - 6 = 0 e inferiormente pelo plano coordenado xy e dentro da 
região em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. 
Se a densidade dessa região S é dada por ρ(x,y,z) = 3xy, qual é a massa dessa 
região S? 
 
Alternativas: 
• a) 
-4 
• b) 
0 
• c) 
1 
• d) 
2Alternativa assinalada 
• e) 
6 
5) 
Uma das aplicações da integral tripla consiste no cálculo do volume de regiões 
tridimensionais. Para isso, é necessário construir corretamente a descrição para os 
limites de integração conforme a estrutura da região em estudo. 
Diante desse tema, considere o sólido tridimensional limitado superiormente pela 
superfície z = 4 - x² - y², inferiormente pelo plano coordenado xy, e dentro do 
círculo de centro na origem e raio 2. 
Qual é o volume ocupado pelo sólido descrito? 
 
Alternativas: 
• a) 
32/3 
• b) 
16/3 
• c) 
4π 
• d) 
8πAlternativa assinalada 
• e) 
4