APS FLAMBAGEM HASTE DE MADEIRA 02

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UNIVERSIDADE PAULISTA 
ALCIR LEMES DA SILVA JÚNIOR – C6816I-4 
KATRYEL CARVALHO ARRUDA RUAS – C62ICA-9 
MARCIO JOSÉ CÂNDIDO – C59937-9 
MARCO ANTÔNIO DE CASTRO ALVES – C65369-1 
THAYS DA SILVA SANTANA – C70GAB-3 
 
 
 
 
 
 
 
 
FLAMBAGEM EM HASTE DE MADEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GOIÂNIA-GO 
2017 
 
UNIVERSIDADE PAULISTA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FLAMBAGEM EM HASTE DE MADEIRA - APS 
 
Trabalho de conclusão da disciplina de Atividade 
Prática Supervisionada do 6º período de 
engenharia civil apresentado a Universidade 
Paulista – UNIP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAMPUS FLAMBOYANT 
2017 
 
 
SUMÁRIO 
 
RESUMO ................................................................................................................................. 03 
1.INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 04 
2. REVISÃO BIBLIOGRAFICA ......................................................................................... 05 
 2.1 Carga Critica ........................................................................................................05 
 2.2 Coluna Ideal com Pinos .......................................................................................07 
 2.3 Coluna com Vários tipos de Apoio ......................................................................08 
3. MATERIAL E METÓDOS .............................................................................................. 10 
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES .................................................................................... 11 
5. CONCLUSÃO ..................................................................................................................... 17 
6.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 18 
7. ANEXO ................................................................................................................................ 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 
O objetivo deste ensaio é realizar um estudo sobre flambagem através de uma revisão 
bibliográfica com o intuito de realizar um ensaio para análise de flambagem em uma haste de 
madeira de seção transversal e retangular. 
Com a utilização de uma prensa automática, onde será aplicada sucessivas cargas nas 
hastes já citadas de modo que elas estejam bi articulas, com objetivo de realização as 
medições que serão necessárias para a determinação de alguns cálculos, como Força Crítica, 
Módulo de elasticidade, Momento de Inércia, Raio de Giração, Tensão crítica e outros. 
Após a obtenção desses cálculos, apresentaremos os resultados obtidos em uma tabela 
contendo uma comparação entre os resultados obtidos com os teóricos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 O fenômeno de flambagem pode ser entendido como a aplicação de uma força de 
compressão em materiais esbeltos e de acordo com a intensidade desta força o material pode 
sofrer uma curvatura lateral, também conhecida como flambagem. 
Para exemplificar melhor como é esse tipo de instabilidade, a flambagem ocorre 
quando adicionamos uma força compressiva axial na ponta de uma régua, como demonstrado 
na figura 01. A régua ira defletir ou flambar lateralmente para o sentido do seu menor 
momento de inércia. 
Quanto mais longo for o material, menor será a força necessária que deverá ser 
aplicada para que ocorra a flambagem. E são falhas por flambagem que provocam catástrofes 
na construção civil, o que deixa mais evidente a necessidade de se estudar esse processo para 
preveni-lo. 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 01 
 
5 
 
2 REVISÃO BIBLIOGRAFICA 
 
2.1 Carga Crítica 
 Quando alguns elementos esbeltos e compridos são submetidos a uma carga de 
compressão e tal carga seja suficientemente grande para provocar sua deflexão lateral, 
conforme figura 02. Tais elementos compridos e esbeltos são denominados de colunas e a 
deflexão lateral que sofrem quando são sujeitos a uma força axial é denominado de 
flambagem. Esse fenômeno provoca uma falha súbita e dramática na estrutura, as colunas 
devem ser projetadas para que possam suportar com seguranças as cargas pretendidas. 
(BEER, 1995) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 02 
 
 
Segundo Hibbeler (2004), a carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando 
está no limite da flambagem é chamada de carga crítica Pcr (Figura 03). Qualquer carga 
adicional provocará flambagem na coluna e, portanto, deflexão lateral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 03 
6 
 
Considerando a figura 04, onde temos um mecanismo formado por duas barras sem 
peso, rígidas e acopladas por pinos em suas extremidades, onde temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 04 
 
(a) Mola com rigidez k sem deformação. 
(b) Deslocamento (∆) do pino A. 
(c) Diagrama de corpo livre. 
De acordo com a figura 04, o primeiro sistema se trata de um conjugado estável, o 
segundo sistema de um conjugado instável. Já em (c) temos a representação do digrama de 
corpo livre da estrutura. 
Hibbleler (2004) define os sistemas de maneira que: 
➢ Se a força de restauração superar a perturbadora, isto é, kLӨ/2>2PӨ, então 
observando que Ө se cancela, resolvemos em P, o que leva a: 
 
P < 
𝐾𝐿
4
 - Equilíbrio estável 
➢ Se kLӨ/2<2PӨ, temos: 
 
P > 
𝐾𝐿
4
 - Equilíbrio instável. 
 
➢ O valor intermediário de P, definido desde que Se kLӨ/2=2PӨ, é a carga crítica, onde: 
𝑷𝒄𝒓 =
𝟒𝑲
𝑳
 
 
 
 
7 
 
Onde: 
K: constate de elasticidade; 
L:comprimento da barra em metros. 
 
Segundo Mascia 2001, qualifica-se como estabilidade a propriedade do sistema 
(estrutura) de manter seu estado inicial de equilíbrio nas condições de aplicação de ações. Se 
um sistema não tem esta propriedade, ele é qualificado instável. 
Esses estados de equilíbrio podem ser representados pela figura 05. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 05 
Onde temos: 
(a) Equilíbrio estável 
(b) Equilíbrio instável 
(c) Equilíbrio neutro 
 
2.2 Coluna Ideal com apoio em pinos 
 Como a coluna ideal é perfeitamente reta, em teoria a caga axial P pode ser aumentada 
até que a falha ocorra por fratura ou escoamento do material. Entretanto quando a carga 
crítica Pcr é atingida, a coluna está no limite de tornar-se instável, de modo que uma pequena 
força lateral F, quando removida, vai faze-la permanecer na posição fletida. Qualquer pequena 
redução de P para menos de Pcr permite que a coluna fique reta e qualquer aumento de P, 
além de Pcr provoca aumento adicional da deflexão lateral. (HIBBELER, 2004). 
Tal carga é denominada de carga de Euler, essa forma fletida correspondente é 
definida pela equação: 
 
𝑷𝒄𝒓 = 
𝝅𝟐 ∙ 𝑬 ∙ 𝑰
𝑳𝒇𝟐
 
Onde: 
8 
 
E: modulo de elasticidade longitudinal do material em pascal; 
I: menor dos momentos de inercia da secção em m4; 
Lf: comprimento de flambagem da peça em metros. 
 
2.3 Colunas com vários tipos de apoio 
 As colunas são apoiadas de várias maneiras, como representado na figura 06. O que 
consequentemente, gera tipos de flambagens diferentes. E a determinação do comprimento 
efetivo Le também. E que em alguns casos pode ser definido por Le=KL. 
A determinação da carga crítica para outras condições devínculo nas extremidades de 
uma coluna usamos no lugar de “L”, a grandeza “Le” que significa comprimento efetivo de 
flambagem. A grandeza Le/r é chamada índice efetivo de esbeltez da coluna. (BEER, 1995). 
 
 
 
Figura 06 
 
A tensão crítica é o valor que corresponde à carga crítica e é dado por σcr: 
 
𝝈𝒄𝒓 =
𝝅²𝑬
(𝑳/𝒓)²
 
 Onde: 
σcr – Tensão crítica que é a tensão média na coluna imediatamente ante de a coluna flambar. 
9 
 
E – módulo de elasticidade do material. 
L – comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades são presas por pinos. 
R – o menor raio de giração da coluna, determinado por 𝑟 = √𝐼/𝐴, onde I é o menor 
momento de inércia da área da seção transversal A da coluna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
3. MATERIAL E METÓDOS 
 
Durante o processo de realização do ensaio, será apresentado uma cronologia dos 
procedimentos adotados. O ensaio utilizará duas hastes de madeira, com seção quadrada e 
outra retangular. 
O experimento de flambagem de haste de madeira será realizado no laboratório da 
Universidade Paulista – Campus Flamboyant, Goiânia-GO, com o uso de uma prensa 
automática que aplicará sucessivas cargas nas determinadas hastes, com intuito de 
determinarmos o comprimento efetivo (Le) e a carga crítica (Pcr) de cada haste de madeira. 
Após a realização dos ensaios e das medidas necessárias, será realizada dos cálculos 
para obtermos as seguintes informações: Força crítica (Pcr), Módulo de Elasticidade (E), 
Momento de Inércia (I), Raio de Giração (r), Tensão Crítica (𝜎𝑐𝑟) e Índice de Esbeltez (ʎ). 
 As formulas utilizadas serão: 
➢ Força Crítica (Pcr) 
𝑃𝑐𝑟 = 
𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
𝐿𝑓2
 
➢ Módulo de Elasticidade (E) 
𝐸 =
𝑃𝑐𝑟 ∙ 𝐿𝑓²
𝜋² ∙ 𝐼
 
➢ Momento de Inércia (I) 
𝐼 = 𝑟² ∙ 𝐴 
➢ Raio de Giração (r) 
𝑟 = √𝐼/𝐴 
➢ Tensão crítica (𝝈𝒄𝒓) 
𝜎𝑐𝑟 =
𝜋²𝐸
(𝐿/𝑟)²
 
➢ Índice de Esbeltez (ʎ) 
ʎ=L/r 
 
 Os materiais utilizados serão duas hastes de madeira, quadrada com seção transversal 
de 1cm x 1cm, com 50 cm de comprimento. E uma retangular de seção transversal de 2cm x 
1cm e comprimento de 50 cm. 
 
11 
 
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
Foi realizado o ensaio no dia 07 de Novembro de 2017, no laboratório da 
Universidade Paulista, campus Flamboyant. Conforme Figura 07, momento este em que todos 
os componentes dos grupos estiveram presentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 07 
 
 
As hastes de madeiras, tanto a de seção quadrada (1cm x 1cm, quanto a de seção 
retangular (2cm x 1cm). Ambas foram colocadas na prensa e submetidas a sucessivas forças. 
Como mostrado na imagem abaixo: 
 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 08 
 
 As forças que foram aplicadas foram geradas automaticamente pelo computador, e 
para registrar o processo filmamos para que posteriormente pudéssemos anotar os dados e 
realizar os cálculos devidamente. 
 Foram anotadas as cargas sucessivas que foram aplicadas em cada haste, até 
chegarmos a última força, a de ruptura. Conforme disposto no quadro abaixo: 
 
FORÇAS (N) 
QUADRADA RETANGULAR 
10 10 
50 160 
80 660 
140 690 
390 780 
 
13 
 
O objetivo desse ensaio era submeter estas hastes a sucessivas forças de compressão 
até a ruptura da mesma por flambagem, de acordo com as imagens teremos a haste na prensa 
(Figura 09), a sua flambagem (Figura 10) e ruptura (Figura 11). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 09 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 
 
14 
 
 Na figura 10, durante os levantamentos teóricos, ficou evidenciado que a flambagem 
ocorrerá no sentido em que existe o menor momento de inércia. Na figura 10, fica bastante 
evidente o momento em que o fato ocorre e o seu sentido de flambagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 
 Já na figura 11 fica claro o momento de ruptura da haste de madeira, onde a sua força 
será crítica. No caso da haste de madeira de seção transversal quadrada (A= 1x10^-4) ocorre 
em Pcr = 420 N, já na haste de madeira de seção transversal (A= 2x10^-4)quadrada ocorro 
quando a força crítica atinge o seu ápice, que será em 930 N. 
Após a realização do ensaio em laboratório foi possível realizar os seguintes cálculos, 
e forma que calculamos as hastes de maneira teórica, usando as teorias que foram levantadas 
no referencial teórico, e posteriormente, com os dados de foram retirados do ensaio em 
laboratório fizemos as contas dos dados apontados na prática, e assim chegamos ao seguinte 
quadro: 
 
 
 
15 
 
Informações Teórico Prático 
Quadrada Retangular Quadrada Retangular 
Comprimento 
Efetivo (Le) 
0,25 m 0,25 m 0,25 m 0,25 m 
Força Crítica 
(Pcr) 
394, 78 N 789,57 N 390 N 780 N 
Módulo de 
Elasticidade (E) 
12 GPa 12 GPa 11,85 GPa 11,85 GPa 
Momento de 
Inércia (I) 
8.33x10^-10 m^4 1,667x10^-9 m^4 8.33x10^-10 m^4 1,667x10^-9 m^4 
Raio de Giração 
(r) 
2,887x10^-3 4,082x10^-3 2,887x10^-3 4,082x10^-3 
Tensão crítica 
(𝝈𝒄𝒓) 
3,95 MPa 7,89 MPa 3,9 MPa 3,9 MPa 
Índice de 
Esbeltez 
173,205 122,47 173,205 122,47 
 
 Todos os cálculos realizados para a obtenção desta tabela, estará disposto em anexo a 
parte deste trabalho e será postado cm conjunto com o mesmo. 
 Após a realização dos cálculos é fácil ver que não houve uma grande disparidade em 
relação as informações teóricas e práticas, principalmente na haste de seção transversal 
quadrada. O que também acontece na haste de seção transversal retangular. 
 Para realizar os cálculos teóricos partimos com os seguintes dados: K=0,5 e E = 
12GPa e através deste dados conseguimos calcular todas as outras informações pedidas 
utilizando das formulas levantadas no referencial teórico. 
 Na parte prática partimos das informações obtidas em laboratório com a realização do 
experimento que foram as cargas críticas da haste de seção transversal quadrada e das hastes 
de seção transversal retangular, respectivamente, 390 N e 780N. 
 Para verificar se o ensaio foi realizado de maneira satisfatória, calculamos a 
porcentagem de erro pela seguinte formula: 
 
%𝒆𝒓𝒓𝒐 =
𝑷𝒄𝒓 𝑻𝒆ó𝒓𝒊𝒄𝒐 − 𝑷𝒄𝒓 𝑷𝒓á𝒕𝒊𝒄𝒐
𝑷𝒄𝒓 𝑻𝒆ó𝒓𝒊𝒄𝒐
 × 𝟏𝟎𝟎 
 
16 
 
 Para haste de seção transversal quadrada, logo temos: 
 
%𝒆𝒓𝒓𝒐 =
394,78 − 390
394,78
 × 100 = 𝟏, 𝟐% 
 
 Para haste de seção transversal retangular, temos 
 
%𝒆𝒓𝒓𝒐 =
789,57 − 780
789,57
 × 100 = 𝟏, 𝟑% 
 
 Tais cálculos de erro que podem classificar o ensaio com satisfatório, pois 
permaneceram dentro da margem aceitável pela engenharia, que é menor ou igual a 5%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
5 CONCLUSÃO 
 
 Após a realização do trabalho teórico e do experimento em laboratório utilizando de 
hastes de madeira (retangular e quadrada, foi possível realizar uma boa analise de como uma 
peça pode sofrer flambagem, como calcular a sua carga crítica teórica e o valor carga crítica 
prática. Pois o cálculo de porcentagem de erro permaneceu dentro de uma faixa satisfatória, a 
quadrada de 1,2% e a retangular de 1,3%, dentro da margem satisfatória que exige que seja 
menor ou igual a 5%. 
 Foi possível evidenciar a ocorrência desse fenômenodenominado flambagem e como 
essa ocorrência está diretamente ligada a resistência e estabilidade de cada material, concluir 
que ele sempre ocorrerá no sentido do seu menor momento de inércia 
 Concluímos que a realização deste trabalho foi de suma importância para agregar o 
nosso conhecimento em relação ao estudo de estruturas, pois a flambagem é um fenômeno 
que deve ser estudado de maneira que possa ser prevenido a sua ocorrência, pois pode causar 
bastantes desastres casso ele ocorra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 
 
BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON JR., E. Russell. Resistência dos materiais. 3. ed. São 
Paulo: Makron Books, 1995. 652 p. 
BUFFONI, Salete. Estudo de armaduras longitudinais em pilares de concreto armado. Tese 
de doutorado – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. 2004. 
HIBBLERR, R. C. Resistência dos Materiais. São Paulo: Pearson Pretice Hall. 5ª Edição, 
2004. 
MASCIA, Nilson Tadeu. Flambagem em Barras. Universidade Estadual de Campinas – 
UNICAMP, 2001. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
7 ANEXO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO A – Todos os representantes do grupo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO B – Haste de madeira após a sua ruptura. 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO C – O momento em que ocorre a flambagem da haste de madeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO D – Gravação durante o ensaio para obtenção dos dados.