Material de Física Elementar Março 2017

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Março 2017 
Universidade Federal do Pará 
Equipe de Física: 
(PCNA Março de 2017) 
 
 Alexandre Guimarães Rodrigues 
(Coordenação) 
 José Benício da Cruz Costa 
(Orientação) 
 
Monitores: 
 Adrielle de Sousa Nascimento 
 Diego Ribeiro Pinto de Castro 
 Ingred Rodrigues da Silva 
 Marcel Almeida do Amaral 
 Mayara Gonçalves Costa 
 Odivaldo Barbosa Dias 
 
Física 
Elementar 
 
Material 
Didático 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equipe de Professores 
 Alexandre Guimarães Rodrigues (Coordenação Geral) 
 
Matemática: 
 Alessandra Macedo de Souza (Coordenação) 
 
Química: 
 Shirley Cristina Cabral Nascimento (Coordenação) 
 
Física: 
 Alexandre Guimarães Rodrigues (Coordenação) 
 
Administrativo: 
 José Benício da Cruz Costa (Coordenação) 
 
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
Lista de Figuras
1 Triaˆngulo Retaˆngulo . . . . . . . . 8
2 Representac¸a˜o de um teodolito. . . 8
3 Edif´ıcio e suas projec¸o˜es . . . . . . 9
4 Lago e suas projec¸o˜es . . . . . . . 9
5 Ciclo Trigonome´trico em radianos. 10
6 Ciclo Trigonome´trico em graus. . . 10
7 Triaˆngulo para Lei dos Cossenos. . 11
8 Triaˆngulo para Lei dos Senos. . . . 11
9 Representac¸a˜o de vetores paralelos,
ou seja, vetores que apresentam o
mesmo sentido e direc¸a˜o, apresen-
tando ou na˜o mesmo mo´dulo. . . . 14
10 Representac¸a˜o de vetores negati-
vos, ou seja, vetores que apresen-
tam o mesmo mo´dulo e direc¸a˜o
do vetor positivo dado e sentido
contra´rio. . . . . . . . . . . . . . . 14
11 Representac¸a˜o geome´trica de dois
vetores. . . . . . . . . . . . . . . . 14
12 Representac¸a˜o de soma de dois ve-
tores pela regra do paralelogramo [1]. 14
13 Representac¸a˜o geome´trica de dois
vetores perpendiculares. . . . . . . 15
14 Exemplo 2.1. . . . . . . . . . . . . 15
15 Vetores ~a e ~b no plano cartesiano. . 15
16 Regra do paralelogramo. . . . . . . 15
17 Representac¸a˜o de um vetor ar-
bitra´rio e sua projec¸a˜o sobre os ei-
xos x e y. . . . . . . . . . . . . . . 16
18 Triaˆngulo formado pelo vetor prin-
cipal e suas componentes. . . . . . 16
19 Triaˆngulo para as relac¸o˜es trigo-
nome´tricas. . . . . . . . . . . . . . 16
20 Exemplo 2.2. . . . . . . . . . . . . 17
21 Exemplo 2.3. . . . . . . . . . . . . 17
22 Exerc´ıcio 4. . . . . . . . . . . . . . 17
23 Exerc´ıcio 5. . . . . . . . . . . . . . 18
24 Exerc´ıcio 6. . . . . . . . . . . . . . 18
25 Exerc´ıcio 7. . . . . . . . . . . . . . 18
26 Exerc´ıcio 9. . . . . . . . . . . . . . 18
27 Representac¸a˜o do vetor desloca-
mento de suas componentes x e y. . 18
28 Representac¸a˜o do vetor ~a em duas
dimenso˜es, x e y. . . . . . . . . . . 19
29 Representac¸a˜o dos vetores ~a e~b for-
necendo o vetor resultante ~c, a par-
tir de suas componentes. . . . . . . 20
30 Representac¸a˜o dos vetores ~a e ~b
somados fornecendo o vetor resul-
tante ~c. . . . . . . . . . . . . . . . 20
31 Representac¸a˜o de um vetor resul-
tante ~c formando um triaˆngulo
retaˆngulo com suas componentes. . 20
32 Representac¸a˜o da multiplicac¸a˜o de
um vetor por um escalar. . . . . . 22
33 Regra da ma˜o direita. . . . . . . . 23
34 Quanto mais lisa a superf´ıcie, mais
longe um disco desliza apo´s to-
mar uma velocidade inicial.Se ele se
move em um colcha˜o de ar sobre a
mesa (c) a forc¸a de atrito e´ prati-
camente zero, de modo que o disco
continua a deslizar com velocidade
quase constante (YOUNG. H. D;
FREEDMAN. F´ısica 1-Sears & Ze-
mansky. Mecaˆnica. 12a. Edic¸a˜o.
Ed. Pearson) . . . . . . . . . . . . 28
35 Massa, acelerac¸a˜o e a segunda lei
de Newton. . . . . . . . . . . . . . 30
36 Duas forc¸as ~F1 e ~F2 que atuam so-
bre um ponto A exercem o mesmo
efeito que uma forc¸a R dada pela
soma vetorial. . . . . . . . . . . . . 30
37 Achando os componentes do vetor
soma (resultante) R de duas forc¸as
~F1 e ~F2. . . . . . . . . . . . . . . . 31
38 O projeto de uma motocicleta de
alto desempenho depende funda-
mentalmente da segunda lei de
Newton. Para maximizar a ace-
lerac¸a˜o, o projetista deve fazer a
motocicleta ser mais leve poss´ıvel
(isto e´, minimizar sua massa) e usar
o motor mais potente poss´ıvel (isto
e´, maximizar a forc¸a motriz). . . . 31
39 Identificac¸a˜o das forc¸as em ac¸a˜o,
quando uma ma˜o puxa uma corda
amarrada a um bloco. a) Ma˜o,
corda e bloco. b) Pares de ac¸a˜o e
reac¸a˜o. (As forc¸as verticais na˜o sa˜o
mostradas). . . . . . . . . . . . . . 32
40 Na˜o sa˜o pares de ac¸a˜o e reac¸a˜o.
a) Essas forc¸as na˜o sa˜o um par de
ac¸a˜o e reac¸a˜o por que atuam no
mesmo corpo. b) Essas forc¸as sera˜o
iguais somente se a corda estiver em
equil´ıbrio ou se sua massa for des-
prezada. (As forc¸as verticais na˜o
sa˜o mostradas). . . . . . . . . . . . 32
41 A figura acima representa: a) um
esboc¸o da situac¸a˜o a ser estudada.
b) as forc¸as atuantes no corpo A. c)
a forc¸a atuante no corpo B. . . . . 32
3
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
42 a) Uma caixa sobe um plano in-
clinado, puxada por uma corda .
(b) As treˆs forc¸as que agem cobre
a caixa: a forc¸a da corda T a forc¸a
gravitacional Fq e a forc¸a normal
FN . (c) As componentes de Fq
na direc¸a˜o ao plano inclinado e na
direc¸a˜o perpendicular. . . . . . . . 33
43 Duas forc¸as atuam sobre o bloco,
o seu peso ~P e a forc¸a normal ~FN
exercida pela superf´ıcie da mesa. . 37
44 (a) A forc¸a normal ~FN e´ maior do
que o peso da caixa, pois a caixa
esta´ sendo pressionada para baixo
com uma forc¸a de 11 N. (b) A forc¸a
normal e´ menor do que o peso, pois
ha´ uma forc¸a de 11 N para cima que
sustenta parcialmente a caixa. . . . 37
45 A pra´tica do ho´quei no gelo depende
decisivamente do atrito entre os patins
do jogador e o gelo. Quando o atrito
e´ muito elevado, o jogador se locomove
muito lentamente; quando o atrito e´
muito pequeno, o jogador dificilmente
evita sua queda. . . . . . . . . . . . 38
46 A a´rea microsco´pica de contato entre
a caixa e o piso e´ apenas uma pequena
frac¸a˜o da a´rea macrosco´pica da su-
perf´ıcie do tampo da caixa. A a´rea mi-
crosco´pica e´ proporcional a` forc¸a nor-
mal exercida entre as superf´ıcies. Se
a caixa repousa sobre um de seus la-
dos, a a´rea microsco´pica aumenta, mas
a forc¸a por unidade diminui, de forma
que a´rea microsco´pica de contato na˜o
muda. Na˜o importa se a caixa esta´ de
pe´ ou deitada, a mesma forc¸a horizon-
tal F aplicada e´ necessa´ria para manteˆ-
la deslizando com rapidez constante
(PAUL A. TIPLER, GENE MOSCA,
2012). . . . . . . . . . . . . . . . . 38
47 Atrito Esta´tico. . . . . . . . . . . . 39
48 Gra´fico da forc¸a de atrito. . . . . . 40
49 (a) A forc¸a ~T esta´ sendo aplicada a`
extremidade direita de uma corda.
(b) a forc¸a e´ transmitida para
caixa. (c) Forc¸as sa˜o aplicadas a`s
duas extremidades da corda. Estas
forc¸as possuem mesmos mo´dulos e
direc¸o˜es opostas (mesma direc¸a˜o e
sentidos contra´rios), (CUTNELL &
JOHNSON, 2012). . . . . . . . . . 40
50 A relac¸a˜o entre massa e peso. . . . 41
51 Em um movimento circular uni-
forme, tanto a acelerac¸a˜o, como a
forc¸a resultante sa˜o orientadas para
o centro do circulo. . . . . . . . . . 42
52 O que acontece quando a forc¸a ori-
entada para o centro deixa de atuar
sobre um movimento circular? . . . 42
53 Indicac¸a˜o de referencial graduada
em metros . . . . . . . . . . . . . . 51
54 Reta secante a uma func¸a˜o f(x) . . 53
55 Gra´fico de posic¸a˜o no tempo. . . . 54
56 Reta secante tendendo a uma tan-
gente. . . . . . . . . . . . . . . . . 54
57 Reta horizontal de uma func¸a˜o
constante . . . . . . . . . . . . . . 55
58 Derivada indicando se a) f(x) e´
crescente ou se b) f(x) e´ decrescente. 56
59 Na figura acima, c e´ ma´ximo local e
d e´ mı´nimo local (f ′(c) = f ′(d)= 0). 56
60 Tabela representativa de derivada e
integral de modo sinte´tico. . . . . . 57
61 Gra´fico de acelerac¸a˜o no tempo. . . 57
62 Gra´fico de velocidade no tempo. . 58
63 Gra´fico da acelerac¸a˜o no tempo. . 58
64 Gra´fico de uma curva qualquer. . . 58
65 Curva sendo aproximada grosseira-
mente por retaˆngulos. . . . . . . . 58
66 Aproximac¸a˜o melhorada com o uso
de retaˆngulos mais finos. . . . . . . 59
67 A variac¸a˜o no espac¸o e´ igual a a´rea
do gra´fico vxt . . . . . . . . . . . . 60
68 A variac¸a˜o no espac¸o e´ igual a a´rea
do gra´fico axt . . . . . . . . . . . . 60
4
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
Suma´rio
1 CIEˆNCIAS, GRANDEZAS FI´SICAS
E UNIDADES 6
1.1 Objetivos de aprendizagem: . . . . 6
1.2 A Natureza da F´ısica . . . . . . . 6
1.3 Grandezas e Dimenso˜es . . . . . 6
1.4 Ana´lise Dimensional . . . . . . . 6
1.5 Converso˜es de unidades . . . . . 7
1.6 Incertezas e Algarismos Signifi-
cativos: . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Func¸o˜es Trigonome´tricas Ba´sicas 8
1.8 C´ırculo trigonome´trico . . . . . . 9
1.9 Lei dos Cossenos . . . . . . . . . 11
1.10 Lei dos Senos . . . . . . . . . . . 11
EXERCI´CIOS . . . . . . . . . . . . . . 12
2 ANA´LISE VETORIAL
BA´SICA 13
2.1 Objetivos de aprendizagem: . . . 13
2.2 Diferenc¸as entre escalares e vetores 13
2.3 Conceitos ba´sicos de vetores . . . 13
2.4 Soma e subtrac¸a˜o gra´fica de vetores 14
2.5 Componentes de vetores . . . . . 15
2.6 Vetores unita´rios ou versores . . 19
2.7 Soma de vetores a partir de suas
componentes . . . . . . . . . . . . 19
2.8 Multiplicac¸a˜o de vetores . . . . . 21
2.9 Multiplicac¸a˜o de um vetor por
escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.10 Multiplicac¸a˜o de um vetor por
um vetor . . . . . . . . . . . . . . 21
2.10.1 Produto escalar . . . . . . . 21
2.10.2 Produto vetorial . . . . . . 23
EXERCI´CIOS . . . . . . . . . . . . . . 24
PROBLEMAS ADICIONAIS . . . . . . 25
3 LEIS DE NEWTON 27
3.1 Objetivos de aprendizagem: . . . 27
3.2 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Referencial do ponto de vista da
dinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Primeira lei de Newton
(Princ´ıpio da Ine´rcia) . . . . . . . 28
3.5 Relac¸a˜o vetorial entre velocidade
e acelerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Segunda lei de Newton . . . . . . 30
3.7 Relac¸a˜o entre forc¸a e acelerac¸a˜o 31
3.8 Terceira lei de Newton . . . . . . 31
3.9 Diagrama de corpo livre . . . . . 32
4 APLICAC¸O˜ES DAS LEIS
DE NEWTON 36
4.1 Objetivos de aprendizagem: . . . 36
4.2 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Aplicac¸o˜es da primeira lei de
newton: part´ıculas em equil´ıbrio 36
4.4 Aplicac¸o˜es da segunda lei de
newton: dinaˆmica das part´ıculas 36
4.5 Forc¸as de contato . . . . . . . . . 37
4.5.1 Forc¸a normal . . . . . . . . 37
4.5.2 Forc¸as de atrito . . . . . . . 38
4.5.3 Forc¸as de trac¸a˜o . . . . . . 40
4.5.4 Massa e peso . . . . . . . . 40
4.6 Dinaˆmica do movimento circular 41
EXERCI´CIOS . . . . . . . . . . . . . . 43
5 NOC¸O˜ES DE CA´LCULO
DIFERENCIAL E INTE-
GRAL NA CINEMA´TICA 50
5.1 Objetivos de aprendizagem: . . . 50
5.2 Introduc¸a˜o: . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Uma breve discussa˜o sobre refe-
rencial do ponto de vista da ci-
nema´tica . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 5.3 Posic¸a˜o x deslocamento . . . 51
5.5 Velocidade vetorial me´dia x velo-
cidade escalar me´dia . . . . . . . 52
5.6 Velocidade instantaˆnea . . . . . . 52
5.7 Noc¸o˜es de ca´lculo diferencial . . 53
5.8 Acelerac¸a˜o vetorial me´dia x Ace-
lerac¸a˜o escalar me´dia . . . . . . . 54
5.9 Acelerac¸a˜o instantaˆnea . . . . . . 55
5.10 Noc¸o˜es de ca´lculo integral . . . . 58
5.11 Aplicac¸a˜o na cinema´tica . . . . . 59
GABARITO GERAL 61
REFEREˆNCIAS BIBLIOGRA´FICAS 63
5
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
1 CIEˆNCIAS, GRANDEZAS
FI´SICAS E UNIDADES
1.1 Objetivos de aprendizagem:
• Entender o conceito de f´ısica e sua natureza.
• Conhecer as grandezas fundamentais e as uni-
dades usadas pelos f´ısicos para medi-las.
• Como fazer a ana´lise dimensional de uma
equac¸a˜o.
• Converter unidades e como na˜o perder de
vista os algarismos mais significativos nos
seus ca´lculos.
• Como aplicar os conceitos ba´sicos de trigono-
metria.
1.2 A Natureza da F´ısica
A cieˆncia e a engenharia se baseiam em
medic¸o˜es e comparac¸o˜es. Assim precisamos de
regras para estabelecer de que forma as grande-
zas devem ser medidas e comparadas, e de expe-
rimentos para estabelecer as unidades para essas
medic¸o˜es e comparac¸o˜es. A f´ısica e´ uma cieˆncia
experimental, e assim como a qu´ımica e a ma-
tema´tica, forma a base de todas as engenharias.
Nenhum engenheiro pode projetar uma tela plana
de TV, uma nave espacial, um reator ou ate´
mesmo uma ratoeira mais eficiente, sem antes en-
tender os princ´ıpios ba´sicos da f´ısica.
1.3 Grandezas e Dimenso˜es
Os experimentos f´ısicos exigem medidas, e nor-
malmente usamos nu´meros para descrever os re-
sultados das medidas. Medir refere-se a comparar
uma grandeza com um padra˜o que e´ a unidade
de medida. Uma grandeza f´ısica descreve quan-
titativamente um conceito quando o exprime na
forma de nu´mero e em func¸a˜o de uma unidade de
medida.
Por exemplo, duas grandezas f´ısicas para
descrever voceˆ sa˜o a sua massa e a sua altura.
Para cientistas e engenheiros, em grande parte do
mundo, o sistema padra˜o utilizado e´ conhecido
como Sistema Internacional ou SI. No SI a
massa e´ medida em quilogramas (Kg) e a altura
(comprimento) em metros (m).Existem outros
sistemas como CGS e o sistema de Engenha-
ria Britaˆnico (BE) conforme exposto na Tabela 1.
GRANDEZAS FUNDAMENTAIS DA MECAˆNICA
UNIDADE SI CGS BE
Comprimento
Metro
(m)
Cent´ımetro
(cm)
Pe´
(ft)
Massa
Quilograma
(Kg)
Grama
(g)
Slug
(sl)
Tempo
Segundo
(s)
Segundo
(s)
Segundo
(s)
Tabela 1: Relac¸o˜es entre os diversos sistemas de
unidades.
RELAC¸O˜ES IMPORTANTES
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
1 kg = 1000 g
1 ton = 1000 kg
1 h = 60 min = 3600 s
1 min = 60 s
1.4 Ana´lise Dimensional
Em f´ısica, o termo dimensa˜o e´ usado para se
referir a` natureza f´ısica de uma grandeza. A preo-
cupac¸a˜o com a dimensionalidade de uma grandeza
ou de uma fo´rmula antecede a questa˜o da unidade
usada. Por exemplo, para medir a distaˆncia en-
tre dois objetos podemos utilizar fita me´trica gra-
duada em cent´ımetro, dec´ımetro ou metro. En-
tretanto, ningue´m discute que essa medida devera´
ser feita a partir de uma unidade de comprimento.
Em outras palavras, a ana´lise dimensional e´ usada
para verificar relac¸o˜es matema´ticas quanto a` con-
sisteˆncia das suas dimenso˜es.
Na mecaˆnica, parte da F´ısica que envolve a ci-
nema´tica e a dinaˆmica, a totalidade dos conceitos
ba´sicos dessa a´rea pode ser expressa em termos de
uma combinac¸a˜o de dimenso˜es fundamentais. Sa˜o
elas:
• Comprimento [L]
• Tempo [T]
• Massa [M]
Exemplo 1.1: Considere um carro que parte
do repouso e acelera ate´ uma velocidade v em
um tempo t. Desejamos calcular a distaˆncia x
percorrida pelo carro, mas na˜o temos a certeza
de se a relac¸a˜o correta e´ x = 12 .v.t
2 ou x = 12 .v.t.
Podemos verificar as grandezas em ambos os
lados da equac¸a˜o para vermos se possuem as
6
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
mesmas dimenso˜es da seguinte maneira:
Na equac¸a˜o x = 12 .v.t
2 , aplicando as dimenso˜es
[L] e [T], teremos:
[L] = [L][T ] .[T ]
2 ou [L] = [L].[T ]
A dimensa˜o do lado esquerdo da equac¸a˜o na˜o
coincide com a dimensa˜o do lado direito. Logo,
a relac¸a˜o na˜o esta´ correta, pois na˜o faz sentido
trabalharmos com uma fo´rmula do tipo posic¸a˜o
= velocidade. Afinal, estamos medindo posic¸a˜o
ou velocidade? Da´ı a necessidade de que a di-
mensa˜o do “lado esquerdo” da fo´rmula seja igual a`
do “lado direito” e, caso seja composta por mais de
uma parcela, essas devemter a mesma dimensio-
nalidade entre si e a mesma compatibilidade com a
descric¸a˜o da fo´rmula em questa˜o. Portanto, todas
as fo´rmulas que utilizamos, independentemente do
contexto em questa˜o, deve ter o dimensionamento
consistente. Caso contra´rio deve ser reanalisada
ou simplesmente descartada. Lembre-se disso ao
final das suas resoluc¸o˜es de problemas e exerc´ıcios!
Para a equac¸a˜o x = 12 .v.t temos:
[L] = [L][T ] .[T ] ou [L] = [L]
A dimensa˜o em ambos os lados coincidem, logo
essa equac¸a˜o esta´ dimensionalmente correta.
1.5 Converso˜es de unidades
Uma vez que qualquer grandeza pode ser me-
dida em diferentes unidades e´ importante saber
como converter um resultado expresso em uma
unidade para outra unidade. A conversa˜o pode
envolver uma u´nica dimensa˜o, como por exemplo,
converter 1 km para metros , 1km = 103 m. Pode
tambe´m envolver mais de uma dimensa˜o, como
converter velocidade dada em km/h para m/s.
Neste caso, precisamos expressar quiloˆmetro em
metros e hora em segundos. Em todos os casos
de conversa˜o de unidades pode-se afirmar que na˜o
ha´ nada mais envolvido que as operac¸o˜es de mul-
tiplicac¸a˜o e divisa˜o. As regras de conversa˜o po-
dem ser sintetizadas a partir de um ca´lculo sim-
ples envolvendo regra de treˆs. E´ necessa´rio que
se diga, embora o´bvio, que so´ e´ poss´ıvel converter
uma unidade para outra unidade quando sabemos
o quanto vale uma unidade de medida em termos
da outra e vice-e-versa.
Fac¸amos o caso da conversa˜o de velocidade de
km/h para m/s. Sabemos que 1 quiloˆmetro pos-
sui 1000 metros e que 1 hora possui 3600 segun-
dos (60x60s). Logo, 1km/h = 1000m/3600s ≈
0, 2778m/s. Sabemos quanto vale 1km/h em m/s.
E quanto vale 1m/s em termos de km/h? Vamos
para a regra de treˆs!
1km/h —— 0, 2778m/s
x —— 1m/s
A leitura e´ feita da seguinte forma: 1km/h
vale 0,2778m/s. 1m/s (que ainda na˜o sabemos
quanto vale em km/h) em termos de km/h vale
x (inco´gnita). Em seguida fazemos uma multi-
plicac¸a˜o em diagonal (repare que de um lado te-
mos somente uma unidade (km/h) e do outro lado
com outra unidade (m/s)). Assim ficamos com:
1km/h.1m/s = x.0, 2778m/s
x = 1km/h0,27778 = 3, 6km/h
Portanto, x, que e´ igual a 1 m/s escrito em
termos de unidade de velocidade em m/s vale 3,6
km/h.
A forma de montar uma regra de treˆs e´ sempre
simples. Mas atenc¸a˜o! Fazer uma mudanc¸a de
unidades na˜o altera a dimensa˜o da grandeza que
voceˆ esta´ trabalhando!
Exemplo 1.2:
O Sistema de unidades estadunidense e´ dife-
rente do Sistema Internacional (Syste`me National
d’Unite´s), que e´ utilizado no Brasil e na maio-
ria dos pa´ıses. Nos Estados Unidos, para me-
dir massa, por exemplo, utiliza-se a unidade “li-
bras”(pounds). Ja´ no Brasil, geralmente se uti-
liza o “quilograma”. Para grandes medidas de
altura, os norte-americanos utilizam a unidade
“pe´s” (feet), enquanto que no´s utilizamos “me-
tros” ou “quiloˆmetros”.
Imagine que durante seu per´ıodo de graduac¸a˜o
voceˆ fac¸a um intercaˆmbio acadeˆmico para os Esta-
dos Unidos e sua primeira aula seja de conversa˜o
de unidades. Assim, determine quanto vale 3212ft
(feet) em metros. Obs.: 1ft=30,48cm=0,3048m
Estrate´gia de racioc´ınio:
1 ft = 0,3048m. A pergunta e´: quanto vale
7
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
3212ft expresso em metros? Vale x metros. E´
o que queremos descobrir. Vamos montar nossa
regra de treˆs!
1ft —— 0, 3048m
3212ft —— x
A regra de treˆs foi montada corretamente.
Agora e´ so´ fazer a multiplicac¸a˜o em diagonal e
isolar o fator x.
3212ft.0,3048m = x.1ft
x = 979,0 m
Na˜o se esquec¸a de fazer o corte nas dimenso˜es
tambe´m! ft do lado esquerdo corta com ft do lado
direito da equac¸a˜o e a resposta e´ dada em metros,
conforme desejamos.
1.6 Incertezas e Algarismos Significati-
vos:
As medidas sempre envolvem incertezas. Em
muitos casos, a incerteza de um nu´mero na˜o e´
apresentada explicitamente. Em vez disso, ela e´
indicada pelo nu´mero de d´ıgitos confia´veis, ou al-
garismos significativos, do valor da medida. Por
exemplo, medimos a espessura da capa de um
livro e encontramos o valor 2,91mm, esse valor
apresenta treˆs algarismos significativos. Com isto,
queremos dizer que os dois primeiros algarismos
sa˜o corretos, enquanto o terceiro d´ıgito e´ incerto.
O u´ltimo d´ıgito esta´ na casa dos cente´simos, de
modo que a incerteza e´ aproximadamente igual a
0,01mm.
1.7 Func¸o˜es Trigonome´tricas Ba´sicas
A trigonometria e´ uma a´rea da matema´tica
muito aplicada na f´ısica, sobretudo nos tipos de
problemas tratados pela mecaˆnica. Em especial,
treˆs func¸o˜es trigonome´tricas ba´sicas sa˜o mais uti-
lizadas. Sa˜o essas: o seno, o cosseno e a tan-
gente de um determinado aˆngulo. Vamos defi-
nir essas func¸o˜es a seguir a partir do triaˆngulo
retaˆngulo abaixo:
Pelo teorema de Pita´goras, determina-se que:
h2 = h2o + h
2
a
h = comprimento da hipotenusa de um
triaˆngulo retaˆngulo
h0 = comprimento do cateto oposto ao aˆngulo θ
ha = comprimento do cateto adjacente ao aˆngulo θ
Em que:
Figura 1: Triaˆngulo Retaˆngulo
sen θ = hoh , cos θ =
ha
h , tan θ =
ha
ho
o seno, o cosseno e a tangente sa˜o nu´meros sem
unidades (nem dimenso˜es) porque cada um e´ a
raza˜o entre os comprimentos de dois lados de um
triaˆngulo retaˆngulo.
Exemplo 1.3 :
“A finalidade principal de um teodolito e´ a
medida de aˆngulos horizontais e verticais. Indi-
retamente, podem-se medir distaˆncias que, rela-
cionadas com os aˆngulos verticais, possibilita ob-
ter tanto a distaˆncia horizontal entre dois pon-
tos quanto a` diferenc¸a de n´ıvel entre os mesmos.”
(Fonte: Teodolitos e Nı´veis O´pticos – Verificac¸a˜o
e Ajustes, FERRAZ, A.S; ANTONINO, L.C.). A
Figura 2 mostra uma versa˜o simplificada do Teo-
dolito.
Figura 2: Representac¸a˜o de um teodolito.
Considere que um topo´grafo precisa determinar
a altura de um edif´ıcio para executar um projeto
de engenharia. Verifica-se que este edif´ıcio produz
uma sombra de 67,2 m de comprimento em um dia
ensolarado. O aˆngulo, verificado com o aux´ılio do
teodolito, entre os raios de sol e o cha˜o e´ de θ=
50,0o, como mostrado na Figura 3. Qual a altura
do edif´ıcio?
Estrate´gia de racioc´ınio:
8
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
Figura 3: Edif´ıcio e suas projec¸o˜es
Desejamos determinar a altura do edif´ıcio.
Para isso, analisamos as informac¸o˜es contidas no
triaˆngulo retaˆngulo sombreado da figura dada.
Sa˜o elas: a altura como comprimento h0 do cateto
oposto ao aˆngulo θ e o comprimento da sombra e´
o comprimento ha do cateto adjacente ao aˆngulo
θ. Sabemos que a raza˜o entre o comprimento
do cateto oposto e o comprimento do cateto
adjacente e´ a tangente do aˆngulo θ que pode ser
usada para se determinar a altura do pre´dio.
Soluc¸a˜o: Usamos a func¸a˜o tangente conhe-
cida da seguinte maneira, com θ = 50,0o e ha =
67,2 m:
Desse modo:
tan θ = hoha
Assim:
ho = ha.tan θ = (67, 2m).(tan 50, 0
o)
ho = (67, 2m).(1, 19) = 80, 0m
O valor de tan 50,0o e´ determinado usando a
calculadora cient´ıfica.
Exemplo 1.4 :
A profundidade de um lago aumenta grada-
tivamente com um aˆngulo θ, como indicado na
figura abaixo. Por questo˜es de seguranc¸a, e´ ne-
cessa´rio se determinar a profundidade do lago em
va´rias distaˆncias a partir da margem. Para for-
necer informac¸o˜es a respeito da profundidade, um
guarda-vidas rema ate´ uma distaˆncia de 14,0 m da
margem em direc¸a˜o ao interior do lago e solta uma
linha de pesca com um peso. Medindo o compri-
mento da linha, o guarda-vidas determina a pro-
fundidade como sendo igual a 2,25 m.
a) Qual o valor de θ?
b) Qual seria a profundidade d do lago a uma
distaˆncia de 22,0 m a partir da margem?
Estrate´gia de racioc´ınio:
Figura 4: Lago e suas projec¸o˜es
Podemos observar que pro´ximo a margem, os
comprimentos dos catetos oposto e adjacente do
triaˆngulo retaˆngulo formado na figurado lago sa˜o
ho =2,25 m e ha =14,0 m, em relac¸a˜o ao aˆngulo θ.
Apo´s a identificac¸a˜o dessas informac¸o˜es, podemos
usar o arco tangente (tan−1) para determinar o
aˆngulo do item (a). Para determinar o item (b),
consideramos que os catetos opostos e adjacentes
passam a ser os mais afastados da margem onde
ho = d e ha =22,0 m. Assim, com o valor de θ
obtido no item (a), a func¸a˜o tangente pode ser
usada para encontrar o valor da profundidade
desconhecida. Considerando a forma com que a
profundidade do lago aumenta com a distaˆncia na
figura do lago, e´ de se esperar que a profundidade
desconhecida seja maior do que 2,25 m.
Soluc¸a˜o: a) Usando a func¸a˜o arco tangente
conhecida, chegamos a:
θ = tan−1(hoha ) = tan
−1(2,25m14,0m) = 9, 13
o
b) Com θ = 9,13o, a func¸a˜o tangente pode ser
usada para determinarmos a profundidade desco-
nhecida a uma distaˆncia maior da margem, onde
ho = d e ha = 22,0 m. Conclui-se que:
ho = ha.tanθ
d = 22, 0m.tan9, 13o = 3, 54m
Temos que 3,54m e´ maior que 2,25 m, o que ja´
era esperado.
1.8 C´ırculo trigonome´trico
Do ponto de vista matema´tico e´ muito u´til des-
crever relac¸o˜es trigonome´tricas em termos da ge-
ometria anal´ıtica. Do ponto de vista da f´ısica, e´
importante ter uma descric¸a˜o matema´tica simples
e completa para o movimento circular, pois muita
coisa na natureza pode ser descrita em func¸a˜o
desse tipo de movimento. Muitos artefatos pro-
duzidos pelo homem (a pro´pria roda e va´rios ti-
pos de sistema de engrenagens, apenas para fi-
car em alguns exemplos) possuem formato circu-
lar. Va´rias situac¸o˜es e fenoˆmenos (perio´dicos e
9
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
na˜o perio´dicos) exigem descric¸a˜o em termos de
movimentos circulares (isso sem contar a ı´ntima
relac¸a˜o entre movimentos oscilato´rios harmoˆnicos
e o movimento circular uniforme).
Figura 5: Ciclo Trigonome´trico em radianos.
Figura 6: Ciclo Trigonome´trico em graus.
O c´ırculo trigonome´trico e´ mais que o ponto
de partida para a descric¸a˜o matema´tica do mo-
vimento circular (se fosse so´ isso ja´ na˜o seria
pouca coisa). O c´ırculo trigonome´trico relaciona
um c´ırculo de raio unita´rio adimensional (por de-
finic¸a˜o) e um plano cartesiano com coordenadas
(x,y). O centro do c´ırculo coincide com a origem
do plano cartesiano. A relac¸a˜o entre a localizac¸a˜o
de um ponto no c´ırculo e o sistema de eixos coor-
denados e´ dada pela projec¸a˜o ortogonal do ponto
em relac¸a˜o a cada eixo coordenado. A partir da´ı
formam-se triaˆngulos retaˆngulos que ser-
vem de base para definir todas as definic¸o˜es
das func¸o˜es trigonome´tricas. De maneira bem
simples: O eixo x e´ o eixo dos cossenos. O eixo y
e´ o eixo dos senos (ver figuras acima).
Sigamos com a ana´lise do c´ırculo trigo-
nome´trico fazendo refereˆncia a` duas unidades de
medida angular: radianos e graus.
O c´ırculo trigonome´trico e´ dividido em quatro
quadrantes, como segue: O I quadrante e´ cons-
titu´ıdo pelos aˆngulos que esta˜o entre 0 e pi2 ; o II
quadrante e´ constitu´ıdo pelos aˆngulos que esta˜o
entre pi2 e pi; o III quadrante comporta os aˆngulos
situados entre pi e 3pi2 ;e o IV quadrante comporta
os aˆngulos situados entre 3pi2 e 2pi. Em termos da
medida angular em graus, o I quadrante e´ delimi-
tado entre 0 e 90o, o II entre 90o e 180o, o III entre
180o e 270o e o IV entre 270o e 360o.
Para finalizar, faremos uma brev´ıssima in-
troduc¸a˜o da expressa˜o: C = 2piR
O que ela traz de ta˜o especial? C e´ o compri-
mento do c´ırculo. Sendo um comprimento, trata-
se, portanto de uma grandeza linear. Do lado di-
reito da expressa˜o temos 2pi. No caso, isso significa
2pi radianos. E´, portanto, uma grandeza angular.
Desse modo temos uma relac¸a˜o entre uma
relac¸a˜o entre uma grandeza escalar (comprimento
C do c´ırculo) e uma grandeza angular (2pi radi-
anos). Outras expresso˜es relacionando grandezas
lineares com grandezas angulares surgira˜o no con-
texto da dinaˆmica.
IMPORTANTE!!
Para que essa relac¸a˜o esteja correta, ne-
cessariamente a medida angular deve estar
em radianos.
E´ muito importante destacar que ao falar em
aˆngulo, ale´m de informar qual medida angular esta´
utilizando, temos tambe´m de ser cuidadosos
e expl´ıcitos em relac¸a˜o a como a medida
angular e´ feita.
De maneira clara: Dizer simplesmente que o
aˆngulo e´ 30o na˜o e´ preciso. Precisamos responder
o seguinte: O aˆngulo foi tomado a partir do semi-
eixo Ox+ ou do semieixo Oy+? A medida angular
foi feita no sentido hora´rio ou anti-hora´rio?
10
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
O usual (mas na˜o obrigato´rio) e´ fazer a
abertura angular a partir do semieixo Ox+ e
tomar como sentido positivo a abertura em
sentido anti-hora´rio (portanto o sentido hora´rio
e´ negativo). Observe que o sentido positivo do
c´ırculo trigonome´trico e´ o sentido anti-hora´rio, en-
quanto que o sentido negativo e´ o sentido hora´rio.
IMPORTANTE!!
Cuidados com a medida angular: A especi-
ficac¸a˜o completa da medida angular envolve
a escolha do semieixo e o sentido em que a
abertura angular e´ realizada (hora´rio ou anti-
hora´rio).
1.9 Lei dos Cossenos
Para um triaˆngulo qualquer podemos escrever
a lei dos cossenos.
a2 = b2 + c2 − 2.b.c.cos(α)
Onde α e´ o aˆngulo oposto ao lado a.
Figura 7: Triaˆngulo para Lei dos Cossenos.
1.10 Lei dos Senos
O triaˆngulo ABC, onde CH e´ a altura relativa
ao lado AB. Como mostrado na Figura 8.
Figura 8: Triaˆngulo para Lei dos Senos.
No triaˆngulo ACH, temos que:
sen(α) = hb
h = sen(α). b (I)
No triaˆngulo BCH, temos que:
sen(β) = ha
h = sen(β) . a (II)
De (I) e (II), obtemos:
sen(α).b = sen(β) . a
Ou
a
sen α =
b
sen β
Assim, podemos concluir que:
a
sen α =
b
sen β =
c
sen γ
Equac¸a˜o essa conhecida como Lei dos senos ou
Teorema dos senos.
Principais pontos do cap´ıtulo:
• F´ısica e´ uma cieˆncia experimental.
• Massa, Comprimento e Tempo sa˜o as grande-
zas fundamentais da mecaˆnica. E suas unida-
des correspondentes no SI sa˜o: quilograma,
metro e segundo.
• Toda equac¸a˜o deve ter o dimensionamento
correto. A ana´lise dimensional e´ usada para
verificar equac¸o˜es matema´ticas quanto a con-
sisteˆncia das suas dimenso˜es.
• A conversa˜o de unidades e´ importante para o
estudo da f´ısica uma vez que qualquer gran-
deza f´ısica pode ser medida em diferentes uni-
dades.
• Toda medic¸a˜o envolve um certo grau de in-
certeza, que pode ser expresso explicitamente
ou na˜o.
• O c´ırculo trigonome´trico, ale´m de descre-
ver matematicamente o movimento circular,
descreve relac¸o˜es trigonome´tricas importan-
tes para a f´ısica, como o seno, cosseno e tan-
gente.
• Para a descric¸a˜o completa de uma medida an-
gular devem ser especificados a escolha do se-
mieixo e o sentindo em que a abertura angular
e´ realizada.
11
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
EXERCI´CIOS
1. A a´gua utilizada na casa de um s´ıtio e´ cap-
tada e bombeada do rio para uma caixa-
d’a´gua a 50m de distaˆncia. A casa esta´ a
80m de distaˆncia da caixa-d’a´gua e o aˆngulo
formado pelas direc¸o˜es caixa d’a´gua-bomba e
caixa d’a´gua-casa e´ de 60o. Pretende-se bom-
bear a´gua do mesmo ponto de captac¸a˜o ate´
a casa, quantos metros de encanamento sa˜o
necessa´rios?
2. A figura mostra o trecho de um rio onde se
deseja construir uma ponte AB. De um ponto
P, a 100m de B, mediu-se o aˆngulo dos pontos
APB = 45o e do ponto A, mediu-se o aˆngulo
PAB = 30o. Qual o comprimento da ponte?
12
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
2 ANA´LISE VETORIAL
BA´SICA
2.1 Objetivos de aprendizagem:
• Entender a diferenc¸a entre grandezas escala-
res e vetoriais;
• Somar e subtrair vetores graficamente;
• Aprender o que significam as componentes de
um vetor e utiliza´-las em ca´lculo de vetores;
• Aprender o que sa˜o vetores unita´rios, o que
os caracteriza e como aplica´-los;
• Utilizaras formas de multiplicac¸a˜o de vetores.
2.2 Diferenc¸as entre escalares e vetores
Algumas grandezas f´ısicas como o tempo, tem-
peratura, volume e massa podem ser descritas ape-
nas por um valor nume´rico acompanhado da(s)
unidade(s) de medida da(s) grandeza(s) f´ısica(s)
correspondente(s). Este tipo de grandeza e´ cha-
mado de grandeza escalar. Por exemplo: quando
algue´m te pergunta qual a massa de um dado
corpo e voceˆ diz que e´ de 2 kg, a informac¸a˜o esta´
completa. Se algue´m pergunta a hora e voceˆ res-
ponde que sa˜o 12 horas, a resposta esta´ completa
tambe´m. A maneira de somar essas grandezas e´
muito simples e em nada diferem da soma com
nu´meros como no´s estamos acostumados (ale´m do
fato de na˜o podermos esquecer a unidade de me-
dida da grandeza, e´ claro!). Mas ha´ grandezas
que precisam de mais informac¸a˜o. Ale´m do valor
nume´rico acompanhado da unidade de medida e´
necessa´ria, tambe´m, uma orientac¸a˜o espacial (uma
espe´cie de “para onde” aponta a grandeza). Mui-
tas grandezas f´ısicas sa˜o assim. Sa˜o chamadas
de grandezas vetoriais. O ente que representa
essas grandezas f´ısicas vetoriais e que pos-
sui tratamento matema´tico espec´ıfico e´ cha-
mado de vetor. Deslocamento, velocidade, ace-
lerac¸a˜o e forc¸as como o atrito, peso e normal sa˜o
exemplos de grandezas vetoriais.
2.3 Conceitos ba´sicos de vetores
A f´ısica lida com um grande nu´mero de gran-
dezas que possuem amplitude e uma orientac¸a˜o
espacial para serem corretamente representadas.
Tais grandezas se combinam segundo regras
bem definidas. Para entender essas grandezas e
as regras segundo as quais elas se combinam e´ ne-
cessa´rio compreender uma linguagem matema´tica
especial, a linguagem dos vetores! Essa linguagem
e´ muito utilizada por cientistas e por engenheiros
e, informalmente, ate´ mesmo em conversas do dia
a dia. Se voceˆ ja´ explicou a algue´m como chegar
a um enderec¸o usando expresso˜es como “Siga por
esta rua por cinco quarteiro˜es e depois dobre a` es-
querda”, enta˜o voceˆ usou a linguagem dos vetores.
Algue´m consegue imaginar o voo das aeronaves
sem uma determinac¸a˜o precisa de rotas ae´reas?
Rotas ae´reas tambe´m sa˜o informac¸o˜es vetoriais.
Saber caracterizar e manipular vetores e´ pre´-
requisito indispensa´vel para a formac¸a˜o de qual-
quer engenheiro ou profissional da a´rea de exatas.
IMPORTANTE!
Grandezas vetoriais necessitam de mais
informac¸a˜o do que grandezas escalares. Essas
informac¸o˜es sa˜o: direc¸a˜o, sentido e mo´dulo.
Grandezas vetoriais precisam de uma
orientac¸a˜o espacial.
Ale´m disso, conforme ja´ dissemos, grandezas
vetoriais se combinam (por soma e multiplicac¸a˜o)
segundo regras espec´ıficas e bem definidas, ou seja,
caso uma grandeza “tenha pinta” de vetor, mas
na˜o obedec¸a a essas regras, na˜o e´ vetor!
Saber trabalhar com vetor e´ saber especifica´-
lo, determina´-lo (compoˆ-lo ou decompoˆ-lo) e
combina´-lo com outros vetores (ou escalares) se-
guindo essas regras bem definidas. Acredite, voceˆ
vai precisar disso na sua vida profissional.
Todo vetor possui mo´dulo, direc¸a˜o e sentido.
A representac¸a˜o gra´fica de um vetor e´ dada por
um segmento de reta orientado (uma seta). O
tamanho do segmento de reta representa o mo´dulo
do vetor. A direc¸a˜o e o sentido da seta fornecem
a direc¸a˜o e o sentido do vetor. Podemos rotular
um vetor por uma letra com uma pequena seta
(para a direita) acima da mesma. Por exemplo, o
ro´tulo de um vetor que chamamos de A fica assim
representado: ~A
Outra opc¸a˜o e´ colocar a letra que designa o
vetor em negrito, pore´m faremos a opc¸a˜o pela pe-
quena seta acima da letra. Antes de saber “fazer
as contas” para valer com os vetores e´ u´til apren-
der a somar vetores graficamente. Ou seja, vamos
13
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
aprender a somar vetores por meio das suas repre-
sentac¸o˜es em forma de segmentos de reta orien-
tados (setas). As Figuras 9 e 10 mostram repre-
sentac¸o˜es de vetores paralelos e negativos respec-
tivamente.
Figura 9: Representac¸a˜o de vetores paralelos, ou
seja, vetores que apresentam o mesmo sentido e
direc¸a˜o, apresentando ou na˜o mesmo mo´dulo.
Figura 10: Representac¸a˜o de vetores negativos, ou
seja, vetores que apresentam o mesmo mo´dulo e
direc¸a˜o do vetor positivo dado e sentido contra´rio.
2.4 Soma e subtrac¸a˜o gra´fica de vetores
Suponha que uma part´ıcula sofra um desloca-
mento ~a e depois um deslocamento ~b, conforme
mostra a Figura 11. O que e´ o vetor ~a+~b? Fisica-
mente corresponde ao deslocamento total sofrido
pela part´ıcula. Visualmente falando, o vetor resul-
tante ~a+~b e´ o vetor que “fecha” o pol´ıgono, ou seja,
e´ o segmento de reta orientado que vai da origem
do vetor ~a ate´ a extremidade (“flecha”) do vetor ~b
conforme mostra a Figura 11. O pol´ıgono e´ feito
“arrastando” o vetor, sem mudar a direc¸a˜o deste
vetor, ate´ a extremidade do outro vetor (Este pro-
cesso segue sucessivamente se tivermos mais de
dois vetores ate´ incluir todos os vetores. Como
veremos, na˜o importa a ordem que voceˆ escolhe
para fazer o pol´ıgono). Uma propriedade funda-
mental da soma de dois vetores e´ que a ordem em
que os vetores sa˜o somados na˜o importa.
~a+~b = ~b+ ~a (1)
(Lei comutativa)
Podemos tambe´m soma´-los construindo um pa-
ralelogramo (lembramos que um paralelogramo e´
um quadrila´tero de lados opostos paralelos). Gra-
ficamente falando, esse “faz de um jeito”(~a + ~b)
Figura 11: Representac¸a˜o geome´trica de dois ve-
tores.
e “faz de outro jeito”(~b + ~a) dando a “mesma
coisa” (Equac¸a˜o 1) corresponde a um paralelo-
gramo. Convenc¸a-se disso antes de seguir adiante!
Figura 12: Representac¸a˜o de soma de dois vetores
pela regra do paralelogramo [1].
Quando existem mais de dois vetores podemos
agrupa´-los em qualquer ordem para soma´-los geo-
metricamente. Assim, se queremos somar os veto-
res ~a, ~b e ~c podemos primeiro somar ~a e ~b e depois
somar o resultado a ~c e tambe´m podemos somar
primeiro os vetores~b e ~c e depois somar o resultado
ao vetor ~a.
(~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c) (2)
(Lei associativa)
Quando dois vetores sa˜o perpendiculares entre
si, na Figura 13 podemos encontrar usando o teo-
rema de Pita´goras, o mo´dulo do vetor resultante.
| ~a+~b |=
√
| ~a |2 + | ~b |2 (3)
Exemplo 2.1: De acordo com os vetores da Figura
14, mostrar, num gra´fico em escala, um represen-
tante do vetor ~a−~b.
Estrate´gia de racioc´ınio: Primeiramente,
devemos escolher um eixo coordenado e indicar o
sentido positivo desse eixo, Figura 15.
14
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
Figura 13: Representac¸a˜o geome´trica de dois ve-
tores perpendiculares.
Figura 14: Exemplo 2.1.
Figura 15: Vetores ~a e ~b no plano cartesiano.
Podemos enxergar o vetor que se pede da se-
guinte forma: ~a + (−~b). Perceba que o sinal ne-
gativo implica na inversa˜o do vetor ~b em relac¸a˜o
ao eixo “x” positivo (ver Figura 10). Ou seja, na˜o
alteramos a direc¸a˜o do vetor, mas apenas o seu
sentido. Usando a regra do paralelogramo obte-
mos o vetor ~a − ~b conforme mostra a Figura 16.
Antes de prosseguirmos no assunto, sugerimos
que voceˆ resolva as questo˜es a seguir.
1. Considerando o plano xz, construa, grafica-
mente, os seguintes vetores: ~a = (2,−1), ~b =
(3, 2), ~c = (1, 5), ~d = (−1,−2) e ~e = (−2, 3).
Figura 16: Regra do paralelogramo.
2. Dados os vetores da Figura 15, mostrar, num
gra´fico em escala, um representante do vetor:
a) ~b− ~a b) −~b− ~a c) 2~a− 3~b
3. Dado os vetores ~a = (4, 1) e ~b = (2, 6), fac¸a
um esboc¸o gra´fico dos vetores: a) ~a+~b b)
2~a c) 2~a−~b
2.5 Componentes de vetores
Uma componente de um vetor e´ a projec¸a˜o
do vetor sobre um eixo. A afirmac¸a˜o so-
bre componentes nos permite fazer uma per-
gunta: Qual eixo? Perceba que precisamos
definir esse eixo! Bem, para projetar sobre
um eixo, precisamos definir um eixo coorde-nado, e esse e´ um dos passos para estabele-
cer um sistema de refereˆncia de eixos coor-
denados (chamamos simplesmente de sistema
de coordenadas). Precisamos de uma origem
para o sistema de coordenadas e precisamos
especificar qual e´ o sentido positivo de cada
eixo coordenado (lembre-se que para cada
direc¸a˜o ha´ dois sentidos). Os eixos se cruzam
formando um aˆngulo de 90o, logo, eles sa˜o
perpendiculares (sempre trabalharemos com
sistemas de eixos perpendiculares). No mo-
mento focaremos nossa discussa˜o em um sis-
tema de coordenadas fixo chamado de sistema
de coordenadas cartesiano (inicialmente para
o plano, ou seja, precisaremos de duas coor-
denadas).
Em um sistema cartesiano normalmente a
abscissa (horizontal) e´ o eixo x (coordenada
x) e a ordenada (vertical) e´ designada pelo
eixo y (coordenada y). Mas veja bem! Na˜o
e´ obrigato´rio que o eixo x seja horizontal e o
eixo y seja na vertical. Muitas vezes essa es-
colha (que e´ a usual) e´ u´til, mas na˜o e´ uma
regra geral. A escolha depende do problema
que voceˆ estiver analisando. Fac¸a a escolha
15
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
que simplifique a sua vida, ou seja, fac¸a esco-
lhas que tornem as contas mais fa´ceis!
Na figura 17, visualizamos o vetor ~a e sua
projec¸a˜o no eixo x e no eixo y. Vale res-
saltar que ax e ay sa˜o escalares que podem
ser positivos ou negativos (a depender da ori-
entac¸a˜o do vetor em relac¸a˜o a` orientac¸a˜o do
sistema de coordenadas escolhido).
Muito bem! Ja´ vimos que para projetar
um vetor precisamos escolher um sistema de
coordenadas para projetar o vetor sobre os
eixos em questa˜o. Para cada escolha de sis-
tema de coordenadas encontraremos um par
de componentes correspondente do vetor. Te-
mos ainda um ponto muito importante para
falar para voceˆ. Na˜o e´ qualquer projec¸a˜o
do vetor sobre o eixo que corresponde
a` componente do vetor em relac¸a˜o ao
eixo. Somente a projec¸a˜o ortogonal ao
eixo (ou seja, perpendicular ao eixo)
corresponde a` componente do vetor.
Isso e´ muito importante! Toda projec¸a˜o
corresponde a` relac¸o˜es entre triaˆngulos
retaˆngulos. Voceˆ deve estar lembrado que
as func¸o˜es trigonome´tricas seno e cosseno en-
volvem relac¸o˜es em um triangulo retaˆngulo.
E´ por isso que func¸o˜es seno e cosseno sem-
pre va˜o aparecer em problemas de projec¸a˜o
(recomendamos que voceˆ reveja as sec¸o˜es 1.7
e 1.8 do cap´ıtulo anterior).
Uma observac¸a˜o, prezado leitor. Es-
tabelecer corretamente um sistema
de coordenadas e´ fundamental para
estabelecer um referencial a partir do
qual vamos poder medir posic¸o˜es e
velocidades de um corpo. Na˜o temos
intenc¸a˜o que voceˆ aprenda tudo agora. O
estudo do referencial e´ algo muito sutil e
voltaremos a falar sobre isso nos contextos
de dinaˆmica e tambe´m no de cinema´tica.
IMPORTANTE!
So´ faz sentido falar em componentes de um
vetor uma vez que o sistema de coordenadas
em que o vetor sera´ decomposto ja´ tenha sido
escolhido de maneira expl´ıcita.
Figura 17: Representac¸a˜o de um vetor arbitra´rio
e sua projec¸a˜o sobre os eixos x e y.
Figura 18: Triaˆngulo formado pelo vetor principal
e suas componentes.
Com base no triaˆngulo da Figura 18, po-
demos encontrar as relac¸o˜es trigonome´tricas
da Equac¸a˜o 4.
Figura 19: Triaˆngulo para as relac¸o˜es trigo-
nome´tricas.
sen θ =
CO
H
cos θ =
CA
H
tg θ =
CO
CA
(4)
(Relac¸o˜es trigonome´tricas)
Deste modo, obtemos:
ax =| ~a | .cos θ e ay =| ~a | .sen θ (5)
16
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
Sendo θ o aˆngulo que o vetor ~a faz com
o semieixo x positivo e | ~a | e´ o modulo do
vetor.
Uma vez que um vetor tenha sido decom-
posto em relac¸a˜o a um conjunto de eixos, as
componentes podem ser usadas no lugar do
vetor, assim:
| ~a |=
√
ax2 + ay2 e tg θ =
ay
ax
(6)
Exemplo 2.2: Quais sa˜o as componentes
x e y do vetor ~a? Seja | ~a |= 5, 0m e o aˆngulo
θ = 30o.
Figura 20: Exemplo 2.2.
Estrate´gia de racioc´ınio: Usaremos
as relac¸o˜es trigonome´tricas com base nos
triaˆngulos retaˆngulos em questa˜o.
sen θ =
ay
| ~a |
cos θ =
ax
| ~a |
Portanto,
ax =| ~a | .cos θ e ay =| ~a | .sen θ
ax = 5.cos30
o = 4, 33m
ay = 5.sen30
o = 2, 5m
Exemplo 2.3: Quais sa˜o as componentes x
e y do vetor ~A? A Figura 21 mostra qual foi
a escolha adotada para os eixos x e y. Consi-
dere | ~a | = 8m e θ = 30o.
Figura 21: Exemplo 2.3.
Estrate´gia de racioc´ınio: Novamente,
lanc¸amos ma˜o das relac¸o˜es trigonome´tricas,
com base nos triaˆngulos retaˆngulos em
questa˜o, para encontrar as seguintes relac¸o˜es:
sen θ =
ax
| ~a |
cos θ =
ay
| ~a |
Portanto,
ax = 8.sen30
o = 4m
ay = 8.cos30
o = 6, 92m
Vamos exercitar mais um pouco o
conteu´do ate´ aqui aprendido. A ideia e´ que
voceˆ exercite a decomposic¸a˜o de vetores para
escolhas na˜o usuais de sistemas coordenados.
4. Quais sa˜o as componentes x e y do vetor ~a na
Figura 22? Seja | ~a |= 5, 0m e θ = 50o.
Figura 22: Exerc´ıcio 4.
5. Quais sa˜o as componentes x e y do vetor ~a
na Figura 23? Seu mo´dulo | ~a |= 6, 50m e o
aˆngulo θ = 45o.
17
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
Figura 23: Exerc´ıcio 5.
6. Quais sa˜o as componentes x e y do vetor ~a
na Figura 24? Seja | ~a |= 8, 0m e o aˆngulo
θ = 60o.
Figura 24: Exerc´ıcio 6.
7. Quais sa˜o as componentes x e y do vetor ~a
na Figura 25? Seu mo´dulo | ~a |= 9, 0m e o
aˆngulo θ = 120o.
Figura 25: Exerc´ıcio 7.
8. Um pequeno avia˜o decola do aeroporto de
Bele´m em um dia chuvoso e e´ avistado mais
tarde a 300 km de distaˆncia, em um curso que
faz um aˆngulo de 30o a partir de leste no sen-
tido anti-hora´rio. A que distaˆncia a leste e ao
norte do aeroporto esta´ o avia˜o no momento
em que e´ avistado?
9. a) Quais os sinais das componentes x de
~a, ~b e ~c na Figura 26? b) Quais sa˜o os sinais
das componentes y de ~a, ~b e ~c? c) Quais sa˜o
os sinais das componentes x e y de ~a+~b+~c?
Dados: | ~a |= 8N, | ~b |= 7N e | ~c |= 10N .
Figura 26: Exerc´ıcio 9.
Exemplo 2.4: Um vetor deslocamento d
possui um mo´dulo | ~d |= 175, 0m e uma in-
clinac¸a˜o de 50,0o, em relac¸a˜o ao eixo dos x
como mostrado na figura abaixo. Determine
as componentes x e y deste vetor.
Figura 27: Representac¸a˜o do vetor deslocamento
de suas componentes x e y.
Estrate´gia de racioc´ınio: De acordo
com o nosso conhecimento de trigonome-
tria ba´sica, podemos observar o triaˆngulo
retaˆngulo formado pelo vetor d e suas com-
ponentes x e y. Isto nos permite aplicar as
func¸o˜es trigonome´tricas seno e cosseno para
determinar as componentes em questa˜o.
Soluc¸a˜o: A componente y pode ser obtida
usando o aˆngulo de 50,0o e a seguinte relac¸a˜o:
sen θ =
y
| ~d |
y =| ~d | .sen θ = (175m)(sen50, 0o) = 134m
Seguindo o mesmo racioc´ınio, a compo-
nente x pode ser obtida da seguinte maneira:
cos θ =
x
| ~d |
x =| ~d | .cos θ = (175m)(cos50, 0o) = 112m
18
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
Outra forma de determinar as componen-
tes e´ por meio do aˆngulo α. Observe:
Sabemos que:
cosα =
y
| ~d |
Desse modo:
y =| ~d | .cosα = (175m)(cos40, 0o) = 134m
x =| ~d | .senα = (175m)(cos40, 0o) = 112m
O valor de 40,0o foi encontrado por meio
do conhecimento da soma de aˆngulos inter-
nos de um triaˆngulo que tem que ser igual a
180,0o.
2.6 Vetores unita´rios ou versores
Outro me´todo de expressar componentes
vetoriais consiste em usar vetores unita´rios.
Mas, para que usar vetores unita´rios? Ou
ainda, o que sa˜o vetores unita´rios? Para
que eles servem? Quais sa˜o as suas carac-
ter´ısticas? Um vetor unita´rio tambe´m conhe-
cido como versor e´ um vetor que possui um
mo´dulo unita´rio e e´ adimensional. Possui a
seguinte notac¸a˜o:
ıˆ e´ um vetor unita´rio adimensional de com-
primento 1 que aponta no sentido positivo do
eixo dos x.
ˆ e´ um vetor unita´rio adimensional de com-
primento 1 que aponta no sentidopositivo do
eixo dos y.
Ou seja, para cada coordenada temos um e
somente um versor associado. O versor serve
para indicar o sentido positivo da coordenada
a qual o versor esta´ associado. Lembre-se
disso, ok?
2.7 Soma de vetores a partir de
suas componentes
Uma forma de somar vetores e´ combinar
suas componentes eixo por eixo. Depois de
encontrar as componentes do vetor resultante
Figura 28: Representac¸a˜o do vetor ~a em duas di-
menso˜es, x e y.
temos as informac¸o˜es necessa´rias para deter-
minar o vetor resultante. Esse e´ um ponto
essencial ao se trabalhar com vetor. Faremos
um exemplo para dois vetores. Mas preste
atenc¸a˜o! Esse me´todo pode ser utilizado para
soma envolvendo uma quantidade qualquer
de vetores. Portanto, voceˆ estara´ aprendendo
um me´todo geral, muito u´til e importante
para a sua formac¸a˜o.
Considere os vetores ~a e ~b e suas respecti-
vas componentes ax, ay e bx, by.
Logo, podemos escrever os vetores em ter-
mos de seus versores da seguinte forma:
~a = axıˆ + ay ˆ
~b = bxıˆ + by ˆ
Os vetores ~a e ~b esta˜o sendo representados
na Figura 29.
Na˜o devemos esquecer que so´ podemos so-
mar vetores que estejam na mesma direc¸a˜o
ou eixo coordenado! (lembramos que se os
vetores estiverem em sentido contra´rio tera˜o
sinais contra´rios, necessariamente). No nosso
caso, analisando o eixo x notamos que, so-
bre o eixo, encontram-se as componentes ax e
bx pois ambas esta˜o orientadas pelo versor ıˆ!
Devemos extender o mesmo racioc´ınio para o
eixo y.
Portanto, temos:
~c = cxıˆ + cy ˆ = (ax + bx)ˆı + (ay + by )ˆ (7)
19
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
Figura 29: Representac¸a˜o dos vetores ~a e ~b forne-
cendo o vetor resultante ~c, a partir de suas com-
ponentes.
Exemplo 2.5: Um corredor se desloca 145
m numa direc¸a˜o nordeste, que faz 20o com a
direc¸a˜o norte tomado no sentido hora´rio (re-
presentado pelo vetor deslocamento ~a) e de-
pois 105 m em uma direc¸a˜o sudeste fazendo
35,0o com a direc¸a˜o leste tambe´m no sen-
tido hora´rio (representado pelo vetor deslo-
camento ~b). Determine o mo´dulo, a direc¸a˜o
e o sentido do vetor resultante para a soma
destes dois deslocamentos.
Figura 30: Representac¸a˜o dos vetores ~a e ~b soma-
dos fornecendo o vetor resultante ~c.
Estrate´gia de racioc´ınio: A Figura 30
nos mostra os vetores ~a e ~b. Suponhamos que
o eixo y positivo coincide com a direc¸a˜o norte
e o eixo x positivo com o sentido leste. O pri-
meiro passo e´ decompor cada um dos vetores
nos eixos escolhidos para compor o sistema
de coordenadas. Com isso achamos as com-
ponentes ax, bx e ay, by. Em seguida fazemos
a soma para determinar a resultante em cada
eixo. Tendo a resultante para cada eixo apli-
camos o teorema de Pita´goras para encontrar
o mo´dulo do vetor resultante. Para encontrar
a orientac¸a˜o espacial do vetor resultante (ou
seja, a direc¸a˜o e o sentido do vetor) faremos
uso das relac¸o˜es trigonome´tricas seno, cosseno
ou tangente (a depender em relac¸a˜o a quem
vamos querer especificar a direc¸a˜o do vetor e
se vamos querer usar a informac¸a˜o do mo´dulo
do vetor em si ou das suas componentes).
Soluc¸a˜o: Com as informac¸o˜es dadas na
figura, montamos a seguinte tabela:
Vetor Componente x Componente y
~a
ax = (145m)
.sen20o
= 49, 6m
ay = (145m)
.cos20o
= 136m
~b
bx = (105m)
.cos35o
= 86m
by = −(105m)
.sen35o
= −60, 2m
~c
cx = ax + bx
= 135, 6m
cy = ay + by
= 76m
Tabela 2: Componente de vetores.
A terceira linha da tabela fornece as com-
ponentes x e y do vetor resultante ~c : cx =
ax + bx e cy = ay + by . A figura seguinte
nos mostra o vetor resultante ~c e suas com-
ponentes vetoriais. E aplicando o teorema
de Pita´goras no triaˆngulo retaˆngulo fornecido
pela mesma, temos:
Figura 31: Representac¸a˜o de um vetor resultante
~c formando um triaˆngulo retaˆngulo com suas com-
ponentes.
Desse modo:
| ~c |=
√
cx2 + cy2 =
√
(135, 6m)2 + (76m)2
| ~c |= 155, 4m
20
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
Pergunta importante: em relac¸a˜o a
quem no´s vamos especificar a ori-
entac¸a˜o do vetor? Se usarmos uma
bu´ssola, normalmente e´ feito em relac¸a˜o a`
direc¸a˜o norte. Em relac¸a˜o ao sistema
cartesiano, normalmente a orientac¸a˜o e´
dada em relac¸a˜o ao semieixo x positivo
(mas na˜o obrigatoriamente). Portanto, em
relac¸a˜o a essa escolha, o aˆngulo θ que ~c faz
com o eixo x e´:
θ = tg−1
(
cy
cx
)
= tg−1
(
76m
135, 6m
)
= 29, 3o
a partir de x (+) no sentindo antihora´rio.
Lembre-se! Para encontrar o valor da com-
ponente do vetor resultante voceˆ deve somar
a contribuic¸a˜o de todos os vetores. As compo-
nentes podem ser positivas ou negativas. Se a
projec¸a˜o de um dado vetor sobre um eixo ti-
ver orientac¸a˜o contra´ria a que foi estabelecida
como positiva ela entrara´ com sinal negativo
na soma.
Sugerimos neste momento que voceˆ, leitor,
fac¸a as questo˜es a seguir:
10. Dados os vetores ~a = 2ˆı + 3ˆ, ~b = ıˆ+ˆ e ~c =
−4ˆı + 2ˆ. Calcule:
a) ~a+~b b) ~a+ ~c c) ~a−~b
11. Com base nos vetores da 10a questa˜o, calcule:
a) 2~a−~b b) ~b+ ~c c) ~a+~b+ ~c
12. Esboce, no gra´fico xy, os vetores da questa˜o
10.
13. Esboce, no gra´fico xy, os vetores da questa˜o
11.
2.8 Multiplicac¸a˜o de vetores
No in´ıcio do cap´ıtulo dissemos que vetores
se combinam segundo regras bem definidas de
soma e multiplicac¸a˜o. Ja´ vimos as relac¸o˜es
de soma. Fica enta˜o a pergunta: Como ve-
tores se combinam segundo regras de
multiplicac¸a˜o? Multiplicar um vetor por
um escalar e´ fa´cil. Significa que estamos alte-
rando o mo´dulo (intensidade) do vetor sem
mudar a direc¸a˜o do mesmo. Temos ainda
duas formas de multiplicar vetores entre si.
Ambas sa˜o u´teis e muito importantes. Veja-
mos!
2.9 Multiplicac¸a˜o de um vetor por
escalar
Podemos multiplicar um vetor arbitra´rio ~a
por um escalar (nu´mero) w. Dessa operac¸a˜o
obtemos um vetor resultante ~r com as seguin-
tes caracter´ısticas:
~r = ~a.w (8)
| ~r |=| ~a | .w (9)
• O mo´dulo do vetor resultante e´ o mo´dulo
que resulta da multiplicac¸a˜o do mo´dulo
de ~a vezes w.
• A direc¸a˜o do novo vetor e´ a mesma.
• O sentido de ~r e´ o mesmo de ~a se w for
positivo e sentido oposto se w for nega-
tivo.
• A dimensa˜o do vetor ~r e´ igual a di-
mensa˜o do vetor ~a multiplicada pela di-
mensa˜o do escalar w.
2.10 Multiplicac¸a˜o de um vetor por
um vetor
Existem duas formas de multiplicar um ve-
tor por um vetor: uma forma conhecida como
produto escalar que resulta em um escalar, a
outra conhecida como produto vetorial que
resulta em um vetor.
2.10.1 Produto escalar
A multiplicac¸a˜o de um vetor por outro ve-
tor resultando em um escalar e´ denominada
produto escalar. Dados dois vetores ~a e ~b, o
produto escalar e´ escrito como ~a.~b e definido
pela equac¸a˜o:
~a.~b =| ~a | . | ~b | .cos θ (10)
Vemos, portanto, que o produto escalar
entre dois vetores depende dos mo´dulos dos
vetores, mas tambe´m depende da angulac¸a˜o
entre dois vetores (e a dependeˆncia e´ com a
func¸a˜o cosseno. Lembre-se disso!). Isso quer
dizer que o produto escalar entre dois veto-
res de mo´dulo muito grande pode ser zero, a
depender da angulac¸a˜o entre eles.
21
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
Figura 32: Representac¸a˜o da multiplicac¸a˜o de um
vetor por um escalar.
Baseado nisso responda: Qual aˆngulo en-
tre os vetores faz com o que o produto escalar
deˆ zero, independente dos mo´dulos dos veto-
res? Observe a Figura 32.
Repare que | ~a | .cos θ corresponde exa-
tamente a` projec¸a˜o do vetor ~a sobre o vetor
~b. E´ exatamente disso que se trata o produto
escalar!
Podemos escrever a equac¸a˜o que define o
produto escalar separando as componentes da
seguinte forma:
~a.~b = (| ~a | .cos θ). | ~b |= (cos θ. | ~b |). | ~a |
Vemos, portanto que a propriedade comu-
tativa se aplica ao produto escalar. Dessemodo,
~a.~b = ~b.~a
Em treˆs dimenso˜es (x, y, z ) o produto es-
calar dos vetores ~a e ~b, escritos em termos de
seus vetores unita´rios, assume a forma:
~a.~b = (axˆı +ay ˆ+azkˆ).(bxˆı +by ˆ+bzkˆ) (11)
Aplicaremos a propriedade distributiva na
Equac¸a˜o 11. Na˜o e´ surpresa para ningue´m
que as direc¸o˜es x, y, z sa˜o ortogonais entre
si. Portanto os versores relacionados a es-
sas direc¸o˜es sa˜o ortogonais entre si. Sabendo
que os versores possuem mo´dulo unita´rio e
utilizando a expressa˜o (10) que define o pro-
duto escalar demonstre que ıˆ .ˆı=ˆ .ˆ=kˆ .kˆ = 1
e ıˆ .ˆ=ˆ.kˆ =kˆ .ˆı= 0 Usando essas informac¸o˜es
no produto da expressa˜o (11), obtemos:
~a.~b = ax.bx + ay.by + az.bz (12)
IMPORTANTE!
Se o aˆngulo θ entre dois vetores e´ 0o, a
componente de um vetor em relac¸a˜o ao outro e´
ma´xima. Se o aˆngulo e´ 90o, a componente de
um vetor em relac¸a˜o ao outro e´ nula.
Exemplo 2.6: Qual e´ o aˆngulo θ entre ~a =
3, 0ˆı − 4, 0ˆ e ~b = −2, 0ˆı + 3, 0kˆ?
Estrate´gia de racioc´ınio: Sabemos que
o aˆngulo entre dois vetores aparece na de-
finic¸a˜o de produto de escalar (Equac¸a˜o 10).
Soluc¸a˜o: Sabemos que | ~a | e´ o mo´dulo
do vetor ~a, dado por:
| ~a |=
√
(3, 0)2 + (−4)2 = 5, 0
E que | ~b | e´ o mo´dulo do vetor ~b dado por:
| ~b |=
√
(−2)2 + (3, 0)2 = 3, 61
Podemos calcular o produto escalar es-
crevendo os vetores em termos dos vetores
unita´rios e aplicando a propriedade distribu-
tiva:
~a.~b = (3, 0ˆı − 4, 0ˆ).(−2, 0ˆı + 3, 0kˆ)
~a.~b = (3, 0ˆı).(−2, 0ˆı) + (3, 0ˆı).(+3, 0kˆ) +
(−4, 0ˆ).(−2, 0ˆı) + (−4, 0ˆ).(+3, 0kˆ)
De acordo com o produto escalar
Logo, ~a.~b = −6, 0.
Substituindo todos os resultados encontra-
dos na equac¸a˜o do produto escalar, obtemos,
−6, 0 = (5, 0).(3, 61).cos θ
θ = cos−1
[ −6, 0
(5, 0).(3, 61)
]
= 109o
22
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
Chegou o momento! Vamos exercitar o
conteu´do ate´ aqui aprendido.
14. Calcular o aˆngulo entre os vetores ~a = (1, 1, 4)
e ~b = (–1, 2, 2).
15. Dados os vetores ~a = 3ˆı + 2ˆ, ~b = 2ˆı + ˆ e
~c = −4ˆı + 2ˆ. Calcule o produto escalar:
a) ~a.~b, b) ~a.~c e c) ~b.~c
16. Com base na questa˜o 15, calcule o produto
escalar:
a) (~a+~b).~a, b) (~a+~b).~b e c) (~a+~b).~c
2.10.2 Produto vetorial
A multiplicac¸a˜o de um vetor por outro ve-
tor resultando em um terceiro vetor e´ deno-
minada produto vetorial. Dados dois vetores
~a e ~b, o produto vetorial e´ escrito como ~a×~b.
O mo´dulo do vetor ~c obtido pelo produto ve-
torial entre os vetores ~a e ~b e´ dado por
| ~c |=| ~a | . | ~b | .sen θ (13)
Sendo θ o menor aˆngulo formado en-
tre os vetores dados, uma vez que sen θ e
sen(360o–θ) apresentam sinais opostos. O
produto ~a×~b e´ lido como “ ~a vetor ~b”.
A direc¸a˜o do vetor resultante ~c e´ perpen-
dicular ao plano definido por ~a e ~b. O seu
sentido pode ser determinado pela Regra da
Ma˜o Direita. Superponha as origens de ~a
e ~b sem mudar suas orientac¸o˜es. Ja´ falamos
que a direc¸a˜o do vetor resultante ~c e´ perpen-
dicular ao plano definido por ~a e ~b. A receita
para determinar o sentido de ~c e´ a seguinte.
Va´ de ~a para ~b pelo menor percurso angular
entre os dois vetores. Quatro dedos da sua
ma˜o direita fazem o menor percurso angular
de ~a para ~b e o dedo polegar estendido indica
o sentido do vetor resultante. Se fizermos o
mesmo percurso angular, mas agora de ~b para
~a, o sentido do vetor resultante indicado pelo
dedo polegar extendido e´ invertido conforme
indicado na Figura 33 como a regra da ma˜o
direita nos fornece de forma clara sobre as ca-
racter´ısticas do produto vetorial.
Isso traz uma importante consequeˆncia.
Observamos que o produto vetorial entre ve-
tores na˜o e´ comutativo, ou seja, ~a×~b 6= ~b×~a.
Figura 33: Regra da ma˜o direita.
Por isso que o sentido do vetor resultante e´
invertido quando invertemos a ordem do pro-
duto (o mo´dulo do vetor resultante e´ o mesmo
para os dois casos). Portanto, ~a×~b = −~b×~a.
Vamos enta˜o resumir a toda a informac¸a˜o do
produto vetorial entre vetores numa tabela a
seguir.
Para finalizar! Vamos exercitar o
conteu´do ate´ aqui aprendido.
17. Dados os vetores ~a = 2ˆı − ˆ, ~b = ıˆ + ˆ + kˆ e
~c = −2ˆı + kˆ , determine as expresso˜es:
a) ~a×~b, b) ~c×~b, c) ~a× (~b×~c) e d) (~a×~b)×~c
Principais pontos do cap´ıtulo:
• Grandezas vetoriais, diferentemente das
grandezas escalares que precisam apenas
de um mo´dulo para serem descritas, pre-
cisam de uma orientac¸a˜o espacial.
• Grandezas vetoriais se combinam
usando regras de soma vetorial.
• Soma vetorial tambe´m pode ser feita
usando componentes de vetores.
23
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
PRODUTO VETORIAL ~c = ~a×~b
MO´DULO
| ~c |=| ~a | . | ~b | .sen θ (func¸a˜o dos
mo´dulos dos vetores ~a e
~b e do aˆngulo entre eles)
DIREC¸A˜O
Perpendicular ao plano
formado pelos vetores ~a e ~b
SENTIDO
Convencionado pela regra da
ma˜o direita. Quatro dedos
va˜o de ~a para ~b, pelo menor
percurso angular e o dedo
polegar indica o sentido do
vetor resultante.
Tabela 3: Propriedades do vetor ~c = ~a×~b
IMPORTANTE!
Se ~a e ~b sa˜o paralelos ou antiparalelos,
~a×~b = 0. E o mo´dulo de ~a×~b e´ ma´ximo
quando ~a e ~b sa˜o perpendiculares.
• A decomposic¸a˜o de vetores e´ feita
utilizando as func¸o˜es trigonome´tricas
ba´sicas.
• Um vetor unita´rio tem mo´dulo igual a
1, e´ adimensional e tem a func¸a˜o de des-
crever uma direc¸a˜o no espac¸o.
• O produto escalar entre dois vetores e´
uma grandeza escalar. Enquanto que o
produto vetorial e´ uma grandeza veto-
rial orientada sempre perpendicular ao
plano formado pelos vetores multiplica-
dos e com sentido definido pela regra da
ma˜o direita.
EXERCI´CIOS
1. Determine (a) a soma de ~a + ~b, em termos
de vetores unita´rios para ~a = 4ˆı + 3ˆ e ~b =
−13ˆı + 7ˆ. Determine (b) o mo´dulo e (c) a
orientac¸a˜o de ~a+~b.
2. Um vetor pode ter mo´dulo igual a zero se uma
de suas componentes for diferente de zero?
3. E´ poss´ıvel que a soma dos mo´dulos de dois
vetores seja sempre igual a` soma destes dois
vetores?
4. Voceˆ pode ordenar os acontecimentos no
tempo. Por exemplo, o evento b pode pro-
ceder ao evento c, pore´m seguir o evento a,
dando a ordenac¸a˜o temporal do evento a, b e
c. Consequentemente, existe um sentido para
o tempo, distinguindo o passado, o presente
e o futuro. Sera´ que o tempo, enta˜o, e´ uma
grandeza vetorial? Se na˜o, por queˆ?
5. O produto escalar pode ser uma quantidade
negativa? Justifique.
6. a) Sendo ~a.~b = 0, podemos concluir da´ı que
os vetores sa˜o perpendiculares entre si? b) Se
~a.~b = ~a.~c, segue-se da´ı que ~b = ~c?
7. Se ~a×~b = 0, ~a e ~b devem ser paralelos entre
si? O inverso e´ verdadeiro?
8. Considere dois deslocamentos, um igual a 3
m e um outro de mo´dulo igual a 4 m. Mos-
tre como os vetores deslocamento podem ser
combinados de modo a fornecer um desloca-
mento resultante de mo´dulo igual a:
a) 7 m; b) 1 m; c) 5 m.
9. Uma mulher caminha 250 m na direc¸a˜o de
30o a nordeste em relac¸a˜o a norte no sentido
hora´rio e em seguida 175 m diretamente para
leste. a) Utilizando me´todos gra´ficos, deter-
mine o deslocamento resultante. b) Compare
o mo´dulo do deslocamento com a distaˆncia
que ela caminhou.
10. Uma pessoa caminha do seguinte modo: 3,1
km para o norte, depois 2,4 km para oeste e,
finalmente, 5,2 km para o sul. a) Construa o
diagrama vetorial que representa este movi-
mento. b) Que distaˆncia um pa´ssaro deveria
voar, em linha reta, em que direc¸a˜o, de modo
a chegar ao mesmo ponto final?
11. Quais sa˜o os componentes de um vetor ~a lo-
calizado no plano xy, se sua direc¸a˜o faz um
aˆngulo de 205o com o eixo x positivo e o seu
mo´dulo e´ igual a 7,3 unidades?
12. Um vetor deslocamento ~r no plano xy tem um
comprimento igual a 15 m e faz um aˆngulo
de 15o com o eixo x positivo. Determineos
componentes x e y deste vetor.
13. Determine, utilizando os vetores unita´rios, a)
a soma dos dois vetores ~a = 4ˆı + 3ˆ e ~b =
−3ˆı + 4ˆ. B) Quais sa˜o o mo´dulo e a direc¸a˜o
do vetor ~a e ~b?
24
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
14. No sistema de coordenadas da figura abaixo,
mosque que:
ıˆ.ˆı=ˆ.ˆ=kˆ .kˆ = 1 e ıˆ.ˆ=ˆ.kˆ=kˆ .ˆı=0
15. Um vetor ~a de mo´dulo igual a 10 unidades e
outro vetor ~b de mo´dulo igual a 6 unidades
apontam para direc¸o˜es que fazem um aˆngulo
de 60o entre si. a) Determine o produto esca-
lar entre os dois vetores e b) o produto veto-
rial ~a×~b.
16. A soma de treˆs vetores e´ igual a zero, como
nos mostra a figura abaixo. Calcule o mo´dulo
de:
a) ~a×~b; b) ~a× ~c; c) ~b× ~c.
17. Sejam dois vetores representados em termos
de suas coordenadas como:
~a = axıˆ + ay ˆ + az kˆ e ~b = bxıˆ + by ˆ + bz kˆ
Mostre que: ~a.~b = axbx + ayby + azbz
18. Uma forc¸a de ~F1, de mo´dulo igual a 2 N forma
um aˆngulo de 30o com o eixo Ox.Uma forc¸a
~F2, de mo´dulo igual a 6 N forma um aˆngulo de
80o com o eixo Ox. Calcule: (a) o mo´dulo |~Fr|
da forc¸a resultante ~Fr; (b) o aˆngulo formado
entre a resultante e o eixo Ox.
19. Um vetor ~a forma um aˆngulo θ = 60 com um
vetor ~b. Sabendo que | ~a |= 3 e | ~b |= 4, cal-
cule o mo´dulo do vetor resultante ~r (unidades
de forc¸a em Newton).
20. Um vetor ~F forma um aˆngulo θ = 30o com
um vetor ~G. Sabendo que | ~F |= 5 e | ~G |= 8,
calcule: (a) o mo´dulo da resultante ~R; (b) o
aˆngulo formado entre a resultante e o vetor
~F .
PROBLEMAS ADICIONAIS
21. Uma ciclovia circular possui raio igual a 500
m. a) Qual a distaˆncia percorrida por uma
ciclista que percorre a pista da extremidade
norte para a extremidade sul? b) Qual o
mo´dulo do deslocamento feito pela ciclista da
extremidade norte para a extremidade sul?
c) Qual o mo´dulo do deslocamento feito pela
ciclista ao executar uma volta completa na
ciclovia?
22. Os controladores de tra´fego ae´reo fornecem
instruc¸o˜es para os pilotos informando em que
direc¸a˜o e sentido eles devem voar. Essas ins-
truc¸o˜es sa˜o chamadas de “vetores”. Se es-
tas forem as u´nicas informac¸o˜es dadas aos pi-
lotos, o nome de “vetor”esta´ sendo ou na˜o
usado corretamente? Explique por que sim
ou por que na˜o.
23. Um engenheiro civil desorientado em uma
grande obra dirige 3,25 km para o norte, de-
pois 4,75 km para o oeste, por seguinte 1,50
km para o sul e por fim 2,50 km para o leste.
Determine o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido do
deslocamento resultante feito pelo engenheiro
civil em sua obra.
24. Um explorador polar foi surpreendido por
uma nevasca, que reduziu a visibilidade a pra-
ticamente zero, quando retornava ao acampa-
mento. Para chegar ao acampamento, deve-
ria ter caminhado 5,6 km para o norte, em
seguida 3,4 km na direc¸a˜o 30o a nordeste me-
dido do norte e por fim 2,3 km fazendo um
aˆngulo de 85o em relac¸a˜o a oeste no sentido
anti-hora´rio. Quantos quiloˆmetros e em que
direc¸a˜o o explorador devera´ seguir em linha
reta para chegar ao acampamento?
25. Uma pesquisadora esta´ indo fazer uma pes-
quisa em uma caverna e para isso ela deve
percorrer 180 m para oeste, depois 210 m fa-
zendo um aˆngulo de 45o em relac¸a˜o a oeste no
sentido hora´rio e por fim 280 m fazendo um
25
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
aˆngulo de 30o em relac¸a˜o a leste no sentido
anti-hora´rio. Depois um quarto deslocamento
na˜o medido, ela retorna ao ponto de partida,
pois esqueceu seu material de pesquisa. De-
termine o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido desse
quarto deslocamento.
26. Determine a soma de ~a+~b em termos de ve-
tores unita´rios para ~a = (4, 0m)ˆı + (3, 0m)ˆ e
~b = (−13, 0m)ˆı + (4, 0m)ˆ juntamente com o
seu mo´dulo e a orientac¸a˜o de ~a+~b relativa a
ˆ. Obs.: O s´ımbolo m e´ expresso nos vetores
e´ pra denotar que esses possuem dimensa˜o de
comprimento.
27. O mo´dulo do vetor ~a e´ 6,00 unidades, o
mo´dulo do vetor ~b e´ 7,00 unidades e ~a.~b = 14.
Qual o aˆngulo entre ~a e ~b?
26
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
3 LEIS DE NEWTON
3.1 Objetivos de aprendizagem:
• Entender a diferenc¸a entre referenciais inerci-
ais e na˜o inerciais.
• Aprender o significado de forc¸a resultante e
forc¸a resultante nula.
• Aprender como relacionar forc¸a resultante,
massa e acelerac¸a˜o de um corpo.
• Identificar as forc¸as decorrentes da interac¸a˜o
entre dois corpos.
3.2 Introduc¸a˜o
Uma pergunta interessante para iniciar este
to´pico seria: O que e´ mecaˆnica do ponto de vista
da F´ısica? Podemos dizer que a mecaˆnica e´ uma
a´rea da f´ısica que trata as questo˜es de movimento
dos corpos levando em conta, de uma maneira ge-
ral, as causas do movimento. Nesse sentido, a
mecaˆnica inclui a cinema´tica e a dinaˆmica. A
mecaˆnica estuda tambe´m situac¸o˜es de equil´ıbrio
dos corpos (esta´tico e dinaˆmico) e, portanto, po-
demos dizer que a esta´tica tambe´m esta´ compreen-
dida nessa importante a´rea da f´ısica. Acrescenta-
se tambe´m que se o corpo ou sistema f´ısico se mo-
vimenta de maneira acelerada, a descric¸a˜o desse
tipo de movimento tambe´m e´ objeto de estudo
da mecaˆnica. Uma outra maneira de descrever a
mecaˆnica e´ por meio da influeˆncia que corpos exer-
cem nas interac¸o˜es entre si via forc¸as (sejam forc¸as
de contato ou de qualquer outra natureza). Vemos
que na˜o temos pouca coisa pela frente: Interac¸o˜es
entre corpos; estudos de situac¸o˜es de equil´ıbrio e
de movimento acelerado, entre outras tantas coi-
sas. Do ponto de vista de formac¸a˜o profissional, a
mecaˆnica e´ imprescind´ıvel para o engenheiro, qual-
quer que seja a sua a´rea. Do ponto de vista de per-
cepc¸a˜o e entendimento do mundo ao nosso redor e´
ta˜o importante quanto o aspecto formativo. Con-
vidamos enta˜o voceˆ para ir adiante ao fascinante
estudo da mecaˆnica!
Neste contexto, estudaremos a Dinaˆmica: que
e´ a parte da Mecaˆnica que estuda os movimen-
tos e as causas que os produzem ou os modificam.
Costumamos construir o arcabouc¸o da mecaˆnica
a partir do enunciado das Leis de Newton. As
Leis de Newton formam um conjunto consistente
para descrever uma imensa variedade de situac¸o˜es
e fenoˆmenos que vemos ao nosso redor. E´ nosso de-
ver entender ao ma´ximo o que significa cada uma
dessas leis. E´ tambe´m muito importante entender
as relac¸o˜es que cada uma das leis possui entre si,
ou seja, na˜o devemos apenas pensar em cada uma
das leis separadamente. Antes disso, vamos olhar
rapidamente a questa˜o do referencial voltada para
o estudo da dinaˆmica.
3.3 Referencial do ponto de vista da
dinaˆmica
Conforme veremos, ao falar sobre Leis de New-
ton precisaremos saber em que referenciais tais leis
sa˜o va´lidas (tais como a conhecemos) e em que re-
ferenciais na˜o sa˜o va´lidas. No caso da 1a Lei fa-
laremos tambe´m sobre estado de repouso de um
corpo.
Todas essas questo˜es fazem necessa´ria uma pe-
quena discussa˜o sobre o conceito de referencial.
Vamos trazer algumas situac¸o˜es do cotidiano para
discutir sobre esse conceito.
Imagine que voceˆ esta´ no banco de tra´s de
um carro a 40 Km/h. Para o motorista, voceˆ
esta´ parado, com velocidade igual a 0 km/h. Ja´
para algue´m que te observa da calc¸ada, voceˆ esta´
se locomovendo a 40 Km/h. Quem esta´ errado
nessa discussa˜o? Resposta: Ningue´m! As ana´lises,
tanto do ponto de vista de um referencial (o mo-
torista) quanto do outro referencial (o observador
na calc¸ada) sa˜o va´lidas. Portanto, desta simples
discussa˜o podemos tirar algumas concluso˜es im-
portantes: 1- Repouso (auseˆncia de movimento)
e´ algo relativo (repouso em relac¸a˜o a quem?).
Depende do referencial adotado! 2 – Velocidade
tambe´m e´ um conceito referente a algum referen-
cial’ (velocidade em relac¸a˜o a quem?). Em relac¸a˜o
ao estado de repouso, algue´m pode tentar argu-
mentar que um referencial fixo em relac¸a˜o a` su-
perf´ıcie da Terra (uma a´rvore, por exemplo)esta´
absolutamente em repouso. Mas se levarmos em
conta que a Terra tambe´m esta´ em movimento,
como fica essa “certeza”? Bem, do que ja´ sabe-
mos pelos avanc¸os da F´ısica e da Astronomia, ao
contra´rio do que se cogitava na antiguidade, na˜o
existe movimento absoluto e nem repouso abso-
luto. Temos que prestar atenc¸a˜o no referencial
que estamos adotando para fazer a ana´lise do mo-
vimento. O estudo do referencial reserva ainda
algumas surpresas. Veremos que nem todos os re-
ferenciais sa˜o equivalentes, e entender esse ponto e´
muito importante para a correta compreensa˜o das
Leis de Newton.
27
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
Mais um exemplo (na verdade estamos re-
alizando experieˆncias de pensamento1!). Imagi-
nemos agora que nos encontramos num elevador
movendo-se para baixo num movimento retil´ıneo
com velocidade constante. Se o observador que
se encontra dentro dele deixar cair um objeto, ele
caira´ normalmente por ac¸a˜o da forc¸a de gravidade
normal. Imaginemos agoraque num dado instante
ha´ um problema com o cabo e o elevador entra em
queda livre. Se o observador largar agora o mesmo
objeto ele na˜o caira´ (em relac¸a˜o ao observador que
tambe´m esta´ caindo aceleradamente).
No primeiro caso (elevador que desce com ve-
locidade constante) podemos tomar o observador
como sendo um referencial inercial. Na outra
situac¸a˜o (cabo arrebentado) o “pobre” observador
que esta´ no elevador na˜o pode mais ser tomado
como um referencial inercial. E´, portanto, um
referencial na˜o-inercial. Aqui avisamos ao leitor
que o estudo de referencial e´ algo bem sutil e
procuraremos ser ta˜o “light” quanto poss´ıvel, mas
sem perder de vista que referencial inercial e
referencial na˜o inercial do ponto de vista f´ısico
e matema´tico sa˜o na˜o equivalentes, portanto na˜o
devem ser confundidos2. Vamos colocar a questa˜o
de duas maneiras simples e complementares. A
primeira e´ que um referencial que esta´ sofrendo
uma acelerac¸a˜o e´ na˜o inercial. A outra e´ a
seguinte. So´ e´ va´lida a aplicac¸a˜o direta das leis de
Newton em referenciais inerciais. Se um observa-
dor esta´ em um referencial acelerado ele sentira´ o
efeito de forc¸a(s) que ele na˜o conseguira´ descrever
no pro´prio referencial. O efeito dessa(s) forc¸a(s) e´
ta˜o real quanto qualquer outra. Na˜o duvide disso,
prezado leitor! (quem nunca foi “espremido” con-
tra a parede de um oˆnibus fazendo uma curva?).
O ponto e´ que nosso corpo “sabe” quando
estamos submetidos a acelerac¸o˜es aprecia´veis
1Experieˆncias de pensamento sa˜o recursos utilizados por
grandes f´ısicos, tais como Galileu Galilei e Albert Einstein.
Em tais experieˆncias o arcabouc¸o teo´rico e´ utilizado e as
consequeˆncias podem ser deduzidas sem custos e sem riscos
para ningue´m. Na˜o substitui a experieˆncia de fato, mas
nem por isso deixam de ser interessantes.
2Apenas para o leitor saber. A Terra por conta dos mo-
vimentos que executa em seu “passeio” pelo espac¸o sideral
sofre efeito de acelerac¸o˜es. Ou seja, “para valer, para valer
mesmo”, a Terra na˜o e´ um referencial inercial. Como es-
sas acelerac¸o˜es sa˜o muito pequenas quando comparadas a`
acelerac¸a˜o da gravidade, no´s consideramos apenas de ma-
neira aproximada a Terra como sendo um referencial iner-
cial. Isso quer dizer que numa grande variedade de ex-
perimentos de mecaˆnica que realizamos em laborato´rio os
resultados na˜o sa˜o afetados apreciavelmente por conta dos
movimentos acelerados que o nosso planeta sofre.
(compara´veis a` acelerac¸a˜o da gravidade ou
maiores). Mas o observador na˜o conseguira´
descrever essa(s) forc¸a(s) do ponto de vista do
pro´prio referencial. Por esse motivo essa forc¸a(s)
e´(sa˜o) chamada(s) de forc¸a(s) fict´ıcia(s). O que o
leitor precisa mesmo ter em mente e´ o seguinte:
IMPORTANTE!
1- Um referencial inercial na˜o esta´ acelerado.
2- A aplicac¸a˜o e entendimento das leis de New-
ton conforme estudaremos nesse material sa˜o
va´lidos para referenciais inerciais.
3.4 Primeira lei de Newton (Princ´ıpio
da Ine´rcia)
A primeira lei de Newton afirma que se a
forc¸a resultante, atuante sobre um corpo e´ nula,
enta˜o o corpo que estiver em repouso, permanecera´
em repouso ou se estiver em movimento com
velocidade constante, ele continuara´ nesse mesmo
movimento.. Em outras palavras, essa proprie-
dade da mate´ria de resistir a qualquer variac¸a˜o
em sua velocidade recebe o nome de ine´rcia. Essa
propriedade e´ diretamente proporcional a` massa
do corpo.
Figura 34: Quanto mais lisa a superf´ıcie, mais
longe um disco desliza apo´s tomar uma velocidade
inicial.Se ele se move em um colcha˜o de ar sobre
a mesa (c) a forc¸a de atrito e´ praticamente zero,
de modo que o disco continua a deslizar com ve-
locidade quase constante (YOUNG. H. D; FRE-
EDMAN. F´ısica 1-Sears & Zemansky. Mecaˆnica.
12a. Edic¸a˜o. Ed. Pearson)
A 1a Lei de Newton pode ser ilustrada com
algumas experieˆncias de pensamento (ok, podem
ser ilustradas na pra´tica tambe´m!). Quem ja´ an-
dou de carro, oˆnibus ou avia˜o sabe que quando o
meio de transporte viaja com velocidade estabili-
zada em linha reta tudo se passa como se o mesmo
28
PCNA-FI´SICA ELEMENTAR
estivesse parado. Mas tudo muda quando o meio
de transporte sofre uma variac¸a˜o de direc¸a˜o ou no
mo´dulo da velocidade.
3.5 Relac¸a˜o vetorial entre velocidade e
acelerac¸a˜o
Na˜o sa˜o poucos alunos que confundem concei-
tualmente e operacionalmente dois conceitos veto-
riais muito importantes para a dinaˆmica: veloci-
dade e acelerac¸a˜o.
Sa˜o conceitos que esta˜o relacionados, mas sa˜o
distintos. E´ fundamental que o leitor tenha em
mente o seguinte. Velocidade e´ um vetor, e qual-
quer variac¸a˜o nesse vetor (velocidade) corresponde
a uma acelerac¸a˜o. Sem excec¸a˜o! Mas o que isso
quer dizer? Sejamos ainda mais expl´ıcitos.
1. Situac¸a˜o em linha reta. Pense num carro ace-
lerando ou frenando (qualquer coisa que al-
tere o mo´dulo da velocidade). Nesse caso a
acelerac¸a˜o e´ facilmente visualiza´vel pela mai-
oria dos alunos. Nesse caso, temos uma ace-
lerac¸a˜o associada a uma variac¸a˜o do mo´dulo
da velocidade e que possui a mesma direc¸a˜o
do vetor velocidade.
2. Situac¸a˜o de curva realizada com veloci-
dade escalar constante (curva realizada com
pressa˜o constante no acelerador, resultando
em leitura constante no veloc´ımetro). Nesse
caso temos acelerac¸a˜o associada a` variac¸a˜o de
direc¸a˜o do vetor velocidade. Essa acelerac¸a˜o
e´ perpendicular ao vetor velocidade (veremos
mais a respeito no estudo do movimento cir-
cular uniforme)
3. Bola que ricocheteia horizontalmente contra
uma parede e retorna com o mesmo mo´dulo
da velocidade, mas tem seu sentido de movi-
mento alterado. Nesse caso, na˜o temos mu-
danc¸a de mo´dulo ou de direc¸a˜o, mas ainda
assim temos uma acelerac¸a˜o associada a` mu-
danc¸a de sentido do vetor velocidade.
Mas por que essa discussa˜o e´ importante? Para
responder fac¸amos outra leitura da primeira Lei
de Newton: A velocidade de um objeto, vetori-
almente falando, na˜o muda “de grac¸a”. Se ha´
variac¸a˜o do vetor velocidade (seja de mo´dulo, de
direc¸a˜o ou apenas mudanc¸a de sentido) ha´ ace-
lerac¸a˜o e se ha´ acelerac¸a˜o ha´ tambe´m a presenc¸a
de uma forc¸a resultante que perdura enquanto
houver mudanc¸a do vetor velocidade.
Essa e´ a importaˆncia. Na˜o enxergar de ma-
neira plena a relac¸a˜o entre velocidade e acelerac¸a˜o
pode comprometer seu entendimento sobre as leis
de Newton. Mas agora voceˆ ja´ sabe! Se o ob-
jeto esta´ acelerado, ele na˜o esta´ em equil´ıbrio e,
portanto, ha´ uma forc¸a resultante na˜o nula atu-
ando sobre ele (somente enquanto o objeto estiver
acelerado).
Ha´ ainda alguns comenta´rios importantes a se-
rem feitos sobre a primeira lei de Newton. A pri-
meira lei trata sobre estados de equil´ıbrio (na˜o ace-
lerados – forc¸a resultante nula). O repouso e´ ape-
nas uma forma de