Int[1]. Cálculo

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REVISÃO: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo dos Sinais 
 
)()()( +=+⋅+ 
)()()( +=−⋅− 
)()()( −=−⋅+ 
)()()( −=+⋅− 
Ordem de Cálculo 
 
Primeiro são resolvidas as operações que estiverem dentro de: 
PARÊNTESES ( ) → COLCHETES [ ] → CHAVES { } 
Antes de serem efetuadas adições e subtrações, são resolvidas: 
DIVISÕES E MULTIPLICAÇÕES 
Adição 
SomaParcelas
cba
↓↓↓
=+
 
Propriedades 
Comutativa → abba +=+ 83553 =+=+⇒
 
Associativa → )cb(ac)ba( ++=++ 10)52(35)23( =++=++⇒
Elemento Neutro (0) → a0a =+ 303 =+⇒ 
→ Subtração é a Adição de parcelas negativas 
O resultado tem o sinal da maior parcela: 
131532051055105510 −=+−−+−−=+−+=−+
Subtração 
SomaParcelas
cba)b(a
↓↓↓
=−=−+
 
Multiplicação 
ProdutosFatores
cba
↓↓↓
=⋅
 
Multiplicação é a Adição de parcelas iguais: 1555553
5fatorovezes3
=++=⋅ 43421 
Propriedades 
Comutativa → abba ⋅=⋅
 
153553 =⋅=⋅⇒
 
Associativa → )cb(ac)ba( ⋅⋅=⋅⋅ 30)52(35)23( =⋅⋅=⋅⋅⇒ 
Elemento Neutro (1) → a1a =⋅ 313 =⋅⇒ 
Distributiva → caba)cb(a ⋅+⋅=+⋅ 165232)53(2 =⋅+⋅=+⋅⇒ 
acaba)cb( ⋅+⋅=⋅+ 9)3(2)3(1)3()21( −=−⋅+−⋅=−⋅+⇒
Divisão 
c
b
a = 
Numerador = Denominador × Quociente + Resto
Lembre-se: Não existe divisão por zero → b ≠ 0 !
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FRAÇÕES 
Definição 1: Divide um objeto em Partes iguais → 
 
Definição 2: Divisão de dois números inteiros → 
 
 
 
 
 
 Adição e Subtração de Frações 
 
 Mesmo Denominador 
 
 
 Denominadores Diferentes 
m.m.c. 
 
 Multiplicação de Frações Divisão de Frações 
db
ca
d
c
b
a
⋅
⋅=⋅
 
9
10
9
10
33
5)2(
3
5
3
)2( −=−=⋅
⋅−=⋅− 
Mantém a Primeira Fração e Inverte a Segunda 
c
d
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
21
⋅==÷
↓↓
oo
15
17
53
72
5
7
3
2
7
5
3
2
7
5
3
2 =⋅
⋅=⋅==÷⇒ 
NÚMEROS DECIMAIS 
 
Adição e Subtração 
“Vírgula sob vírgula” 
 
 
 
Multiplicação 
Obtém-se o produto e somam-se 
as casas decimais de cada fator 
 
 
 
Divisão 
Numerador e denominador devem ter 
o mesmo número de casas decimais 
 
Fração Decimal: Denominador com Potências de 10 (10n)
b
a
b
a
b
a −=−=
−
2
1
2
1
2
1 −=−=
−⇒
b
ca
b
c
b
a ±=± 15
5
5
23
5
2
5
3 ==+=+⇒ 
d
c
b
a ± 5
7
5
7
15
103
3
2
5
1 −=−=−=−⇒ 
Menor número que é múltiplo 
de todos os denominadores 
Evite trabalhar com números decimais! 
Se o número for racional, é melhor 
escrevê-lo na forma de fração! 
810
1;
1000
x;
100
3;
10
2 −
Lembre-se: O sinal deve ficar na frente do traço de fração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POTÊNCIA 
 
Expoente Inteiro Base “a” e expoente “n” Inteiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para “n” inteiro e 1n >
 
a.....aaa n ⋅=
 
273333 3 =⋅⋅=
 
11......11120 =⋅⋅=
 
9
4
3
2
3
2
3
2 2 =⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
 
16
1
44
1
4
1
4
1
2
2 =⋅==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
Lembre-se! 
Base “a” negativa e expoente “n” par → resultado (+) ( ) ( ) ( ) 4222 2 +=−⋅−=−
 
Base “a” negativa e expoente “n” ímpar → resultado (-) ( ) ( ) ( ) ( ) 82222 3 −=−⋅−⋅−=− 
Propriedades 
Mesma Base “a” Conserva a base e soma ou subtrai os expoentes 
nmnm aaa +=⋅ 2433333 53232 ===⋅ + 
0a,aaa
a
aaa nmnmn
mnm ≠=⋅==÷ −− 4
1
2
12222
2
222 2
26464
6
464 ====⋅==÷ −−− 
( ) 0a,aa nmnm ≠= ⋅ ( ) 64222 63232 === ⋅ 
Mesmo Expoente “n” Conserva a operação das bases (× ou ÷) e mantém o expoente
( )nnn baba ⋅=⋅ ( ) 225155353 2222 ==⋅=⋅ 
0b,b
a
b
aba
n
n
nnn ≠⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==÷ 2735
15
5
15515 3
3
3
333 ==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==÷ 
)0a(
a
1a n
n
≠
=−
n mn
m
aa = 
 
 33 23
2
933 == 222 2 12
1
== ( ) 4
1
2
1
1024
1
32
1
32
132 5 10
5
55 25
2
5
2 ===⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=− − 
Perceba a diferença! 
256222 82222
3 === ⋅⋅ ( ) ( ) 644222 3332 ==⋅= ( ) 42222 −=⋅−=− ( ) ( ) ( ) 4222 2 +=−⋅−=− 
Para “n” inteiro e 1n ≤ 
 aa
1 = 221 =⇒ 
 1a
0 = 11000 =⇒ 
 125
1
555
1
5
15 3
3 =⋅⋅==⇒
−
 
 4
9
2
3
2
3
2
3
3
2 22 =⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒ −
 
 4
9
2
3
2
3
2
3
3
2 22 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⇒ −
 
)0a(
a
1a n
n
≠
=−
Expoente Racional O expoente “n” é uma Fração Irredutível com 0n ≠ e 1n ≠ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RADICIAÇÃO Raiz n-ésima de n a é o número “x” tal que, para 1n > 
 
24 = )2n,2x,4a( ===⇒ ax n =⇒ 42 2 =⇒ 
51253 = )3n,5x,125a( ===⇒ ax n =⇒ 1255 3 =⇒ 
2
1
16
14 =
 
)4n,2
1x,16
1a( ===⇒ ax n =⇒ 16
1
2
1 4 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades 
( ) mm1m
1
m
1
mm babababa ⋅=⋅=⋅=⋅ 
 
2040016251625 ==⋅=⋅ 
Para ( )0b ≠ 
 
63610
360
10
36010360 ====÷ mm
1
m
1
m
1
m
mmm
b
a
b
a
b
a
b
aba =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛===÷
 
n pn
pp
n
1pn aaaa ==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 33 23
22
3
123 42222 ===⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
mnmn
1m
1
n
1m
n
1
m n aaaaa ⋅⋅ ==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛== 66
1
23
12
1
3
1
3
1
3 333333 ===⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛== ⋅ 
 
 Índice da Raiz “n” 
 Par Ímpar 
Radicando 
“a” 
Positivo 
Duas Raízes Reais Simétricas 
 
⎩⎨
⎧
→=
→+=⇒
Par2n
Positivo9a
9
 
 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=−
+=+⇒±=
93
93
39
2
2
 
Uma Raiz Real e Positiva 
 
⎩⎨
⎧
→=
→+=⇒
Ímpar3n
Positivo27a
273
 
 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
+≠−=−
+=+⇒+=
27273
273
327
3
3
3 
Negativo 
Não existe Raiz Real 
 
⎩⎨
⎧
→=
→−=⇒−
Par2n
Negativo9a
9
 
 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≠+=−
−≠+=+⇒∉−
993
993
R9
2
2
 
Uma Raiz Real e Negativa 
 
⎩⎨
⎧
→=
→−=⇒−
Ímpar3n
Negativo27a
273
 
 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−
−≠+=+⇒−=−
273
27273
327
3
3
3
ax n =
Lembre-se: É melhor transformar Radicais em Potências antes de efetuar as operações! 
Estudo das Raízes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformar uma fração que possui 
no denominador raiz, não possível de 
simplificação, em outra equivalente, 
eliminando a raiz do denominador 
Racionalização de denominadores 
Regra Geral: Se a fração for 
n mb
a com nm < , multiplica-se o numerador e o denominador por n mnb −
b
ba
b
ba
b
ba
bb
ba
b
b
b
a
b
a
n mn
n n
n mn
n mnm
n mn
n mnm
n mn
n mn
n mn
n mn m
−−
−+
−
−
−
−
−
===
⋅
=⋅=
 
Exemplos: 2
23
223
2
23
22
23
2
2
2
3
2
3
2
3
2
1
121
12
12
12
12
12
2 1
=⋅=⋅=
⋅
⋅=⋅== −+
−
−
−
−
−
 
5
5
5
5
55
51
5
5
5
1
5
1
5 3
5 5
5 3
5 32
5 3
5 25
5 25
5 25 2
==
⋅
⋅=⋅= −
−
 
Dica! 
Transformar Radicais em Potências ajuda a visualizar melhor as operações! 
O mesmo resultado é obtido transformando a raiz do denominador em potência e 
eliminado a fração desta 
5
5
5
5
5
5
5
5
55
51
5
5
5
1
5
1
5 3
1
5
3
5
5
5
3
5
3
5
2
5
3
5
3
5
2
5
3
5
3
5
3
5
25 2
====
⋅
⋅=⋅=
+
 
Pode ser aplicado a denominadores com diferentes radicais 
Exemplos: 
a) 
4
1
7
1
4
77 4
77
4
3
7 3
1
4
97 3 4
97 3
4
1
2
7 3 42
3
8
3
8
3
8
33
8
33
8
33
8
333
8
333
8 =
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
==
⋅
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅
==
⋅
= 
3
278
3
38
3
38
3
38
3
3
3
8
44 3
4
4
4
3
4
3
4
1
4
3
4
3
4
3
4
1 =
⋅=⋅=⋅=⋅=
+ 
b) 33
1
3
213
2
3
2
2
1
3
43
4
3
13
55555
5
5
5
5
5
5
55
5
55
5 ===⋅==
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
==
⋅
= −− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
Para quaisquer valores de “a” e “b” tem-se 
( ) ( ) ( ) 22222 bab2abbaababababa ++=+++=+=+⋅+
 
( ) ( ) ( ) 62526232232323 222 +=++=+⋅⋅+=+ 
 
( ) ( ) ( ) 22222 bab2abbaababababa +−=+−−=−=−⋅−
 
( ) ( ) 24622442222222 222 −=+−=+⋅⋅−=− 
 
( ) ( ) 2222 babbaabababa −=−−+=−⋅+
 
( ) ( ) ( ) 231313131 22 −=−=−=+⋅− 
 
( ) ( ) ( ) 322332 bab3ba3abababa +++=+=+⋅+
 
( ) 8x12x6x22x32x3x2x 2332233 +++=+⋅⋅+⋅⋅+=+ 
 
( ) ( ) ( ) 322332 bab3ba3abababa −+−=−=−⋅−
 
( ) 322332233 yyx3yx3xyyx3yx3xyx −+−=−⋅⋅+⋅⋅−=−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não Esqueça! 
( ) 222 bab2aba ++=+ 
( ) 222 bab2aba +−=− 
( ) ( )bababa 22 −⋅+=− 
Fique Atento! 
( ) 222 baba +≠+ e ( ) 222 baba −≠−
 
( ) 333 baba +≠+ e ( ) 333 baba −≠−
 
O produto notável ( ) ( )bababa 22 −⋅+=− é utilizado para racionalizar frações que contenham 
no denominador operações de adição ou subtração com radicais de índice dois. 
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
5
612
5
612
61
612
61
612
61
61
61
2
61
2
22
−−=−
−=−
−=
−
−⋅=−
−⋅+=+ 
( )( ) ( )( )
( ) 5251 52545 52525
255
25
25
25
5
25
5 2
22
+=+=−
+=
−
+⋅=+
+⋅−=− 
( )( ) ( )( ) ( ) 5
27
27
27
27
271
27
27
27
1
27
1
22
−=−
−=
−
−⋅=−
−⋅+=+ 
Importante! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA DE TRÊS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra de Três Simples Envolve apenas duas grandezas. Resolve problemas que envolvam
quatro valores para as duas grandezas, onde três desses valores são conhecidos. O quarto valor é 
determinado a partir dos três já conhecidos 
Exemplo: Um Pacote de ração alimenta 6 cachorros durante 25 dias. Quantos pacotes de ração serão 
necessários para alimentá-los por um período de 75 dias? 
 Ração (pacotes) Período (dias) 
 1 25 
 x 75 
Regra de Três Composta Envolve mais de duas grandezas. Deve-se avaliar a relação de 
proporção de cada grandeza separadamente. 
Exemplo: Uma obra é construída em 200 dias por 20 operários trabalhando 6 horas por dia. Quantos 
operários serão necessários para construir a mesma obra em 100 dias trabalhando 8 horas por dia? 
Operários (nº) Período de trabalho (horas) Duração da Obra (dias)
20 6 200 
x 8 100 
Relação de Proporção Para Duas Grandezas Variáveis 
Direta → Quando aumentando ou diminuindo uma delas em duas, três ou “x” vezes, o valor da outra 
também aumenta ou diminui para duas, três ou “x” vezes, respectivamente. 
 Garrafas de Refrigerante (unidade) Quantidade (litros) Queijo (kg) Preço (R$) 
 1 2 1 8,40 
 2 4 1/2 4,20 
Inversa → Quando aumentando ou diminuindo uma delas em duas, três ou “x” vezes, o valor da 
outra diminui ou aumenta para duas, três ou “x” vezes, respectivamente. 
 Pedreiros (nº) Execução do muro (dias) Máquina (nº) Produção de 100 velas (horas) 
 1 2 4 3 
 2 1 2 6 
↑ ↑ ↓ ↓
↑ ↑ ↓↓ 
Procedimentos Encontrar as grandezas Montar o raciocínio Comparar as grandezas
↑ ↑ raçãodepacotes3x25
75x25
75
1
x =⇒=⇒=
30x100
200
8
6
20
x =⇒⋅= Operários↑ ↓↓ 
Operação onde se calcula proporções envolvendo duas ou mais grandezas
Proporção é a igualdade entre duas frações e as grandezas podem ser 
direta ou inversamente proporcionais 
Regra de três pode ser simples ou composta
Proporção 
d
c
b
a =
 
“a” está para “b” assim 
como “c” está para “d”
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORCENTAGEM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Porcentagem ou percentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo (%) e indica a
divisão de um número por cem. 
 
Exemplo: Um carro popular valia em 1994 8 mil reais. Em 2006, um carro similar custa o 
equivalente a 13 mil reais. Qual o aumento de preço percentual ao longo do período? 
 
O resultado pode ser obtido através de uma regra de três simples: 
Ano Valor do Carro (R$) Valor correspondente em (%) 
1994 8000 100 
2006 13000 x ↑ ↑
%5,621x8
1300x8000
13000
100
x =⇒=⇒= O aumento percentual de preço no período foi de 62,7%
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UUnniiddaaddeess FFuunnddaammeennttaaiiss ddoo SSII 
 NNoommee SSíímmbboolloo 
CCoommpprriimmeennttoo mmeettrroo ]m[ 
MMaassssaa qquuiillooggrraammaa ]kg[ 
TTeemmppoo sseegguunnddooss ]s[ 
IInntteennssiiddaaddee ddee CCoorrrreennttee EEllééttrriiccaaaa aammppèèrree ]A[ 
TTeemmppeerraattuurraa TTeerrmmooddiinnââmmiiccaa KKeellvviinn ]K[ 
IInntteennssiiddaaddee LLuummiinnoossaa ccaannddeellaa ]cd[ 
AAllgguunnss PPrreeffiixxooss ddoo SSII 
FFaattoorr PPrreeffiixxoo SSíímmbboolloo 
110− ddeeccii d 
210− cceennttii c 
310− mmiillii m 
610− mmiiccrroo μ 
910− nnaannoo n 
310 kkiilloo k 
610 mmeeggaa M 
Exemplos de conversão de unidades 
Sistema Internacional de Medidas (SI) Conjunto de unidades utilizada para medir e comparar 
todas as espécies de grandezas, possibilitando ainda a operação com seus múltiplos e submúltiplos. 
Conversão de m30 em mμ , mm , cm , dm e km 
 mμ mm cm dm km 
 Conversãoa 
 
321
m
66 m101030
μ
−××
 
321
mm
33 m101030 −×× 321
cm
22 m101030 −××321
dm
11 m101030 −××
 321km
33 m101030 ×× −
 Valor m10.3 7μ mm000.30 cm000.3 dm300 km03,0 
 Outras Grandezas 
 Massa Tempo Velocidade Área Volume 
 Valor original kg5 h3 h/km60 2cm120 37 mm10 
 Converter para ]g[ ]s[ ]s/m[ 2]m[ 3]m[ 
 Conversão g105 3× s36003× 
s3600
m1060 3× 22 )m10(120 −× 337 )m10(10 −×
Valor convertidovv g000.5 s800.10 s/m67,16 2m012,0 3m01,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REVISÃO: TRIGONOMETRIA - TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo Retângulo é todo 
triângulo que tem um ângulo reto 
Catetos São os lados que formam o ângulo reto 
Hipotenusa É o lado oposto ao ângulo reto 
A soma dos ângulos internos em um triângulo vale 180 graus oo 180βα90 =++ 
Teorema de Pitágoras 
Em um triângulo Retângulo, a soma dos quadrados das medidas 
dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa 
222 cba +=
Exemplo: Determine o Valor de “x” no triângulo retângulo abaixo: 
 
 
Relações Trigonométricas Em Um Triângulo Retângulo 
Cateto oposto Lado oposto ao ângulo (“lado em frente ao ângulo”) 
Cateto adjacente Lado junto ao ângulo que não é a hipotenusa (“lado ligado ao ângulo”) 
H
CO
Hipotenusa
OpostoCateto(ângulo)sen == H
CA
Hipotenusa
AdjacenteCateto(ângulo)cos ==
CA
CO
AdjacenteCateto
OpostoCateto(ângulo)tg ==
x5a =
 
m6b =
 
x4c =
 
222 cba +=
 
( ) ( ) ( )222 x4m6x5 += ⇒ 222 x16m36x25 += 
222 m36x16x25 =− ⇒ 2222 m4xm36x9 =⇒= ⇒ m2xm4x 2 =⇒= 
Dicas! 
Exemplo:Determine os valores dos catetos para o triângulo retângulo 
Cálculo do cateto “b” 
m5bm10
b
2
1
H
CO)30(sen =⇒=⇒=o ou m5bm10
b
2
1
H
CA)60cos( =⇒=⇒=o
 
 
Cálculo do cateto “c” 
m2
35bm10
c
2
3
H
CO)60(sen =⇒=⇒=o ou m2
35bm10
c
2
3
H
CA)30cos( =⇒=⇒=o
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS E ÂNGULOS SIMÉTRICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função 
Valores Notáveis 
π→o180 
6
30 π=o
4
45 π=o 
3
60 π=o
Seno 
2
1 
2
2 
2
3 
Cosseno 
2
3 
2
2 2
1 
Tangente 
3
3 1 3 
Estudo dos Sinais Máximos e Mínimos das Funções seno e cosseno 
 
 
 
 
 
VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (30º) 
 
 
 
 
 
Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ângulo (30º) com as retas horizontais 
tracejadas, assim, a tangente do triângulo superior é igual à razão entre 
“1 - y” e “x” ! 
 
 
 
 
 
 
VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (45º) 
 
 
 
 
 
Ângulo de 45º indica a diagonal de um quadrado, portanto “x” deve ser 
igual a “y” ! 
 
 
 
 
 
VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (60º) 
 
 
 
 
 
Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ângulo (60º) com as retas 
horizontais tracejadas, formando um triângulo equilátero, logo, 
“x” é igual a 1/2 ! 
 
 
ALGUNS TIPOS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dois Lados Congruentes 
(Dois Lados e Dois Ângulos Iguais) 
Triângulo 
Isósceles 
 
 
 
Três Lados e Três Ângulos Iguais Triângulo 
Equilátero 
 
 
 
Dois Lados Congruentes 
(Dois Lados Iguais) 
Trapézio 
Isósceles 
 
 
 
 
 
 
Dois Ângulos Retos Trapézio 
Retângulo 
REVISÃO: CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO A FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação de A em B é 
função se cada elemento x de A possui somente um único correspondente em y. 
Esta relação deve atender duas condições: 
 Todo elemento x de A deve ter correspondente y em B 
 Cada elemento x de A deve ter um único correspondente y em B 
 
Conjuntos Numéricos 
 
Conjuntos dos Números Naturais: Surgiram da necessidade de contar objetos 
 
IN = {0, 1, 2, 3, ... } 
 
Conjuntos dos Números Inteiros: Inclui números inteiros negativos 
 
 Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } 
 
Conjuntos dos Números Racionais: Todo número que pode ser escrito na forma de fração 
 
Q = {..., -2 , ...., -3/2 , ...., -1 , ..., -2/5, .... , -1/9 , .... 0, .... 1/5... , 3, ... , 7/2, ... } 
 
Conjuntos dos Irracionais: É dízima não periódica 
 
I = {..., COS 45º , ...., π , ... } COS 45º = 0,7071067 ... 
 π = 3,1415926 ... 
Conjuntos dos Reais: União dos números Racionais e Irracionais 
 
R = Q ∪ I 
Intervalos 
 Indica Inclusão 
 Indica Exclusão 
 ∪ = 
 ∩ = 
Fechado:Inclui todos os números reais do intervalo, 
incluindo os extremos ⇒ }7x3/Rx{ ≤≤−∈ → 
Aberto:Inclui todos os números reais do intervalo, 
excluindo os extremos ⇒ }1x6/Rx{ <<−∈ → 
Semi-Abertos:Inclui todos os números reais do intervalo, 
excluindo um dos extremos ⇒ }9x5/Rx{ <≤∈ → 
Reta orientada que representa os Reais 
Um ponto qualquer marca a Origem e outro ponto. À direita da origem estão os 
números positivos e à esquerda, os negativos. Cada ponto desta reta chama-se 
abscissa do ponto: 
 
Reta Real 
Função 
Não função Função Não Função
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema Cartesiano Ortogonal 
O sistema cartesiano pode ser utilizado para representar os pares ordenados de uma relação. Este sistema 
divide o plano em quatro quadrantes: 
 
 
 Gráfico de Uma Relação 
 
 
 Crescimento e Decrescimento de Uma Função 
x aumenta e y aumenta: a função é crescente ⇒ [0, 2] e [7, 10] 
x aumenta e y diminui: a função é decrescente ⇒ [2, 7] 
 
 Raiz ou Zero da Função 
São os pontos onde o gráfico corta o eixo x. São chamados raízes ou zero da 
função, este último pelo fato de suas ordenadas serem nulas 
São raízes ou zeros da função ⇒ 0, 4 e 10 
 
 Sinal de Uma Função 
Se o gráfico estiver acima do eixo x: a função é positiva ⇒ ]0, 4[ 
Se o gráfico estiver abaixo do eixo x: a função é negativa ⇒ ]4, 10[ 
⇒ O ponto de interseção dos eixos é a origem do sistema 
⇒ O ponto (x, y) são números reais e representam as ordenadas do ponto 
⇒ Onde x é a abscissa e y a ordenada desse ponto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação de Uma Função 
 
Função Par e Função Ímpar 
Uma função f: A → B é Par se, para cada x∈A, tem-se )x(f)x(f −= 
Exemplo: 
1x)x(f 4 += 
1x1)x()x(f 44 +=+−=− 
ParFunção)x(f)x(f −= 
Uma função f: A → B é Ímpar se, para cada x∈A, tem-se )x(f)x(f −=− 
Exemplo: 
xx)x(f 3 += 
)xx(xx)x()x()x(f 333 +−=−−=−+−=− 
ÍmparFunção)x(f)x(f −=− 
O conjunto A é chamado de domínio de f: D= {1,2,3} 
Cada elemento do domínio é representado pela letra x e é a 
variável independente da função 
 
O conjunto B é chamado de contradomínio de f: B= {1,2,3,4,5} 
Cada elemento do contradomínio é representado pela letra y ou 
f(x) , que é a variável dependente da função 
 
O subconjunto de B que possui os elementos de y que estão 
associadoscom x é chamado de conjunto imagem da função e 
indicado por Im: Im= {2,3,4} 
 
A função f possui domínio em A com imagens em B , ou seja, 
f:A→B (lê-se f de A em B) e a expressão de correspondência 
do exemple é: 
y = f(x) = x + 1 
 
REVISÃO: FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Linear 
Definição: Se 0b = a função )x(fy = é denominada de função linear e seu gráfico é uma reta que passa 
pela origem. 
Exemplo: 0be1ax)x(fy =−=⇒−== 
 
 
 
Função de Primeiro Grau 
Definição: Uma Função cuja expressão é da forma bax)x(fy +== onde “a” e “b” são números reais,
com 0a ≠ , chama-se função de primeiro grau. 
Exemplos: 
5be2a5x2)x(f ==⇒+= 
0be3
2ax3
2)x(f =−=⇒−= 
Gráfico de Uma Função de Primeiro Grau 
Exemplo: 1be2a1x2)x(fy ==⇒+== 
 
 
 
O gráfico da função bax)x(fy +== é uma reta x )x(fy = )y,x(Par 
-2 -3 (-2, -3) 
-1 -1 (-1, -1) 
0 1 (0, 1) 
1 3 (1, 3) 
2 5 (2, 5) 
 
3141)2(2)2(f −=+−=+−=−
1121)1(2)1(f −=+−=+−=−
1101)0(2)0(f =+=+=
3121)1(2)1(f =+=+=
5141)2(2)2(f =+=+= 
x )x(fy = )y,x(Par
-1 1 (-1, 1) 
0 0 (0, 0) 
1 -1 (1, -1) 
 
1)1()1(f =−−=−
0)0()0(f =−=
1)1()1(f −=−= 
Como o gráfico de uma função
 
de 1º grau é uma reta são, 
necessários somente dois pontos para representá-lo! 
Se b = 0, a função é linear e seu gráfico 
passa pela origem! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa de Variação Média (TVM) 
 
Para a função 1be2a1x2)x(fy ==⇒+== tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Função Constante 
Definição: Se 0a = , a função )x(fy = é denominada de função constante e seu gráfico é uma reta 
paralela ao eixo x. 
Exemplo: 2be0a2)x(fy ==⇒== 
 
 
 
 
x )x(fy = )y,x(Par 
-1 2 (-1, 2)
0 2 (0, 2) 
1 2 (1, 2)
 
2)1(f =−
2)0(f =
2)1(f = 
Se a = 0, a função é constante e seu 
gráfico é paralelo ao eixo x 
Função constante “não é” uma função 
de primeiro grau! 
x )x(fy = )y,x(Par 
-2 -3 (-2, -3) 
-1 -1 (-1, -1) 
0 1 (0, 1) 
1 3 (1, 3) 
2 5 (2, 5) 
 
3141)2(2)2(f −=+−=+−=−
1121)1(2)1(f −=+−=+−=−
1101)0(2)0(f =+=+=
3121)1(2)1(f =+=+=
5141)2(2)2(f =+=+= 
Quando x aumenta de 1 unidade, y aumenta de 2 unidades. Assim, a 
razão entre a diferença de dois valores quaisquer é constante: 
21
2
x
y
12
35
01
13
)1(0
)1(1
)2(1
)3(1 ==Δ
Δ=−
−=−
−=−−
−−=−−−
−−− 
A esta razão chama-se taxa de variação média. Sendo 1x e 2x 
elementos do domínio de )x(f e 12 xx > , tem-se: 
12
12
12
12
xx
yy
xx
)x(f)x(f
x
yTVM −
−=−
−=Δ
Δ= 
 
Para uma função do tipo bax)x(fy +== a TVM é: 
 
12
12
12
12
12
12
xx
axax
xx
)bax()bax(
xx
)x(f)x(f
x
yTVM −
−=−
+−+=−
−=Δ
Δ=
 
 
axx
)xx(a
xx
axaxTVM
12
12
12
12 =−
−=−
−= 
Para uma função de 1º grau, a taxa de variação média (TVM) é igual a “a”! 
A constante “a” é 
chamada de 
coeficiente angular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente Angular da Reta 
 
 
 
 
 
 
Notar que: 
aTVMx
ytag ==Δ
Δ=α 
 
A tangente do ângulo que a reta faz com o eixo 
x fornece a taxa de variação média da função 
ou Coeficiente Angular da reta! 
Coeficiente Linear da Reta 
A constante “b” é chamada de coeficiente linear e indica o valor onde a reta corta o eixo y, em 0x = . 
 
 
 
 
 
 
Em x igual a zero (x = 0), o 
gráfico corta o eixo y em “b”. 
A constante “b” indica o 
Coeficiente Linear da reta! 
Estudo do Sinal de Uma Função de Primeiro Grau 
Para analisar o sinal de uma função deve-se obter a raiz ou zero da função, ou seja, o valor da abscissa do 
ponto onde o gráfico corta o eixo x, em 0y = . Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Crescimento de Decrescimento de Uma Função de Primeiro Grau 
A função )x(f é crescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y aumentam. 
Assim, para xΔ e yΔ maiores que zero: 
0ax
y >=Δ
Δ 
A função )x(f é decrescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y diminuem. 
Assim, para xΔ ou yΔ menores que zero: 
0ax
y <−=Δ
Δ 
Exemplo: 
a) 1be1a1x)x(fy ==⇒+== b) 1be1a1x)x(fy =−=⇒+−== 
A função é crescente se 0a > 
A função é decrescente se 0a <
x )x(fy = )y,x(Par
-2 -1 (-2, -1) 
-1 0 (-1, 0) 
0 1 (0, 1) 
1 2 (1, 2) 
2 3 (2, 3) 
 
11)2()2(f −=+−=−
01)1()1(f =+−=−
11)0()0(f =+=
21)1()1(f =+=
31)2()2(f =+= 
x )x(fy = )y,x(Par 
-2 3 (-2, 3) 
-1 2 (-1, 2) 
0 1 (0, 1) 
1 0 (1, 0) 
2 -1 (2, -1) 
 
31)2()2(f =+−−=−
21)1()1(f =+−−=−
11)0()0(f =+−=
01)1()1(f =+−=
11)2()2(f −=+−= 
 
crescenteé)x(f0a ⇒> edecrescenté)x(f0a ⇒< 
REVISÃO: FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concavidade da Parábola 
 
 
 
 
 
 
 
Função de segundo Grau 
Definição: Uma Função cuja expressão é da forma cbxax)x(fy 2 ++== onde “a”, “b” e “c” são 
números reais, com 0a ≠ , chama-se função de segundo grau ou função quadrática. 
Exemplos: 
2ce3b,1a2x4x)x(f 2 ===⇒++= 0ce4b,1ax4x)x(f 2 ==−=⇒+−= 
1ce3b,2a1x3x2)x(f 2 =−==⇒+−= 4ce0b,10a4x10)x(f 2 ==−=⇒+−= 
Gráfico de Uma Função de Primeiro Grau 
Exemplo: 6x5x)x(fy 2 +−== 
 6be5b,1a =−== 
 
 
O gráfico da função
 
cbxax)x(fy 2 ++== é uma parábola 
x )x(fy = )y,x(Par
-3 30 (-3, 30) 
-2 20 (-2, 20) 
-1 12 (-1, 12) 
0 6 (0, 6) 
1 2 (1, 2) 
2 0 (2, 0) 
3 0 (3, 0) 
 
3061596)3(5)3()3(f 2 =++=+−−−=−
2061046)2(5)2()2(f 2 =++=+−−−=−
126516)1(5)1()1(f 2 =++=+−−−=−
66006)0(5)0()0(f 2 =++=+−=
26516)1(5)1()1(f 2 =+−=+−=
061046)2(5)2()2(f 2 =+−=+−=
061596)3(5)3()3(f 2 =+−=+−= 
 
 
Como o gráfico de uma função
 
de 2º grau é 
uma parábola é necessário determinar as 
raízes e seu vértice para representá-lo! 
Se a > 0 ⇒ Parábola com 
concavidade voltada 
para cima 
Se a > 0 ⇒ Parábola com 
concavidade voltada 
para baixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Raízes ou Zeros da Função de Segundo Grau 
Definição: Os pontos onde o gráfico cbxax)x(fy 2 ++== corta o eixo x (em 0y = ) são chamados 
raízes ou zeros da função. Para determinar as raízes usa-se a fórmula de Bháskara ou o método da soma e 
produto de raízes. 
 
 
 
Fórmula de Bháskara Soma e Produto de Raízes 
Através da soma e produto das raízes é 
possível determinar as raízes (geralmente 
inteiras) de algumas expressões. 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−++−=+= 2a
Δb
2a
ΔbxxSoma 21 
a
b
a2
b2
a2
bbS −=−=Δ+−Δ+−= 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ+−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ+−== a2
b.a2
bx.xProduto 21
 
2
22
2
22
a4
ac4bb
a4
)ac4b(bProduto +−=−−=
a
c
a4
ac4P 2 == 
Exemplo: 6x5x)x(fy 2 +−== 
6c5b1a =−== 
51
)5(
a
bS =−−=−= 
61
6
a
cP === 
Quais são os números cuja soma é igual 
a 5 e o produto igual a 6? 
Os números são 2 e 3, pois: 
 
532Soma =+= 
632Produto =×= 
Assim: 
3xe2x 21 == 
cbxax)x(fy 2 ++== 
a2
bx Δ±−= 
ac4b2 −=Δa2
bxea2
bx 21
Δ−−=Δ+−= 
Exemplo: 6x5x)x(fy 2 +−== 
6c5b1a =−== 
)6()1(4)5(ac4b 22 −−=−=Δ 
12425 =−=Δ 
1.2
1)5(
a2
bx ±−−=Δ±−=
 
2
15x ±=
 
3
2
15x1 =+=
 
2
2
15x 2 =−= 
As raízes são 2 e 3 
6x5x)x(fy 2 +−== 
6)2(52)2(fy 2 +−== 
0)2(fy == 
6)3(53)3(fy 2 +−== 
0)3(fy == 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vértice da Parábola 
 
O vértice da parábola é o ponto de mínimo, se 0a > , ou o ponto de máximo, se 0a < , da função. 
 
 
 
 
 
 
 
Para 0a = , tem-se que ccbxaxy 2 =++= , isto é, a parábola corta o eixo y no ponto de ordenada “c”. 
Por simetria, existe outro valor de x que resulta em cy = : 
 
 
 
 
 
 
 
Como o ponto onde a
bx −= é simétrico em relação ao vértice: 
2
a
b
x v
−
= 
 
 
 
Para 
a2
bx v −= 
a4a4
)ac4b(
a4
ac4b2bca2
b
a4
bca2
bba2
bay
222222
v
Δ−=−−=+−=++=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= 
 
 
Para cy = : 
a
bx
0x
0)bax(x
0bxax
ccbxax
2
1
2
2
−=
=
=+
=+
=++
 
 
a2
bxv −=
a4yv
Δ−=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo do Sinal de Uma Função de Segundo Grau 
Para 0>Δ 0=Δ 0<Δ 
 
Duas raízes reais 
e 
distintas 
Duas raízes reais 
e 
iguais (raiz dupla)
Não possui raiz 
real 
(raízes imaginárias) 
0a > 
 
0a < 
 
 
 
Crescimento de Decrescimento de Uma Função de Segundo Grau 
A função cbxax)x(f 2 ++= é crescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y 
aumentam. Caso contrário, a função é decrescente. O ponto onde a parábola passa de decrescente para 
crescente ou vice-versa é o vértice. 
Exemplo: 6c5b1a6x5x)x(fy 2 =−==⇒+−== 
 x )x(fy = )y,x(Par 
0 6 (0, 6) Corta o eixo y
1 2 (1, 2) 
2 0 (2, 0) x1 
5/2 -1/4 (5/2, -1/4) Vértice 
3 0 (3, 0) x2 
5 6 (5, 6) 
 
66)0(5)0()0(f 2 =+−=
26)1(5)1()1(f 2 =+−=
06)2(5)2()2(f 2 =+−=
4/16)2/5(5)2/5()2/5(f 2 −=+−=
06)3(5)3()3(f 2 =+−=
66)5(5)5()5(f 2 =+−= 
 
REVISÃO: FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções Exponenciais 
Definição: Uma função exponencial é definida como xa)x(f = , onde 1a ≠ e 0a > . 
Exemplos: x5)x(f = x2)x(f = x3
1)x(f ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
Gráfico de Uma Função Exponencial 
Exemplo 1: x2)x(f =
 
 
 
1a2a >⇒= 
 
 
 
 
 
 
 
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )1,0( 
Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que: 
⎩⎨
⎧
→⇒−∞→
+∞→⇒+∞→
0yx
yx
 
Exemplo 2: 
x
2
1)x(f ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
 
 
1a05,02/1a <<⇒== 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )1,0( 
Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que: 
⎩⎨
⎧
+∞→⇒−∞→
→⇒+∞→
yx
0yx
 
x )x(fy = )y,x(Par
-3 1/8 (-3, 1/8) 
-2 1/4 (-2, 1/4) 
-1 1/2 (-1, 1/2) 
0 1 (0, 1) 
1 2 (1, 2) 
2 4 (2, 4) 
3 8 (3, 8) 
x2)x(f =
8/1)2()3(f 3 ==− −
4/1)2()2(f 2 ==− −
2/1)2()1(f 1 ==− −
1)2()0(f 0 ==
2)2()1(f 1 ==
4)2()2(f 2 ==
8)2()3(f 3 == 
x )x(fy = )y,x(Par
-3 8 (-3, 8) 
-2 4 (-2, 4) 
-1 2 (-1, 2) 
0 1 (0, 1) 
1 1/2 (1, 1/2) 
2 1/4 (2, 1/4) 
3 1/8 (3, 1/8) 
x)2/1()x(f =
8)2/1()3(f 3 ==− −
4)2/1()2(f 2 ==− −
2)2/1()1(f 1 ==− −
1)2/1()0(f 0 ==
2/1)2/1()1(f 1 ==
4/1)2/1()2(f 2 ==
8/1)2/1()3(f 3 ==
Função exponencial 
crescente 
Função exponencial 
decrescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de Uma Função Exponencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Faça o gráfico da função x31)x(f +=
 
A base que tem o expoente x vale 3 
crescentefunção1a3a ⇒>⇒= 
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )2,0( 
21131)0(fy31)x(fy 0x =+=+==⇒+== 
 
 
Exemplo 4: Faça o gráfico da função 1x51)x(f ++=
 
A base que tem o expoente x vale 5 
crescentefunção1a5a ⇒>⇒= 
Verificando o ponto onde a função corta o eixo y (em 0x = ) 
65151)0(fy51)x(fy 101x =+=+==⇒+== ++ 
 
 
Exemplo 5: Faça o gráfico da função 2x32)x(f ++=
 
A base que tem o expoente x vale 3 
crescentefunção1a3a ⇒>⇒= 
Verificando o ponto onde a função corta o eixo y (em 0x = ) 
119232)0(fy32)x(fy 202x =+=+==⇒+== ++ 
Gráfico de Uma Função Exponencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outros Exemplos 
 
Exemplo 1: Faça o gráfico da função x31)x(f +=
 
 
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )2,0( 
21131)0(fy31)x(fy 0x =+=+==⇒+== 
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: 
⎩⎨
⎧
→⇒−∞→
+∞→⇒+∞→
1yx
yx
 
x31y += 
+∞→⇒∞+=+=+∞→ +∞ y131y:xPara 
1y0111
3
1131y:xPara →⇒+=∞+=+=+=−∞→ ∞+
∞− 
 
 
 
 
Se a > 1 ⇒ Função 
exponencial crescente 
Se 0 < a < 1 ⇒ Função 
exponencial decrescente 
Para xa)x(f = 
 
Para xa)x(f = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de Uma Função Exponencial 
 
Exemplo 2: Faça o gráfico da função x221)x(f −=
 
 
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )0,0( 
01121)0(fy21)x(fy 0x2 =−=−==⇒−== 
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: 
⎩⎨
⎧
→⇒−∞→
−∞→⇒+∞→
1yx
yx
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→⇒−=∞−=−=−=−=−∞→
−∞→⇒∞−=−=−=+∞→
−=
∞+
∞−−∞×
∞++∞×
1y0111
2
112121y:xPara
y12121y:xPara
21y )(2
)(2
x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Faça o gráfico da função 1x51)x(f ++=
 
 
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )6,0( 
65151)0(fy51)x(fy 101x =+=+==⇒+== ++ 
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: 
⎩⎨
⎧
→⇒−∞→
+∞→⇒+∞→
1yx
yx
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→⇒+=+=+=+=−∞→
+∞→⇒∞+=+=+=+∞→
+=
∞+
∞−+∞−
∞++∞+
+
1y01
5
115151y:xPara
y15151y:xPara
51y 1
1
1x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de Uma Função Exponencial 
 
Exemplo 4: Faça o gráfico da função x123)x(f −+−=
 
 
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )1,0( − 
12323)0(fy23)x(fy 01x1 −=+−=+−==⇒+−== −− 
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: 
⎩⎨
⎧
+∞→⇒−∞→
−→⇒+∞→
yx
3yx
 
x123y −+−= 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+∞→⇒∞+−=+−=+−=+−=−∞→
−→⇒+−=∞+−=+−=+−=+−=+−=+∞→
∞+∞+−∞−
∞+
∞−∞−+∞−
y3232323y:xPara
3y0313
2
13232323y:xPara
1)(1
1)(1
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Faça o gráfico da função 2x32)x(f ++=
 
 
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )11,0( 
11923232)0(fy32)x(fy 2202x =+=+=+==⇒+== ++ 
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: 
⎩⎨
⎧
→⇒−∞→
+∞→⇒+∞→
2yx
yx
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→⇒+=+=+=+=−∞→
+∞→⇒∞+=+=+=+∞→
+=
∞+
∞−+∞−
∞++∞+
+
2y02
3
123232y:xPara
y23232y:xPara
32y 2
2
2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Número Neperiano (ou de Napier) ou Número exponencialTambém chamado de número de Euler ou de Néper, a constante matemática “ e ” tem grande 
importância, pois está presente na formulação de vários fenômenos naturais (desintegração radioativa, 
crescimento populacional, etc.). É um número irracional e tem valor: 
 
 
 
Associada ao número neperiano, a função exponencial de base “e ” é uma das mais importantes funções 
da matemática: 
 
 
... 459 828 281 2,718e = 
xef(x) = 
Equações Exponenciais 
Definição: Uma equação exponencial possui expoentes como incógnita. São equações exponenciais: 
82x =
 
3433 5x =−
 
25525 3xx =×+ + 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para resolver equações exponenciais utiliza-se a seguinte propriedade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Antes: Lembretes de Potenciação e Radiciação 
nmnm aaa +=⋅ 0a,a
a
a nm
n
m ≠= − ( ) 0a,aa nmnm ≠= ⋅ 
( )nnn baba ⋅=⋅ 0b,b
a
b
a n
n
n ≠⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= n mn
m
aa = 
Se duas potências têm a mesma base, então os 
expoentes são iguais. Assim, para a > 0 e a ≠ 0: 
nmaa nm =⇔=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Exponenciais 
Exemplo 1: Resolva a equação 322x = 
Reduzindo os dois membros da igualdade a mesma base tem-se: 5xx 22322 =⇒= 
Se a equação exponencial tem a mesma base, é possível igualar os expoentes: 5x22 5x =⇔= 
 
Exemplo 2: Resolva a equação 255 4x =+ 
Reduzindo a mesma base: 24x4x 55255 =⇒= ++ 
Igualando os expoentes: 2x42x24x55 24x −=⇒−=⇒=+⇒=+ 
 
Exemplo 3: Resolva a equação 
x32x
2
3
3
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + 
 
Reduzindo a mesma base: 
x32xx312xx32x
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
3
2 −+−++ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
 
Igualando os expoentes: 5
2x2x5x32x3
2
3
2 x32x −=⇒−=⇒−=+⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+ 
 
Exemplo 4: Resolva a equação 27
13
2xx2 =− 
 
Reduzindo a mesma base: 3xx23
xx2xx2 33
3
1327
13
222 −−−− =⇒=⇒= 
 
Igualando os expoentes: 03x2x03xx23xx233 2223xx2
2 =++−⇒=+−⇒−=−⇒= −− 
 
Resolvendo a equação de 2º grau 03x2x2 =++− : 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=
−===−=
==−=
3xe1x
3a
cProdutoe2a
bSoma
3c2b1a
21
 
 
Exemplo 5: Resolva a equação 
5 x32x 82 =− 
 
Reduzindo a mesma base: ( ) ( ) 5x92 2x5x332 2x5x3212x5 x32x 22228282 =⇒=⇒=⇒= −−−− 
 
Igualando os expoentes: ( ) ( )
13
10xx1810x5x922x5
5
x9
2
2x22 5
x9
2
2x
−=⇒=−⇒=−⇒=−⇒=
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Exponenciais 
Exemplo 6: Resolva a equação 9
11333 1x1xx =−+ −+ 
Primeiramente, reduzir a equação a um membro em cada lado da igualdade: 
9
11
3
33.339
11333339
11333
xxx1x1xx1x1xx =−+⇒=−+⇒=−+ −−+ 
Colocando em evidência x3 : 
1xxxxxxx 33
1
11
3
9
113
3
11
9
11
39
11
3
1139
11
3
13139
11
3
3333 −==×=⇒=⇒=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⇒=−×+ 
Com a mesma base, é possível igualar os expoentes: 1x33 1x −=⇒= − 
 
Exemplo 7: Resolva a equação x
x
25
44 =+ 
( ) ( ) 0425204252254425 44 x2xxx2xxxx =+×−⇒=+×−⇒×=+⇒=+ 
Fazendo uma mudança de variável do tipo x2m = e substituindo na equação: 
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==⇒===−=
=−==
=+−⇒=+×−
4me1m4a
codutoPre5a
bSoma
4c5b1a
04m5m04252
21
2x2x
 
Fazendo novamente a troca da variável x2m = : 
0x22212m1mPara x0xx =⇒=⇒=⇒=⇒= 
2x22242m4mPara x2xx =⇒=⇒=⇒=⇒= 
 
Exemplo 8: Resolva a equação 0ee 1xx2 =− + 
( ) 0eee0ee x12x1xx2 =×−⇒=− + 
Fazendo uma mudança de variável do tipo xem = e substituindo na equação: 
( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
==⇒===−=
=−==
=⇒=−=⇒=−⇒=−
=−⇒=×−
eme0m0a
cProdutoeea
bSoma
0ceb1a
ou
em0emou0m0e)(mm0mem
0mem0eee
21
2
2x12x
 
Fazendo novamente a troca da variável xem = : 
IRxe0em0mPara xx ∉⇒=⇒=⇒= 
}1{spRe1xeeeeememPara x1xx −⇒=⇒=⇒=⇒=⇒= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logaritmos 
Definição: O logaritmo de um número b na base a, com 0a > , 0b > e 1a ≠ , é um número x tal que: 
 
 
 
Onde: b indica o logaritmando 
 a indica a base 
 x indica o logaritmo 
 
Exemplo 1: Calcule o logaritmo 8log2 
O logaritmo de 8 na base 2 é: 3x2228x8log x3x2 =⇒=⇒=⇒= 
Exemplo 2: Calcule o logaritmo 3log3 
O logaritmo de 3 na base 3 é: 
3
1x3333x3log x1/2x3 =⇒=⇒=⇒= 
Exemplo 3: Calcule o logaritmo 63log
6
 
O logaritmo de 36 na base 6 é: ( ) ( ) 4xx
2
1266663x63log
x1/22x
6
=⇒=⇒=⇒=⇒= 
Exemplo 4: Calcule o logaritmo 5log5 
O logaritmo de 5 na base 5 é: 1x5555x5log x1x5 =⇒=⇒=⇒= 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Calcule o logaritmo 100log 
O logaritmo decimal de 100 é: 2x101001100x100log x2x =⇒=⇒=⇒= 
 
 
 
 
 
baxblog xa =⇔= 
1aloga =
Logaritmos decimais são aqueles cuja base é 10. Nos logaritmos 
decimais normalmente a base é omitida: 
blogblog10 = 
Logaritmos neperianos ou naturais são aqueles cuja base é “e ”. 
Os logaritmos naturais são representados da seguinte forma: 
bnlbloge = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades dos Logaritmos Resultantes da Definição 
Para 0a > , 0b > e 1a ≠ : 
 
 
 
Exemplo 1: Calcule o logaritmo 42 2log 
O logaritmo de 42 na base 2 é: 4x22x2log x442 =⇒=⇒= 
 
Exemplo 2: Calcule o logaritmo 1log9 
O logaritmo de 1 na base 9 é: 0x9991x1log x0x9 =⇒=⇒=⇒= 
 
Exemplo 3: Calcule 9log33 
Fazendo x3
9log
3 = e aplicando logaritmo na base 3 nos dois lados da equação: 
xlog9logxlog3logx3 333
9log
3
9log
33 =⇒=⇒= 
9xx3xlog2xlog3logxlog9log 233
2
333 =⇒=⇒=⇒=⇒= 
 
 
Exemplo 4: Calcule o seguinte logaritmo 5log5 
O logaritmo de 5 na base 5 é: 1x5555x5log x1x5 =⇒=⇒=⇒= 
Exemplo 4: Calcule o seguinte logaritmo 3enl 
O logaritmo neperiano de 3e é: 3xeexegolxenl x33e
3 =⇒=⇒=⇒= 
Propriedades Operatórias dos Logaritmos 
 
 
 
 
 
 
 
nlogmlog)nm(log aaa +=× 
nlogmlog
n
mlog aaa −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
 
mlogpmlog a
p
a ×= 
Para 0m > , 0n > , 0a > , 1a ≠ e IRp∈ :
malog ma = 01loga = ba
blog
a = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades Operatórias dos Logaritmos 
 
Exemplo 1: Dado 0,4773loge0,3012log == calcule 6log 
O logaritmo decimal de 6 é: 778,0477,0301,03log2log)32(log6log =+=+=×= 
 
Exemplo 2: Dado 0,4773loge0,3012log == calcule 4log12log − 
0,4773log
4
12log4log12log ==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=− 
 
Exemplo 3: Dado 0,4773loge0,3012log == calcule 36log 
556,1477,02301,023log32log23log2log)32(log36log 2222 =×+×=×+×=+=×= 
 
Exemplo 4: Dado x3plogexnlog,x2mlog === , calcule 3 2
25
p
nmlog 
( ) plog
3
2nlog2mlog5plognlogmlogplognmlog
p
nmlog 3/2253 2253 2
25
−+=−+=−= 
x10x2x2x10x3
3
2x2x25plog
3
2nlog2mlog5 =−+=×−×+×=−+ 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Dado 0,4773loge0,3012log == , calcule 3log2 
O logaritmo de 3 na base 2 é: 585,1
0,301
0,477
2log
3log3log2 === 
 
Exemplo 2: Calcule 5log4log3log8log 2543 ××× 
2log
5log
5log
4log
4log
3log
3log
8log5log4log3log8log 2543 ×××=××× 
Simplificando: 
32log32log8log
2log
8log5log4log3log8log 2
3
222543 =×====××× 
Mudança de Base 
Para resolver operações que envolvam Logaritmoscom bases diferentes. 
nlog
mlogmlogn = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções Logarítmicas 
Uma função logarítmica é definida como xlog)x(f a= , onde 1a ≠ e 0a > . A base do logaritmo x é a e 
o domínio da função logarítmica é composto pelos *IR+ . 
Exemplos: xlog)x(f 3= xlog)x(f 3/1=
Gráfico de Uma Função Logarítmica 
Exemplo 1: xlog)x(f 2=
 
 
1a2a >⇒= 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,1( 
Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que: 
⎩⎨
⎧
−∞→⇒→
+∞→⇒+∞→
y0x
yx
 
Exemplo 2: xlog)x(f 2/1=
 
 
1a02/1a <<⇒= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,1( 
Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que: 
⎩⎨
⎧
+∞→⇒→
−∞→⇒+∞→
y0x
yx
 
x )x(fy = )y,x(Par
1/8 -3 (1/8, -3) 
1/4 -2 (1/4, -2) 
1/2 -1 (1/2, -1) 
1 0 (1, 0) 
2 1 (2, 1) 
4 2 (4, 2) 
8 3 (8, 3) 
 
Função logarítmica 
crescente 
Função logarítmica 
decrescente 
xlog)x(f 2=
32log)8/1(log)8/1(f 322 −=== −
22log)4/1(log)4/1(f 222 −=== −
12log)2/1(log)2/1(f 122 −=== −
02log1log)1(f 022 ===
12log)2(f 2 ==
22log4log)4(f 222 ===
32log8log)8(f 322 === 
x )x(fy = )y,x(Par
1/8 3 (1/8, -3) 
1/4 2 (1/4, -2) 
1/2 1 (1/2, -1) 
1 0 (1, 0) 
2 -1 (2, 1) 
4 -2 (4, 2) 
8 -3 (8, 3) 
xlog)x(f 2/1=
32log)8/1(log)8/1(f 32/12/1 === −
22log)4/1(log)4/1(f 22/12/1 === −
12log)2/1(log)2/1(f 12/12/1 === −
02log1log)1(f 02/12/1 ===
12log)2(f 2/1 −==
22log4log)4(f 22/12/1 −===
32log8log)8(f 32/12/1 −=== 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de Uma Função Logarítmica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outros Exemplos 
 
Exemplo 1: Faça o gráfico da função )x1(log)x(f 5 +=
 
 
Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,0( : 
0xx11x15)x1(log0)x1(log)x(fy 055 =⇒+=⇒+=⇒+=⇒+== 
Na função dada, o logaritmando é diferente de x ( xb ≠ ). Para avaliar os valores que x pode assumir na 
função, utiliza-se a condição de que b é positivo ( 0b > ). Assim: 1x0x1 −>⇒>+ 
Desta forma, tem-se que x pode assumir valores dentro do intervalo: [,1] ∞+− 
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: 
⎩⎨
⎧
−∞→⇒−→
+∞→⇒+∞→
y1x
yx
 
)x1(logy 5 += 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−∞→⇒=⇒=⇒=⇒−=−+=−→
+∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=⇒∞+=+∞→
∞−
∞+
y5505)0(logy)11(log)]1(1[logy:1xPara
y555)(logy)1(logy:xPara
yy
555
yy
55 
 
Se 0 < a < 1 ⇒ Função 
logarítmica decrescente 
Para xlog)x(f a= Para xlog)x(f a= 
 
Se a > 1 ⇒ Função 
logarítmica crescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de Uma Função Logarítmica 
 
Exemplo 2: Faça o gráfico da função xlog1)x(f 3+=
 
 
Rearranjando a função: 
)x3(log)x(fxlog3logxlog1)x(f 3333 =⇒+=+= 
 
Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,3/1( : 
3/1xx31x33)x3(log0)x3(log)x(fy 033 =⇒=⇒=⇒=⇒== 
Como 0b > , tem-se: 0x0x3 >⇒> . Assim, o intervalo de valores que x pode assumir é [,0] ∞+ . 
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: 
⎩⎨
⎧
−∞→⇒→
+∞→⇒+∞→
y0x
yx
 
)x3(logy 3=
+∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=+∞×==+∞→ +∞ y333)(log)](3[log)x3(logy:xPara yy333
−∞→⇒=⇒=⇒=⇒=×=→ −∞ y3303)0(logy)0(log)03(logy:0xPara yy333 
 
Exemplo 3: Faça o gráfico da função )x2(log)x(f 4/1 +=
 
 
Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,1(− 
1xx21x2)4/1()x2(log0)x2(log)x(fy 04/14/1 −=⇒+=⇒+=⇒+=⇒+== 
Como 0b > , tem-se: 2x0x2 −>⇒>+ . O intervalo de valores que x pode assumir é [,2] ∞+− . 
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: 
⎩⎨
⎧
+∞→⇒−→
−∞→⇒+∞→
y2x
yx
 
)x2(logy 4/1 +=
−∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=⇒∞+=+∞→ +∞− y44)4/1()(logy)2(logy:xPara yy4/14/1
+∞→⇒=⇒=⇒=⇒=⇒−+=−→ −∞−− y44040)4/1()0(logy)]2(2[(logy:2xPara yyy4/14/1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de Uma Função Logarítmica 
 
Exemplo 4: Faça o gráfico da função xlog1)x(f 3−=
 
Rearranjando a função: 
x
3logxlog3logxlog1)x(f 3333 =−=−= 
)x/3(logxlog3logxlog1)x(f 3333 =−=−= 
)3/x(log)1()3/x(log)x/3(log)x(f 3
1
33 ×−=== − 
Fazendo uma mudança de base: 
3log
)3/x(log)1()3/x(log)1()x(f 3 ×−=×−= 
13log
)3/x(log
3log)1(
)3/x(log
3log
)3/x(log)1()x(f −=×−=×−= 
)3/x(log
3log
)3/x(log)x(f 131 −
== − 
)3/x(log)x(f 3/1= 
Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,3( 
3x3/x13/x)3/1()3/x(log0)3/x(log)x(fy 03/13/1 =⇒=⇒=⇒=⇒== 
Para 0x03/x >⇒> . O intervalo de valores que x pode assumir é [,0] ∞+ . 
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: 
⎩⎨
⎧
+∞→⇒→
−∞→⇒+∞→
y0x
yx
 
)3/x(logy 3/1= 
−∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=⇒+∞=+∞→ +∞− y33)3/1()(logy)3/(logy:xPara yy3/13/1 
+∞→⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=→ −∞−− y33030)3/1()0(logy)3/0(logy:0xPara yyy3/13/1 
 
 
 
 
 
REVISÃO: FUNÇÕES E EQUAÇOES MODULARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conceito 
O conceito de módulo pode ser associado à distância de um ponto na reta dos reais em relação à origem: 
 
 
Apesar do bloco “A” estar na posição -10 unidades e o bloco “B”, 10 unidades, ambos estão à mesma 
distância: 10 unidades. 
 
 
 
 
Módulo ou Valor Absoluto 
 
Definição: Módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número se este for positivo ou nulo, 
e seu oposto, caso seja negativo. Assim: 
⎩⎨
⎧
<−
≥=
0xse,x
0xse,x
|x| 
Exemplos: 
5|5| = 5)5(|5| =−−=− 
 
110|110| −=− 46)46(|46| +−=−−=− 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<⇒<−+−=−−
≥⇒≥−−
=−
2x02xse,2x)2x(
2x02xse,2x
|2x| 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<⇒<+−−+−=+−−
≥≤⇒≥+−+−
=+−
3x103x4xse,3x4x)3x4x(
3xou1x03x4xse,3x4x
|3x4x|
222
22
2 
Outros exemplos 
Somar -4 ⇔ subtrair 4 ⇒ 4a)4(a −⇔−+ 
-13ºC ⇔ 13ºC abaixo de zero 
Lembrar que: 
0|x| ≥ 22 x|x| = |x|x2 = 
Se 0a ≥ e a|x| = , então ax −= ou ax = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de Uma Função Modular 
Exemplo 1: |x|)x(f =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: |2x|)x(f +=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x )x(fy = )y,x(Par
-3 3 (-3, 3) 
-2 2 (-2, 2) 
-1 1 (-1, 1) 
0 0 (0, 0) 
1 1 (1, 1) 
2 2 (2, 2) 
3 3 (3, 3) 
|x|)x(f =
3|3|)3(f =−=−
2|2|)2(f =−=−
1|1|)1(f =−=−
0|0|)0(f ==
1|1|)1(f ==
2|2|)2(f ==
3|3|)3(f == 
x )x(fy = )y,x(Par
-5 3 (-5, 3) 
-4 2 (-4, 2) 
-3 1 (-3, 1) 
-2 0 (-2, 0) 
-1 1 (-1, 1) 
0 2 (0, 2) 
1 3 (1, 3) 
|2x|)x(f +=
3|3||25|)5(f =−=+−=−
2|2||24|)4(f =−=+−=−
1|1||23|)3(f =−=+−=−
0|0||22|)2(f ==+−=−
1|1||21|)1(f ==+−=−
2|2||20|)0(f ==+=
3|3||21|)1(f ==+= 
Função Modular 
 
Definição: É a função real |x|)x(f = onde 
⎩⎨
⎧
<−
≥=
0xse,x
0xse,x
)x(f 
Exemplos: |x|)x(f = 2|x|)x(f += |1x|)x(f 2 −= 10|x2|)x(f +−= 
Gráfico de Uma Função Modular 
Se a função modular for do tipo f(x) = | g(x) | é possível usar o seguinte 
procedimento: 
1º - Identificar g(x)e fazer seu gráfico 
2º - Girar a parte negativa do gráfico de g(x) em 180 graus em torno do eixo x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de Uma Função Modular do Tipo f(x) = | g(x) | 
Exemplo 1: |2x2|)x(f −=
 
 
2x2)x(g|)x(g|)x(f −=→= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: |6x5x|)x(f 2 +−=
 
6x5x)x(g|)x(g|)x(f 2 +−=→= 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: |24|)x(f x1−+−=
 
x124)x(g|)x(g|)x(f −+−=→= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de 2x2)x(g −= 
 
Gráfico de |2x2||)x(g|)x(f −==
 
Gráfico de 6x5x)x(g 2 +−= 
 
Gráfico de |6x5x||)x(g|)x(f 2 +−==
 
Gráfico de x124)x(g −+−= 
 
Gráfico de |24||)x(g|)x(f x1−+−==
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de Uma Função Modular 
 
Outros tipos de funções modulares e suas representações gráficas: 
 
Exemplo 1: |x|x2)x(f =
 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=⇒−=⇒<
==⇒=⇒≥
==
2
2
x2)x(x2)x(fx|x|0xPara
x2)x(x2)x(fx|x|0xPara
|x|x2)x(f 
 
 
 
Exemplo 2: |1x||1x|)x(f −++=
 
 
321321
21 )x(f)x(f
|1x||1x|)x(f −++= 
 
1xraiz|1x|)x(f 1 −=⇒⇒+= 
1xraiz|1x|)x(f 2 =⇒⇒−= 
 
 
 
assim: 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<<−
−≤−
=−++=
1xpara,x2
1x1para,2
1xpara,x2
|1x||1x|)x(f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Modulares 
 
Definição: São equações que envolvem funções modulares. 
 
Exemplo 1: 1|1x2| =+
 
 
É necessário analisar as duas condições. 
Resolvendo: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⇒=−−⇒<+
=⇒=+⇒≥+
1x11x201x2Para
0x11x201x2Para
 
A solução da equação }0,1{S −= 
 
Exemplo 2: |5x||3x3| −=−
 
 
É necessário analisar as duas condições escolhendo apenas uma das funções modulares para inverter o 
sinal. 
Resolvendo: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒−=+−⇒<−
−=⇒−=−⇒≥−
2x5x3x303x3Para
1x5x3x303x3Para
 
 
A solução da equação }2,1{S −= 
 
Exemplo 3: 4x|1x2| −=−
 
É necessário garantir a existência do módulo, pois 0|x| ≥ , assim: 
4x04x ≥⇒≥− 
Resolvendo: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒−=+−⇒<−
−=⇒−=−⇒≥−
3/5x4x1x201x2Para
3x4x1x201x2Para
 
 
A solução da equação =S ∅ 
Testes 
Para 0x = : 
1|1|1|102|1|1x2| =⇒=+×⇒=+ 
Para 1x −= : 
1|1|1|12|
1|1)1(2|1|1x2|
=−⇒=+−
=+−×⇒=+
 
Testes 
Para 1x −= : 
|6||6||51||33|
|5)1(||3)1(3||5x||3x3|
−=−⇒−−=−−
−−=−−×⇒−=−
 
Para 2x = : 
|3||3||3||36|
|52||323||5x||3x3|
−=⇒−=−
−=−×⇒−=−
 
Testes 
Para 3x −= : 
0|x|pois,servenão7|7|
7|16|
43|1)3(2|4x|1x2|
≥⇒−=−
−=−−
−−=−−×⇒−=−
 
Para 3/5x = : 
0|x|pois,servenão3/7|3/7|
3/7|13/10|
43/5|1)3/5(2|4x|1x2|
≥⇒−=
−=−
−=−×⇒−=−
 
 
 Equações Modulares 
 
Exemplo 4: x3|4x| 2 =−
 
 
É necessário garantir a existência do módulo: 
0x0x3 ≥⇒≥ 
Resolvendo: 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎩⎨
⎧
=
−=⇒=+−−⇒=+−⇒<−
⎩⎨
⎧
=
−=⇒=−−⇒=−⇒≥−
1x
4x
raízes04x3xx34x04xPara
4x
1x
raízes04x3xx34x04xPara
2
1222
2
1222
 
 
A solução da equação }4,1{S = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: 02|x||x| 2 =−+
 
 
Fazer a|x| = e substituir na equação modular: 
 
⎩⎨
⎧
=
−=⇒=−+⇒=−+
1x
2x
raízescomgrauº2doequação02aa02|x||x|
2
122 
Substituindo novamente: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=
=−==
≥−=
⇒=
1|1|pois,1x
1|1|pois,1x1|x|
0|x|pois,servenão2|x|
a|x| 
 
A solução da equação }1,1{S −= 
Testes 
Para 4x −= : 
0|x|pois,servenão12|12|12|416|)4(3|4)4(|x3|4x| 22 ≥⇒−=⇒−=−⇒−×=−−⇒=− 
Para 1x −= : 
0|x|pois,servenão3|3|3|41|)1(3|4)1(|x3|4x| 22 ≥⇒−=−⇒−=−⇒−×=−−⇒=− 
Para 1x = : 
0|x|pois,serve3|3|3|41|13|4)1(|x3|4x| 22 ≥⇒=−⇒=−⇒×=−⇒=− 
Para 4x = : 
0|x|pois,serve12|12|12|416|43|4)4(|x3|4x| 22 ≥⇒=⇒=−⇒×=−⇒=− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Modulares 
 
Exemplo 6: 10|1x||3x| =++−
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⇒⇒+=
=⇒⇒−=
⇒=++−
1xraiz|1x|)x(f
3xraiz|3x|)x(f
10|1x||3x|
2
1
)x(f)x(f 21
321321 
 
 
 
 
assim, para 10|1x||3x| =++− a solução pode ser: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒=−
⇒≠
−=⇒=+−
6x102x2:Casoº3
soluçãotemNão104:Casoº2
4x102x2:Casoº1
 
 
A solução da equação }6,4{S −= 
 
Exemplo 7: 2|1x||3x| −=+−−
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⇒⇒+=
=⇒⇒−=
⇒−=+−−
1xraiz|1x|)x(f
3xraiz|3x|)x(f
2|1x||3x|
2
1
)x(f)x(f 21
321321 
 
 
 
assim, para 2|1x||3x| −=+−− a solução pode ser: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⇒−≠−
=⇒−=+−
⇒−≠
soluçãotemNão24:Casoº3
2x22x2:Casoº2
soluçãotemNão22:Casoº1
 
 
A solução da equação }2{S = 
Testes 
 Para 4x −= : Para 6x = : 
1037
10|3||7|
10|14||34|
10|1x||3x|
=+
=−+−
=+−+−−
=++−
 
1073
10|7||3|
10|16||36|
10|1x||3x|
=+
=+
=++−
=++−
 
Teste 
Para 2x = : 
231
2|3||1|
2|12||32|
2|1x||3x|
−=−
−=−
−=+−−
−=+−−
 
REVISÃO: INEQUAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função de Primeiro Grau 
Definição: Uma inequação se caracteriza pela presença dos seguintes sinais de desigualdade: 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
01x
3x
1x4)1x(2
x1045
x
01x2
≥−
+
−<−+
+<−
≤+
 
 
 
03
1x2x3
01x2x
01x5x6
06x8x2
2
2
2
2
≥++
<−−
≤+−
>+−
 
Inequações Produto e Quociente 
 
 
 
 
Uma inequação do tipo produto ou quociente é resolvida através do estudo dos 
sinais das funções que fazem parte da inequação. Inicialmente, são 
determinados os sinais de cada função, separadamente, na reta dos reais. 
Efetua-se o produto desses sinais e assim, determinam-se os valores de x que 
satisfazem a inequação. 
≤≥<> ou,,
Inequações do 1º Grau 
Produto 
0)x32()4x2( <−− 
Quociente 
0x2
5x ≥−
− 
Inequações do 2º Grau 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inequações Produto e Quociente 
Exemplo 1: Resolva a inequação 0)8x2()6x3( <−+− 
Primeiramente, estudam-se os sinais de cada função 0)8x2()6x3(
21 )x(f)x(f
<−+− 4342143421 separadamente: 
 Sinal de 1)x(f Sinal de 2)x(f 
 
2x
06x3
6x3)x(f 1
=
=+−
+−=
 
4x
08x2
8x2)x(f 2
=
=−
−=
 
 
Na reta dos reais: 
 
Exemplo 2: Resolva a inequação 0x1
3x ≥−
+ 
 
 
 
 
 
Estudando os sinais de 
}
{
0x1
3x
2
1
)x(f
)x(f
≥−
+ tem-se: 
 Sinal de 1)x(f Sinal de 2)x(f 
 
3x
03x
3x)x(f 1
−=
=+
+=
 
1x
0x1
x1)x(f 2
=
=−
−=
 
 
Na reta dos reais: 
 
 
 
 
Os valores de x que satisfazem a inequação, 
fazendo com que o produto )8x2()6x3( −+− seja 
menor que zero, são: }4xou2x/IRx{S ><∈= 
Os valores de x que satisfazem a inequação, 
fazendo com que o quociente de 
x1
3x
−
+ seja maior
ou igual à zero, são: }1x3/IRx{S <≤−∈= . O 
valor 1 foi excluído da solução, pois torna o 
denominador igual à zero: 
3313
Muito cuidado com inequações do tipo quociente! Nunca cancele 
o denominador se nele aparecer uma incógnita. Se na inequação 
aparecer ≥ ou ≤ , lembrar que a raiz da função no denominador 
não faz parte da solução, pois não existe divisão por zero!Inequações Produto e Quociente 
Exemplo 3: Resolva a inequação 04x
3 <− 
Na inequação, o numerador é positivo. Para que o quociente seja negativo é necessário que o 
denominador seja negativo 0)()(
)( <−=−
+⇒ . Assim, determinam-se os valores de x que tornam o 
denominado negativo: 
 
Resolvendo a inequação 04x <− : 
 
4x
04x
<
<− 
 
Exemplo 4: Resolva a inequação 12x
1x2 −≤+
− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Resolva a inequação 0)5x( 4 ≥+ 
Para qualquer valor real de x a função 4)5x()x(f += é positiva. Isso ocorre porque independente do 
valor de )5x( + , essa soma tem expoente par, fazendo com que )x(f seja sempre positiva ou igual a 
zero. Assim: 
 
Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o 
quociente 
4x
3
− seja menor que zero, são: }4x/IRx{S <∈= 
Sinal de 1)x(f Sinal de 2)x(f 
3
1x
01x3
1x3)x(f 1
−=
=+
+=
 
2x
02x
2x)x(f 2
−=
=+
+=
 
 
Na reta dos reais: 
{
02x
1x3
02x
)2x(1x2
012x
1x2
12x
1x2
2)x(f
1)x(f
≤+
+
≤+
++−
≤++
−
−≤+
−
876
 
Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo 
com que o quociente de 
2x
1x2
+
− seja menor ou igual à 
-1, são: { }31x2/IRxS −≤<−∈= . O valor -2 foi 
excluído da solução, pois torna o denominador nulo. 
Os valores de x que satisfazem a inequação 0)5x( 4 ≥+ , fazendo com 
que seu resultado seja maior ou igual a zero, são os reais: }IR{S = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inequações Produto e Quociente e Sistemas de Inequações 
Exemplo 6: Resolva a inequação 0)5x( 3 <+ 
Para que a função 3)5x()x(f += seja negativa, é necessário que a valor de )5x( + seja negativo, pois 
essa soma tem expoente ímpar. Bases negativas de expoente ímpar resultam em valores negativos. 
Assim: 
5x
05x
−<
<+ 
 
Exemplo 7: Resolva a inequação 137x21 ≤+<− 
Para se resolver inequações do primeiro grau do tipo simultânea (com duas desigualdades) deve-se 
isolar x na desigualdade: 
3x4
2
6x2
8
6x28
713x271
137x21
≤<−
≤<−
≤<−
−≤<−−
≤+<−
 
Exemplo 8: Resolva a inequação 53x1 ≤+−< 
Isolando x na desigualdade: 
2x2
35x31
53x1
≤−<−
−≤−<−
≤+−<
 
 
 
 
 
Exemplo 9: Resolva o sistema ⎩⎨
⎧
+≤−
+>+
5x1x2
7x10x2
 
Cada inequação é resolvida separadamente: 
 
3x
107xx2
7x10x2)x(f 1
−>
−>−
+>+=
 
6x
15xx2
5x1x2)x(f 2
≤
+≤−
+≤−=
 
 
 
 
Os valores de x que satisfazem a inequação 0)5x( 3 ≥+ , fazendo com 
que seu resultado seja menor que zero, são: }5x/IRx{S −<∈= . 
Os valores de x que satisfazem a inequação simultânea, fazendo 
com que a substituição de “x” em 7x2 + resulte em um valor 
pertencente ao intervalo ] ]13,1− , são: }3x4/IRx{S ≤<−∈= . 
O sentido da desigualdade é 
invertido quando a inequação 
é multiplicada por (-1). 
Os valores de x que satisfazem a inequação simultânea 53x1 ≤+−< , fazendo 
com que seu resultado pertença ao intervalo ] ]5,1 , são: }2x2/IRx{S <≤−∈= . 
Multiplicando por 1)(− : 
2x2
ou
2x2
<≤−
−≥>+
 
Os valores de x devem satisfazer as 
duas inequações do sistema. Para tal, 
é feita uma intersecção das soluções 
encontradas para cada inequação. 
Os valores de x que satisfazem o sistema de 
inequações, fazendo com que 7x10x2 +>+ e
5x1x2 +≤− , são: }6x3/IRx{S ≤<−∈= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inequações do Segundo Grau 
Definição: Qualquer inequação do tipo 0cbxax2 >++ , 0cbxax2 <++ , 0cbxax2 ≥++ ou 
0cbxax2 ≤++ , onde a, b e c são constantes com 0a ≠ , é chamada de inequação do segundo grau. 
Exemplos: 
025x10x
010x3x
2
2
≥+−
≤++−
 01x2x
01x2x
2
2
>++
<−− 
 
Uma inequação do 2º Grau é resolvida através do estudo do sinal da função. 
 
Exemplo 1: Resolva a inequação 02xx 2 <−− 
Gráfico: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
=−=⇒−===−=
−=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
2xe1x2a
cProdutoe1a
bSoma
2ce1b1,a
21 
 
 
 
 
Exemplo 2: Resolva a inequação 010x3x2 ≥++− 
 
Gráfico: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒<
=−=⇒−===−=
==−=
baixoparaeconcavidadcomParábola0a
5xe2x01a
cProdutoe3a
bSoma
10ce3b1,a
21 
 
 
 
 
Exemplo 3: Resolva a inequação 06x5x 2 ≥+− 
 
Gráfico: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
3xe2x6a
cProdutoe5a
bSoma
6ce5b1,a
21 
 
 
 
A solução de 2xx)x(f 2 −−=
deve ser menor que zero: 
 Os valores de x que satisfazem a inequação 
02xx 2 <−− , fazendo com que seu resultado seja 
menor que zero, são: }2x1/IRx{S <<−∈=
A solução de 10x3x)x(f 2 ++−=
deve ser menor ou igual à zero: 
 
Os valores de x que satisfazem a inequação 
010x3x 2 ≤++− , fazendo com que seu resultado seja 
menor ou igual à zero, são: }5x2/IRx{S ≤≤−∈=
A solução de 6x5x)x(f 2 +−=
deve ser maior ou igual à zero: 
 Os valores de x que satisfazem a inequação 
06x5x 2 ≥+− , fazendo com que seu resultado seja maior
ou igual à zero, são: }3xou2x/IRx{S ≥≤∈=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inequações do Segundo Grau 
Exemplo 4: Resolva a inequação 04x4x 2 ≤+− 
 
Gráfico: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
2xe2x4a
cProdutoe4a
bSoma
4ce4b1,a
21 
 
 
 
 
Exemplo 5: Resolva a inequação 05x2x 2 ≥−+− 
 
Gráfico: 
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⇒<
−−=+−=⇒±−=
±−=−±−=−±−=
Δ±−=⇒−=−=Δ
−==−=
baixoparaeconcavidadcomParábola0a
i21xei21xi21x
2
i42
2
1162
1.2
162x
a2
bx16ac4b
5ce2b1,a
21
2
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: Resolva a inequação 02x4x3 2 ≥+− 
 
Gráfico: 
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⇒>
−=+=⇒±=
±=−±=−±−−=
Δ±−=⇒−=−=Δ
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
6
i22xe3
i22x3
i22x
6
i224
6
184
3.2
8)4(x
a2
bx8ac4b
2ce4b,3a
21
2
 
 
A solução de 4x4x)x(f 2 +−=
deve ser menor ou igual à zero: 
 
Os valor de x que satisfaz a inequação 04x4x 2 ≤+− , fazendo 
com que seu resultado seja menor ou igual à zero, é: }2{S = 
A solução de 5x2x)x(f 2 −+−=
deve ser maior ou igual à zero: 
 
 
Não existem valores de x que satisfazem a inequação 05x2x 2 ≥−+− . Isso 
ocorre porque a parábola tem concavidade voltada para baixo e a função 
5x2x)x(f 2 −+−= . Paralelo a isso, a função tem raízes imaginárias e, portanto, 
seu gráfico não corta o eixo real x. Sendo assim, a solução é: ou}{S = =S ∅. 
A solução de 2x4x3)x(f 2 +−=
deve ser maior ou igual à zero: 
 
 
Os valores de x que satisfazem a 
inequação 02x4x3 2 ≥+− , fazendo 
com que seu resultado seja maior ou
igual a zero, são os reais: }IR{S = 
Lembrar que: 
1i −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inequações do Segundo Grau 
Exemplo 7: Resolva a inequação 14x5x0 2 ≤−< 
Primeiramente, resolve-se o sistema: 
⎩⎨
⎧
−−=
−=⇒
⎩⎨
⎧
≤−−
>−⇒
⎩⎨
⎧
≤−
>−
14x5x)x(f
x5x)x(f
014x5x
0x5x
14x5x
0x5x
2
2
2
1
2
2
2
2
 
 
Solução de 1)x(f : x5x)x(f 21 −= 
Gráfico: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
5xe0x0a
cProdutoe5a
bSoma
0ce5b1,a
21 
 
 
Soluçãode 2)x(f : 14x5x)x(f
2
2 −−= 
Gráfico: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
=−=⇒−==−=
−=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
7xe2x14Produtoe5a
bSoma
14ce5b1,a
21 
 
Na reta dos reais e fazendo a intersecção: 
 
 
 
Exemplo 8: Resolva a inequação ( )( ) 06x7x7x2x 22 ≤+−++ 
Estudam-se os sinais de cada função ( ) ( ) 06x7x7x2x
2
2
1
2
)x(f)x(f
≤+−++ 44344214434421 separadamente: 
Solução de 1)x(f : 7x2x)x(f
2
1 ++= 
Gráfico: 
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⇒>
−=+=⇒±=
±=×±−=
−±−=−±−=
Δ±−=⇒−=−=Δ
===
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
i61xei61xi61x
2
i622
2
i642x
2
1242
1.2
242x
a2
bx24ac4b
7ce2b,1a
21
2
 
A solução de x5x)x(f 21 −=
deve ser maior que zero: 
 
A solução de 14x5x)x(f 22 −−=
deve ser maior que zero: 
Os valores de x que satisfazem a 
inequação 14x5x0 2 ≤−< , fazendo com 
que o resultado da função x5x)x(f 2 −=
pertença ao intervalo ] ]14,0 , são: 
}7x5ou0x2/IRx{S ≤<<≤−∈= 
A solução de 7x2x)x(f 21 ++=
deve ser menor ou igual à zero: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inequações do Segundo Grau 
Solução de 2)x(f : 6x7x)x(f
2
2 +−= 
Gráfico: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
6xe1x6a
cProdutoe7a
bSoma
6ce7b1,a
21 
 
Na reta dos reais e fazendo a intersecção: 
 
Exemplo 9: Resolva a inequação 0
3x2x
xx
2
2 ≥−+
−
 
Estudando os sinais de cada função 0
3x2x
xx
2)x(f
1)x(f
2
2 ≥−+
−
43421
876
 separadamente: 
Solução de 1)x(f : 
2
1 xx)x(f −= 
 
Gráfico: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒<
==⇒===−=
==−=
aixobparaeconcavidadcomParábola0a
1xe0x0a
cProdutoe1a
bSoma
0ce1b1,a
21 
 
Solução de 2)x(f : 3x2x)x(f 22 −−= 
 
Gráfico: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
=−=⇒−===−=
−=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
3xe1x3a
cProdutoe2a
bSoma
3ce2b1,a
21 
 
Na reta dos reais e fazendo a intersecção: 
 
 
 
A solução de 6x7x)x(f 22 +−=
deve ser menor ou igual à zero: 
 
Os valores de x que satisfazem a inequação 
do segundo grau, fazendo com que o produto
( )( ) 06x7x7x2x 22 ≤+−++ seja menor
ou igual à zero, são: }6x1/IRx{S ≤≤∈= 
A solução de 21 xx)x(f −= deve
ser maior ou igual à zero: 
A solução de 3x2x)x(f 22 −+=
deve ser maior ou igual à zero: 
 
Os valores de x que satisfazem a inequação, 
fazendo com que o quociente 
3x2x
xx
2
2
−+
−
seja maior ou igual à zero, são: 
}0x1ou0x1/IRx{S <≤≤<−∈= . Os 
valores -1 e 3 foram excluídos da solução, 
pois tornam o denominador nulo. 
 
 
 
Inequações do Segundo Grau 
Exemplo 10: Resolva a inequação 0
45x14x
2
2 >+−
−
 
Como o numerador é negativo e o quociente deve ser positivo, é necessário que o denominador também 
seja negativo 0)()(
)( >+=−
−⇒ . Assim: 
Resolvendo a inequação 045x14x 2 <+− 
Gráfico: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
9xe5x45a
cProdutoe14a
bSoma
45ce14b1,a
21 
 
 
 
Exemplo 11: Resolva o sistema 
⎩⎨
⎧
<−
<−
0x3x
04x
2
2
 
Cada inequação deve ser resolvida separadamente: 
4x)x(f 21 −= 
Gráfico: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
=−=⇒−===−=
−===
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
2xe2x4a
cProdutoe0a
bSoma
4ce0b1,a
21 
Como 0b = , outra forma de se determinar as raízes é: 2x4x04x 2 ±=⇒=⇒=− 
 
x3x)x(f 22 −= 
Gráfico: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
3xe0x0a
cProdutoe3a
bSoma
0ce3b1,a
21 
 
Como 0c = , outra forma de se determinar as raízes é: 3xe0x0)3x(x0x3x 212 ==⇒=−⇒=− 
 
 
 
A solução de 45x14x)x(f 2 +−=
deve ser menor que zero: 
 
Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o quociente 
0
45x14x
2
2 >+−
− seja maior que zero, são: }9x5/IRx{S ≤<∈= . 
A solução de 4x)x(f 21 −= deve
ser menor que zero: 
 
A solução de x3x)x(f 22 −=
deve ser menor que zero: 
 
Para determinar os valores de x que satisfazem 
as duas inequações é feita uma intersecção.
Os valores de x que satisfazem o sistema de inequações, fazendo 
com que 04x2 <− e 0x3x2 <− , são: }2x0/IRx{S <<∈= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inequações Exponenciais 
Definição: Qualquer inequação que apresente funções exponenciais. 
Exemplos: 06757921333
15
1
5
133 xxx1x2x
x2
31x3 >+×−≥+−<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≤ +++ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: 82 2x <− 
 
Inicialmente é necessário deixar na mesma base os dois lados da inequação e identificar a função 
exponencial. 
 
{
3
)x(f
2x32x 2222 <⇒< −− 
Como a função 2x2)x(f −= é uma função crescente, o sinal da desigualdade será mantido. 
{ 05x32x
)x(g
<−⇒<− 
A inequação resultante é uma inequação do primeiro grau crescente. O conjunto solução deve apresentar 
os valores de x que substituídos em )x(g resulte em um valor negativo, assim: 
{ 5xraizcomgrau1ºdoFunção5xg(x) =⇒−= 
Solução: }5x/IRx{ <∈ 
 
 
 
 
 
Se a Inequação Exponencial for: 
Crescente ⇒ Manter o sinal da desigualdade 
Decrescente ⇒ Inverter o sinal da desigualdade 
 
Testes 
Um valor para 5x < pode ser 3x = , substituindo na inequação: 
soluçãoàpertence3queindicando,Verdadeiro82
828282 1232x
⇒<
<⇒<⇒< −−
 
Um valor para 5x > pode ser 6x = , substituindo na inequação: 
soluçãoàpertencenão6queindicando,Falso816
828282 4262x
⇒<
<⇒<⇒< −− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inequações Exponenciais 
 
Exemplo 2: 008,004,0 2
1x4
<
−
 
 
Inicialmente é necessário deixar na mesma base os dois lados da inequação e identificar a função 
exponencial. 
 
3
)x(f
1x431x4
32
1x4
2
2
1x4
2
1x4
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
1000
8
100
4008,004,0
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛<⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒<
−−
−−−
43421
 
 
Como a função 
1x4
10
2)x(f
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= é uma função decrescente, o sinal da desigualdade será invertido. 
 
04x431x4
)x(g
>−⇒>− 321 
A inequação resultante é uma inequação do primeiro grau crescente. O conjunto solução deve apresentar 
os valores de x que substituídos em )x(g resulte em um valor positivo, assim: 
{ 1xraizcomgrau1ºdoFunção44xg(x) =⇒−= 
Solução: }1x/IRx{ >∈ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Testes 
Um valor para 1x > pode ser 2x = , substituindo na inequação: 
soluçãoàpertence2queindicando,Verdadeiro008,00000128,0
008,0
10
2008,0
10
2008,004,0
72
7
2
2
124
⇒<
<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒<⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒<
−×
 
Um valor para 1x < pode ser 0x = , substituindo na inequação: 
soluçãoàpertencenão0queindicando,Falso008,05
008,0
10
2008,0
10
2008,004,0
12
1
2
2
104
⇒<
<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒<⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⇒<
−−−×
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inequações Exponenciais 
 
Outros exemplos: 
 
Exemplo 3: 19 2
xx2
≥
−
 
[ ] 0xx333)3(19 20xx02 xx22 xx 222 ≥−⇒≥⇒≥⇒≥ −−− 
⎩⎨
⎧
=
=⇒−=
1x
0x
raízescomgrauº2doFunçãoxx)x(g
2
12 
Solução: }1xou0x/IRx{ ≥≤∈ 
 
Exemplo 4: x4xx 26422
2 −− ⋅>⋅ 
 
06x5xx46xx2222226422 22x46xxx46xxx4xx
222