lista limites derivadas gradiente

Prévia do material em texto

Ministe´rio da Educac¸a˜o
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Campus Campo Moura˜o
Wellington Jose´ Correˆa
Nome:
Lista de Ca´lculo 2
1. Calcule o limite dado:
(a) lim
(x,y)→(2,3)
(3x2 + xy − 2y2)
(b) lim
(x,y)→(2,−1)
3x− 2y
x+ 4y
(c) lim
(x,y)→(0,1)
x4 − (y − 1)4
x2 + (y − 1)2
(d) lim
(x,y)→(ln 3,ln 2)
ex−y
(e) lim
(x,y)→(2,2)
tg−1
y
x
(f) lim
(x,y)→(4,2)
√
1
3x− 4y
2. Mostre que para dada func¸a˜o f , o limite lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) na˜o existe.
(a) f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
(b) f(x, y) =
x4y4
(x2 + y4)3
(c) f(x, y) =
x9y
(x6 + y2)2
3. Calcule lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) :
(a) f(x, y) =
x2y + xy2
x2 + y2
(b) f(x, y) =
x y√
x2 + y2 (c) f(x, y) =
sen(x2 + y2)
x2 + y2
4. Determine todos os pontos onde f e´ cont´ınua.
(a) f(x, y) =
x2
y − 1
(b) f(x, y) = sen
(y
x
) (c) f(x, y) =
5xy2 + 2y
16− x2 − 4y2
(d) f(x, y) = cos−1(x+ y)
(e) f(x, y) =

x y√
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(f) f(x, y) =

x+ y
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
1
5. O ı´ndice de sensac¸a˜o te´rmica W e´ a temperatura que se sente quando a temperatura real
for T e a rapidez do vento v, portanto, podemos escrever W = f(T, v). A tabela abaixo
representa uma situac¸a˜o alguns valores de W :
T \ v 20 30 40 50 60 70
-10 -18 -20 -21 -22 -23 -23
-15 -24 -26 -27 -29 -30 -30
-20 -30 -33 -34 -35 -36 -37
-25 -37 -39 -41 -42 -43 -44
(a) Estime os valores de fT (−15, 30) e fv(−15, 30). Quais sa˜o as interpretac¸o˜es pra´ticas
destes valores?
(b) em geral, o que se pode dizer sobre o sinal de
∂ W
∂ T
e
∂ W
∂ v
?
(c) Qual parece ser o valor de lim
n→+∞
∂ W
∂ v
?
6. Calcule todas as derivadas parciais de primeira ordem:
(a) f(x, y) = 4y3 +
√
x2 + y2
(b) f(θ, φ) = sen3θ cos 2φ
(c) f(x, y, z) = exyz + tg−1
(
3xy
z2
)
(d) f(x, y) =
∫ x
y
ln sent dt
(e) f(x, y) = xy
(f) f(x, y) = log3(x+ y) .
7. Ache as derivadas parciais indicadas.
(a) f(x, y) = e2xseny ; fxx, fxy, fyx, fyy
(b) f(x, y) =
x2
y
− y
x2
; fxx, fxy fyx, fyy
(c) g(x, y) = 3x3y2 + 5x2y3 + 2x ; gyyx, gyxy
(d) g(r, s, t) = ln(r2 + 4s2 − 5t2) ; grts, grss
8. Mostre que as func¸o˜es
(a) f(x, y) = ln(x2 + y2) (b) f(x, y) = ex seny + ey cos x
satisfazem a equac¸a˜o de Laplace em R2:
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0 .
(Uma func¸a˜o que satisfaz a equac¸a˜o de Laplace e´ dita harmoˆnica.)
2
9. Se u, v sa˜o func¸o˜es diferencia´veis de x e y, enta˜o as equac¸o˜es
∂u
∂x
=
∂v
∂y
e
∂v
∂x
= −∂u
∂y
sa˜o chamadas equac¸o˜es de Cauchy-Riemann.
(a) Mostre que as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann esta˜o satisfeitas se u =
1
2
ln(x2+y2) e v =
tg−1
(y
x
)
.
(b) Suponha que u, v sa˜o func¸o˜es diferencia´veis de x e y, donde suas derivadas parciais
primeira e segunda sejam cont´ınuas. Prove que se u e v satisfazem as equac¸o˜es de
Cauchy-Riemann, enta˜o u e v sa˜o harmoˆnicas.
10. Use a Regra da Cadeia para calcular a derivada parcial indicada:
(a) u = x2 + xy; x = r2 + s2; y = 3r − 2s; ∂u
∂r
;
∂u
∂s
(b) u = xy + xz + yz; x = r s; y = r2 − s2; z = (r − s)2; ∂u
∂r
;
∂u
∂s
(c) u = 3x2 + xy − 2y2 + 3x− y; x = 2r − 3s; y = 3r + s; ∂u
∂r
;
∂u
∂s
(d) u = e
y
x ; x = 2 r cos t; y = 4 rsent;
∂u
∂r
;
∂u
∂t
11. A temperatura de T (x, y) graus cent´ıgrados em cada ponto (x, y) de uma chapa constiu´ıda de
metal na˜o varia com o tempo. Um besouro atravessando a chapa esta´ em (x, y) = (t2+1, 3t)
no instante t. Assim, a temperatura em cada instante e´ z(t) = T (t2 + 1, 3t). A temperatura
tem as propriedades: T (5, 6) = 40, Tx(5, 6) = 4, Ty(5, 6) = −2. Qual a taxa de variac¸a˜o desta
temperatura em relac¸a˜o ao tempo no instante t = 2?
12. A voltagem V em um circuito ele´trico simples esta´ decrescendo devagar a` medida que a
bateria se descarrega. A resisteˆncia R esta´ aumentando devagar com o aumento de calor
do resistor. Use a Lei de Ohm, V = RI, para achar como a corrente I esta´ variando no
momento em que R = 400Ω, I = 0, 08A,
dV
dt
= −0, 01V/s e dR
dt
= 0, 03Ω/s.
13. Uma func¸a˜o e´ dita homogeˆnea de grau n se satisfaz a equac¸a˜o f(tx, ty) = tn f(x, y) para todo
valor de t, onde n e´ um inteiro positivo e f tem as segundas derivadas parciais cont´ınuas.
(a) Verifique que f(x, y) = x2y + 2xy2 + 5y3 e´ homogeˆnea de grau 3.
3
(b) Mostre que, se f e´ homogeˆnea de grau n, enta˜o
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= n f(x, y)
14. Ache a derivada direcional da func¸a˜o dada na direc¸a˜o e sentido do vetor unita´rio u dado.
(a) f(x, y) = 2x2 + 5y2; u =
(
cos
pi
4
, sen
pi
4
)
(b) h(x, y, z) = 3x2 + y2 − 4z2; u =
(
cos
pi
3
, cos
pi
4
, cos
2pi
3
)
15. Calcule o gradiente da func¸a˜o dada.
(a) f(x, y) = 4x2 − 3xy + y2 (b) g(x, y) =
√
x2 + y2 (c) f(x, y, z) =
x− y
x+ z
16. O potencial ele´trico e´ V (x, y) volts em qualquer ponto do plano xy e V (x, y) = e−2x cos(2 y).
A distaˆncia e´ dada em metros. Calcule:
(a) Ache a taxa de variac¸a˜o do potencial no ponto
(
0,
pi
4
)
, na direc¸a˜o do vetor unita´rio(
cos
pi
6
, sen
pi
6
)
.
(b) Ache o valor da taxa de variac¸a˜o ma´xima de V em
(
0,
pi
4
)
.
17. Nas proximidades de uma bo´ia, a profundidade de um lago em um ponto com coordenadas
(x, y) e´ z = 200+0, 02x2−0, 001 y3, onde x, y e z sa˜o medidos em metros. Um pescador que
esta´ em um pequeno barco parte do ponto (80, 60) em direc¸a˜o a` bo´ia, que esta´ localizada no
ponto (0, 0). a a´gua sob o barco esta´ ficando mais profunda ou mais rasa quando ela comec¸a
a se mover. Explique.
18. Suponha que voceˆ esteja escalando um morro cujo formato e´ dado pela equac¸a˜o z = 1000−
0, 01x2 − 0, 002 y2, onde x, y e z sa˜o medidos em metros, e voceˆ esteja em pe´ no ponto de
coordenadas (50, 80, 847). O eixo positivo dos x aponta para o Leste e o eixo positivo dos y
aponta para o Norte.
(a) Se voceˆ andar exatamente para o Sul, voceˆ comec¸ara´ a subir ou descer? Com que taxa?
(b) Se voceˆ caminhar em direc¸a˜o a Noroeste, voceˆ comec¸ara´ a subir ou descer? Com que
taxa?
4
(c) Em que direc¸a˜o a inclinac¸a˜o e´ maior? Qual e´ a taxa de elevac¸a˜o nessa direc¸a˜o? Qual e´
o aˆngulo que o in´ıcio desse caminho faz em relac¸a˜o a` horizontal?
19. Ache uma equac¸a˜o do plano tangente e as equac¸o˜es da reta normal a` superf´ıcie no ponto
indicado.
(a) x2 + y2 + z2 = 17; (2,−2, 3) (b) x2 + y2 − 3z = 6; (−2,−4, 6) .
Respostas
1. (a) 0
(b) -4
(c) 0
(d)
3
2
(e)
pi
4
(f)
1
2
2. Tome caminhos distintos e obtenha limites diferentes para tais caminhos.
3. (a) 0 (b) 0 (c) 1
4. (a) {(x, y) ∈ R2/y 6= 1}
(b) {(x, y) ∈ R2/x 6= 0}
(c) {(x, y) ∈ R2/x2 + 4y2 6= 16}
(d) R2
(e) R2
(f) {(x, y) ∈ R2/(x, y) 6= (0, 0)}
5. (a) Temos que fT (−15, 30) ≈ 1, 3; para uma temperatura de −15 ◦C e velocidade do vento
de 30 km/h, o ı´ndice do resfriamento da superf´ıcie realizado pelo vento aumenta 1, 3 ◦C
para cada aumento de grau na temperatura. Por outro lado, fv(−15, 30) ≈ −0, 15 para
uma temperatura de −15 ◦C e velocidade do vento de 30 km/h, o ı´ndice do resfriamento
da superf´ıcie realizado pelo vento decresce −0, 15 ◦C para cada aumento em km/h da
velocidade do vento.
(b) Positivo, negativo.
5
(c) 0.
6. (a) fx =
x√
x2 + y2
; fy = 12y
2 +
y
x2 + y2
(b) fθ = 3 cos 3θ cos 2φ; fφ = −2sen 3θ sen 2φ
(c) fx = yze
xyz +
3yz2
z4 + 9x2y2
; fy = xze
xyz +
3xz2
z4 + 9x2y2
; fz = xyexyz − 6xyz
z4 + 9x2y2
(d) fx = − ln sen x; fy = ln sen y
(e) fx = y x
y−1; fy = xy ln x
(f) fx = fy =
1
ln 3(x+ y)
7. (a) fx = 2e
2xsen y; fxx = 4e
2x seny; fxy = fyx = 2e
2x cos y; fyy = −e2x seny(b) fx = 2xy
−1 + 2yx−3; fxx = 2y−1 − 6x−4y; fxy = 2x−1 + 2x−3; fyx = −2x2y−2 + 2x−3;
fyy = 2x
2y−3
(c) gyyx = 18x
2 + 60xy; gyxy = 18x
2 + 60xy
(d) grts = − 320
(r2 + 4s2 − 5t2)3 ; grss =
16r (5t2 + 12s2 − r2)
(r2 + 4s2 − 5t2)3
8. Substitua f na equac¸a˜o de Laplace.
9. (b)Derive a primeira equac¸a˜o de Riemann em relac¸a˜o a` x e a segunda em relac¸a˜o a` y e em
seguida, use a equac¸a˜o de Laplace.
10. (a)
∂u
∂r
= 4r3 + 4rs2 + 15r2 − 8rs+ 3s2; ∂u
∂s
= 2s3 − 6s2 + s(2r2 + 6r)− 2r2
(b)
∂u
∂r
= 2s3 − 4s2r + 4r3; ∂u
∂s
= −4s(−3
2
sr + r2 + s2)
(c)
∂u
∂r
= 24r − 41s+ 5; ∂u
∂s
= −41r + 44s− 10
(d)
∂u
∂r
= 0;
∂u
∂s
= 2e2tgt sec2 t
11. 10◦C/t.
12.
dI
dt
= −0, 000031A/s
13. (a) Calcule f(tx, ty) na func¸a˜o dada e mostre que f(tx, ty) = t3 f(x, y). (b)Derive ambos os
lados de f(tx, ty) = tn f(x, y) usando a Regra da Cadeia e apo´s isto, fazendo t = 1, obte´m-se
o desejado.
6
14. (a) 2
√
2x+ 5
√
2y (b) 3x+
√
2y + 4z
15. (a) ∇f(x, y) = (8x− 3y,−3x+ 2y)
(b) ∇f(x, y) =
(
x√
x2 + y2
,
y√
x2 + y2
) (c) ∇f(x, y, z) = 1x+ z
(
z + y
x+ z
,−1, y − x
x+ z
)
16. (a) -1 (b) 2
17. Use os conceitos do vetor gradiente e represente os pontos em um sistema de coordenadas.
Temos que
∂f
∂u
(80, 60) = 3, 92 > 0 e assim, a profundidade do lago esta´ crescendo perto de
(80,60) na direc¸a˜o da bo´ia.
18. Represente os pontos cardeais no sistema cartesiano.
(a) Voceˆ comec¸ara´ a subir com taxa de
∂f
∂u
(50, 80) = 3, 2 > 0.
(b) Voceˆ comec¸ara´ a descer com taxa de
∂f
∂u
(50, 80) = −1, 56 < 0.
(c) A direc¸a˜o de maior inclinac¸a˜o e´ ∇f(50, 80) = (−1, 16/5) com taxa de elevac¸a˜o de
||∇f(50, 80)|| ≈ 3, 35. O aˆngulo que o in´ıcio desse caminho faz em relac¸a˜o a` horizontal
e´ tgθ ≈ 3, 35 ⇒ θ ≈ tg−1(3, 35) ≈ 73, 4◦
19. (a) 2x− 2y + 3z − 17 = 0; x− 2
4
=
y + 2
−4 =
z − 3
6
(b) 4x+ 8y + 3z + 22 = 0;
x+ 2
4
=
y + 4
8
=
z − 6
3
Bom Divertimento!!!
7