Estimação Pontual

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Lista – Estimac¸a˜o Pontual
Estat´ıstica Aplicada a` Engenharia de Produc¸a˜o
Prof. Michel H. Montoril 	
Exerc´ıcio 1.
(Kokoska, 2013) Estudos indicam que resideˆncias canadenses desperdic¸am, aproximadamente,
de 389 a 513 quilowatts-hora de eletricidade por ano. Esse desperd´ıcio e´ causado por aparelhos
eletroˆnicos que sa˜o desligados, mas permanecem em standby como, por exemplo, aparelhos
de TV, impressoras de computadores, controles de abertura de garagens etc. Sabe-se que o
desperd´ıcio mensal, em quilowatts, e´ uma varia´vel com desvio padra˜o σ = 5, 7 kW.
(a) Qual o tamanho amostral necessa´rio para que, ao n´ıvel de confianc¸a de 95%, o erro de
estimac¸a˜o ma´ximo na˜o seja superior a 2 kW?
(b) Suponha que uma amostra do desperd´ıcio mensal de 50 resideˆncias tenha sido coletada,
com os resultados sendo apresentados logo abaixo.
(b.1) Qual o erro de estimac¸a˜o obtido na estimac¸a˜o da me´dia, ao n´ıvel de confianc¸a de 95%?
(b.2) Qual o intervalo de confianc¸a para o desperd´ıcio me´dio mensal do pa´ıs, ao n´ıvel de
confianc¸a de 95%?
(b.3) Refac¸a os itens (b.1) e (b.2) considerando γ = 98%.
31 28 25 21 24 21 27 28 19 18
30 23 30 32 27 33 24 22 15 19
29 25 21 23 32 27 23 15 29 34
27 24 29 22 23 32 30 19 32 35
37 25 29 22 22 22 27 19 10 18
Exerc´ıcio 2.
Refac¸a o exerc´ıcio anterior supondo que o desvio-padra˜o seja desconhecido.
Exerc´ıcio 3.
As ce´lulas brancas do sangue sa˜o o mecanismo de defesa natural contra doenc¸as e infecc¸o˜es. A
contagem me´dia de ce´lulas brancas no sangue de adultos sauda´veis, medida como parte de uma
CCB (contagem completa do sangue), e´ de 7, 5× 103/µl. Uma companhia esta´ desenvolvendo
uma nova droga para o tratamento da dor de artrite e quer verificar se a droga causa alguma
mudanc¸a na contagem me´dia de ce´lulas brancas. Suponha que a contagem de ce´lulas brancas
tenha distribuic¸a˜o Normal com desvio-padra˜o σ = 1, 1× 103/µl.
(a) Defina as hipo´teses estat´ısticas adequadas ao problema;
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(b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema;
(c) Obtenha as regio˜es de aceitac¸a˜o e de rejeic¸a˜o para o teste, ao n´ıvel de significaˆncia de
α = 5%;
(d) Selecionou-se uma amostra aleato´ria de 21 pacientes que usaram a nova droga, e fez-se a
contagem de ce´lulas brancas de cada paciente. Os resultados sa˜o apresentados a seguir
(×103/µl). Calcule o n´ıvel descritivo do teste;
6,50 8,69 6,85 6,76 6,58 8,84 8,44
8,28 7,65 6,95 10,12 8,74 8,00 8,84
7,93 7,65 7,00 6,70 9,20 6,45 7,66
(e) Ao n´ıvel de significaˆncia α = 5%, tome uma decisa˜o e conclua.
(f) Calcule a probabilidade de erro do tipo II quando a verdadeira contagem me´dia de ce´lulas
brancas for de 8× 103/µl.
Exerc´ıcio 4.
A necessidade me´dia dia´ria de energia para um menino de oito anos de idade e´ de 2.200 Kcal.
Um pesquisador educacional acredita que muitos estudantes nesse grupo se saem mal na escola
devido a uma dieta inadequada e por na˜o terem energia suficiente. Obteve-se uma amostra
aleato´ria de meninos de oito anos academicamente em risco e mediu-se cuidadosamente sua
ingesta˜o de Kcal para um dia. Obteve-se as estimativas abaixo.
n Me´dia Desvio-padra˜o
36 2.089 358
(a) Defina as hipo´teses estat´ısticas adequadas ao problema;
(b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema;
(c) Ao n´ıvel de significaˆncia α = 5%, tome uma decisa˜o e conclua.
Exerc´ıcio 5.
Um mı´ssil destruidor de casamatas e´ projetado para destruir casamatas inimigas a aproxima-
damente 70 pe´s de profundidade. Para evitar falhas, o mı´ssil deve penetrar 120 pe´s abaixo do
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cha˜o. Em testes realizados pelos militares, oito mı´sseis foram disparados e foi registrada a pro-
fundidade de penetrac¸a˜o (em pe´s) de cada um. Os dados constam logo abaixo. O pesquisador
quer saber se, em me´dia, os mı´sseis estara˜o aptos a destruir as casamatas inimigas.
122 117 119 119 121 124 119 120
(a) Defina as hipo´teses estat´ısticas adequadas ao problema;
(b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema;
(c) Foi necessa´ria alguma suposic¸a˜o para o ca´lculo do n´ıvel descritivo no item anterior? Qual?
(d) Ao n´ıvel de significaˆncia α = 5%, tome uma decisa˜o e conclua.
Exerc´ıcio 6.
A vida do pneu de uma determinada marca possui uma me´dia de 60.000 km. Um engenheiro
de desenvolvimento da empresa esta´ investigando a vida do pneu e quer analisar o uso de um
novo componente da borracha. Ele fabricou 10 pneus e testou-os ate´ o final da vida em um
teste de estrada. A me´dia e o desvio padra˜o-padra˜o amostrais obtidos foram 62.171 km e 3.035
km, respectivamente. Suponha que o engenheiro queira testar se o uso desse novo componente
melhora a me´dia de quilometragem da vida do pneu.
(a) Defina as hipo´teses estat´ısticas adequadas ao problema;
(b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema;
(c) Obtenha as regio˜es de aceitac¸a˜o e de rejeic¸a˜o para o teste, ao n´ıvel de significaˆncia de
α = 5%;
(d) Ao n´ıvel de significaˆncia α = 5%, tome uma decisa˜o e conclua;
(e) Com o objetivo de calcular o intervalo de confianc¸a unilateral, com limite inferior, para
a me´dia de quilometragem da vida do pneu, obtenha o erro de estimac¸a˜o e, em seguida,
calcule o intervalo. Considere um n´ıvel de confianc¸a de 95%.
Exerc´ıcio 7.
Com base no exerc´ıcio anterior, suponha que o engenheiro queria testar se o uso do novo
componente da borracha altera a me´dia de quilometragem da vida do pneu.
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(a) Defina as hipo´teses estat´ısticas adequadas ao problema;
(b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema;
(c) Obtenha as regio˜es de aceitac¸a˜o e de rejeic¸a˜o para o teste, ao n´ıvel de significaˆncia de
α = 1%;
(d) Ao n´ıvel de significaˆncia α = 1%, tome uma decisa˜o e conclua;
(e) Com o objetivo de calcular o intervalo de confianc¸a bilateral, para a me´dia de quilometragem
da vida do pneu, obtenha o erro de estimac¸a˜o e, em seguida, calcule o intervalo. Considere
um n´ıvel de confianc¸a de 95%.
Exerc´ıcio 8.
Uma ma´quina enche pacotes de cafe´ com um desvio padra˜o igual a 10g. Ela estava regulada
para encher os pacotes com um peso me´dio de 500g. Depois de algum tempo de uso, a ma´quina
parece ter desregulado e alterado o peso me´dio dos pacotes. Uma amostra de 25 pacotes
apresentou peso me´dio igual a 485g. Suponha que o peso dos pacotes enchidos pela ma´quina
tenha distribuic¸a˜o normal.
(a) Ha´ o interesse em avaliar se de fato o peso me´dio alterou.
(a.1) Defina as hipo´teses estat´ısticas adequadas ao problema;
(a.2) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema;
(a.3) Obtenha as regio˜es de aceitac¸a˜o e de rejeic¸a˜o para o teste, ao n´ıvel de significaˆncia de
α = 1%;
(a.4) Calcule o n´ıvel descritivo do teste;
(a.5) Ao n´ıvel de significaˆncia α = 1%, tome uma decisa˜o e conclua;
(a.6) Suponha que o peso me´dio passou a ser de 490g. Qual seria a probabilidade de erro
do tipo II nesse caso?
(b) Deseja-se saber qual o peso me´dio atual µ com que a ma´quina enche os pacotes de cafe´ (o
desvio padra˜o na˜o se alterou).
(b.1) Construa um intervalo com 95% de confianc¸a para µ. Interprete o intervalo obtido;
(b.2) Qual o erro associado ao intervalo constru´ıdo no item anterior?
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(b.3) Que tamanho amostral e´ necessa´rio para produzir um intervalo
de confianc¸a para µ,
com erro de 3, 5g de cafe´? Utilize um coeficiente de confianc¸a de 99%.
Exerc´ıcio 9.
Um professor deseja estimar a proporc¸a˜o p de alunos que conseguiram entender de forma
satisfato´ria o conteu´do ministrado de sua mate´ria, utilizando um novo me´todo de ensino. Ele
quer que essa proporc¸a˜o seja estimada com um erro de 0,04 e um n´ıvel de confianc¸a de 92%.
(a) Qual o tamanho de amostra necessa´rio para atender a`s exigeˆncias do professor?
(b) Que tamanho deveria ter a amostra, supondo que p esta´ entre 0,2 e 0,6? E supondo que p
e´ menor que 0,2?
(c) Tomada uma amostra de 120 estudantes, 50 apresentaram bom desempenho em uma prova
aplicada apo´s dois meses de utilizac¸a˜o do novo me´todo. Com base nesses dados, determine
um intervalo de confianc¸a para p, com coeficiente de confianc¸a de 95%.
Exerc´ıcio 10.
Suponha que, nas aulas convencionais, a proporc¸a˜o de alunos que conseguem entender o
conteu´do seja de 0,7. O professor esta´ interessado em avaliar se um novo me´todo de ensino e´
capaz de influenciar de algum modo esse percentual.
(a) Defina as hipo´teses estat´ısticas adequadas ao problema;
(b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema;
(c) Obtenha as regio˜es de aceitac¸a˜o e de rejeic¸a˜o para o teste, ao n´ıvel de significaˆncia de
α = 5%;
(d) Calcule o n´ıvel descritivo do teste;
(e) Ao n´ıvel de significaˆncia α = 5%, tome uma decisa˜o e conclua;
Exerc´ıcio 11.
Uma amostra aleato´ria de 50 capacetes de corredores de motos e de automo´veis foi sujeita a
uma teste de impacto, sendo observado algum dano em 18 desses capacetes. O intuito e´ avaliar
se 30% dos capacetes produzidos apresentara˜o algum tipo de dano apo´s impactos.
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(a) Defina as hipo´teses estat´ısticas adequadas ao problema;
(b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema;
(c) Obtenha as regio˜es de aceitac¸a˜o e de rejeic¸a˜o para o teste, ao n´ıvel de significaˆncia de
α = 1%;
(d) Calcule o n´ıvel descritivo do teste;
(e) Ao n´ıvel de significaˆncia α = 5%, tome uma decisa˜o e conclua;
(f) Quais as suposic¸o˜es necessa´rias para a realizac¸a˜o do estudo?
(g) Obtenha um intervalo de confianc¸a bilateral, ao n´ıvel de confianc¸a de 99%, para a proporc¸a˜o
de capacetes que apresentam danos apo´s receberem impactos.
Exerc´ıcio 12.
Ainda com base no exerc´ıcio anterior, quer-se estimar a proporc¸a˜o de capacetes que apresentam
algum dano apo´s receber impactos, garantindo que o erro de estimac¸a˜o na˜o exceda 0,02, ao
n´ıvel de confianc¸a de 95%.
(a) Qual o tamanho de amostra necessa´rio para que o erro de estimac¸a˜o estabelecido seja
garantido, a um n´ıvel de confianc¸a de 95%?
(b) Que tamanho deveria ter a amostra, supondo que p e´ menor que 0,4?
Exerc´ıcio 13.
Uma ma´quina automa´tica de enchimento e´ usada para encher garrafas com detergente l´ıquido.
Uma amostra aleato´ria do volume de enchimento de 20 garrafas resulta em uma variaˆncia
amostral s2 = 0, 0153 (onc¸a fluida)2. Se a variaˆncia do volume de enchimento exceder 0,01
(onc¸a fluida)2, existira´ uma proporc¸a˜o inaceita´vel de garrafas cujo enchimento na˜o foi completo
ou foi em demasia. O fabricante esta´ interessado em avaliar se ha´ um problema com garrafas
cheias com falta e com excesso de detergente.
(a) Defina as hipo´teses estat´ısticas adequadas ao problema;
(b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema;
(c) Obtenha as regio˜es de aceitac¸a˜o e de rejeic¸a˜o para o teste, ao n´ıvel de significaˆncia de
α = 5%;
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(d) Ao n´ıvel de significaˆncia α = 5%, tome uma decisa˜o e conclua;
(e) Quais as suposic¸o˜es necessa´rias para a realizac¸a˜o do teste de hipo´teses neste problema?
Exerc´ıcio 14.
Com base nas informac¸o˜es do exerc´ıcio anterior, apresente um intervalo de confianc¸a superior,
ou seja, um intervalo de confianc¸a que possui apenas limite superior a ser calculado. Considere
o n´ıvel de confianc¸a de 95%.
Exerc´ıcio 15.
Um rebite deve ser inserido em um orif´ıcio. Se o desvio padra˜o do diaˆmetro do orif´ıcio exceder
0, 0004mm2, havera´ uma probabilidade inaceitavelmente alta de que o rebite na˜o se ajuste, o
que fara´ com que o orif´ıcio seja considerado fora de especificac¸a˜o. Uma amostra aleato´ria de
n = 15 pec¸as e´ selecionada e o diaˆmetro do orif´ıcio e´ medido. A variaˆncia amostral obtida foi
de s2 = 0, 000256mm2. Ha´ o interesse em avaliar se o diaˆmetro do orif´ıcio satisfaz, ou na˜o, a`
especificac¸a˜o necessa´ria.
(a) Defina as hipo´teses estat´ısticas adequadas ao problema;
(b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema;
(c) Obtenha as regio˜es de aceitac¸a˜o e de rejeic¸a˜o para o teste, ao n´ıvel de significaˆncia de
α = 5%;
(d) Ao n´ıvel de significaˆncia α = 5%, tome uma decisa˜o e conclua;
(e) Quais as suposic¸o˜es necessa´rias para a realizac¸a˜o do teste de hipo´teses neste problema?
(f) Construa uma intervalo de confianc¸a inferior para a variaˆncia do diaˆmetro do orif´ıcio, ao
n´ıvel de confianc¸a de 95 %.
Exerc´ıcio 16.
O conteu´do de ac¸u´car na calda de peˆssegos em lata e´ normalmente distribu´ıdo. O fabricante
esta´ interessado em saber se a variaˆncia do conteu´do de ac¸u´car e´ σ2 = 18mg2. Foi coletada uma
amostra aleato´ria de tamanho n = 10 latas e observado uma variaˆncia amostral de s2 = 16mg2.
(a) Defina as hipo´teses estat´ısticas adequadas ao problema;
(b) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema;
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α = 1%;
(d) Ao n´ıvel de significaˆncia α = 1%, tome uma decisa˜o e conclua;
(e) Quais as suposic¸o˜es necessa´rias para a realizac¸a˜o do teste de hipo´teses neste problema?
(f) Construa uma intervalo de confianc¸a inferior para a variaˆncia do diaˆmetro do orif´ıcio, ao
n´ıvel de confianc¸a de 95 %.
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