Física 4-05 - Natureza da luz

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 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 05 
 Questão 1
Os extremos do espectro visível são dados em 
m por ͶͲͲ�݉ߤሺͶͲͲ�݊݉�Ž—œ�˜‹‘Ž‡–ƒሻ�‡�’‘”�͹ͲͲ�݉ߤ� ሺ͹ͲͲ�݊݉�Ž—œ�˜‡”‡ŽŠƒሻ. (a) Escreva estes limites 
em Հ, (b) Escreva os limites de frequência da luz 
visível em ܯܪݖ. 
Resolução: 
a) Em Հ: ߣ௠À௡ ൌ ͶͲͲ ή ͳͲିଽ�݉ ൌ ͶͲͲͲ�Հ 
(1.1) ߣ௠ž௫ ൌ ͹ͲͲ ή ͳͲିଽ�݉ ൌ ͹ͲͲͲ�Հ 
(1.2) 
b) Frequências: ߥ௠À௡ ൌ ܿߣ௠ž௫ ൌ ͵ ή ͳͲ଼͹ͲͲ ή ͳͲିଽ ؆ Ͷǡ͵ ή ͳͲ଼�ܯܪݖ 
(1.3) ߥ௠ž௫ ൌ ܿߣ௠À௡ ൌ ͵ ή ͳͲ଼ͶͲͲ ή ͳͲିଽ ؆ ͹ǡͷ ή ͳͲ଼�ܯܪݖ 
(1.4) 
 
 Questão 2
Denomina-se constante solar a intensidade 
média da radiação solar que atinge a Terra. A 
constante solar vale aproximadamente ͳͶͲͲ�ܹ ή ݉ିଶ. (a) Calcule a potência total da luz 
solar que atinge a Terra. (b) Supondo que toda 
esta potência seja absorvida pela Terra, determine 
a pressão da luz solar e o valor da força total 
exercida pela luz solar sobre a Terra. 
Resolução: 
a) A intensidade média dada por: ܫ ൌ ܵҧ ൌ ்ܲܣ �� 
 (2.1) 
Em que ்ܲ é a potência total emitida pelo Sol. 
Então, a potência total que atinge a Terra será: 
்ܲ௘ ൌ ܫ ή ߨ்ܴ௘ଶ �� ்ܲ௘ ൌ ͳͶͲͲ ή ߨሺ͸ǡͶ ή ͳͲ଺ሻଶ� ׵ ்ܲ௘ ؆ ͳǡͺ ή ͳͲଵ଻ܹ 
(2.2) 
 
b) Para a força teremos: 
 ܨ ൌ ݀݌݀ݐ 
(2.3) 
 
Em que p é o momento da luz. Como todo o 
momento da luz é transferido para a Terra (a luz é 
absorvida totalmente), temos para o momento da 
luz: 
 ݌ ൌ ܷܿ 
(2.4) 
 
Em que ܷ é a energia da onda eletromagnética 
(luz) e c a velocidade da luz no vácuo. Tomando a 
taxa de variação de (2.4), teremos: 
 ݀݌݀ݐ ൌ ͳܿ ή ܷ݀݀ݐ 
(2.5) 
 
Em (2.5) temos do lado direito a força e do lado 
esquerdo da igualdade, a potência. Assim, de (2.1) 
e (2.2), teremos, para (2.5): 
 ܨ ൌ ்ܲ௘ܿ 
(2.6) 
 
Utilizando os resultados numéricos de (2.2) em 
(2.6), teremos: 
 ܨ ؆ ͸ ή ͳͲ଼�ܰ 
(2.7) 
 
E para a pressão, de (2.6), teremos: 
 ݌௥௘ ൌ ܨܣ ൌ ܿܫ ؆ Ͷǡ͸͹ ή ͳͲି଺�ܰ ή ݉ିଶ 
(2.8) 
 
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 Questão 3
Provar que, no caso de uma onda plana 
incidindo perpendicularmente sobre uma 
superfície plana, a pressão de radiação sobre essa 
superfície é igual à densidade de energia do feixe 
fora da superfície. Essa relação continua válida, 
qualquer que seja a fração refletida da energia 
incidente. 
Resolução: 
Utilizando a relação de (2.8) teremos: ݌௥௘ ൌ ܿܫ 
(3.1) 
Em que I é a intensidade dada por (2.1). Para a 
intensidade, podemos escrever: ܫ ൌ ͳܣ ή ܷ݀݀ݐ 
(3.2) 
Em que A é a área estabelecida pela propagação da 
frente de onda. Assim, teremos para (3.1): ݌௥௘ ൌ ͳܣ ή ܿ ή ܷ݀݀ݐ 
(3.3) 
Em ܣ ή ܿ ή ݀ݐ ൌ ܸ݀ é o elemento de volume. Assim, 
teremos para (3.3): ݌௥௘ ൌ ܷܸ݀݀ ൌ ߩ௎ 
(3.4) 
 
Em que ߩ௎ é a densidade volumétrica de energia 
fora da superfície. 
 Questão 4
Provar que, quando uma saraivada de projéteis 
incide perpendicularmente sobre uma superfície 
plana, a “pressão” sobre a superfície é o dobro da 
densidade de energia (cinética) dos projéteis; 
supor que estes sejam completamente 
“absorvidos” pela superfície. 
Resolução: 
Podemos escrever para o momento linear do 
projétil a seguinte expressão: 
 ݌ ൌ ʹܭݒ 
(4.1) 
 
Sendo ݒ a velocidade do projétil. Tomando (4.1) 
como todo momento transferido pelo projétil 
(supondo que eles são completamente absorvidos 
pela superfície), teremos, para a força aplicada 
sobre a superfície: 
 ܨ ൌ ݌οݐ 
(4.2) 
 
De (4.1) e (4.2), temos, para a pressão: 
 ݌௥௘ ൌ ͳܣ ή ʹܭݒοݐ ൌ ʹߩ௄ 
(4.3) 
 
 Questão 5
 
Uma partícula no sistema solar está sob a 
influência combinada da atração gravitacional do 
Sol e a força de radiação devida aos raios do Sol. 
Supor que a partícula seja uma esfera de massa 
específica ͳ�݃ ή ܿ݉ିଷ e que toda luz incidente seja 
absorvida. Mostrar que todas as partículas com 
raio menor que um raio crítico, ܴ଴ serão sopradas 
para fora do sistema solar. 
Resolução: 
As forças que atuam na partícula são, a força 
gravitacional e a força de radiação. Sendo que 
essas se contrapõem. Assim, teremos: 
 ܩܯ௦ߩݎ௦ଶ ή Ͷ͵ ή ߨܴ଴ଷ ൌ ݌௥௘ ή ߨܴ଴ଶ��� ׵ ܴ଴ ൌ ͵݌௥௘ݎ௦ଶͶܩߩܯ௦ 
(5.1) 
 
Sendo que ܯ௦ �‡�ݎ௦ são respectivamente, a massa 
do Sol e a distância da partícula ao Sol. Também, 
em (5.1), temos ݌௥௘ que é a pressão de radiação e ߩ a densidade da partícula. De (5.1), podemos 
concluir que se a partícula tiver um raio menor 
 
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que ܴ଴, a força da radiação suplanta a força de 
atração gravitacional do Sol. 
 Questão 6
Uma onda eletromagnética plana, com 
comprimento de onda de ͵ǡͲ�݉, percorre o espaço 
livre (vácuo) no sentido dos x positivos com seu 
vetor elétrico E, de amplitude ͵ͲͲ�ܸ ή ݉ିଵ, 
orientado segundo o eixo dos y. (a) Qual é a 
frequência ߥ da onda? (b) Quais são o sentido e a 
amplitude do campo B associado com a onda? (c) 
Se ܧ ൌ ܧ௠ݏ݁݊ሺ݇ݔ െ ߱ݐሻ, quais são os valores de k 
e ߱ para essa onda? (d) Qual é a taxa média em 
relação ao tempo do fluxo de energia por unidade 
de área associado a essa onda? (e) Se a onda 
incidisse sobre uma folha perfeitamente 
absorvente de área ܣ, qual o momento linear que 
seria fornecido à folha por segundo e qual é a 
pressão de radiação exercida sobre a folha? 
Resolução: 
a) A velocidade da onda eletromagnética no vácuo 
é dada por: ܿ ൌ ߣߥ 
(6.1) 
Lodo, de (6.1), teremos: ߥ ൌ ͵ ή ͳͲ଼͵ ൌ ͳͲ଼�ܪݖ 
(6.2) 
b) A onda se propaga no sentido dos ݔ’s positivos. 
O vetor campo elétrico está orientado segundo o 
eixo ݕ, logo, o vetor indução magnética estará 
orientado segundo o eixo ݖ. O sentido dependerá 
da posição ݔ. A amplitude será dada por: ܤ௠ ൌ ܧ௠ܿ ൌ ͵ͲͲ͵ ή ͳͲ଼ ൌ ͳͲି଺�ܶ 
(6.3) 
c) Para ݇, o número de onda, teremos: ݇ ൌ ʹߨߣ ؆ ʹǡͳ�݉ିଵ 
(6.4) 
E para ߱, a frequência angular, teremos: 
߱ ൌ ܿ ή ݇ ؆ ͸ǡ͵ ή ͳͲ଼�ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
(6.5) 
 
d) A taxa média para o fluxo de energia é dada 
por: 
 ܵҧ ൌ ܧ௠ܤ௠ʹߤ଴ ൌ ͵ͲͲ ή ͳͲି଺ͺߨ ή ͳͲି଻ ؆ ͳͳͻǡͶ�ܹ ή ݉ିଶ 
(6.6) 
 
e) Para o momento totalmente transferido pela 
onda para a folha, temos: 
 ݌ ൌ ܷܿ 
(6.7) 
 
Sendo que para a energia temos: ܷ ൌ ܵҧ ή ܣ ή οݐ. 
Assim, de (6.6), teremos: 
 ݌οݐ ൌ ͳͳͻǡͶ ή ܣ͵ ή ͳͲ଼ ؆ ͵ǡͻͺ ή ͳͲି଻�ܰ ή ܣ 
(6.8) 
 
De (6.8), temos para a pressão: 
 ݌ܣ ή οݐ ൌ ͵ǡͻͺ ή ͳͲି଻�ܰ ή ݉ିଶ 
(6.9) 
 
 
 Questão 7
 
A diferença entre os comprimentos de onda de 
um feixe de micro-ondas incidente refletido por 
um carro, que se aproxima ou se afasta, é usada na 
determinação da velocidade de automóveis nas 
estradas. (a) Mostre que, sendo ݒ a velocidade do 
carro e ߥ a frequência do feixe incidente, a 
variação de frequência é dada aproximadamente ʹݒߥ ܿΤ , onde ܿ é a velocidade da radiação 
eletromagnética. (b) Para micro-ondas de 
frequência igual a ʹͶ�ܩܪݖ, qual será a variação de 
frequência, por ݇݉ ݄Τ de velocidade? 
Resolução: 
a) A frequência no referencial do carro será: 
 ߥᇱ ൌ ߥ ቀͳ ൅ ܿݒቁ 
(7.1) 
 
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O carro, por sua vez, refletirá outra frequência, 
dada por: ߥᇱᇱ ൌ ߥԢ ቀͳ ൅ ܿݒቁ 
(7.2) 
Para a equação (7.1), a fonte e o observador estão 
se aproximando, e para (7.2), fonte (carro 
refletindo a onda) e o observador (o operador da 
fonte primária) também estão se aproximando. 
Logo, as equações são semelhantes. Agora, 
utilizando (7.1) em (7.2), teremos: ߥᇱᇱ ൌ ߥ ቀͳ ൅ ܿݒቁଶ 
(7.3) 
 
Agora, para 
௩௖ ا ͳ, teremos para (7.3): ߥᇱᇱ ؆ ߥ ൬ͳ ൅ ʹܿݒ ൅ ڮ൰�� ׵ οߥ ൌ ߥᇱᇱ െ ߥ ൌ ʹߥݒܿ 
(7.4) 
b) Utilizando os dados numéricos em (7.4), 
teremos: οߥݒ ൌ ʹ ή ʹͶ ή ͳͲଽͳǡͲͺ ή ͳͲଽ ؆ ͶͶǡͶ� ܪݖ݇݉ ή ݄ିଵ 
(7.5) 
Em (7.5) ܿ ؆ ͳǡͲͺ ή ͳͲଽ�݇݉ ή ݄ିଵ. 
 Questão 8
Suponha que você meça a velocidade de 
propagação da luz no vácuo mediante a 
determinação da frequência de ressonância de 
uma cavidade de microondas. Suponha que o 
aparelhomedidor da frequência de ressonância 
forneça uma precisão de uma parte em ͳͲ଼ e que 
o comprimento de onda da microonda possa ser 
medido com uma precisão de uma parte em ͳͲଽ. 
Calcule o erro relativo máximo para a velocidade 
c. 
Resolução: 
Vamos tomar a diferencial total da velocidade. 
Assim, teremos: 
݀ܿ ൌ ߲߲ܿߣ ݀ߣ ൅ ߲߲ܿߥ ݀ߥ�� ׵ οܿ ؆ ߲߲ܿߣ ή οߣ ൅ ߲߲ܿߥ ή οߥ� 
(8.1) 
 
Utilizando ܿ ൌ ߣߥ em (8.1), teremos: 
 ȟܿ ൌ ߥ ή ȟߣ ൅ ߣ ή ȟߥ 
(8.2) 
 
Utilizando 
οఔఔ ൌ ͳͲି଼�‡�� ୼ఒఒ ൌ ͳͲିଽ em (8.2), 
teremos: 
 ȟܿܿ ൌ ͳͳ ή ͳͲିଽ 
(8.3)