Apostila Estatística 2014

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TÉCNICO 
 CONTABILIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
 
História da Estatística 
WWW.CETES.COM.BR 
Disciplina: Estatística 
Professor: Marcelo Nascimento dos Santos 
1º Semestre de 2014 
CENTRO EDUCACIONAL TÉCNICO SUZANENSE • Telefone: 4747-1500 •• WWW.CETES.COM.BR 
 
 1
História da Estatística 
 
A origem da palavra Estatística está associada à palavra latina STATUS (Estado). 
Há indícios de que 3000 anos A.C. já se faziam censos na Babilônia, China e 
Egito e até mesmo o 4o. livro do Velho Testamento faz referência à uma instrução 
dada a Moisés, para que fizesse um levantamento dos homens de Israel que 
estivessem aptos para guerrear. Usualmente, estas informações eram utilizadas 
para a taxação de impostos ou para o alistamento militar. O Imperador César 
Augusto, por exemplo, ordenou que se fizesse o Censo de todo o Império 
Romano.A palavra "CENSO" é derivada da palavra "CENSERE", que em Latim 
significa "TAXAR". Em 1085, Guilherme, O Conquistador, solicitou um 
levantamento estatístico da Inglaterra, que deveria conter informações sobre 
terras, proprietários, uso da terra, empregados e animais. Os resultados deste 
Censo foram publicados em 1086 no livro intitulado "Domesday Book" e serviram 
de base para o cálculo de impostos.Contudo, mesmo que a prática de coletar 
dados sobre colheitas, composição da população humana ou de animais, 
impostos, etc., fosse conhecida pelos egípcios, hebreus, caldeus e gregos, e se 
atribuam a Aristóteles cento e oitenta descrições de Estados, apenas no século 
XVII a Estatística passou a ser considerada disciplina autônoma, tendo como 
objetivo básico a descrição dos BENS do Estado.A palavra Estatística foi cunhada 
pelo acadêmico alemão Gottfried Achenwall (1719-1772), que foi um notável 
continuador dos estudos de Hermann Conrig (1606-1681). A escola alemã atingiu 
sua maturidade com A. L. von Schlozer (1735-1809), mas sempre com idéias 
diferentes daquelas que fundamentaram a Estatística Moderna. Com algum 
exagero, pode-se dizer que o seu principal legado foi o termo "STAATENKUNDE", 
que deu origem à designação atual. Na Enciclopédia Britânica, o verbete 
"STATISTICS" apareceu em 1797.Em contraposição à natureza eminentemente 
qualitativa da escola alemã, na Inglaterra do século XVII surgiram os aritméticos 
políticos, dentre os quais destacaram-se John Graunt (1620-1674) e William Petty 
(1623-1687). Eles preocuparam-se com o estudo numérico dos fenômenos sociais 
e políticos, na busca de leis quantitativas que pudessem explicá-los. O estudo 
consistia essencialmente de exaustivas análises de nascimentos e mortes, 
realizadas através das Tábuas de Mortalidade, que deram origem às atuais 
Tábuas de Mortalidade usadas pelas companhias de seguros. Um dos resultados 
mais importantes foi a constatação de que o percentual de nascimento de crianças 
do sexo masculino (51%) é levemente superior ao do sexo feminino (49%). Dessa 
forma, a escola dos aritméticos políticos pode ser considerada o berço da 
Demografia. Um de seus mais notáveis adeptos foi o pastor alemão Sussmilch 
(1707-1767), com o qual pode-se dizer que a Estatística aparece pela primeira vez 
como meio indutivo de investigação.Na última metade do século XIX, os alemães 
Helmert (1843-1917) e Wilhelm Lexis (1837-1914), o dinamarquês Thorvald 
Nicolai Thiele (1838-1910) e o inglês Francis Ysidro Edgeworth (1845-1926), 
obtiveram resultados extremamente valiosos para o desenvolvimento da Inferência 
Estatística, muitos dos quais só foram completamente compreendidos mais tarde. 
Contudo, o impulso decisivo deve-se a Karl Pearson (1857-1936), William S. 
Gosset (1876-1937) e, em especial, a Ronald A. Fisher (1890-1962).Karl Pearson 
(1857-1936) formou-se em 1879 pela Cambridge University e inicialmente 
 
 2
dedicou-se ao estudo da evolução de Darwin, aplicando os métodos estatísticos 
aos problemas biológicos relacionados com a evolução e hereditariedade. Em 
1896, Pearson foi eleito membro da Royal Society of London. Entre 1893 e 1912 
escreveu um conjunto de 18 artigos denominado Mathematical Contribution to the 
Theory Evolution, com contribuições extremamente importantes para o 
desenvolvimento da teoria da Análise de Regressão e do Coeficiente de 
Correlação, bem como do teste de hipóteses de qui-quadrado. Em sua maioria, 
seus trabalhos foram publicados na revista Biometrika, que fundou em parceria 
com Walter Frank Raphael Weldon (1860-1906) e Francis Galton (1822-1911). 
Além da valiosa contribuição que deu para a teoria da regressão e da correlação, 
Pearson fez com que a Estatística fosse reconhecida como uma disciplina 
autônoma. Uma coleção de seus artigos foi publicada em "Karl Pearson Early 
Statistical Papers" (Ed. por E. S. Pearson, Cambridge University Press, 1948). 
Para ver uma relação de alguns trabalhos publicados por Karl Pearson William 
Sealey Gosset (1876-1937) estudou Química e Matemática na New College 
Oxford. Em 1899 foi contratado como Químico da Cervejaria Guiness em Dublin, 
desenvolvendo um trabalho extremamente importante na área de Estatística. 
Devido à necessidade de manipular dados provenientes de pequenas amostras, 
extraídas para melhorar a qualidade da cerveja, Gosset derivou o teste t de 
Student baseado na distribuição de probabilidades.Esses resultados foram 
publicados em 1908 na revista Biometrika, sob o pseudônimo de Student, dando 
origem a uma nova e importante fase dos estudos estatísticos. Gosset usava o 
pseudônimo de Student, pois a Cervejaria Guiness não desejava revelar aos 
concorrentes os métodos estatísticos que estava empregando no controle de 
qualidade da cerveja. Os estudos de Gosset podem ser encontrados em "Student 
Collected Papers" (Ed. por E.S.Pearson e J. Wishart, University College, Londres, 
1942). Para ver uma relação de alguns trabalhos publicados por Gosset, clique 
neste link de referências bibliográficas.A contribuição de Ronald Aylmer Fisher 
(1890-1962) para a Estatística Moderna é, sem dúvidas, a mais importante e 
decisiva de todas. Formado em astronomia pela Universidade de Cambridge em 
1912, foi o fundador do célebre Statistical Laboratory da prestigiosa Estação 
Agronômica de Rothamsted, contribuindo enormemente tanto para o 
desenvolvimento da Estatística quanto da Genética. Ele apresentou os princípios 
de planejamento de experimentos, introduzindo os conceitos de aleatorização e da 
Análise da Variância, procedimentos muito usados atualmente.No princípio dos 
anos 20, estabeleceu o que a maioria aceita como a estrutura da moderna 
Estatística Analítica, através do conceito da verossimilhança (likelihood, em 
inglês). O seu livro intitulado "Statistical Methods for Research Workers", publicado 
pela primeira vez em 1925, foi extremamente importante para familiarizar os 
investigadores com as aplicações práticas dos métodos estatísticos e, também, 
para criar a mentalidade estatística entre a nova geração de cientistas. Os 
trabalhos de Fisher encontram-se dispersos em numerosas revistas, mas suas 
contribuições mais importantes foram reunidas em "Contributions to Mathematical 
Statistics" (J. Wiley & Sons, Inc., Nova Iorque, 1950).Fisher foi eleito membro da 
Royal Society em 1929 e condecorado com as medalhas Royal Medal of the 
Society e Darwin Medal of the Society em 1938 e em 1948, respectivamente. Em 
1955 foi novamente condecorado, desta vez com a medalha Copley Medal of the 
 
 3
Royal Society. Outra área de investigação extremamente importante para o 
desenvolvimento da Estatística é a Teoria das Probabilidades. Usualmente, 
costuma-se atribuir a origem do Cálculo de Probabilidades às questões 
relacionadas aos jogos de azar que o célebre cavaleiro Méré (1607-1684) 
encaminhou à Blaise Pascal (1623-1662). No entanto, outros autores sustentam 
que o Cálculo de Probabilidades teve a suaorigem na Itália, com especial 
referência para Luca Pacioli (1445-1517), Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo 
Fontana Tartaglia (1500-1557) e Galileo Galilei (1564-1642). Três anos depois de 
Pascal ter previsto que a "aliança do rigor geométrico" com a "incerteza do azar" 
daria lugar a uma nova ciência, Christiaan Huygens (1629-1695) publicou o 
trabalho denominado "De Raciociciis in Ludo Aleae", que é considerado o primeiro 
livro sobre o Cálculo de Probabilidades. Além disso, ainda teve a notável 
particularidade de introduzir o conceito de esperança matemática. Gottfried 
Wilhelm von Leibniz (1646-1716) também dedicou-se ao estudo do Cálculo de 
Probabilidades, publicando um trabalho sobre a "arte combinatória" e outro sobre 
aplicações às questões financeiras. Leibniz também estimulou Jacques Bernoulli 
(1654-1705) ao estudo do Cálculo de Probabilidades, cuja grande obra, 
denominada "Ars Conjectandi", foi publicada oito anos após a sua morte. Em Ars 
Conjectandi de Jacques Bernoulli, foi publicada e rigorosamente provada a Lei dos 
Grandes Números de Bernoulli, considerada o primeiro teorema limite. Pode-se 
dizer que graças às contribuições de Bernoulli o Cálculo de Probabilidades 
adquiriu o status de ciência. Além da obra póstuma de Bernoulli, o início do século 
XVII foi marcado pelos livros de Pierre Rémond de Montmort (1678-1719), 
denominado "Essai d'Analyse sur les Jeux de Hazard", e de Abraham De Moivre 
(1667-1754), intitulado The Doctrine of Chances. De Moivre era Francês de 
nascimento, mas desde a sua infância refugiou-se na Inglaterra devido às guerras 
religiosas, fazendo aplicações ao cálculo de anuidades e estabelecendo uma 
equação simples para a lei da mortalidade entre 22 anos e o limite da longevidade 
que fixou em 86 anos. Mais tarde, na "Miscellanea Analytica", apresentou 
resultados aos quais Laplace deu uma forma mais geral e que constituem o 
segundo teorema limite. É extremamente importante falar, também, do reverendo 
Thomas Bayes (1702-1761) a quem se deve o conceito de probabilidade inversa, 
relacionado com situações em que se caminha do particular para o geral. No seu 
livro denominado "Essay towards solving a problem of the doctrine of chances" 
(Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1764-65, póstumo), 
Bayes formula através do teorema que leva seu nome e do postulado que tantas 
vezes se lhe associa: a primeira tentativa de matematização da inferência 
Estatística. Mesmo sem ter publicado nenhum trabalho com seu nome, em 1742 
Thomas Bayes foi eleito membro da Royal Society of London. Os estudos dos 
astrônomos Pierre-Simon Laplace (1749-1827), Johann Carl Friedrich Gauss 
(1777-1855) e Lambert Adolphe Jacques Quetelet (1796-1874) foram 
fundamentais para o desenvolvimento do Cálculo de Probabilidades. Devido aos 
novos métodos e idéias, o trabalho de Laplace de 1812, intitulado "Théorie 
Analytique des Probabilités", até o presente é considerado um dos mais 
importantes trabalhos sobre a matéria.Johann Carl Friedrich Gauss, professor de 
astronomia e diretor do Observatório de Gottingen, em 1809 apresentou o estudo 
intitulado "Theoria combinationis Observatorium Erroribus Minimis Obnoxia", 
 
 4
explanando uma teoria sobre a análise de observações aplicável a qualquer ramo 
da ciência, alargando o campo de aplicação do Cálculo de Probabilidades. Com 
Lambert Adolphe Jacques Quetelet, por sua vez, inicia-se a aplicação aos 
fenômenos sociais. O seu escrito "Sur l'homme et le développement de ses 
facultés" foi publicado em segunda edição com o título "Physique sociale ou Essai 
sur le développement des facultés de l'homme", que incluía pormenorizada análise 
da teoria da probabilidade. Quetelet introduziu também o conceito de "homem 
médio" e chamou particular atenção para a notável consistência dos fenômenos 
sociais. Por exemplo, mostrou que fatores como a criminalidade apresentam 
permanências em relação a diferentes países e classes sociais. Antoine Augustin 
Cournot (1801-1877) percebeu a importância da Teoria das probabilidades na 
análise estatística, tendo sido o pioneiro no tratamento matemático dos fenômenos 
econômicos. Suas idéias foram publicadas em "Exposition de la théorie des 
chances et des probabilités". Na segunda metade do século XIX a Teoria das 
Probabilidades atingiu um dos pontos mais altos com os trabalhos da escola russa 
fundada por Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894), que contou com 
representantes como Andrei Andreyevich Markov (1856-1922) e Aleksandr 
Mikhailovich Lyapunov (1857-1918).Contudo, o seu maior expoente foi Andrey 
Nikolayevich Kolmogorov (1903-1987), a quem se deve um estudo indispensável 
sobre os fundamentos da Teoria das Probabilidades, denominado "Grundbegrife 
der Warscheinlichkeitrechnung", publicado em 1933. Em 1950 foi traduzido para o 
Inglês sob o título "Foundations of Probability". 
 
 
A arte de coletar e analisar dados 
 
 
Em um sentido amplo a estatística é a arte de coletar, analisar e interpretar dados. 
Os dados são os fatos e os números que são coletados, analisados e 
interpretados. Para fins de análise estatística, os dados são qualificados como 
quantitativos e qualitativos. Os dados qualitativos consistem de rótulos ou nomes 
que são usados para identificar os atributos de um elemento. Os dados 
quantitativos são sempre numéricos e indicam a quantidade para uma variável de 
interesse. As operações numéricas comuns têm significado somente se os dados 
são quantitativos. Portanto os cálculos estatísticos usados para dados 
quantitativos nem sempre são apropriados para os dados qualitativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
Considere a tabela abaixo: 
 
Tabela 1: Conjunto de dados contendo informações referentes a 10 empresas 
 
Empresa Bolsa de 
valores 
Símbolo no painel 
eletrônico 
Vendas 
anuais 
milhões de 
US$ 
Award Software OTC AWRD 15,7 
Chesaeake 
energy 
NYSE CHK 255,3 
Craig Corporation NYSE CRG 29,4 
Edisto Resourse AMEX EDT 254,6 
Franklin 
Elect.Pbls 
NYSE FEP 88,7 
Gentia Software OTC GNIY 27,7 
Giant Group NYSE GPO 7,2 
Hot Topic OTC HOTT 48,3 
Hudson General AMEX HGC 30,3 
ICU Medial OTC ICUI 26,5 
 
Fonte: Stock Investor Pro American Association of individual Investors, 31 de 
agosto de 1997. 
 
Características da tabela 
 
Os dados 
 
Os dados são os fatos e números coletados, analisados e sintetizados para 
apresentação e interpretação. Juntos os dados coletados em um estudo particular 
são denominados de conjunto de dados. 
Exemplo: OTC, AWRD, 15,7. 
 
 
Elementos 
 
Os elementos são as entidades sobre os quais os dados são coletados. 
Exemplo: Award Software 
 
Variável 
 
Uma variável é uma característica de interesse para os elementos. 
Exemplo: Símbolo no painel eletrônico 
 
 
 
 
 6
Dados qualitativos 
 
Dados que fornecem nomes ou rótulos para uma característica de um elemento. 
Exemplo: OTC 
 
Dados quantitativos 
 
Dados que indicam a quantidade de alguma coisa. 
Exemplo: 255,3 
 
População 
 
O conjunto de todos os elementos de interesse de um determinado estudo. 
Exemplo: Tabela 1.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7
 
 
 
Nome 
 
RGM Nota 
Curso 
 
Série/Módulo/Turma Período Data 
Disciplina Tipo de Atividade 
Lista de Exercícios 1 
Conteúdo ou Módulos 
Objetivo Visto do Coordenador do Curso 
 
 
01) Realize uma pesquisa com os colegas de sala de acordo com a tabela 
abaixo: 
 
Tabela 1.1: Dados pessoais alunos da sala 
 
Iniciais Cor dos olhos Altura Cidade 
residência 
Condição de 
emprego 
 
 
 
 
Fonte: Sala de aula 
 
 
2 ) Para cada caso abaixo verifique se as informações correspondem a dados 
qualitativos ou quantitavos. Todas as respostas deverão serjustificadas 
 
1) A Columbia House fornece CD´s e fitas de gravações para os membros de seu 
clube de compra via mala-direta. Uma pesquisa sobre música da Columbia House 
solicitava aos novos membros do clube que completassem um levantamento de 
11 questões. Eis algumas das questões: 
 
a) Quantos CD´s você comprou nos últimos meses? 
b) Você é membro de algum clube nacional de compra de livros via mala 
direta?(Sim/Não) 
c) Qual é a sua idade? 
d) Incluindo você, quantas pessoas (adultos e crianças existem em sua família)? 
e) Que tipo de música você está interessado em comprar? (15 categorias eram 
listadas incluído hard rock, contemporâneo adulto, heavy metal, rap e country). 
Comente se cada questão fornece dados qualitativos ou quantitativos. 
 
2) Declare se cada uma das seguintes variáveis é qualitativa ou quantitativa: a) 
Idade; 
 
 8
b) Gênero; 
c) Classe social; 
d) Marca de automóvel; 
e) Número de pessoas que são favoráveis à pena de morte. 
 
3) Declare se cada uma das variáveis é qualitativa ou quantitativa: 
a) Vendas anuais; 
b) Tamanho dos refrigerantes (pequeno, médio ou grande); 
c) Classificação dos empregados (GS1 até GS18) 
d) Ganho por ação; 
e) Método de pagamento (à vista, com cheque, com cartão de débito); 
 
4) O estudo de assinantes norte-americanos da revista Business Week de 1996 
coletou dados de uma amostra de 2861 assinantes. Dos que responderam, 59% 
indicaram que sua renda anual era de US$ 75.000,00 ou mais e 50% disseram ter 
o cartão de crédito American Express. 
a) Qual é a população de interesse nesse estudo? 
b) A renda anual é uma variável qualitativa ou quantitativa? 
c) O possuidor de um cartão de crédito American Express é qualitativo ou 
quantitativo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA / HISTOGRAMA E OGIVAS / MÉTODO 
CAULE E FOLHA 
 
Frequência Absoluta e Frequência relativa 
 
A frequência absoluta é o número de vezes que uma variável assume um 
determinado valor. 
 
Para representarmos a frequência absoluta utilizamos a sigla Fi 
 
A frequência relativa percentual é a representação na frequência absoluta em 
termos percentuais. 
 
Para representarmos a frequência relativa percentual utilizamos a sigla Fr%. 
 
Fr% é calculado da seguinte maneira: 
 
100.%


Fi
FiFr 
 
Considerando os dados da tabela 0.1, podemos observar o seguinte relatório: 
 
Exemplo: 
 
Tabela 0.1 – Frequências e porcentagem da comercialização de ações de 25 
empresas 
__________________________________________________________________ 
 
Bolsa de valores 
(xi) 
Frequência absoluta 
(Fi) 
Frequência relativa 
(Fr%) 
NYSE 5 20 
AMEX 3 12 
OTC 17 68 
Total 25 100 
 
 
Frequência acumulada 
 
A distribuição de frequências pode ser complementada com a frequência 
acumulada cujos valores são obtidos adicionando-se a cada valor absoluto os 
valores das frequências anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 10
Exemplo: 
 
Bolsa de valores 
(xi) 
Frequência absoluta 
(Fi) 
Frequência acumulada 
(Fa) 
NYSE 5 5 
AMEX 3 8 
OTC 17 25 
Total 25 25 
 
Fa=Fi+Faanterior 
 
Fa = 5+0 = 5 
 
Fa = 5+3 = 8 
 
Fa = 17+8 = 25 
 
Distribuição de frequência 
 
Uma distribuição de frequência é um sumário tabular que mostra a frequência de 
observações em cada um das classes não sobrepostas. Para os dados 
quantitativos devemos ser cuidadosos ao definir as classes a serem utilizadas na 
distribuição de frequência. 
 
Etapas para definir as classes 
 
a) Determinar o número de classes não sobrepostas 
 
As classes são formadas especificando-se os intervalos que serão usados para 
agrupar os dados. Recomendamos usar entre 05 e 20 classes. 
 
b) Determinar a extensão de cada classe 
 
Para determinarmos a largura de uma classe, identificamos os maiores e os 
menores valores num conjunto de dados, então, uma vez que o número de 
classes tenha sido determinado, usamos a seguinte expressão para determinar 
a largura aproximada de uma classe: 
 
n
mML  
 
Onde: 
L = largura da classe 
M = Maior valor de dados 
m= Menor valor de dados 
n = número de classes 
 
 11
 
A largura aproximada pode ser arredondada para um valor mais conveniente, 
baseado na preferência da pessoa que está desenvolvendo a distribuição de 
freqüência. 
 
c) Determinar o limite de cada classe 
 
Os limites de classe precisam ser escolhidos de modo que cada uma das 
observações pertença a só uma classe. 
O limite inferior identifica o menor valor possível de dados atribuído a uma 
classe. 
O limite superior identifica o maior valor possível de dados atribuído a uma 
classe. 
O mérito da distribuição de freqüência está em fornecer subsídios sobre os dados 
que não são facilmente obtidos observando-se os dados em sua forma original 
não organizada. 
 
Exemplo: Considere a tabela abaixo que fornece o tempo em dias exigido para se 
completar a auditoria de fim de ano para uma amostra de 20 clientes da 
Sanderson and Clifford, uma pequena firma de contabilidade. 
 
Tabela 1.0 Tempo em dias de auditorias de fim de ano 
 
12 14 19 18 
15 15 18 17 
20 27 22 23 
22 21 33 28 
14 18 16 13 
__________________________________________________________________ 
Fonte: Sanderson and Clifford 
 
Resolução: 
 
Número de classes adotadas: 05 
Maior valor de dados (M): 33 
Menor valor de dados (m): 12 
 
2,4
5
1233





n
mML 
 
Observando a largura calculada, arredondamos para 5 dias, formando assim a 
largura de classes: 
 
 
 
 
 
 12
 
Tabela 1.1 Distribuição de frequência para os dados do tempo de auditoria 
 
Tempo de auditoria (dias) 
(xi) 
Freqüência 
(Fi) 
10-14 4 
15-19 8 
20-24 5 
25-29 2 
30-34 1 
Total 20 
 
Fonte: Tabela 1.0 
 
Podemos verificar que definimos intervalos de freqüência de 05 dias: 
 
10, 11, 12, 13,14 = 5 dias 
O menos valor é 12 dias que está no intervalo 10 a 14 
O maior valor é 33 dias que está no intervalo 30 a 34 
 
Histograma 
 
Chamamos de histograma o gráfico de colunas onde no eixo x colocamos a 
variável de interesse e no eixo y a frequência absoluta, a frequência relativa ou 
frequência percentual. 
 
 Histograma do tempo de auditoria 
 
Fonte: Tabela 1.1 
 
 
0
5
10
15
20
25
.10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 Total
 
 13
 
Ogivas 
 
Chamamos de gráfico de ogivas a representação da frequência acumulada de um 
determinado evento. 
Os valores dos dados são mostrados no eixo horizontal (x) e a frequência 
acumulada é mostrada no eixo vertical (y). 
 
 Ogivas para dados do tempo de auditoria de uma empresa 
 
Fonte: Tabela 1.1 
 
Apresentação de Caule e Folha 
 
Trata-se de uma técnica de análise exploratória de dados utilizada para sintetizar 
rapidamente as informações. 
Uma apresentação de caule e folha pode ser usada para mostrar tanto a ordem de 
classificação como a forma do conjunto de dados. 
Para desenvolver uma apresentação de caule e folha, antes de tudo arranjamos 
os dígitos, à exceção do último, de cada valor dos dados a esquerda de uma linha 
vertical. À direita dessa linha registramos o último dígito de cada valor dos dados 
conforme repassamos as observações, na ordem em que eles foram registrados. 
O último dígito para cada valor dos dados é colocado na linha que corresponde ao 
seu primeiro dígito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fa
4
12
17
19 20
0
5
10
15
20
25
.10-14 15-19 20-24 25-29 30-34
fa
 
 14
 
Exemplo 
__________________________________________________________________ 
Tabela 2.0 Número de questões respondidas em um teste de aptidão 
__________________________________________________________________ 
 
112 72 69 97 107 
73 92 76 86 124 
126128 118 127 73 
82 104 132 134 83 
92 108 96 100 92 
115 76 91 102 81 
95 141 81 80 106 
84 119 113 98 75 
68 98 115 106 95 
100 85 94 106 119 
__________________________________________________________________ 
 
Distribuição de caule e folha 
 
6 8 9 
7 2 3 3 5 6 6 
8 0 1 1 2 3 4 5 6 
9 1 2 2 2 4 5 5 6 7 8 8 
10 0 0 2 4 6 6 6 7 8 
11 2 3 5 5 8 9 9 
12 4 6 7 8 
13 2 4 
14 1 
 
Cada linha nessa representação é chamada de caule, e cada dígito no caule é 
uma folha. 
 
Para a primeira linha temos: 
6 | 8 9 
Isto significa 68 e 69. 
 
Embora a apresentação de caule e folha pareça oferecer a mesma informação 
que um histograma, ela tem duas vantagens principais: 
 
1) A apresentação do caule e folha é mais fácil de construir; 
2) Dentro de um intervalo de classes a apresentação de caule e folha fornece mais 
informações que um histograma, porque o caule e a folha mostram os valores 
reais dos dados. 
 
 
 
 
 15
 
 
 
Nome 
 
RGM Nota 
Curso 
 
Série/Módulo/Turma Período Data 
Disciplina Tipo de Atividade 
Lista de exercícios 2 
Conteúdo ou Módulos 
Objetivo Visto do Coordenador do Curso 
 
 
1) Considere as seguintes notas dos alunos de um curso de informática. 
Determine a frequência absoluta, a frequencia relativa e a acumulada. 
 
No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
Nota 5,0 4,0 6,0 8,0 3,0 5,0 7,0 6,0 8,0 4,0 6,0 
 
No. 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 
Nota 9,0 7,0 5,0 7,0 7,0 5,0 6,0 8,0 7,0 4,0 2,0 
 
 
Notas 
(xi) 
Frequência 
relativa (Fr) 
Freqüência 
relativa % (Fr%) 
Freqüência 
absoluta (Fi) 
0,0 
1,0 
2,0 
3,0 
4,0 
5,0 
6,0 
7,0 
8,0 
9,0 
10,0 
Total 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16
2) Considere a seguinte tabela de venda de refrigerantes de um determinado 
fornecedor. Preencha a tabela abaixo bem como elabore o histograma. 
 
Tabela 2.0 Dados de uma amostra de 50 compras de refrigerantes 
_________________________________________________________________ 
Coca-cola Sprite Pepsi 
Coca-cola light Coca-cola Coca-cola 
Pepsi Coca-cola light Coca-cola 
Coca-cola light Coca-cola Coca-cola 
Coca-cola Coca-cola light Pepsi 
Coca-cola Coca-cola Dr.Pepper 
Dr.Pepper Sprite Coca-cola 
Coca-cola light Pepsi Coca-cola light 
Pepsi Coca-cola Pepsi 
Pepsi Coca-cola Pepsi 
Coca-cola Coca-cola Pepsi 
Dr.Pepper Pepsi Pepsi 
Sprite Coca-cola Coca-cola light 
Coca-cola Sprite Dr. Pepper 
Coca-cola light Dr.Pepper Pepsi 
Coca-cola Pepsi Sprite 
Coca-cola light Coca-cola 
 
 
Refrigerante 
(xi) 
Freqüência 
Absoluta (Fi) 
Freqüência 
acumulada (Fa) 
Freqüência 
relativa (Fr%) 
Coca-cola 
Pepsi 
Sprite 
Coca-cola light 
Dr.Pepper 
Total 
 
 17
 
 
3) Considere os seguintes dados 
 
14 21 23 21 16 
18 22 25 16 16 
24 24 25 19 16 
19 18 19 21 12 
16 17 18 23 25 
20 23 16 20 19 
24 26 15 22 24 
20 22 24 22 20 
 
a) Desenvolva uma distribuição de freqüência usando os limites de classe: 
12-14 
15-17 
18-20 
21-23 
24-26 
b) Desenvolva uma distribuição de freqüência relativa e uma distribuição de 
freqüência percentual usando os limites de classe do item anterior. 
 
4) Construa uma distribuição de freqüência acumulada e uma distribuição de 
freqüência absoluta para as classes que seguem: 
 
Classe freqüência 
10-19 10 
20-29 14 
30-39 17 
40-49 07 
50-59 02 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Coca-cola Pepsi Sprite Coca-cola
light
Dr.Pepper
 
 18
5)O corpo administrativo de um consultório médico estudou o tempo de espera 
dos pacientes que chegavam ao consultório com uma solicitação de serviço de 
emergência. Os seguintes dados foram coletados no período de um mês 
(tempos de espera em minutos): 
 
2 5 10 12 4 4 5 17 11 8 9 8 12 21 6 8 7 13 18 3 
 
Utilize classe 0-4; 5-9; etc e: 
a) Mostre a distribuição de freqüência; 
b) Mostre a distribuição de freqüência relativa; 
c) Mostre a distribuição de freqüência acumulada; 
d) Que proporção de pacientes que necessitam de serviços de emergência 
enfrentam um tempo de espera de nove minutos ou menos? 
 
6) A National Airlines aceita reservas de vôos por telefone. Os seguintes dados 
mostram a duração das chamadas (em minutos) para uma amostra de 20 
reservas feitas por telefone. Construa a tabela de distribuição de freqüência 
bem como determine a freqüência relativa, bem como seu histograma. 
 
2,1 4,8 5,5 10,4 
3,3 3,5 4,8 5,8 
5,3 5,5 2,8 3,6 
5,9 6,6 7,8 10,5 
7,5 6,0 4,5 4,8 
 
7) Os serviços de recursos humanos da Roth Young relataram que os salários 
anuais para os gerentes assistentes de lojas de departamento variam de US$ 
28.000 a US$ 57.000 (National Business Employment Weekly, 16-22 de 
10/1994).Assuma que os seguintes dados são uma amostra dos salários 
anuais de 40 gerentes assistentes de lojas de departamento (os dados estão 
em mil dólares): 
 
48 35 57 48 52 56 51 44 
40 40 50 31 52 37 51 41 
47 45 46 42 53 43 44 39 
50 50 44 49 45 45 50 42 
52 55 46 54 45 41 45 47 
 
a) Quais foram os salários mais altos e os mais baixos relatados? 
b) Use uma amplitude de classe de US$ 5.000 e prepare sumários tabulares 
dos dados de salário anuais. 
c) Que proporção dos salários anuais é de US$ 35.000 ou menos (utilize a 
freqüência acumulada para analisar)? 
d) Que porcentagem de salários anuais é maior que US$ 50.000? 
e) Prepare um histograma dos dados. 
 
 
 19
8) Os dados para os números de unidades produzidas por um empregado da 
produção durante 20 dias que antecederam a pesquisa são apresentados 
a seguir: 
160 170 181 156 176 
148 198 179 162 150 
162 156 179 178 151 
157 154 179 148 156 
Sintetize os dados construindo 
a) Distribuição de freqüência; 
b) Distribuição de freqüência relativa; 
c) Distribuição de freqüência acumulada; 
d) Uma ogiva 
 
9) Construa uma apresentação de caule e folha para os seguintes dados: 
 
70 72 75 64 58 83 80 82 
76 75 68 65 57 78 85 72 
 
10)Um psicólogo desenvolveu um novo teste de inteligência para adultos. O teste 
foi administrado em 20 indivíduos e foram obtidos os seguintes dados: 
 
114 99 131 124 117 102 106 127 119 115 
98 104 144 151 132 106 125 122 118 118 
 
Construa uma apresentação caule e folha para esses dados. 
 
11) Periodicamente, o Barron´s publica as previsões para as empresas listadas na 
média industrial Dow Jones. Os dados que seguem são as previsões de relação 
preço/ganho (P/G) de 1998 para essas empresas sugeridas pela Barron´s 
 
Empresa Previsão P/G 1998 Empresa Previsão P/G 1998 
AT&T 20 Hewlett-Packard 18 
Alcoa 10 IBM 16 
Allied Signal 16 International Paper 17 
American Express 18 Johnson&johnson 23 
Boeing 21 McDonald´s 18 
Caterpillar 11 Merck 24 
Chevron 18 Minnesota Mining 21 
Coca-Cola 38 J.P.Morgan 15 
Disney 27 Philip Morris 13 
Dupont 16 Procter&gamble 27 
Eastman Kodak 15 Sears 13 
Exxon 20 Travelers 17 
General Eletric 26 Union Carbide 12 
General Motors 8 United Technologies 17 
Goodyear 13 Wal-Mart 24 
 
 20
 
a)Desenvolva uma apresentação de caule e folha para os dados; 
b) Utilize os dados do caule folha para desenvolver uma distribuição de freqüência 
absoluta e percentual para os dados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21
A Estatística na Prática 
Small Fry Desing 
Santa Ana, Califórnia,EUA 
 
Fundada em 1997, a Small Fry Desing é uma empresa de brinquedos e de 
acessórios que projeta e importa produtos para as crianças. A linha de produtos 
da empresa inclui ursinhos,móbiles,brinquedos musicais,chocalhos e cobertores 
de segurança,caracterizando-se por projetos de brinquedos delicados de alta 
qualidade, comênfase na cor, textura e som. Os produtos são projetados nos 
Estados Unidos e fabricados no China. 
A Small Fry Desing utiliza representantes independentes para vender os produtos 
para as crianças,fornecendo para varejistas,lojas de roupas e acessórios 
infantis,lojas de presentes,lojas de departamento de grande porte e principalmente 
empresas de catálogo.Atualmente,os produtos da Small Fry Desing são 
distribuídos em mais de mil canais de varejo por todo o território do EUA. 
O gerenciamento do fluxo de caixa é uma das mais críticas atividades na 
operação do dia-a-dia dessa jovem empresa. Assegurar a suficiente entrada de 
caixa para satisfazer tanto as obrigações de débitos correntes como as 
vindouras,pode significar a diferença entre o sucesso e o fracasso do negócio. Um 
fator crítico no gerenciamento do fluxo de caixa é a análise e o controle das contas 
a receber.Avaliando-se o período médio e o valor em dólares das faturas 
pendentes, os gerentes podem prever a disponibilidade de caixa e monitorar as 
mudanças na posição das contas a receber.A empresa estabeleceu os seguintes 
objetivos: o tempo médio de atraso no pagamento das faturas não deve exceder á 
45 dias e o valor das faturas com mais de 60 dias não deve exceder a mais de 5% 
de todas as contas a receber. 
Em um recente sumário da posição das contas a receber,as seguintes estatísticas 
descritivas foram fornecidas para os períodos das faturas pendentes: 
Média: 40 dias 
Mediana: 35 dias 
Moda: 31 dias 
A interpretação dessas estatísticas mostra que o período médio de uma fatura é 
de 40 dias. A mediana mostra que metade das faturas tem ficado pendente 35 
dias ou mais. A moda de 31 dias é período mais freqüente de fatura indicando que 
a extensão de tempo mais comum que uma fatura tem ficado pendente é 31 dias. 
O sumário estatístico também mostrou que somente 3% do valor monetário de 
todas as contas a receber ficou acima de 60 dias .Baseado na informação 
estatística, a administração ficou satisfeita de saber que as contas a receber e a 
entrada de caixa estejam sob controle. 
 
 
 
 
 22
1.0 Medidas de Posição 
 
Média 
 
A media é a medida de posição mais importante de uma variável. 
A média fornece uma medida da posição central. 
Se os dados são de uma amostra a média é denotada pela letra x 
Se os dados são de uma população a média é denotada pela letra grega . 
Nas fórmulas estatísticas, é costume denotar o valor da primeira observação por 
x1, o valor da segunda observação por x2 e assim por diante. 
 
Assim temos: 
 
Média da amostra 
 
n
xi
x  
 
 
Onde no numerados temos  xi que é a somatória dos eventos e no 
denominador n temos o número de eventos. 
 
Exemplo: 
 
Considere os seguintes dados de tamanho de classe para uma amostra de cinco 
salas de um colégio técnico: 
 
46 54 42 46 32 
 
n
xi
x  = 
5
3246425446  = 44 
 
Mediana 
 
A mediana é uma medida da posição central de uma variável. 
A mediana é o valor que fica no meio da seqüência quando os dados são 
arranjados na ordem ascendente (do menor para o maior) 
 
Com um número ímpar de observações a mediana é o valor do meio. 
Com um número par de observações a mediana é a média dos dois valores do 
meio. 
 
 
 
Exemplo 
 
 23
 
Considere os seguintes dados de tamanho de classe para uma amostra de cinco 
salas de um colégio técnico: 
 
32 42 46 46 54 
 
Temos cinco observações, número ímpar logo a mediana é o valor do meio: 46 
 
32 42 46 46 54 
 
 
Considere os salários mensais para uma amostra de 12 graduados de uma escola 
de administração. 
 
Graduado Salário US$ 
1 2.210 
2 2.255 
3 2.350 
4 2.380 
5 2.380 
6 2.390 
7 2.420 
8 2.440 
9 2.450 
10 2.550 
11 2.630 
12 2.825 
 
 
Como o número de observações é par (12) escolhemos as duas observações do 
meio. A mediana é a média entre esses valores. 
 
Graduado Salário US$ 
1 2.210 
2 2.255 
3 2.350 
4 2.380 
5 2.380 
6 2.390 
7 2.420 
8 2.440 
9 2.450 
10 2.550 
11 2.630 
12 2.825 
 
 
 24
n
xi
x  = 2405
2
24202390

 
 
Podemos generalizar para dizer que a mediana é a melhor medida de posição 
central sempre que um conjunto de dados tenha valores extremos (muito grandes 
e muito pequenos). 
 
Moda 
 
A moda é o valor de dados que ocorre com maior freqüência. 
 
Exemplo 
 
Considere o seguinte tabela de consumos de refrigerantes 
 
Refrigerante Freqüência 
Coca-cola 19 
Coca-cola light 8 
Dr.Pepper 5 
Pepsi-Cola 13 
Sprite 5 
Total 50 
 
A moda ou o refrigerante mais comprado é a Coca-cola : 19 
 
2.0 Medidas de Variabilidade 
 
Alem das medidas de posição é desejável considerar as medidas de variabilidade 
ou dispersão. 
 
Amplitude 
 
A amplitude é a diferença entre o maior valor e o menor valor. 
Como é uma medida apenas entre duas observações, é altamente influenciada 
pelos extremos. 
 
Amplitude 
 
Amplitude: Maior Valor – Menor Valor 
 
 
Exemplo: 
 
Determine a amplitude para os salários que seguem: 
 
 
 
 25
R$ 10.000,00 
R$ 2.825,00 
R$ 2.210,00 
 
Amplitude = Maior Valor – Menor Valor = 10.000 – 2.210 = 7.790 
 
Variância 
 
A variância é a medida de variabilidade que utiliza todos os dados. 
A variância é baseada na diferença do valor de cada observação e a média. 
Essa diferença chama de desvio ao redor da média. 
 
 
Variância 
 
1
)( 22


 
n
xxi
s 
 
 
onde : 
xi - observação 
x - média 
n – número de observações 
 
 
Desvio Padrão 
 
O desvio padrão é a raiz-quadrada positiva da variância. 
 
1
)( 2


 
n
xxi
s 
 
 
Exemplo 
 
 
Determine a variância para os salários de 12 graduados do curso de 
administração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26
Graduado Salário US$ 
1 2.350 
2 2.450 
3 2.550 
4 2.380 
5 2.255 
6 2.210 
7 2.390 
8 2.630 
9 2.440 
10 2.825 
11 2.420 
12 2.380 
 
Salário Média Desvio ao redor da 
média 
Desvio ao Redor da média 
elevado ao quadrado 
xi x (xi- x ) 2)( xxi  
2.350 2440 90 8100 
2.450 2440 10 100 
2.550 2440 110 12100 
2.380 2440 60 3600 
2.255 2440 185 34225 
2.210 2440 230 52900 
2.390 2440 50 2500 
2.630 2440 190 36100 
2.440 2440 0 0 
2.825 2440 385 148225 
2.420 2440 20 400 
2.380 2440 60 3600 
 
a) Calculamos a média: 
 
n
xi
x  
 
12
238024202825244026302390221022552380255024502350  = 
=2440 
 
b) Calculamos o desvio ao redor da média (desconsideramos o sinal negativo) 
 
(xi- x ) = 2350 - 2440 = 90 
(xi- x ) = 2450 - 2440 = 10 
(xi- x ) = 2550 - 2440 = 110 
 
 27
(xi- x ) = 2380 - 2440 = 60 
(xi- x ) = 2255 - 2440 = 185 
(xi- x ) = 2210 - 2440 = 230 
(xi- x ) = 2390 - 2440 = 50 
(xi- x ) = 2630 - 2440 = 190 
(xi- x ) = 2440 - 2440 = 0 
(xi- x ) = 2825 - 2440 = 385 
(xi- x ) = 2420 - 2440 = 20 
 
c) calculamos o desvio ao redor da média elevado ao quadrado 
 
2)( xxi  = 902 = 8100 
2)( xxi  = 102 = 100 
2)( xxi  = 1102 = 12100 
2)( xxi  = 602 = 3600 
2)( xxi  = 1852 = 34225 
2)( xxi  = 2302 = 52900 
2)( xxi  = 502 = 2500 
2)( xxi  = 1902 = 36100 
2)( xxi  = 02 = 0 
2)( xxi  = 3852 = 148225 
2)( xxi  = 202 = 400 
 
c ) Calculamos a variância 
 
1
)( 22


 
n
xxi
s 
 
= 
112
)3600400148225036100250052900342253600121001008100(

 
 
= 27440,91 
 
d) Calculamos o desvio padrão 
 
1
)( 2


 
n
xxi
s = 91,27440 = 165,65 
 
 
 
 28
 
 
 
Nome 
 
RGM Nota 
Curso 
 
Série/Módulo/Turma Período Data 
Disciplina Tipo de Atividade 
Lista de exercícios 3 
Conteúdo ou Módulos 
Objetivo Visto do Coordenador do Curso 
 
 
1) Considere uma amostra com valores de dados de 10, 20, 12,17 e 16, 
calcule a média,mediana, variância e o desvio padrão. 
 
2) Considere uma amostra com valores de dados de 10,20,21,17,16 e 12, 
calcule a média , mediana,variância e o desvio padrão. 
 
 
3) Considere uma amostra com valores de dados de 
53,55,70,58,64,57,53,69,57,68 e 53.Calcule a média, a mediana a moda, a 
variância e o desvio padrão. 
 
4) O salário médio inicial de 1996-97 para os novos graduados em 
contabilidade foi US$ 30.393 (US News Online, US News and World 
Report,dezembro de 1997).Uma amostra dos salários iniciais é apresentada 
a seguir: Os dados estão em milhares de dólares. 
 
30,7 28,8 29,1 31,1 30,1 
29,7 30,7 30,0 30,6 30,5 
31,2 32,1 30,2 30,3 32,9 
32,2 29,9 28,9 30,6 31,8 
32,2 30,3 30,4 32,3 33,3 
32,7 29,3 30,3 30,9 30,3 
 
a) Qual o salário médio inicial? 
b) Qual a mediana do salário inicial? 
c) Qual é a moda? 
d) Esses dados são consistentes com o salário anunciando de US$ 30.393? 
e) Determine a variância e o desvio padrão. 
 
 
 29
5) Uma pessoa gasta em média 45 minutos por dia ouvindo música (The Dês 
Moines Register,5 de dezembro de 1997).Os seguintes dados foram 
obtidos para o número de minutos gastos ouvido música em uma amostra 
de 30 indivíduos. 
 
88,3 4,3 4,6 7,0 9,2 
0,0 99,2 34,9 81,7 0,0 
85,4 0,0 17,5 45,0 53,3 
29,1 28,8 0,0 98,9 64,5 
4,4 67,9 94,2 7,6 56,6 
52,9 145,6 70,4 65,1 63,6 
a) Calcule a média 
b) Os dados são coerentes com a média anunciada pelo jornal? 
c) Calcule a mediana 
d) Determine a variância e o desvio padrão 
 
 
6) Milhões de americanos se levantam todas as manhãs e vão para o 
escritório, em sua própria casa. Sugere-se que o uso crescente de 
computadores pessoais seja uma das razões para que mais pessoas 
possam trabalhar em casa. A seguir está uma amostra de dados de 
indivíduos que trabalham em casa: 
 
 
22 58 24 50 29 52 57 31 30 41 
44 40 46 29 31 37 32 44 49 29 
 
a) Calcule a média, a moda e a mediana; 
b) Calcule a variância e o desvio padrão. 
 
 
7) A Associação Americana de Agências de Propaganda registra os dados 
sobre nove minutos de intervalo por meia hora de programação de horário 
nobre de televisão (U.S News & Word Report,13 de abril de 1992).A seguir, 
os dados representativos de minutos de intervalo para uma amostra de 
programas de horário nobre nas principais redes às 20:30h: 
 
6,0 6,6 5,8 7,0 6,3 6,2 7,2 5,7 6,4 7,0 
6,5 6,2 6,0 6,5 7,2 7,3 7,6 6,8 6,0 6,2 
 
a) Calcule a média, a moda e a mediana; 
b) Calcule a variância e o desvio padrão. 
 
 
 
 
 
 
 30
Medidas de associação entre duas variáveis 
 
Geralmente estudamos métodos numéricos para sintetizar dados de uma variável, 
entretanto gerentes, que são tomadores de decisões necessitam, por exemplo, de 
relações entre duas variáveis. 
 
Covariância 
 
É uma medida de associação linear entre duas variáveis. 
Valores positivos indicam uma relação positiva, valores negativos indicam uma 
relação negativa. 
 
Fórmula da Covariância 
 
1
)).((
_





n
yyxx
sxy 
 
Onde: 
 
x – observação da variável 1 (dado); 

x - média da variável x; 
y – observação da variável 2 (dado); 

y - média da variável 2; 
n – número de observações. 
 
O resultado da covariância pode ser: 
 
0 – Indica que não existe uma relação linear direta entre as duas variáveis; 
Número positivo – Indica uma relação linear positiva entre as duas variáveis; 
Número negativo – Indica uma relação linear negativa entre as duas variáveis; 
 
Exemplo 1: 
 
Um determinado gerente de uma loja de equipamentos de som está interessado 
em investigar a relação entre o número de comerciais mostrados no fim de 
semana e as vendas na loja durante a semana seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31
Semana Número de 
comerciais 
( x ) 
Volume de vendas 
(US$100,00) – ( y 
) 
1 2 50 
2 5 57 
3 1 41 
4 3 54 
5 4 54 
6 1 38 
7 5 63 
8 3 48 
9 4 59 
10 2 46 
 
Resolvendo: 
 
Média para x: 
_
x = 3 
 
Média para y: 
 
51
_
y 
 
Utilizando a equação: 
 
xi yi _xx  

 yy )).((

 yyxx 
2 50 -1 -1 1 
5 57 +2 6 12 
1 41 -2 -10 20 
3 54 0 3 0 
4 54 +1 3 3 
1 38 -2 -13 26 
5 63 2 12 24 
3 48 0 -3 0 
4 59 1 8 8 
2 46 -1 -5 5 
30 510 0 0 99 
 
1
)).((
_





n
yyxx
sxy = 119
99
 
 
 
 
 
 32
 
Gráfico de dispersão 
 
No gráfico de dispersão, no eixo x plotamos os valores da variável x e no eixo y 
plotamos os valores da variável y em forma de pares ordenados. 
 
1ª.linha da tabela: (2,50) 
2ª.linha da tabela: (5,57) 
3ª.linha da tabela: ... 
 
 
Gráfico 1: Dispersão de x e y 
 
Assim como a covariância da amostra é um número positivo podemos concluir que 
os comerciais influenciam diretamente nas vendas. 
 
Correlação 
 
É uma medida de associação linear entre duas variáveis que tomam valores entre 
-1 e +1. 
Valores próximos a +1 indicam uma forte relação linear positiva. 
Valores próximos a -1 indicam uma forte relação linear negativa. 
Valores próximos a zero indicam a falta de uma relação linear. 
 
Fórmula do coeficiente de correlação 
 
sysx
s
rxy xy
.
 
 
Onde: 
Sxy – covariância de x e y; 
35
40
45
50
55
60
65
0 1 2 3 4 5 6
 
 33
Sx – desvio padrão de x; 
Sy – desvio padrão de y. 
 
Exemplo 2: 
 
Determine o coeficiente de correlação para a tabela de comerciais x vendas de 
produtos e interprete o dado obtido. 
 
Semana Número de 
comerciais 
( x ) 
Volume de vendas 
(US$100,00) – ( y 
) 
1 2 50 
2 5 57 
3 1 41 
4 3 54 
5 4 54 
6 1 38 
7 5 63 
8 3 48 
9 4 59 
10 2 46 
 
 
Resolvendo: 
 
Covariância de x e y: 11 
 
Desvio padrão de x: 
 
49,1
9
20
sx 
 
93,7
9
566
sy 
 
Assim: 
 
93,0
)93,7).(49,1(
11
rxy 
 
Como o valor está próximo de 1 podemos concluir que existe uma relação linear 
positiva entre o número de comerciais e o número de vendas nos finais de 
semana. 
 
 
 
 34
 
 
 
Nome 
 
RGM Nota 
Curso 
 
Série/Módulo/Turma Período Data 
Disciplina Tipo de Atividade 
Lista de Exercícios 4 
Conteúdo ou Módulos 
Objetivo Visto do Coordenador do Curso 
 
 
1) Para a tabela abaixo determine: 
a) Gráfico de dispersão das variáveis; 
b) Coeficiente de covariância; 
c) Coeficiente de correlação; 
 
xi 4 6 11 3 16 
yi 50 50 40 60 30 
 
2) Para a tabela abaixo determine: 
 
a) Gráfico de dispersão das variáveis; 
b) Coeficiente de covariância; 
c) Coeficiente de correlação; 
 
xi 6 11 15 21 27 
yi 6 9 6 17 12 
 
3) Um orientador escolar coletou os seguintes dados sobre média escolar e 
contagens dos testes de matemática. Determine: 
 
a) Gráfico de dispersão das variáveis; 
b) Coeficiente de covariância; 
c) Coeficiente de correlação; 
d) Faça a interpretação da relação; 
 
ME 2,7 3,5 3,7 3,3 3,6 3,0 
Contagem 450 560 700 620 640 570 
 
 
 
 
 
 
 
 35
4) Um estudo do departamento de transportes sobre a velocidade de condução e 
a distância percorrida em quilômetros para automóveis do tamanho médio resultou 
nos seguintes dados: 
 
Velocidade 
km/h 
30 50 40 55 30 25 60 25 50 55 
Consumo 
km/l 
28 25 25 23 30 32 21 35 26 25 
 
Calcule e interprete o coeficiente de correlação da amostra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 36
Teoria das Probabilidades 
 
A teoria das probabilidades estuda a forma de estabelecer as possibilidades de ocorrência 
de cada experimento aleatório. 
 
Exemplos: 
 
a) Lançamento de uma moeda; 
b) Lançamento de um par de dados; 
c) Nascimento de uma criança; 
 
Elementos 
 
Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis deum experimento aleatório é 
denominado espaço amostral,do qual podemos denominar como U. 
 
Exemplos: 
 
a) Espaço amostral do lançamento de uma moeda: U={cara , coroa} 
b) Espaço amostral de um dado com a face voltada para cima: U={1,2,3,4,5,6} 
 
Eventos 
 
São os subconjuntos do espaço amostral. 
 
Exemplo: Uma urna contém 3 bolas pretas e 3 bolas vermelhas.Dessa urna são retiradas 
sucessivamente 3 bolas. 
 
1ª.bola 2ª.bola 3ª.bola Combinações 
 P PPP 
 P V PPV 
P P PVP 
 V V PVV 
 P P VPP 
V V VPV 
 V P VVP 
 V VVV 
 
Espaço amostral: U={PPP, PPV, PVP, PVV, VPP, VPV, VVP, VVV}·. 
 
Evento 1 : as três bolas são vermelhas : { VVV } 
Evento 2 : as três bolas possuem a mesma cor : {PPP, VVV}. 
 
 
 
 
 
 37
Probabilidade de um evento 
 
Se, num deteminado fenômeno aleatório o número de elementos do espaço amostral é n(U) 
e o número de elementos do evento A é n(A),então a probabilidade de ocorrer o evento A é 
o número P(A) tal que: 
 
)(
)()(
Un
AnAP  
 
Exemplo: Num lançamento de uma moeda não viciada determine a probabilidade de 
ocorrer cara. 
 
Evento : { coroa } : n(A) = 1 
Espaço amostral : { cara , coroa } : n(U) = 2 
 
2
1
)(
)()( 
Un
AnAP 
 
Geralmente expressamos a probabilidade de um evento em termos percentuais: 
 
P(A) = 50% 
 
De acordo com a definição a probabilidade de um evento está contido em: 
 
1)(0  AP 
 
Assim no exemplo acima a soma das probabilidades parciais será igual a 1 ou 100 % 
 
Cara : ½ 
Coroa : ½ 
 
P(U) = ½+ ½ = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38
 
 
 
Nome 
 
RGM Nota 
Curso 
 
Série/Módulo/Turma Período Data 
Disciplina Tipo de Atividade 
Lista de exercícios 5 
Conteúdo ou Módulos 
Objetivo Visto do Coordenador do Curso 
 
 
1) No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter: 
a) o número 1; 
b) um número primo; 
c) um número divisível por 2; 
d) um número menor do que 5; 
e) um número maior do que 6; 
 
2) No lançamento simultâneo de 2 dois dados , um branco e um vermelho,determine a 
probabilidade dos seguintes eventos: 
a) os números são iguais 
b) a soma dos números é igual a 9 
 
3) Você faz parte de um grupo de 10 pessoas para três das quais serão distribuídos 
prêmios iguais. Calcule a probabilidade de que você seja um dos premiados; 
 
4) Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja 
menor que 4? 
 
5) Lançam-se dois dados com faces numeradas de 1 a 6.Calcule a probabilidade de que 
a soma obtida seja 10.