Ajustamento de curvas

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TROCADOR DE CALOR
Suênia Fernandes de Vasconcelos, Barbara Siebra2, Ruth Veloso3, Juan Nicolas4, Heleno Bispo5[1: Aluna do Curso de Engenharia Química, Unidade Acadêmica de Engenharia Química, UFCG, Campina Grande, PB, E-mail: sueniaafernandes@gmail.com2 Aluna do Curso de Engenharia Química, Unidade Acadêmica de Engenharia Química, UFCG, Campina Grande, PB, E-mail: baibinha@hotmail.com3 Aluna do Curso de Engenharia Química, Unidade Acadêmica de Engenharia Química, UFCG, Campina Grande, PB, E-mail: ruthipereira@hotmail.com4 Aluno do Curso de Engenharia Química, Unidade Acadêmica de Engenharia Química, UFCG, Campina Grande, PB, E-E-mail: juan_nicolas_@outlook.com5 Engenharia Química, Professor. Doutor, Unidade Acadêmica de Engenharia Química, UFCG, Campina Grande, PB, E-mail: helenobispo@deq.ufcg.edu.br]
Resumo
O trocador de calor é um equipamento onde ocorre uma troca térmica entre dois fluidos, normalmente separados por uma parede. No presente artigo, será estudado o trocador de feixe bitubular, constituído por um conjunto de tubos envolto por um casco. Um dos fluidos circula no interior dos tubos e o outro fluido escoa no lado externo(sem contato direto). Também será apresentado alguns dos métodos numéricos vistos em sala de aula para representar o comportamento do mesmo, além de algumas considerações a respeito das suas condições de processo.
Palavras-chave: trocador de calor, feixe tubular, métodos numéricos
heat exchanger
ABSTRACT
The heat exchanger is an equipment where heat exchange occurs between the two fluids normally separated by a wall. In this article, it is studied exchanger tube bundle comprising a set of tubes surrounded by a shell. A fluid circulates inside the tubes and another fluid flows on the outer side (non-contact). Also featured will be one of the numerical methods seen in the classroom to represent the behavior of the same, plus some considerations about their process conditions.
Keywords: heat exchanger, tube bundle, numerical meth.
INTRODUÇÃO
Um trocador de calor é um equipamento onde ocorre uma troca térmica entre dois fluidos, normalmente separados por uma parede. Há diversos tipos construtivos, dentre os quais, um dos mais usados industrialmente é o de feixe tubular, constituído por um conjunto de tubos envolto por um casco. Um dos fluidos circula no interior dos tubos e o outro fluido escoa no lado externo. No presente artigo, será apresentado um dos métodos numéricos vistos em sala de aula para representar o comportamento desse trocador de calor, além de algumas considerações a respeito das condições de processo do mesmo. Dentro deste contexto, este trabalho apresenta os seguintes objetivos específicos:
- Reproduzir o comportamento estacionário do trocador de calor em estudo, utilizando como ferramenta a modelagem computacional através do software MATLAB (uma área de conhecimento multidisciplinar que estuda a fenomenologia de problemas complexos e trata da simulação de soluções para problemas científicos como esse, aplicando modelos matemáticos e elaborando códigos computacionais para obtenção dessas soluções). 
- Obter o valor ótimo de temperatura do trocador e validar estes resultados a partir de dados da planta piloto.
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
1. Métodos Numéricos
1.1. Interpolação polinomial
Interpolar significa situar entre dois pólos, intercalar, interserir. Dados alguns valores discretos de uma determinada função, sua interpolação consiste em determinar outra função (em geral, um polinômio) que seja contínua e que coincida nesses pontos.
1.1.1. Polinômios interpoladores de Lagrange 
Sejam k + 1 pontos distintos x0, x1, x2, ..., xk e yj = L(xj), 0≤ j ≤k. Seja Lk(x) o polinômio de grau máximo k que interpola L nesses pontos.
Considere que seja formulado um polinômio interpolador linear como a média ponderada dos dois valores que estão sendo ligados por uma reta: 
 (1)
onde os l’s são coeficientes de ponderação. É lógico que o primeiro coeficiente de ponderação é uma reta que é igual a 1 em x1 e 0 em x2: 
 
De modo similar, o segundo coeficiente é uma reta que é igual a 1 em x2 e 0 em x1: 
 
Substituindo esses coeficientes na Equação (1), obtém-se a reta que liga os pontos:
 (2)
Onde a nomenclatura L1(x) indica que este é um polinômio de primeiro grau. A equação (2) é conhecida como polinômio interpolador de Lagrange linear.
A mesma estratégia pode ser empregada para ajustar uma parábola através de três pontos, sendo esta representada por um polinômio interpolador de Lagrange de segundo grau.
Ambas as versões de primeira e segunda ordem bem como os polinômios de Lagrange de ordem superior podem ser representados concisamente por: 
sendo:
Onde k é o número de pontos dados e ∏ indica o ”produto de”.
1.1.2. Interpolação por Splines
Para evitar resultados errôneos em funções devido a erros de arredondamentos e oscilações. Usa-se os polinômios conectores que são chamados de funções splines, que consiste em aplicar polinômios de grau mais baixo a subconjuntos de pontos dados, de uma maneira por parte.
1.1.2.1 Splines Lineares 
Para splines lineares, cada função é simplesmente uma reta que liga dois pontos em cada extremidade do intervalo. Para n pontos dados, existem n-1 intervalos. Cada intervalo tem sua própria função spline, si(x).
 
onde ai é a interseção com o eixo y, que é definida como:
 
e bi é a inclinação da reta ligando os pontos
 
onde é uma abreviação para 
 
 
 Essas equações podem ser usadas para calcular a função em qualquer ponto entre e . O spline linear equivale à utilização de um polinômio de Newton de primeiro grau para interpolar dentro de cada intervalo. 
1.1.2.2 Splines Quadráticos
Splines Quadrádicos têm a primeira derivada contínua nos nós. Seu objetivo é determinar um polinômio de segundo grau para cada intervalo entre os pontos dados. O polinômio para cada intervalo pode ser representado de forma geral como:
Para n pontos dados, possuem n – 1 intervalo e, consequentemente, 3(n - 1) constantes indeterminadas (os a’s, b’s e c’s) para calcular. Portanto, 3(n - 1), equações ou condições necessárias para calcular as incógnitas.
a. A função deve passar por todos os pontos. Isso é chamado de condição de continuidade.
O que simplifica para:
Portanto, a constante em cada equação quadrática dever ser igual ao valor da variável dependente no início do intervalo.
b. Os valores da função de polinômios adjacentes devem ser iguais nos nós, condição que pode ser escrita para o nó i + 1 como:
Simplificando, 
 
Assim,
c. As primeiras derivadas nos nós internos devem ser iguais. Essa é uma condição importante, pois indica que splines quadráticos adjacentes vão se unir suavemente.
A equivalência das derivadas em um nó interior, i +1, pode, portanto, ser escrita como
 
d. Se não houver nenhuma informação adicional relativa às funções ou suas derivadas. Considere que a segunda derivada seja nula no primeiro ponto.
1.1.2.3 Splines Cúbicos
Splines Cúbicos fornecem a representação mais simples que exibe a aparência desejada de suavidade, e tem por objetivo determinar um polinômio de terceiro grau para cada intervalo entre nós, como representado de forma geral por: 
As primeiras condições são idênticas àquelas usadas para o caso quadrático, ou seja, elas são definidas de modo que as funções passem pelos pontos e que as primeiras derivadas nos nós sejam iguais. Uma abordagem bastante comum é assumir que as segundas derivadas no primeiro e último nós são iguais a zero. Uma vez especificadas as condições adicionais para as extremidades, teremos as 4(n - 1) condições necessárias para calcular os 4(n – 1) coeficientes desconhecidos
o que simplifica para:Aplica-se a condição que cada um dos splines cúbicos devem se unir nos nós
As primeiras derivadas nos nós interiores devem ser iguais
A equivalência das derivadas em um nó interior, i + 1, pode ser, portanto, ser escrita como
 
As segundas derivadas nos nós interiores também devem ser iguais
A equivalência das segundas derivadas em um nó interior, i +1, é dada por:
Determina-se 
 
 
A equação pode ser resolvida para:
O índice dessa da equação pode ser reduzido por 1:
Substituindo equações, essa nova equação pode ser escrita de forma mais concisa,
A equação pode ser reescrita como,
O spline natural, assume que as segundas derivadas nos nós das extremidades são iguais a zero
A mesma avaliação pode ser feita no último nó
Podemos convenientemente definir um parâmetro extremo , 
Dessa forma, para impor uma segunda derivada nula no último nó, defini-se .
1.2. Modelos de Regressão 
Modelos de regressão são modelos matemáticos que relacionam o comportamento de uma variável Y com outra X. Quando a função f que relaciona duas variáveis é do tipo f (X) = a + bX temos o modelo de regressão simples. A variável X é a variável independente da equação
enquanto Y = f (X) é a variável dependente das variações de X. O modelo de regressão é chamado de simples quando envolve uma relação causal entre duas variáveis. O modelo de
regressão é multivado quando envolve uma relação causal com mais de duas variáveis. Isto é, quando o comportamento de Y é explicado por mais de uma variável independe X1, X2, ....Xn.
Os modelos acima (simples ou multivariados) simulam relacionamentos entre as variáveis. Esse relacionamento poderá ser do tipo linear (equação da reta ou do plano) ou não linear (equação exponencial, geométrica, etc.). 
A relação entre duas variáveis nos permite realizar previsões sobre o comportamento futuro de algum fenômeno da realidade. Neste caso extrapola-se para o futuro as relações de causa-efeito já observadas no passado entre as variáveis. Pode-se, por exemplo, prever a população futura de uma cidade simulando a tendência de crescimento da população no passado ou no caso do artigo em questão as futuras temperaturas do trocador de calor simulado e observando a linha de tendência da variação de temperatura, já que estamos interessados em simular os efeitos sobre uma variável Y em decorrência de alterações introduzidas nos valores de uma variável X . 
Ao se plotar num gráfico cartesiano os pares de informação referente a cada observação obtemos uma “nuvem” de pontos definidos pelas coordenadas X e Y de cada ponto. Essa nuvem, por sua vez, definirá um eixo ou direção que caracterizará o padrão de relacionamento entre X e Y. A regressão será linear se observada uma tendência ou eixo linear na nuvem de pontos cartesianos e não linear se observada a tendência para uma curva.
1.2.1. Regressão Linear
Regressão é o processo matemático pelo qual derivamos os parâmetros “a” e “b” de uma função f (X). Estes parâmetros determinam as características da função que relaciona ‘Y’ com ‘X’ que no caso do modelo linear se representa por uma reta chamada de reta de regressão. Esta reta explica de forma geral e teoricamente a relação entre X e Y. Isto significa que os valores observados de X e Y nem sempre serão iguais aos valores de X’ e Y’ estimados pela reta de regressão. Haverá sempre alguma diferença, e essa diferença significa;
1. Que as variações de Y não são perfeitamente explicadas pelas variações de X ou;
2. Que existem outras variáveis das quais Y depende ou;
3. Que os valores de X e Y são obtidos de uma amostra específica que apresenta distorções em relação a realidade.
Esta diferença em estatística é chamada de erro ou desvio.
O processo de regressão significa, portanto, que os pontos plotados no gráfico são definidos, modelados ou regredidos, a uma reta que corresponde à menor distância possível entre cada ponto plotado e a reta. Em outras palavras, busca-se reduzir ao mínimo possível os somatórios dos desvios entre Y e Y’. 
 (equação da reta a partir dos dados coletados)
 (equação da reta a partir das estimativas)
Um dos métodos para resolução desse problema é o dos Mínimos Quadrados, por ele calculam-se os parâmetros “a“ e “b” da possível reta que tornará possível a minimização da soma das distâncias ao quadrado entre os pontos experimentais plotados (X,Y) e os pontos calculados a partir da mesma (X’,Y’). Esta reta é chamada de curva de regressão e essa distância denominou-se por erro.
Erro = E = (Y - Y')
 + + + ... = Mínimo (Objetivo do modelo de regressão)
Erro Total = 
Sustituindo (2) em (1), temos...
Para que a soma dos quadrados dos erros tenha um valor mínimo, devem-se aplicar os conceitos de cálculo diferencial com derivadas parciais. Como as incógnitas do problema são os coeficientes "a" e "b" estrutura-se um sistema de duas equações. Assim aplicando os conceitos acima referidos monta-se o sistema de equações normais que permitirá extrair os valores de a e b,
 , Onde "N" é o tamanho da amostra
Os valores a e b acima correspondem aos parâmetros da equação de regressão que minimiza as diferenças entre os valores de Y (levantados) e os de Y’ (estimados pela regressão). Portanto, o problema de “fitting” (ajustar) uma reta que melhor se adeque à nuvem de dados se reduz em calcular os parâmetros a e b da equação de regressão.
A reta de regressão que se obtém através do método dos mínimos quadrados é apenas uma
aproximação da realidade, ela é um modo útil para indicar a tendência dos dados. Porém precisa-se observar até que ponto a reta de regressão obtida é útil para avaliar a realidade. Três medidas podem indicar o quanto útil ou aproximado da realidade é a reta: 
1. Erro padrão da estimativa(ou desvio padrão), que mede o desvio médio entre os valores reais de Y e os valores estimados Y’ informando de modo aproximado a extensão do erro entre os valores obtidos das estimativas e os valores de Y fornecidos pela amostra. 
2. Coeficiente de determinação,que é definido como a razão entre a variação explicativa(a distância entre o ponto Y e a reta de regressão) e a variação total(a soma dos desvios ao quadrado de todos os pontos em relação a média de Y)
, Onde 
 é o valor médio de Y (Variância total)
, (
Variância explicativa
)
3. Coeficiente de correlação, que é definido como sendo a raiz quadrada do coeficiente de determinação
1.2.2. Regressão Não Linear
Nos modelos lineares, o problema de estimação dos parâmetros, cai no problema de resolver um sistema de equações lineares com relação aos coeficientes de regressão desconhecidos. Existe uma solução única e, portanto, obtemos uma forma analítica de estimação dos parâmetros. Esta forma é a mesma para qualquer modelo e qualquer conjunto de dados.
Existe, entretanto, muitas situações nas quais não é desejável, ou mesmo possível, descrever um fenômeno através de um modelo de regressão linear. Ao invés de se fazer uma descrição puramente empírica do fenômeno em estudo, pode-se, a partir de suposições importantes sobre o problema (frequentemente dadas através de uma ou mais equações diferenciais), trabalhar no sentido de obter uma relação teórica entre as variáveis observáveis de interesse. O problema, diferentemente do caso linear, é que os parâmetros entram na equação de forma não linear, assim, nós não podemos simplesmente aplicar fórmulas para estimar os parâmetros do modelo.
Os modelos não lineares podem ser escritos como:
 
Onde f(Xi,) é uma função não linear esperada para o i-ésimo caso, os erros, i, tem média zero, variância constante, e não são correlacionados. Assume-se que os erros apresentam distribuição normal, são independentes e com variância constante. é o vetor de parâmetros do modelo.
Um dos Principais modelos não lineares é o modelo exponencial que tem como equaçãoa relação abaixo: 
a. 0 e 1 são os parâmetros do modelo;
b. Xi são constantes conhecidas (variável preditora) e i são os termos do erro, independentes, com distribuição normal de média 0 (zero) e variância 2. 
c. Diferenciando f com respeito a 0 e 1 obtemos:
 d. Um modelo exponencial mais geral:
Estes modelos exponenciais são muito utilizados em estudos de crescimento, onde a taxa de crescimento num dado tempo X é proporcional a quantidade de crescimento restante (final) que ocorre com o aumento do tempo, e 0 representa o crescimento máximo.
Nos modelos não lineares não é possível encontrarmos formas analíticas para os estimadores de mínimos quadrados ou máxima verossimilhança. Ao invés, métodos numéricos devem ser usados juntamente com os métodos referidos e, isto, requer cálculos computacionais intensivos. Sempre usamos softwares computacionais.
MATERIAL E MÉTODOS
1. Descrição do Processo: Trocador de calor (monocloreto de vinila)
O trocador de calor é um dispositivo que visa à transferência de energia térmica de forma eficiente de um meio para outro que se encontram a temperaturas diferentes. No caso em questão, o trocador de calor é bitubular e o fluido é água. Enquanto dentro de um dos tubos passa a corrente de água fria, e por fora a corrente de agua quente, no outro acontece o inverso, caracterizando assim um movimento contracorrente que permite uma troca de energia térmica mais eficaz. Durante a coleta de dados variou-se apenas o fluxo da corrente quente e permaneceu constante o fluxo da corrente fria, isso interferiu diretamente na mudança de temperatura das duas correntes. O resultado pode ser analisado na tabela abaixo:
Tabela 1. Corrente Quente
	T1
	T2
	T3
	FH
	53,8
	44,8
	50,1
	0,50
	51,5
	46,2
	49,7
	1,00
	56,2
	51,2
	54,7
	1,50
	58,1
	53,8
	56,8
	2,00
	59,6
	55,9
	58,6
	2,50
	59,8
	56,8
	59,2
	3,00
 
As temperaturas da corrente quente e da corrente fria variaram à medida que foi aumentado o fluxo da corrente quente, dessa forma usaremos alguns métodos numéricos para modelar o trocador de calor em questão e assim obter o seu comportamento diante de alguma futura intervenção.
Tabela 2. Corrente Fria
	T1
	T2
	T3
	FC
	23,1
	27,5
	25,1
	1,00
	23,0
	28,7
	25,8
	1,00
	22,9
	30,9
	27,1
	1,00
	22,8
	32,2
	27,8
	1,00
	22,7
	33,4
	28,5
	1,00
	22,7
	34,0
	29,1
	1,00
3 Software MATLAB
MATLAB é um "software" interativo de alta performance voltado para o cálculo numérico. O MATLAB integra análise numérica, cálculo com matrizes, processamento de sinais e construção de gráficos em ambiente fácil de usar onde problemas e soluções são expressos somente como eles são escritos matematicamente, ao contrário da programação tradicional.
O MATLAB é um sistema interativo cujo elemento básico de informação é uma matriz que não requer dimensionamento. Esse sistema permite a resolução de muitos problemas numéricos em apenas uma fração do tempo que se gastaria para escrever um programa semelhante em linguagem Fortran, Basic ou C. Além disso, as soluções dos problemas são expressas no MATLAB quase exatamente como elas são escritas matematicamente.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
O Método da Regressão Não Linear mostrou-se mais preciso, pois obtém parâmetros que são facilmente interpretáveis e, em muitas situações, necessita de menos parâmetros que nos modelos lineares, isto simplifica e facilita a interpretação, além de obter a curva que melhor representa o conjunto de dados, pois baseia-se no ajuste por mínimos quadrados. Já a Regressão Linear, apesar de, também, ser vantajosa pela sua simplicidade, rapidez na precificação de novas informações e na necessidade de poucas informações, deixa a desejar, pois possui limitações em relação à qualidade e quantidade das informações. Analisando os Métodos de Interpolação, verificou-se que o mais eficaz é o Spline cúbico, pois possui a primeira e segunda derivadas contínuas, o que faz com que a curva não tenha picos e nem troque abruptamente de curvatura nos nós, exibindo uma aparência desejada de suavidade. Em seguida, tem-se o Spline quadrático que tem apenas derivadas contínuas até ordem 1 e, portanto, a curvatura pode trocar nos nós. E enfim, o Spline linear que apresenta derivada primeira descontínua nos nós, o que faz com que a inclinação varie abruptamente. Como a Interpolação por Splines aplica polinômios de grau mais baixo a subconjuntos de pontos dados, evita erros de arredondamento. Já os Polinômios Interpoladores de Lagrange são menos eficazes, pois passam exatamente por todos os pontos dados e geralmente os dados coletados não são confiáveis.
Os gráficos a seguir confirmam as observações citadas acima
Figura 1. Gráfico de interpolação por Lagrange – Temperatura da corrente quente
Figura 2. Gráfico da interpolação por Splines Cúbico – Temperatura da corrente quente.
FALTA GRÁFICO
Figura 3. Gráfico da Regressão Linear – Temperatura da corrente quente.
		
Onde os coeficiente da reta de regressão são: 
Figura 4. Gráfico da Regressão Polinomial de grau 3 – Temperatura da corrente quente.
 Onde os coeficiente da reta de regressão são:
Figura 5. Gráfico da interpolação por Lagrange – Temperatura da corrente fria.
Figura 6. Gráfico da interpolação por Splines Cúbico – Temperatura da corrente fria.
Figura 7. Gráfico da Regressão Linear – Temperatura da corrente fria.
Onde os coeficiente da reta de regressão são:
Figura 8. Gráfico da Regressão Polinomial de grau 3 – Temperatura da corrente fria.
Onde os coeficiente da reta de regressão são:
CONCLUSÃO
Após analise dos resultados, concluímos que o modelo de regressão não linear oferece os melhores valores de temperatura, validando assim os dados coletados a partir da planta piloto e alcançando os objetivos propostos. É importante ressaltar a vantagem de usarmos um programa como o MATLAB, pois ele nos permite observar as diversas variáveis que influenciam no processo, nesse caso em duas dimensões. 
AGRADECIMENTOS
Ao professor Heleno Bispo pela sua orientação, apoio e contribuição.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
SONG, Tah Wun. Condições de um processo num trocador de calor.EPUSP-E.E. Mauá. 
CHAPRA, Steven C. Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB para Engenheiros e Cientistas, 3° edição, 2013.
Analise de regressão. Notas de aula. Universidade de São Paulo. Disponível em <http://www.usp.br/fau/cursos/graduacao/arq_urbanismo/disciplinas/aut0516/Apostila_Regressao_Linear.pdf> Acesso em 30/08/2013.
SANCHES. Carlos Alberto Alonso, BEZERRA. Juliana de Melo. Matemática Computacional. Instituto Tecnológico de Aeronáutica(ITA). Disponível em <http://www.comp.ita.br/~alonso/ensino/CCI22/cci22-cap5.pdf> Acessado em 30/08/2013.
CARDOSO. André Sracanto. Análise e simulação do funcionamento de trocadores de calor sob condição de entupimento.Disponivel em<http://sites.poli.usp.br/d/pme2600/2011/Artigos/Art_TCC_006_2011.pdf> Acessado em 30/08/2013.