Juros Compostos em Matemática Financeira

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16/02/2014
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Matemática Financeira
Prof. Me. Reginaldo César Izelli
5ª SEMANA: 
JUROS COMPOSTOS
Juros Compostos
No regime de juros compostos, os juros obtidos a
cada novo período são incorporados ao capital,
formando um montante que passará a participar
da geração de juros no período seguinte, e assim
sucessivamente. Dessa forma, não apenas o
capital inicial rende juros, mas eles são devidos a
cada período de forma cumulativa. Daí serem
chamados juros capitalizados.
“Juros Compostos são juros sobre juros!”
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Juros Compostos
• Juros Compostos sempre sobre o MONTANTE
ANTERIOR
Exemplo:
• Valor atual na data zero igual a $100,00
• Taxa igual a 10% a.m.
• Considere juros compostos
Juros Compostos
n Juros FV Fórmula
0 - 100,00 FV=PV
1 10,00 110,00
FV=PV (1+i)
10% x $100
2 11,00 121,00 FV=PV (1+i) (1+i)
10% x $110
n i x FVant FV FV=PV (1+ i)
n
Juros compostos sempre
incidem sobre montante
3 12,10 133,10 FV=PV (1+i)(1+i)(1+i)
10% x $121
Juros Compostos
Juros Compostos pode ser representado pela
seguinte fórmula:
Sendo que:
� J = Juros recebido (ou pago) referente ao
período;
� PV = Capital aplicado (ou tomado);
� i = Taxa de juros;
� n = Período de aplicação (ou prazo da
operação).
( )( )11 −+= niPVJ
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Juros Compostos
Montante: É o valor do capital inicial somando
aos juros acumulados no decorrer do período,
onde usamos a seguinte fórmula:
Sendo que:
FV = Representa o montante ou valor futuro
PV = Capital aplicado (ou tomado);
i = Taxa de juros;
n = Período de aplicação (ou prazo da
operação).
niPVFV )1( +=
Juros Compostos
• Juros incidem sobre juros
• Valor futuro cresce exponencialmente
Capitalização Exponencial
Valor Futuro
Tempo
VP
Juros Compostos
Valor Futuro
Tempo
VP
Juros simples maiores
que compostos
Juros compostos maiores
que simples
n = 1
Gráfico 
do Juros 
Simples
Gráfico dos 
Juros 
Compostos
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Juros Compostos
� n < 1 
Juros simples são maiores que juros 
compostos.
� n = 1
Juros simples são iguais a juros 
compostos.
� n >1
Juros compostos são maiores que 
juros simples.
Juros Compostos
Por meio das fórmulas básica de valor futuro
podemos extrair outras fórmulas para facilitar o
cálculo de outras variáveis, como:
1
1
−





=
n
PV
FVi
niPVFV )1( +=
)1( iLog
PV
FVLog
n
+






=
ni
FVPV )1( +=
Valor presente
Prazo
Taxa de juros
Juros Compostos
Exemplo 1: Um capital de $ 6 000,00 foi aplicado a 
juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% 
a.m.
a) Qual o montante? 
b) Qual o total de juros?
Solução: 
a) b)
( )
( )
25,6367
02,016000
1
3
=
+=
+=
FV
FV
iPVFV n ( )( )
( )( )
25,367
102,016000
11
3
=
−+=
−+=
J
J
iPVJ n
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Juros Compostos
Exemplo 2: Um capital de $ 2 500,00 foi aplicado a 
juros composto durante 4 meses, produzindo um 
montante de $ 3 500,00. Qual a taxa mensal de 
juros?
Solução:
( )
( )
( )
( )4
4
4
14,1
1
2500
3500
125003500
1
i
i
i
iPVFV n
+=
+=
+=
+=
( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )
a.m. %78,8
0878,0
0878,11
14,1
14,1
14,1
125,0
4
1
4
4
1
4
=
=
=+
+=
+=
+=
i
i
i
i
i
i
Juros Compostos
Exemplo 3: Durante quanto tempo um capital de
$1000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à
taxa de 10% a.a., para dar um montante de
$ 1 610,51?
Solução:
( )
( )
( )
( )n
n
n
niPVFV
1,161051,1
1,1
1000
51,1610
1,01100051,1610
1
=
=
+=
+=
( ) ( )
( )
anos 5
0414,0
2069,0
0414,02069,0
1,1log2069,0
1,1log61051,1log
≅
=
⋅=
=
=
n
n
n
n
n