CADERNO DE EXERCÍCIOS Cálculo II 1ª Parte

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CADERNO DE EXERCÍCIOS DE 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
(1ª Parte) 
PROF. ARMANDO PEIXOTO 
armandopeixoto@gmail.com 
 
 
( ) ( ) ( )
b
a
A f x dx F b F a 
 
 
 
 
2 
 
Conteúdo 
A Integral Indefinida ................................................................................................... 3 
Tabela Básica de Integrais Indefinidas ......................................................................... 5 
Métodos de Integração por: substituição de variáveis, partes. ..................................... 5 
Exercícios: calcule as seguintes integrais indefinidas.................................................... 7 
Aplicações das Integrais Indefinidas ............................................................................ 7 
Exercícios de fixação sobre integrais indefinidas .......................................................... 9 
Dever de Residência sobre Integrais Indefinidas: vários métodos............................... 10 
Respostas ................................................................................................................. 10 
A Integral Definida e suas propriedades .................................................................... 11 
Aplicações das Integrais Definidas: cálculo de área de figuras planas e cálculo de volume 
de uma superfície de revolução ................................................................................ 12 
Cálculo de Área ........................................................................................................ 12 
Cálculo de Volume.................................................................................................... 14 
Integração de Funções Racionais .............................................................................. 14 
Exercícios propostos ................................................................................................. 17 
Método da Integração por Substituição Trigonométrica ............................................ 17 
Aplicações das Integrais Definidas: cálculo de centroides, comprimento de arco de uma 
curva plana e área de superfície de revolução ........................................................... 18 
Centroide ................................................................................................................. 18 
Comprimento de arco de uma curva plana ................................................................ 19 
Área de uma superfície de revolução ........................................................................ 19 
Miscelâneas de 60 questões propostas ..................................................................... 20 
Referências Bibliográficas ......................................................................................... 32 
 
 
3 
 
A Integral Indefinida 
 
Definição: uma função 
F
 (maiúscula) é chamada uma antiderivada ou uma primitiva de uma 
função 
f
(minúscula) em um intervalo , se 
( ) ( ),F x f x x
. 
O conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida de f em relação à variável x, que 
denotaremos por 
( )f x dx
. A grafia é o símbolo de uma integral (que tem o formato de 
uma letra S alongada). A função f é o integrando de uma integral, x é a variável de integração e 
dx é o elemento de integração (elemento infinitesimal – a diferencial que serve para identificar 
a variável de integração). Simbolicamente podemos escrever: 
( ) ( )f x dx F x C
, se 
( ) ( ), ( )F x f x x D f
. 
A letra C é a constante de integração ou constante arbitrária. A expressão acima deve ser lida 
como “a integral indefinida de f em relação à x é 
( )F x C
”. 
Pela definição acima, uma vez determinada uma primitiva F de uma função f, as outras primiti-
vas diferem dela por uma constante. 
Exemplo: podemos garantir que a função 
3 2( ) 4 5F x x x
 é uma primitiva da função 
2( ) 12 2f x x x
, pois a derivada de F que é dada por 
2( ) 12 2
dF
F x x x
dx
 é igual à função f. 
Considere, agora, a função 
3 2( ) 4 17G x x x
, então podemos dizer que G também é uma 
primitiva de f, pois 
2( ) 12 2G x x x
. Ademais, qualquer função cuja expressão é dada por 
3 24x x C
, onde 
C
, é uma primitiva de f. 
 
Proposição 1: se F e G são duas primitivas da função f, então a diferença entre elas é uma cons-
tante. 
 
Proposição 2: se F é uma primitiva qualquer de f em um intervalo , então a primitiva mais 
geral de f em é dada por 
( )F x C
, 
C
. 
 
Propriedades: 
P1) A derivada da integral de uma função é a própria função: 
( ) ( )
d
f x dx f x
dx
. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d d d
f x dx F x C F x F x f x
dx dx dx
 ou ainda 
( ) ( )d f x dx f x dx
. 
 
P2) A constante multiplicativa pode ser retirada do integrando: 
( ) ( )k f x dx k f x dx
. 
P3) A integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais: 
( ) ( ) ( ) ( )c f x k g x dx c f x dx k g x dx
. 
 
4 
 
Lembre-se que no Ensino Básico a subtração é a operação inversa da adição, assim como a divi-
são é a operação inversa da multiplicação. Da mesma forma, temos que a radiciação é a opera-
ção inversa da potenciação, e o logaritmo nada mais é que a operação inversa da exponencial. 
Exemplos: 
a) 27 –15 = 12, pois 12+15=27 b) 81 ÷ 3 = 27, pois 27x3=81 
c) 
33 8 2, pois 2 8
 d) 
5
2log 32 5, pois 2 32
 
 
Como pode ser visto pelos exemplos acima, a Matemática necessita das operações inversas! 
 
Vamos estudar agora mais uma operação inversa, chamada de integral indefinida. Ela é a ope-
ração inversa da derivada. Assim como o símbolo é utilizado para radiciação, o símbolo para 
a integral indefinida é ∫. 
 
Exemplo 1: 
a) 
22x dx x
, pois 
2( ) 2x x
. Quer dizer, a função 
2( )F x x
 é uma primitiva da função 
( ) 2f x x
. 
b) 
cos( ) sen( )x dx x
, pois 
sen( ) cos( )x x
. 
c) 
2 3 2(3x 6x 4) x 3 4dx x x
, pois 
3 2 23 4 3 6 4x x x x x
. 
 
Exemplo 2: use o conceito de primitiva para verificar que as seguintes integrais indefinidas 
estão corretas, ou seja, derive o 2º membro para ver que ele coincide com o integrando. 
(a) 
2 3 2(6x 4x 5) 2 2 5dx x x x C
 (b) 3
2(x 1) 
3
x xxe dx e x C
 
(c) 
sen(2 ) sen(3 )
(cos(2 ) cos(3 ))
2 3
x x
x x dx C
 (d) 
1 2
( ) 2ln( )
2
dx x x C
xx
 
Exemplo 3: use o conceito de primitiva para verificar se as seguintes integrais indefinidas es-
tão corretas, ou seja, derive o 2º membro para ver se ele é igual ao integrando. 
(a) 4
3 2 3 2(x 3x 2 ) 
4
x
x dx x x C
 (b) 2
2
2
5 5
( )
2
x
x ee dx C
xx
 
(c) 
(cos(5 ) 3) sen(5 ) 3x dx x x C
 (d) 
cos( ) sen( ) cos( )x x dx x x x C
 
Exemplo 4: calcule as integrais indefinidas a seguir. 
(a) 
( 1)x dx
 (b) 
3x dx
 
(c) 
5(3 2 4)xx e dx
 
(d) xdx 
 
 
 
5 
 
Tabela Básica de Integrais Indefinidas 
 
1) 
dx x C
 
2) 1
, onde 1
1
n
n xx dx C n
n
 
3) 
ln
dx
x C
x
 4) 
 , onde 0 1
ln
x
x aa dx C a
a
 
5) 
x xe dx e C
 6) 
sen cosx dx x C
 
7) 
cos senx dx x C
 8) 
2sec tgx dx x C
 
9) 
2cosec cotgx dx x C
 10) 
tg ln cosx dx x C
 
11) 
sec ln sec tgx dx x x C
 12) 
cotg ln senx dx x C
 
13) 
sec tg secx x dx x C
 14) 
cosec cotg cosecx x dx x C
 
15) 
2
arctg
1
dx
x C
x
 16) 
2 2
1
arctg
dx x
C
a aa x
 
17) 
2
arcsen
1
dx
x C
x
 18) 
2 2
1
ln
2
dx x a
C
a x ax a
 
19) 
2 2
arcsen
dx x
C
aa x
 20) 
2 2
2 2
ln
dx
x x a C
x a
 
 
Métodos de Integraçãopor: substituição de variáveis, partes. 
 
Integração por substituição de variáveis: como vimos em alguns exemplos acima, às vezes po-
demos “adivinhar” a primitiva de uma função. Pelo visto, resolver integrais dessa forma se re-
sumiria a uma questão de sorte e esperteza. Por outro lado, um método que consiste em uma 
mudança de variável. Este método nos levará a transformar a integral em outra mais simples, 
com nova roupagem, onde nós poderemos utilizar a tabela de integrais imediatas. Este método 
é chamado de substituição de variáveis. 
Consideremos o exemplo: 
2cos( 1)2x xdx
, podemos observar que fazendo 
2 1t x
, a 
diferencial de t é 
2dt xdx
. Dessa forma, a integral acima pode ser reescrita como 
2cos( 1)2 cos( ) sen( )x xdx t dt t C
 
Como 2 1t x , temos facilmente que 
2 2cos( 1)2 sen( 1)x xdx x C
. Observe que com 
a mesma substituição 2 1t x resolvemos as integrais abaixo: 
1) 3/2 2 3/2
2 1/2 2 2( 1)2 1
3 3
t x
x x dx tdt t dt C C
; 
2) 
2 2 2 2sec ( 1) 2 sec ( ) tg( ) tg( 1)x xdx t dt t C x C
. 
6 
 
De uma forma geral, se temos uma integral na forma 
( ( )) ( )f g x g x dx
 e se sabemos que F é 
uma primitiva de f, podemos estabelecer que 
( ( )) ( ) ( ( ))f g x g x dx F g x C
. 
 
Integração por partes: algumas integrais não podem ser resolvidas pelo método de substituição 
de variáveis, ou seja, o método de substituição não funciona. Por exemplo, na integral 
xxe dx
 as opções de substituição (
t x
 ou 
xt e
) não resolvem o problema. Porque isto 
aconteceu? O que fazer nestes casos? A resposta é simples: as funções x e 
xe
 não têm nada em 
comum, não estão relacionadas entre si (como no caso de substituição de variáveis). 
Nestes casos, os matemáticos descobriram que certas integrais podem ser divididas em duas 
partes, uma delas chamada de u e a outra de dv. Dessa maneira, elas são colocadas na forma 
udv
 . Além disso, os matemáticos descobriram facilmente uma fórmula que permite trocar a 
integral desejada por outra, que pode ser mais simples de resolver. Esta fórmula é: 
udv uv vdu
. 
Aqui descrevemos uma estratégia para integrar por partes: a sugestão que funciona bem na 
grande maioria das vezes é escolher a função u utilizando a seguinte hierarquia funções: 
1) L = Logarítmicas; 
2) I = Inversas trigonométricas; 
3) A = Algébricas; 
4) T = Trigonométricas; 
5) E = Exponenciais. 
 
7 
 
Exercícios: calcule as seguintes integrais indefinidas 
 
1) 
2
3
1 2
x dx
xx
 2) 
3 2 2( )a bx x dx
 3) 
3
cos(3 )
sen (3 )
x
dx
x
 
4) 
( 1)( 1)x x x dx
 5) 
 com 2
n
dx
n
x
 6) tg( )
2
2
cos ( )
x
dx
x
 
7) 2
2
(arcsen( ))
1
x
dx
x
 8) 
1 12 tg(2 )x x dx
 9) 
sen( )x xe e dx
 
10) 3
2
x x
dx
x
 11) 
3 4 2( 1)x x dx
 12) 
3 2 3xdx
 
13) 
2
1
2
x
dx
x x
 14) 
2( )x x x dx
 15) 3 1
1
x
dx
x
 
16) 4
41 3
x
x
e
dx
e
 17) 
2
cos(2 )
sen(2 )
x x
dx
x x
 18) 
3tg ( )x dx
 
19) 
sen(2 ) cos(2 )
cos(2 )
x x
dx
x
 20) 
2
1 cos( )
sen ( )
x
dx
x
 21) 2
4
x
x
e
dx
e
 
22) 
3sen ( )cos( )x x dx
 23) 
3 xx e dx
 24) 
ln(ln )x
dx
x
 
25) 
cos( )xe x dx
 26) 
5 cos(4 )xe x dx
 27) 
2 sen( )x x dx
 
28) 3sen ( )
cos( )
x
dx
x
 29) 
( 3 1)cos(5 )x x dx
 30) 
15 x dx
 
31) 
2cos ( )x x dx
 32) 
5
cos( )
sen ( )
x
dx
x
 33) 
21
xdx
x
 
34) 
cos(ln )x
dx
x
 35) 
3sen ( )x dx
 36) 
sen( ) cos( )xe x dx
 
 
Aplicações das Integrais Indefinidas 
 
37) Sabendo-se que o Radium (Ra) se decompõe naturalmente em proporção direta à quanti-
dade presente e leva 120 meses para decompor de 1,2 mg para 0,9 mg. Qual o tempo ne-
cessário para decompor 60% da quantidade inicial? 
 
38) O isótopo radioativo tório 234 desintegra-se numa taxa proporcional à quantidade presen-
te. Se 100mg deste material são reduzidos a 82,04mg em uma semana, determine: 
(a) a expressão que modela este problema para a quantidade presente num instante t; 
(b) e o tempo necessário (em dias) para a massa decair à metade do seu valor original. 
 
39) Num tanque existem 100 litros de água que contém 0,7 kg de sal dissolvidos. A água fresca 
(pura) entra no tanque à razão de 2 l/min, e a mistura, que permanece uniforme após agi-
tada, sai à razão de 3 l/min. Quantos quilos de sal existem no tanque após 1 h? 
 
40) A lei de arrefecimento de Isaac Newton estabelece que a taxa segundo a qual decresce a 
temperatura de um corpo que está resfriando e a taxa segundo a qual cresce a de um cor-
8 
 
po que está aquecendo são proporcionais à diferença entre a temperatura do corpo e a 
temperatura do meio ambiente. Use este resultado para modelar o seguinte problema: um 
copo de água a uma temperatura de 95°C está colocado numa sala com temperatura cons-
tante de 21°C. Quantos minutos levarão para a água atingir uma temperatura de 51°C se 
ela resfria desde o momento inicial para 85°C em um minuto. Aproxime o resultado final 
com apenas duas casas decimais. 
 
41) Aplicação da lei do resfriamento de Newton: se um corpo está no ar a uma temperatura de 
35°C e o corpo esfria de 120°C para 60°C em 40 min, determine a temperatura do corpo 
depois de 100 min. 
 
42) Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade pre-
sente. Após 1h observam-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4h, 3000 núcleos, 
determine: 
(a) uma expressão para calcular o número de núcleos presentes na cultura em um tempo 
arbitrário t; 
(b) o número de núcleos inicialmente existentes na cultura. 
 
43) Um grupo de Engenheiros Ambientalistas através de uma pesquisa, estima-se que a taxa 
de crescimento do número de certa espécie de tartaruga cresce a uma taxa dada pela ex-
pressão 
2( ) ( ) 6 6 4
dQ
Q t t t t
dt
 daqui a t anos pelos próximos 40 anos. Sabendo-se 
que no momento há 1000 tartarugas, determine o número de tartarugas daqui a 20 e 30 
anos. 
 
44) A Alabama Instruments Company preparou uma linha de montagem para fabricar uma 
nova calculadora. A taxa de produção dessas calculadoras após t semanas é dada por: 
100
10 2
( ) 5000 1
dp
dt
t
p t
calculadoras/semana. Sabendo-se que na 1ª semana a Ala-
bama Instruments Company fabricou 10000 calculadoras, então determine a produção da 
7ª semana. 
 
 
45) Determinar uma primitiva F(x) da função 
2 3( )f x x x
, de tal forma a satisfazer a condi-
ção 
(1) 1F
. 
 
46) Podemos analisar a passagem de corrente elétrica (i) em função do tempo (t) em um cir-
cuito RL através da seguinte função primitiva: 
1( ) ( ( ) )
t t
L
R R
L Li i t e E t e dt C
. Esta 
função representa geometricamente uma família de curvas em 2 , em que C é uma cons-
9 
 
tante arbitrária. Determine a corrente elétrica, em ampères (A), quando 
5t s
, sabendo-
se que o circuito RL contém um resistor com uma resistência de R = 4 ohms ( ), um indu-
tor com uma indutância de L = 2 henrys (H), uma força eletromotriz dada pela função 
( )E t t
 e o valor inicial 
(0) 0i
. 
 
47) Resolva as seguintes integrais indefinidas: 
 
a) 3 1
4
x x
dx
x
 b) 1 3(2 3) xx e dx 
c) 
sen( ) cos( ) ln(cos( ))x x x dx
 
d) 
2
ln( )
4 ln ( )
x
dx
x x
 
 
Exercícios de fixação sobre integrais indefinidas 
 
1) Calcular as integrais indefinidas abaixo. 
 
a) 
1
3
x x
dx
x
 
b) 
2 63 5 (1 )x x x dx
 
c) 
cos(2 )x xe e dx
 d) 
2sen ( )x dx
 
e) 
2 xx e dx
 f) 
3 sen(4 )x x dx
 
 
2) Determinar uma primitiva( )F x
, da função 
2 3( )f x x x
, que satisfaça a condição 
(1) 1F
. 
3) Sabendo que a função 
( )f x
 satisfaz a igualdade 
21( ) sen( ) cos( )
2
f x dx x x x x C
, 
determinar 
( / 4)f
. 
4) Calcular uma primitiva da função 
2
1
( ) 1f x
x
 que anule no ponto 
2x
. 
5) Encontrar uma função f tal que 
( ) sen( ) 0f x x
 e 
(0) 2f
. 
 
6) Determinar em cada item abaixo a função integranda. 
 
a) 2
( ) xf x dx e C
 b) 
( ) cos( ) sen( )g x dx x x x C
 
c) 
( ) x xh x dx xe e C
 d) 
2 2( ) lnp x dx x x a C
 
e) 
21 1 1( ) ln( 1) arctg( ) ln 1
4 2 2
q x dx x x x C
 
 
 
10 
 
Dever de Residência sobre Integrais Indefinidas: vários métodos 
 
 
1) 
2
1 1
cos(3 )
x
x dx
xe
 2) 
5sen (x)dx
 3) 
2.ln
dx
x x
 
4) 
xcos(2x)dx
 5) 
2xcos (x)dx
 6) 
2 3 1
dx
x x
 
7) 
3xxe dx
 8) 
2 32 xx e dx
 9) 2
3
2
6 1
x
 dx
x x
 
10) 
22 3x x dx
 11) 
2
3 1
1
x
dx
x x
 12) 
4tg ( )x dx
 
13) 2
2
1 x
dx
x
 14) 
2 2tg ( )secx dx
 15) 
2
2 1
3 2
x
dx
x x
 
16) 2
4
1 x
dx
x
 17) 
2x3xe dx
 18) 
2 2
dx
x 1 x
 
19) 
2 1
x
dx
x
 20)
2
1
1
x
dx
x
 21) 
3cos (x)dx
 
22) 2
22
x
x
e dx
e
 23) 
41
x
dx
x
 24) 
21
x
x
e
dx
e
 
25) 3
4
cos ( )
sen ( )
x
dx
x
 26) 
ln( 3)x dx
 27) 
lnx xdx
 
28) 
21 x dx
 29) 
21
dx
x
 30) 2
2 3(1 )
x
dx
x
 
31) 
10
dx
x
 32) 
2 cos(3 )xe x dx
 33) 5 4
3
8
4
x x
dx
x x
 
34) 
2( 1) ( 2)
dx
x x
 35) 3
2
2x
dx
x x
 36) 
24
x
x
e
dx
e
 
 
Respostas 
 
1) 2 sen(3 )
2
2 3
xe x
x C
 
2) 5 3cos ( ) 2cos ( )
cos( )
5 3
x x
x
C 
 
3) 
1
ln
C
x
 4) 
sen(2 ) cos(2 )
2 4
x x x
C
 
5) 2 sen(2 ) cos(2 )
4 4 8
x x x x
C
 6) 1 2 3 5
ln
5 2 3 5
x
C
x
 
7) 3
3
9
x
x exe C
 8) 32
3
xe
C
 
11 
 
9) 
31 ln 6 1
3
x x C
 
10) 
2 32 ( 3)
3
x C
 
11) 
23 3 2 1ln 1 arctg
2 3 3
x
x x C
 12) 3tg ( )
tg( )
3
x
x x C
 
13) 21
arcsen( )
x
x C
x
 14) 3tg ( )
3
x
C
 
15) 3( 2)
ln
1
x
C
x
 16) 
3
21 1
3
x
C
x
 
17) 2 23 3
2 4
x xxe e
C
 18) 21 x
C
x
 
19) 
2 1x C
 20) 2ln(1 )
arctg( )
2
x
x C
 
21) 3sen ( )
sen( )
3
x
x C
 22) 2ln(2 )
2
xe
C
 
23) 
21 arctg( )
2
x C
 24) 
arcsen( )xe C
 
25) 
3
1 1
sen( )3sen ( )
C
xx
 26) 
( 3)ln( 3)x x x C
 
27) 3 3
2 22 4ln
3 9
x x x C
 28) 
2 21 1 ln 1
2
x x x x C
 
29) 
2ln 1 x x C
 30) 
2
arcsen( )
1
x
x C
x
 
31) 
ln(10 )x C
 32) 2
3sen(3 ) 2cos(3 )
13
xe
x x C
 
33) 4 2 2 5
3
( 5)
4 ln
4 2 ( 2)
x x x x
x C
x
 34) 
2 1
ln
1 1
x
C
x x
 
35)
2 2 2ln 1x x x C
 36) 
1
arctg / 2
2
xe C
 
 
A Integral Definida e suas propriedades 
 
 
( ) ( ) | ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a
a
f x dx F x C F b C F a C F b C F a C F b F a
. 
 
Propriedades: 
P1) 
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
 
 
12 
 
P2) Se f é uma função par, então 
0
0
( ) 2 ( ) 2 ( )
a a
a a
f x dx f x dx f x dx
 
 
P3) Se f é uma função ímpar, então 
( ) 0
a
a
f x dx
. 
 
Exemplos: calcule as integrais definidas. 
 
1) 
3 4 2
3
( 3 2)x x dx
 2) 
3 3
3
( 3 )x x dx
 
3) 
/2
/2
sen( )x dx
 4) 
/2
/2
cos( )x dx
 
 
Aplicações das Integrais Definidas: cálculo de área de figuras planas e cálculo de volume de 
uma superfície de revolução 
Cálculo de Área 
 
 
4
1
( ( ) ( ))A f x g x dx
, que nos dá a Área da 
região limitada pelas retas 
1x
 e 
4x
, e 
pelas curvas f (superior) e g (inferior). 
 
 
1) Encontre a área aproximada da região limitada pelas curvas 
2 1
x
y
x
 e 
4y x x
. Os pontos de interseção são 
0x
 e 
1,18x
. Resposta: 
0,785A ua
. 
2) Determine a área da região limitada entre as parábolas 
2y x
 e 
22y x x
. 
Resposta: 
1
3
A ua
. 
3) (a) Calcule a área da região limitada pelas expressões: 
xy e
, 
ln( )y x
, 
0y
, 
0x
 e 
x e
. Resposta: 
13,15A ua
. 
(b) Faça o mesmo para 
xy e
, 
y x
, 
0x
 e 
1x
. Resposta: 
1,22A ua
. 
4) Determine a área da região limitada pela reta 
1y x
 e pela parábola 
( 1)( 2)y x x
. 
Resposta: 
3,77A ua
. 
13 
 
5) Calcular a área da região sombreada ao 
lado construída pelas curvas 
3( ) 3y f x x x
 e 
21 1
2 2
( )y g x x x
. Dê o resultado 
com aproximação de duas casas deci-
mais. As interseções são: 
1 1,3x
, 
2 0,2x
 e 
3 1,6x
. 
Resposta: 
2,18A ua
 
 
 
6) Calcular a área da região sombreada ao lado. As 
interseções entre as curvas 
ln( )y x
 e 
2 6 9y x x
 são: 
1 2,1x
 e 
2 4,2x
. Apre-
sente o resultado final com duas casas decimais. 
Resposta: 
1,03A ua
 
 
 
 
 
7) Encontre a área da região limitada pelas curvas 
sen( )y x
, 
cos( )y x
 no intervalo 
0,2x . 
Resposta: 
5,66A ua
. 
 
 
8) Calcule a área, em 2m , da região sombreada formada pelas curvas 
1
20
xe
y
, 
8
y
x
 e pela reta 
5 2y x
. Considere as seguintes abscissas de 
interseção entre os gráficos: 
1 0,6x
; 
2 1,5x
 e 
3 3,3x
. 
Resposta: 5,27 2m . 
 
 
9) Calcule o volume do sólido, em cm3, que se obtém através da rotação das curvas dadas abai-
xo em torno do eixo das abscissas. 
a) 
xy e
, 
1xy e
 no intervalo 
2,7 2,7x
. Considere 
0,48x
 a abscissa do ponto 
de interseção. Resposta: 15,13 cm3. 
b) 
21y x
, 
y x
 e 
0y
 (no primeiro quadrante). Resposta: 0,61 cm3. 
c) 
seny x
, 
0y
, 
0x
 e 
x
. Resposta: 4,93 cm3. 
        








x
yy = x^3-3x
y = 0.5x^2-x-0.5
14 
 
Cálculo de Volume 
 
 
 
 
4 2
1
( ( ) )V f x L dx
, que nos dá o volume de revolução da curva f no intervalo de 1 a 4 em 
torno do eixo 
y L
. 
1) Mostre que o volume de uma superfície esférica de raio r é dado por 
34
3
V r
. 
2) (a) Determine o volume de um cone circular de raio r e altura h. Faça o mesmo para: (b) 
uma calota esférica de raio r e altura h. 
3) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por 
3y x
, 
8y
 e 
0x
 em torno do eixo das ordenadas. Resposta: 
96
5
V uv
. 
4) A região limitada pelas curvas 
y x
 e 
2y x
 é girada ao redor do eixo 
Ox
. Encontre o 
volume do sólido resultante. Resposta: 
2
15
V uv
. 
5) Calcular o volume de revolução da elipse 
2 24 8 36x y
 em torno do eixo das abscissas. Apre-
sente o resultado final com duas casas decimais. 
18 56,55V uv
. 
 
Integração de Funções Racionais 
 
Seja a integral 
( )
( )
P x
dx
D x
 onde 
( )P x
 e 
( )D x
 são polinômios na variável x. Se o numerador (divi-
dendo) e o denominador (divisor) de uma fração são polinômios, então a fração é chamada de 
racional. 
 
1º TIPO: integrais na forma 
2
k
dx
ax bx c
 onde 
,k a
. Neste caso quando uma integral 
contiver trinômios do 2º grau, procuraremos sempre transformar este trinômio de modo a ob-
ter um quadrado perfeito (TQP). 
 
15 
 
1º CASO: quando 
2ax bx c
 é um TQP como, por exemplo: 
25
4 4
dx
x x
. Assim, fare-
mos: 
2 2
5 5 5
24 4 ( 2)
dx dx C
xx x x
. 
 
2º CASO: quando 
2ax bx c
 não é um TQP como, por exemplo: 
2
5
4 8
dx
x x
. Assim, 
faremos: 
2 2 2 2
2(1 3)5 5 5 5 3
ln
12 2(1 3)4 8 ( 2) 12 ( 2) ( 12)
x
dx dx dx C
xx x x x
. 
Veja que a expressão do 2º grau foi transformada em um TQP, mas nos deixou um resíduo ne-
gativo. 
Neste caso usamos a seguinte expressão demonstrada em aula: 
2 2
ln
2
k k u a
du C
a u au a
. 
 
3º CASO: quando 
2ax bx c
 não é um TQP como, por exemplo: 
2
5
4 8
dx
x x
. Assim, 
faremos: 
2 2 2 2
5 5 5 5 2
arctg
2 24 8 ( 2) 4 ( 2) 2
x
dx dx dx C
x x x x
. 
Observe que a expressão do 2º grau foi transformada em um TQP, mas nos deixou um resíduo 
positivo. 
Neste caso usamos a seguinte expressão: 
2 2
arctg
k k u
du C
a au a
. 
 
2º TIPO: integrais na forma 
2
mx n
dx
ax bx c
 onde 
,m a
. Neste caso quando uma integral 
contiver no numerador um polinômio do 1º grau e no denominador um polinômio do 2º grau, 
procuraremos sempre, através de um artifício algébrico, transformar este polinômio do 1º grau 
na derivada do denominador que é o polinômio do 2º grau. 
Exemplo: 
2 2 2 2
2
2 2
3 5 5 / 3 3 2 10 / 3 3 2 3 19 / 3
3
2 23 13 / 4 3 13 / 4 3 13 / 4 3 13 / 4
3 2 3 19 1 3 19
ln 3 13 / 4 arctg 3 / 2
2 2 2 23 13 / 4 3 13 / 4
x x x x
dx dx dx dx
x x x x x x x x
x
dx dx x x x C
x x x x
 
Observe que a integral, neste exemplo, foi transformada em duas integrais. A primeira em uma 
integral que resolvemos através de substituição e a segunda usamos o método de integração do 
1º Tipo e 3º Caso. 
 
16 
 
3º TIPO: integrais na forma 
( )
( )
P x
dx
D x
 onde 
( ( )) ( ( ))gr P x gr D x
. Vimos em sala de aula que usa-
remos a seguinte tática: 
( ) ( )
( )
( ) ( )
P x R x
dx Q x dx dx
D x D x
 (lembre-se: querida), onde 
( )R x
 é o 
resto e 
( )Q x
 é o quociente da divisão de 
( )P x
 com 
( )D x
. 
Exemplo: 2
22 3 3 2(2 1) 2ln| 1|
1 1
x x
dx x dx dx x x x C
x x
. 
 
4º TIPO: integrais na forma 
( )
( )
P x
dx
D x
 onde 
( ( )) ( ( ))gr P x gr D x
. Estudaremos três casos: 
 
1º CASO: os fatores do denominador são todos do primeiro grau e não repetidos (multiplicidade 
um). 
Exemplo: 2
3 2
7 6 1
3 2
x x
dx
x x x
. Neste caso vamos trocar o integrando por três frações que de-
nominaremos de frações parciais. Veja: 
2
3 2
7 6 1 1 17
, 2 e 
1 2 2 23 2
x x A B C
A B C
x x xx x x
. 
Assim, 
2
3 2
7 6 1 1 1 1 17 1
2
2 1 2 23 2
1 17
ln 2ln 1 ln 2
2 2
x x
dx dx dx dx
x x xx x x
x x x K
 
 
2º CASO: os fatores do denominador são todos do primeiro grau com alguns deles repetidos. 
Exemplo: 
2
1 1
( 2)( 2)( 3)( 2)( 5 6)
x x
dx dx
x x xx x x
. Assim, faremos: 
2
1
4, 3 e 4
( 2)( 2)( 3) 2 3( 2)
x A B C
A B C
x x x x xx
. 
Assim, 
2 2
1
1 1 1 1
4 3 4
2 3( 2) ( 3) ( 2)
4ln 2 3( 2) 4ln 3
x
dx dx dx dx
x xx x x
x x x K
 
 
3º CASO: o denominador contém fatores do segundo grau com raízes não reais. 
Exemplo: 
3 2
1 1
( 1)
x x
dx dx
x x x x
. Assim, faremos: 
2 2
1
1, 1 e 1
( 1) 1
x A Bx C
A B C
xx x x
. 
Assim, 
2
2 2 2
1 1 1 1
ln ln 1 arctg( )
2( 1) 1 1
x x
dx dx dx dx x x x K
xx x x x
. 
 
17 
 
Exercícios propostos 
 
1) 
5 3
4 42
2 1
. Resposta: ln 3 ln 1
2 3
x
I dx I x x C
x x
 
2) 3 2
2
2
2 4 3
. Resposta: 2ln 1 3ln 3
2 3
x x x
I dx I x x x C
x x
 
3) 3 2
2
2
2 2 1 1
. Resposta: ln
x x x
I dx I x C
xx x
 
4) 3
3 2
9 3 1 1
. Resposta: 9 2ln 7ln 1
x x
I dx I x x x C
xx x
 
5) 4 2 2
21
23
1
. Resposta: ln ln 1
2
x x x
I dx I x x C
x x
 
6) 
2
1
. Resposta: ln
3 2 2
x x
x x x
e e
I dx I C
e e e
 
7) 
1
52
cos( ) sen( ) 2
. Resposta: ln
sen( ) 3sen ( ) sen( ) 6
x x
I dx I C
xx x
 
8) 2
3 1 1
4 2 4
4 1
. Resposta: ln 1 ln 1 ln 3
( 1)( 1)( 3)
x x
I dx I x x x C
x x x
 
9) 3
21
23
1
. Resposta: ln ln 1 arctg( )
x
I dx I x x x x C
x x
 
10) 3 2
2 21 1
2 22
1
. Resposta: ln 2 2
2 2
x x x
I dx I x x x x C
x x
 
11) 
5 2
. Resposta: ln
(2 1)( 2) 2 1
x
I dx I C
x x x
 
12) 2 2 3
3 2
4 3 4 ( 2)
. Resposta: ln
12
x x x x
I dx I C
xx x x
 
13) 3
3 2
4 1 3 2
. Resposta: ln
1( 1) ( 1)
x x
I dx I x C
xx x x
 
14) 3 2
23
24 2
5 3 2 1 1
. Resposta: 2ln ln 1 2arctg( )
x x x
I dx I x x x C
xx x
 
Método da Integração por Substituição Trigonométrica 
 
a) 2
2 2 2 2 arcsen
2 2
x a x
a x dx a x C
a
 
b) 2
2 2 2 2 2 2ln
2 2
x a
a x dx a x x a x C
 
c) 2
2 2 2 2 2 2ln
2 2
x a
x a dx x a x x a C
 
18 
 
 
As demonstrações serão realizadas em sala de aula. 
 
Exemplos: calcule as integrais. 
1) 2
2
9 x
dx
x
. Resposta: 29
sen( / 3)
x
arc x C
x
 
2) 
2 2
2
4
1
4
dx
x x
. Resposta: 2 4
4
x
x
 e 0,2792. 
 
Aplicações das Integrais Definidas: cálculo de centroides, comprimento de arco de uma curva 
plana e área de superfície de revolução 
Centroide 
 
1
[ ( ) ( )]
b
i
ai
x x f x g x dx
A 
2 21 {[ ( )] [ ( )] }
2
b
i ai
y f x g x dx
A 
1 1 2 2
1 2
x A x A
x
A A 
1 1 2 2
1 2
y A y A
y
A A 
 
1) Determine o centroide da região limitada pelas parábolas 
22y x
 e 
21y x
. 
 
 
 
2) Calcule o centroide da região limitada pelas curvas de equações 
y x
e 
3y x
. 
 
 
 
3) Obtenha o centroide da região ao lado limi-
tada pelas seguintes curvas: 
0y
, 
( )y f x x
 e 
2( ) 0,25 1,50y g x x x
 
 
 
19 
 
 
4) Ao lado você encontra uma peça metálica onde Seu João 
pretende realizar um furo central ( , )G x y para introduzir 
um eixo rotatório com uma determinada bitola. Você pode-
ria ajudar o Seu João a determinar as coordenadas centrais 
desta peça? 
Informações: a peça está limitada pelas funções 24y x 
e 24y x x e pelo eixo das abscissas. As expressões que 
calcula o centroide são: 
 
Comprimento de arco de uma curva plana 
 
 
4 2
1
1 ( )L y dx
, que nos dá o comprimen-
to da curva f entre os pontos A e B. 
 
Exemplos: nos itens abaixo, determine o comprimento L das curvas dadas, em cm, com aproxi-
mação de duas casas decimais. 
a) 3 1
6 2
x
y
x
 no intervalo 
[1,2]
. Resposta: 1,42 cm. 
b) 3
22 ( 1)
3
x y
 de 
1y
 a 
5y
. Resposta: 6,79 cm. 
c) 
cosh( )
2
x xe e
y x
 no intervalo 
[0, 3]
. A função aqui considerada é o cosseno hiper-
bólico cujo gráfico é uma catenária. Resposta: 10,02 cm. 
d) Estabeleça uma integral para obter o comprimento do arco da equação 
3 0y y x
 de 
(0, 1)A
 a 
(6,2)B
. Usando um CAS, obtém-se a que o comprimento é 8,73 cm. 
Área de uma superfície de revolução 
 
22 1 ( )
b
a
A y y dx
, que nos dá a área da superfície de revolução da curva 
( )y f x
 no 
eixo das abscissas no intervalo de a até b. No caso da rotação ser no eixo das ordenadas calcula-
remos a área por: 
22 1 ( )
d
c
A x x dy
; 
( )x g y
 (x uma função de y). 
20 
 
 
Exemplos: nos itens abaixo, calcule a área da superfície gerada pela rotação das curvas dadas 
em torno do eixo cartesiano horizontal. 
a) 
32y x
, 
2y x
, 
0x
 e 
1x
. Resposta: 27,09 cm2. 
b) 
2y x
 e 
y x. Resposta: 9,14 cm2. 
c) (CAS)
3 3sen ( ) (sen( ))y x x
 no intervalo 
0 x
. Resposta: 10,77 cm2. 
Miscelâneas de 60 questões propostas 
 
1. Calcule as seguintes integrais indefinidas: 
a) 2 3 2x x
dx
x
 b) 2
ln( )xe dx
 c) 2 3 5
1
x x
dx
x
 d) 3 2xx e dx
 
 
2. Ao calcular a integral 
3( ) cos ( )J x x dx
 você obterá uma família de curvas J. 
Determine: 
(a) a curva J que satisfaz a condição 
(2) 4J
. Para tanto, deve-se obter a constante arbitrária. 
(b) Obtenha o valor da constante arbitrária com aproximação de duas casas decimais. 
 
3. (Mudança de Temperatura) Uma peça metálica é retirada 
de um congelador e deixada em cima de uma mesa para des-
congelar. A temperatura da peça metálica era 
4 C
 quando 
foi retirada do congelador e, t horas depois, estava aumenta-
do à taxa de temperatura de acordo com a expressão: 
0,35( ) 7 ( / )t
dT
T t e C h
dt
. 
(a) Escreva uma expressão para a temperatura da peça metá-
lica após t horas. 
(b) Qual a temperatura da peça metálica após duas horas? 
(c) Suponha que a peça metálica fique totalmente descongelada quando a temperatura chega 
a 
15,8 C
. Quanto tempo a peça metálica leva para descongelar? 
 
4. Determine a área da região plana limitada pelas funções 
3 2( ) 2xf x x e
, 
( ) ln( ) 2g x x
 e 
2( )h x x
 no intervalo 
0 1,31x
. Os pontos de inter-
seções são 0,65 e 1,31 metros. Apresente o resultado final com duas casas 
decimais em metro quadrado. 
 
 
21 
 
5. Obtenha, em metro cúbico, o volume de revolução quando a 
curva 2
4
2
( )
1
x
f x
x
 gira em torno do eixo das abscissas no 
intervalo 
2 3x
. 
 
6. Um fabricante constatou que o custo marginal (que é a derivada do custo em função da 
quantidade) de um certo produto é 
23 60 400q q
 reias por unidade, em que q é o número 
de unidades produzidas. O custo total (que é a função custo) para produzir as primeiras duas 
unidades é R$ 900,00. Qual é o custo total para produzir as primeiras cinco unidades? 
 
7. Determine a área, em metros quadrado, da região no 
primeiro quadrante que é delimitada pelos eixos coordena-
dos e pela curva 29
3
x
y
. Aproxime o resultado final 
com duas casas decimais. 
Use 
2 1 cos(2 )cos( )
2
 e 
sen(2 ) 2sen( )cos( )
 
 
 
8. Obtenha o centroide da peça metálica delimitada pelas 
curavas 
y x
 e 
/ 2y x
 no intervalo 
0 1x
. 
 
 
9. Determine o comprimento de arco, em metros, entre os 
pontos P e Q da curva 3 1
12
x
y
x
; 
1 4x
. 
 
 
10. Calcule, em metros quadrados, a área da superfície de 
revolução obtida ao girar a curva 3
9
x
y
 em torno do eixo 
das abscissas no intervalo 
0 2x
. 
 
 
11. Calcule as seguintes integrais indefinidas: 
 
a) 2
3 2( )
2
x
x dx
x
 b) 
2
4ln( )x
dx
x
 c) 
cos( )cos(sen( ))x x dx
 
d) 
2
3
6 7
dx
x x
 e) 
1
x
dx
x
 
 
 
22 
 
12. Sabendo que a função 
:[0,1]f
 é derivável e que 
(0) 0f
 e 
(1) 4f
, calcule o valor 
da integral definida 
1
0
( ) ( )f x f x dx
. 
 
13. Determine a área da região plana limitada pelas funções 
/2( ) xf x e
 e 
2( ) 3g x x
 no intervalo 
1,6 1,1x
 em me-
tro quadrado. Apresente o resultado final com duas casas deci-
mais. 
 
 
 
14. Denomina-se centroide o ponto central de uma figura plana. A ex-
pressão matemática 
3
0
1
[ ( ) ( )]x x f x g x dx
A
 determina a abscissa do 
centroide da figura ao lado, onde A é a área da figura, 
( ) 9f x
 é a fun-
ção superior e 
2( )g x x
 a inferior. Calcule tal abscissa. 
 
15. Determine o valor da integral definida apresentando o resultado com 5 (cinco) casas deci-
mais: 
3 23
2 22
2 4 3
( 1)( 1)
x x x
dx
x x
 
 
16. Obtenha o volume de revolução quando a função 
( /2) 2( )
9
xy f x e
 
é girada em torno do eixo das abscissas no intervalo 
1 2x
. Apre-
sente o resultado com duas casas decimais. 
 
 
17. Determine o centroide da região limitada pelas curvas 
ln( )y x
e 
/3xy e
, e o eixo das abscissas no intervalo 
0,3
. 
Aproxime todos os valores encontrados com duas casas deci-
mais. 
 
 
 
18. Determine o valor da integral definida apresentando o resultado com três casas decimais: 
 
23 
 
24
3 22
5 22 29
6 13 8
x x
J dx
x x x
 
 
19. Ao girarmos a curva abaixo (figura abaixo) de equação 
cosh( )
2
x xe e
y x
em torno do 
eixo das abscissas, no intervalo 
1 2x
, obteremos um sólido de revolução (figura à direi-
ta). Assim, determine o volume, em metro cúbico, apresentando o valor final com três casas 
decimais. 
 
 
 
20. Encontre o centroide da região plana fechada da figura ao 
lado. 
 
 
21. Qual é o valor da integral definida 
1 2
0
xe dx
? 
a) 
21
2
e
 
b) 
21 ( 1)
2
e
 
c) 
2 1e
 
d) 
1e
 
e) 
2 1e
 
 
22. Qual é a fórmula de integração por partes? 
 
a) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx
 
b) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx
 
c) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx
 
d) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx
 
e) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx
 
24 
 
 
23. Calcule a integral indefinida da função 
2xxe
. 
a) 
2 1
2 4
( )x xe C
 
b) 
2 ( 1)xe x C
 
c) 
21
2
xxe C
 
d) 
2 21
2
xx e C
 
e) 
3 21
2
xx e C
 
 
24. Calcule a integral indefinida 
cos(ln( ))x
dx
x
. 
a) 
cos(ln( ))x C
 
b) 
sen( ) ln( )x x C
 
c) 
sen(ln( ))x C
 
d) 
sen(ln( ))x C
 
e) 
cos(ln( ))x C
 
 
25. Calcule a integral indefinida 
sen( ) cos( )x x dx
. 
a) 
31
2
cos ( )x C
 
b) 
32
3
cos ( )x C
 
c) 
cos( ) sen( )x x C
 
d) 
sen( ) cos( )x x C
 
e) 
cos( )x C
 
 
 
26. A área da região do plano limitada pelas funções 
2
x
y e
e 
3 3y x
 no intervalo 
1,6 1,1x
 em 
metro quadrado é aproximadamente: 
a) 
23,27m
 
b) 
23,33m
 
c) 
23,47m
 
d) 
23,56m
 
e) 
23,72m
 
 
 
27. Sabendo que 
:[0,1]f
 é derivável e que 
(0) 0f
 e 
(1) 4f
, calcule a integral definida 
1
0
( ) ( )f x f x dx
. 
a) 2 
b) 4 
c) 8 
d) 16 
25 
 
e) 0 
 
28. Resolva as seguintes integrais indefinidas: 
a) 
2 42x x dx
 b) 
2
1
x
dx
x
 
c) 
sen(5 )x x dx
 d) 
ln( )x x dx
 
 
29. Determine a função 
2 1
( )
( 1)( 1)( 2)
x
A x dx
x x x
 de tal forma a satisfazer a condição 
(3) 1A
. Obtenha o valor da constante arbitrária com aproximação de duas casas decimais. 
 
30. Determine o volume gerado pela curva 
ln( )y x
 em torno do eixo 
1y
 no intervalo 
1 5x
. Considere metro cúbico a unidade de medida e aproxime o valor final com duas 
casas decimais. 
 
 
 
 
31. Calcule o centroide da região limitada pelas expressões 
cos( )y x
, 
0y
, 
0x
 e 
/2x
. 
Sugestão: use
1
[ ( )]
b
a
x x f x dx
A e 
21 [ ( )]
2
b
a
y f x dx
A 
 
32. PyeongChang (Coreia do Sul) sediará os Jogos Olímpicos de Inverno em 2018 (oficialmente 
denominado XXIII Jogos Olímpicos de Inverno) e o comitê de organização pretende construir 
uma bola de futebol americano com o objetivo de compor o layout da entrada principal de um 
estádio onde acontecerá a abertura do evento. A superfície da bola será construída pela revolu-
ção da parábola 
2 2 21
4
4 ( ) /y R x L L
, em torno do eixo x,limitada lateralmente pela interseção 
neste eixo. Qual será o custo desta bola considerando que cada metro quadrado do material 
custa R$480,00? 
 
33. A figura ao lado mostra um fio de telefone pendurado entre dois pos-
tes distanciando 12 metros (na esquerda 
6x m
 e na direita 
6x m
). 
Se o fio tem o formato de uma catenária com a equação 
1 8cosh( / 8)y x
, então calcule o comprimento do fio aproximando o 
resultado com duas casas decimais. 
 
 
34. Resolva a integral: 3 2
2 2
2 4 3
( 1)( 1)
x x x
dx
x x
. 
 
26 
 
35. Qual o valor numérico da integral 22
21
9 x
dx
x
? Apresente o resultado com duas casas 
decimais. 
 
36. Determine o centroide da região limitada pelas curvas 
ln( )y x
e 
/3xy e
, e o eixo das abscissas no intervalo 
0,3
. 
Aproxime todos os valores encontrados com duas casas decimais. 
 
 
37. O gráfico da equação 
2/3 2/3 1x y
 faz parte de uma famí-
lia de curvas chamadas astroides (e não asteroides) por causa de 
sua aparência de estrela (veja a figura ao lado). Determine o 
comprimento desse astroide na unidade metro. 
Sugestão: determine o comprimento da curva do primeiro qua-
drante, 
2/3 3/2(1 )y x
, 
0 1x
, e depois multiplique por 4. 
 
38. Resolver as seguintes integrais de funções racionais: 
 
a) 3 2
2
2 4 3
2 3
x x x
I dx
x x
. 
b) 2
2
2 1
( 1)( 1)( 1)
x x
J dx
x x x
. 
 
39. Qual o valor numérico da integral 
3
2 2 2
1
4
dx
x x
? Apresente o resultado com duas 
casas decimais. 
 
 
40. Encontre o centroide da região plana fechada pelas expres-
sões: 
2 2y x x
, 
0y
 e 
0x
. 
 
 
27 
 
41. Determine o comprimento do arco da curva 3 1
6 2
x
y
x
 
no intervalo 
[1, 3]
. Apresente o resultado com duas casas 
decimais. 
 
 
 
42. Calcule a área total (área lateral e as bases inferior e superior) da superfície gerada pela 
curva de equação 
2( )y f x x
 em torno do eixo 
Oy
 no intervalo 
1 3x
. Apresente o re-
sultado com duas casas decimais. 
 
 
 
43. Resolva as seguintes integrais indefinidas: 
a) 
2(3 2) 9 12 8x x x dx
 b) tg( )
2
2
cos ( )
x
dx
x
 
c) 
2 sen( )x x dx
 d) 
ln(ln )x
dx
x
 
 
 
44. Determine a função 
2
ln( )
( )
4 ln ( )
x
J x dx
x x x
 de tal forma a satisfazer a condição 
(2) 4J
. 
Obtenha o valor da constante arbitrária com aproximação de duas casas decimais. 
 
 
45. Uma barra metálica foi aquecida a uma temperatura de 90°C e encontra-se numa sala com 
temperatura ambiente constante de 15°C. Sabendo-se que esta barra desde o momento inicial 
esfriou para 80ºC em um minuto; quantos minutos levarão para a barra atingir a temperatura 
de 46°C. Aproxime o resultado final para duas casas decimais. 
Sugestão: use a lei de arrefecimento de Isaac Newton: 
( )a
dT
k T T
dt
, onde T é a temperatura 
do corpo e 
aT
 a temperatura do meio ambiente. 
 
 
28 
 
46. Determine a área da região no primeiro quadrante, limitada à 
esquerda pelo eixo das ordenadas, abaixo pela curva 
2x y
, 
acima à esquerda pela curva 
2( 1)x y
 e acima à direita pela 
reta 
3x y
. 
 
 
 
 
47. Obtenha o volume do sólido de revolução obtido ao 
girar a curva 
2cos ( )y x
, 
0 x
, em torno do eixo 
1y
. 
 
 
48. Resolva as seguintes integrais indefinidas: 
 
a) 
2(3 2) 9 12 8x x x dx
 b) 
3 2xx e dx
 
c) 2
3 2
4 1
3 3
x x
dx
x x x
 d) 2
2
9 x
dx
x
 
 
49. A lei de arrefecimento de Isaac Newton estabelece que a taxa segundo a qual decresce a 
temperatura de um corpo que está resfriando e a taxa segundo a qual cresce a de um corpo 
que está aquecendo são proporcionais à diferença entre a temperatura do corpo (T) e a tem-
peratura do meio ambiente (
aT
), ou seja, 
( )a
dT
k T T
dt
. Use este resultado para modelar o 
seguinte problema: um copo de água a uma temperatura de 90°C está colocado numa sala 
com temperatura constante de 15°C. Quantos minutos levarão para a água atingir uma tempe-
ratura de 46°C se ela resfria desde o momento inicial para 80°C em um minuto. Aproxime o 
resultado final com apenas duas casas decimais. 
 
50. Um foguete acelera devido à queima do combustível a bordo e, desta forma, a sua massa 
diminui com o tempo. Supondo que a massa inicial do foguete no lançamento (incluindo o 
combustível) seja m, que o combustível seja consumido a uma taxa r, e que os gases de exaus-
tão sejam ejetados a uma velocidade constante 
ev
 (relativa ao foguete). Um modelo para a 
velocidade do foguete a um tempo t é dado pela seguinte expressão matemática: 
( ) lne
m r t
v t g t v
m
 
onde g é a aceleração da gravidade e t não é muito grande. Se 
29,8 /g m s
, 
30000m kg
, 
160 /r kg s
 e 
3000 /ev m s
, determine a altitude x do foguete 1 minuto após o lançamen-
to. 
[Informações: 
( )
dx
v t
dt
 e 
(0) 0x m
.] 
 
29 
 
51. Na figura ao lado existem duas funções descrevendo duas 
áreas no intervalo 
0 4x
. 
As funções são: 
2y x
 e 
y kx
, onde k é um número real. 
Mostre que, se 
1 2A A
, então 
8 / 3k
. 
 
 
52. Determine o volume gerado pela rota-
ção da curva 
2y x
 em torno do eixo 
1y
considerando o intervalo 
0 4x
. 
 
 
53. Tendo em vista a região limitada na figura ao lado obtida 
pelas curvas 
2 / 4y x
, 
1y x
 e 
3y x
, então obte-
nha o centroide. 
 
 
 
54. A curva 
24y x
, no intervalo 
1 1x
, é um arco da cir-
cunferência 
2 2 4x y
. Calcule a área da superfície obtida pela 
rotação desse arco ao redor do eixo x. 
Observação: a superfície gerada é uma porção de uma esfera de raio 2. 
 
 
 
 
55. Calcule a área limitada pelas curvas da figura ao lado 
definidas por 
1 sen( )y x
 e 
2 5 4y x x
. As interse-
ções são: 0,6 e 4,1 em metros. Aproxime o resultado final 
com cinco casas decimais. 
 
 
 
30 
 
56. Determine o centroide da região sinalizada em verde 
na figura ao lado. 
 
 
 
57. Considere a função 
( /3)( ) 3 xy f x xe
, a qual está represen-
tada graficamente na figura ao lado. Um 
grupo de estudantes tem como objetivo 
calcular a área da região delimitada pelo 
gráfico da função, pelo eixo das abscissas, 
pelo eixo das ordenadas e pela reta de 
equação 
4x
. As unidades são apresen-
tadas em centímetro. Um dos estudantes 
deu a ideia de aproximar a área através de 
5 retângulos de base 0.8 centímetro o que 
perfazem 4 centímetros que é a base total 
da figura, e a altura usaram o Ponto Médio 
do retângulo. Assim sendo, a Área A é 
aproximadamente: 
 
2
1 2 3 4 5
(0.8) (0.4) (0.8) (1.2) (0.8) (2.0) (0.8) (2.8) (0.8) (3.6) 10.47999
A A A A A A
A f f f f f cm
 
Você poderia nos ensinar uma maneira para calcular a área real/exata desta região? Se sim, 
apresente-a de forma clara e detalhada, bem como toda a memória de cálculo utilizado. Dê 
também o erro entre o seu resultado e o do grupo de estudantes. 
 
58. Considere 
:f
 uma função definida pela sentença 
2( ) 3 3f x x
. Assinale a opção 
que não pode representar o gráfico da função 
( ) ( )F x f x dx
. 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
 
(D) 
 
(E) 
 
 
31 
 
59. A seguir apresentamos três formas para tentar resolver a integral da função 
( ) 2sen( )cos( )f x x x
 em relação à x. 
(I): 
2 2
1 12sen( )cos( ) 2 sen ( )x x dx udu u C x C
. 
(II): 
2 2
2 22sen( )cos( ) ( 2 ) cos ( )x x dx u du u C x C
. 
(III): 
3
cos(2 )
2sen( )cos( ) sen(2 )
2
x
x x dx x dx C
. 
 
Após analisaros itens acima, assinale a única opção correta: 
(A) Apenas um item está correto. 
(B) Apenas os itens I e II estão corretos. 
(C) Apenas os itens I e III estão corretos. 
(D) Apenas os itens II e III estão corretos. 
(E) Todos os itens estão corretos. 
 
60. Julgue os itens seguintes: 
 
I) 
x x xx e dx x e e C
 
II) 
ln(cos( )) sen( )xe dx x C
 
III) 
2tg( ) sec ( )x dx x C
 
 
Após a sua análise, assinale a opção correta: 
 
(A) Apenas um item está correto. 
(B) Apenas os itens I e II estão corretos. 
(C) Apenas os itens I e III estão corretos. 
(D) Apenas os itens II e III estão corretos. 
(E) Todos os itens estão corretos. 
 
 
 
32 
 
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Rio de Janeiro: Editora Prentice-Hall do Brasil LTDA., 1997. 
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9. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1 e 2. 3ª ed. São Paulo: Harbra. 
10. MUNEM, Mustafa. Cálculo. Vol. 1 e 2. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1983. 
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12. SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica.Vol. 1 e 2. São Paulo: Makron, 
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2001. 
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