ESTATISTICA APLICADA

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CADERNO DE ATIVIDADES 
 
 
 
 
 
Disciplina: Estatística Aplicada 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 01 
 
Introdução à Estatística e Estatística 
Descritiva. Parte I: Levantamento e 
Apresentação de Dados 
s e ç õ e s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como citar este material: 
 
CARVALHO, Ivonete Melo de. Estatística 
Aplicada: Introdução à Estatística e Estatística 
Descritiva. Parte I: Levantamento e Apresentação 
de Dados. Caderno de Atividades. Valinhos: 
Anhanguera Educacional, 2014. 
 
 
 
 
 
 
Tema 01 
Introdução à Estatística e Estatística 
Descritiva. Parte I: Levantamento e 
Apresentação de Dados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução ao Estudo da Disciplina 
 
 
Caro(a) aluno(a). 
 
 
 
Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Estatística e Métodos Quantitativos, 
dos autores Ron Larson e Betsy Farber, Editora Pearson Prentice Hall, 2007. Livro-Texto 136. 
 
 
 
Roteiro de Estudo: 
 
Estatística Aplicada Ivonete Melo de Carvalho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
conteúdosehabilidades 
 
 
 
Conteúdo 
 
Nessa aula você estudará: 
 
• Uma visão geral da Estatística. 
 
• Distribuição de frequências. 
 
• Classificação de dados e variáveis. 
 
• Construção de gráficos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
conteúdosehabilidades 
 
Habilidades 
 
Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: 
 
• O que é e para que serve a estatística? 
 
• Como obter, tabular, representar e realizar análise numérica de dados? 
 
• O que são e para que servem as variáveis qualitativas? 
 
• O que são e para que servem as variáveis quantitativas? 
 
 
 
 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
 
Introdução à Estatística e Estatística Descritiva. Parte I: 
 
Levantamento e Apresentação de Dados 
 
A estatística é a arte ou a ciência que se ocupa em levantar, tabular e analisar dados. 
 
Para compreendê-la, você precisa adaptar-se a algumas definições. Os termos 
apresentados precisam ser incorporados por você. 
 
Definições: 
 
População = conjunto formado por todos os elementos cuja característica o investigador 
deseja conhecer. 
 
Amostra = subconjunto da população. 
 
Variável = a característica que se pretende conhecer. 
 
Dado = informação (característica) a ser tratada. 
 
 
 
 
 
 
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leituraobrigatória 
 
Um exemplo: a professora Ivonete deseja conhecer a faixa etária de seus alunos EAD. 
 
Aqui, a população é formada por todos os alunos de Ivonete; a variável (característica) a 
ser estudada é a faixa etária dos alunos. 
 
Seguindo com o exemplo: 
 
Ivonete possui vinte mil alunos. “20.000” é um número muito grande de pessoas a ser 
analisado. A demanda de tempo seria imensa. Para resolver essa questão, em vez de 
estudar toda a população, uma amostra dela (parte da população) poderá ser determinada. 
Veja como: 
 
Cálculo do tamanho da amostra: 
 
Considerando uma população de tamanho N e uma margem de erro e (em porcentagem) 
 
deve-se calcular o número índice n1: 
n = 1 2 
1 e 
 
Conhecido o número índice, o tamanho da amostra n será dado por: 
n = N * n1 
N + n1 
 
No exemplo, se Ivonete admitir um erro de 2% sobre uma população de 20 mil alunos, ela 
terá: 
 
n1 
 1 2 1 2 
= 5 0 
2 
= 2.500 = 
 
= 
 
 
 
 
0,0 2 
 
 e 
n = 
N * n1 
= 
2 0.000 * 2.500 
= 
5 0.000.000 
= 2.222,2 ,isto é, n = 2.223. N + n 2 0.000 + 2.500 2 ,500 
 1 
 
Em bom português, Ivonete precisa obter 2.223 respostas à questão “qual sua idade?” para 
que sua investigação não apresente erro superior a 2%. 
 
Importante: o tamanho de uma amostra será sempre dado por um número inteiro e positivo. 
Existem outras formas de determinar o tamanho de uma amostra. Uma delas é calcular 
10% do tamanho da população. Outra diz que para populações pequenas não é necessário 
determinar amostra. Outro conceito será apresentado a você depois de estudar 
probabilidade. 
 
7 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
De volta ao exemplo, o problema de Ivonete agora é obter a amostra. Para isso, ela poderá 
utilizar diferentes meios para coletar as respostas, mas, antes disso, será necessário 
determinar o tipo de amostra. 
 
Os principais tipos de amostragem utilizados são os probabilísticos (todos os indivíduos da 
população têm a mesma chance de serem selecionados). 
 
Os métodos mais comuns de amostragem probabilística são: 
 
• Amostragem aleatória simples: os elementos de uma população são escolhidos de 
tal forma que todos tenham a mesma chance de serem escolhidos. Pode-se utilizar uma 
tabela de números aleatórios ou um programa de geração de números aleatórios [veja 
como no Livro-Texto]. 
 
• Amostragem estratificada: subdivide-se a população em, no mínimo, dois estratos 
(subpopulações) que compartilham a mesma característica e em seguida escolhe-se 
uma amostra de cada. Exemplo: homens e mulheres. 
 
• Amostragem sistemática: escolhe-se um ponto de partida e então, sistematicamente, 
selecionam-se os outros. Por exemplo: o [5°, 15°, 25°, 35°] (etc.) indivíduos. 
 
• Amostragem por conglomerados: divide-se a população em conglomerados (áreas), 
em seguida sorteiam-se algumas áreas e analisam-se todos os elementos dos 
conglomerados escolhidos. Por exemplo: bairros [de uma cidade]. (GIACOMELLO, 
2012, p. 2, grifos nossos). 
 
Bem, agora que você entendeu esses elementos essenciais, certamente vai compreender 
porque seguirei com exemplos que apresentam números menores (para simplificação de 
cálculos). 
 
Para dar sequência ao estudo, suponha que o tamanho da amostra calculada por Ivonete 
fosse n = 40. 
 
Para obter as respostas (dados) necessárias para conhecer a variável idade (em anos) de 
seus alunos, Ivonete postou a pergunta na área acadêmica e colheu as 50 primeiras 
respostas válidas. As idades estão apresentadas no quadro a seguir: 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
18 23 25 30 22 32 44 35 
 
23 41 30 28 32 23 44 37 
 
44 27 32 30 32 30 30 18 
 
35 23 25 28 25 30 30 30 
 
26 25 25 23 32 44 23 30 
 
 
Os dados coletados são quantitativos porque se referem a uma medida. Dados 
quantitativos podem ser contínuos (por exemplo: quanto dinheiro você tem na carteira) ou 
discretos (o número de filhos que você tem). 
 
Caso Ivonete tivesse perguntado: “sexo – feminino ou masculino?”, as respostas não seriam 
uma medida, mas sim uma característica. Variáveis desse tipo são chamadas de 
qualitativas. Uma variável qualitativa pode ser nominal (feminino, masculino) ou ordinal 
(classe social). 
 
Suponha que, entre as respostas coletadas, Ivonete tivesse obtido 24 respostas “masculino” 
e 16 respostas “feminino”. 
 
Veja bem, você tem dois exemplos de variáveis para analisar: qualitativas e quantitativas. 
 
Qualquer estudo estatístico (qualitativo ou quantitativo) deve começar pela construção de 
uma tabela. 
 
No caso da variável “sexo”, organizarei a tabela em ordem alfabética, ou seja, construindo 
um ROL. As opções “feminino” e “masculino” são chamadas de categorias. 
 
Variável: sexo 
 
Feminino 16 
 
Masculino 24 
 
Total: 40 
 
A tabela de coleta de dados pode ser transformada em uma tabela de frequências 
(frequência é o número de vezes que uma determinada resposta é obtida).9 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
A tabela de frequências apresenta: frequência simples – f – (número absoluto); frequência 
relativa – fr – (na forma decimal) e frequência percentual – f%. 
 
Em estatística, trabalhar com porcentagens é essencial. 
 
Veja como fica a tabela de frequências da variável “sexo”. 
 
Sexo f 
f
r 
f
% 
Feminino 16 0,4 40% 
 
Masculino 24 0,6 60% 
 
Total: 40 1,0 100% 
 
 
Elaborada a tabela, podem-se representar os dados graficamente. No caso das variáveis 
qualitativas os tipos de gráficos mais comumente utilizados são: colunas, barras, setores 
circulares (formato de pizza) e pictóricos (figuras). Veja as ilustrações na figura a seguir: 
 
Figura 1.1: Tipos de gráficos para variáveis qualitativas 
 
 Barras Colunas Setores Circulares Pictóricos 
 
 30 
 25 
 M 
 20 
 
 15 Femini no 
 Masculino 
 
F 
 10 
 
 5 
 
0 
 
 0 5 10 15 20 25 30 
F 
 
M 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaboração da autora. 
 
Agora, você aprenderá a tratar dados quantitativos. 
 
Assim como nos dados qualitativos, a primeira providência é colocar os elementos em 
ordem (em rol). Como são medidas, devem ser colocadas em ordem numérica crescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
A lista de dados obtidos era assim: 
 
18 23 25 30 22 32 44 35 
 
23 41 30 28 32 23 44 37 
 
44 27 32 30 32 30 30 18 
 
35 23 25 28 25 30 30 30 
 
26 25 25 23 32 46 23 30 
 
 
Ordenando os dados do menor para o maior, a tabela ficará assim: 
 
18 23 25 27 30 30 32 41 
 
18 23 25 28 30 30 32 44 
 
22 23 25 28 30 32 35 44 
 
23 23 25 30 30 32 35 44 
 
23 25 26 30 30 32 37 46 
 
 
Na tabela ordenada, é fácil verificar que algumas idades se repetem e outras não. Assim 
que obter o rol (quando estiver trabalhando com dados quantitativos), o próximo passo é 
determinar a amplitude total dos dados em estudo. Não se assuste, é fácil. Para calcular 
a amplitude total basta subtrair, do maior valor obtido, o menor valor. No exemplo, você 
deverá fazer: 
 
AT = 46 - 18 = 28 
 
Depois da amplitude, você deverá calcular o número de classes (categorias) que comporá 
a tabela. 
 
Para determinar o número de classes é preciso estar atento ao tamanho da amostra. 
 
Para amostras com até 50 elementos, o número de classes é dado por: k = n . Para amostras 
 
com mais de 50 elementos, você deverá utilizar a regra de Sturges: k = 1 + 3,3 * log(n) . 
 
No exemplo, a amostra n = 40 deverá conter k = 4 0 ≅ 6,3 ≅ 7 classes (o número de classes 
é sempre inteiro e positivo). 
 
 
 
 
11 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
Isso feito, você deverá calcular a amplitude das classes. A amplitude das classes é dada 
por: A k = 
A
K
T
 . No exemplo: A k = 
2
7
8
 ⇒ A k = 4 . 
 
Depois disso, chega o momento de construir a tabela de frequências. 
 
No caso de variável quantitativa, além de calcular frequência simples – f; frequência relativa 
– fr – e frequência percentual – f%; também será preciso calcular a frequência acumulada 
– F; a frequência acumulada relativa – Fr – e a frequência acumulada percentual – F%. 
Contudo, antes de contar as frequências, você deverá construir as classes. 
 
A primeira classe começa com o menor valor obtido entre os dados tabelados; a esse valor 
adiciona-se a amplitude da classe: 18 + 4 = 22. A segunda classe começará no 22 e 
terminará no 26 e assim por diante até chegar na sétima classe que começará na 42 e 
terminará em 46. 
 
Veja como fica a tabela de frequências da variável idade. 
 
Idade f fr f% F Fr F% 
18 |— 22 02 0,050 05,0 02 0,050 05,0 
 
22 |— 26 12 0,300 30,0 14 0,350 35,0 
 
26 |— 30 04 0,100 10,0 18 0,450 45,0 
 
30 |— 34 14 0,350 35,0 32 0,800 80,0 
 
34 |— 38 03 0,075 7,50 35 0,875 87,5 
 
38 |— 42 01 0,025 2,50 36 0,900 90,0 
 
42 |—| 46 04 0,100 10,0 40 1,000 100,0 
 
Total: 40 1,000 100,0 
 
 
O símbolo “ι—“ significa que o início do intervalo faz parte dele e o final somente o limita 
(em linguagem matemática: intervalo fechado à esquerda e aberto à direita). 
 
Para obter a frequência de cada classe é preciso contar quantos elementos fazem parte dela. 
Por exemplo, na primeira classe estariam os números 18, 19, 20 e 21 No nosso exemplo, 
aparece somente o 18, duas vezes. Na segunda classe, deveriam aparecer os números 22, 23, 
24 e 25 que aparecem 1 vez, 6 vezes, nenhuma vez e 5 vezes, respectivamente, portanto, a 
frequência simples é 12. Confira os demais valores tabelados. 
 
12 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
A ideia de acumular frequências também é simples. A primeira frequência acumulada 
(relativa ou percentual) é sempre igual à primeira frequência simples (relativa ou 
percentual). Da segunda frequência acumulada em diante, basta que você adicione o valor 
da frequência simples da próxima classe ao valor acumulado: 2 + 12 = 14. 
 
Para representar graficamente dados quantitativos, os gráficos utilizados são o histograma, 
o polígono de frequências (simples) e a ogiva (frequências acumuladas). Vejas os gráficos 
na figura seguinte: 
 
Figura 1.2: Tipos de gráficos para variáveis quantitativas 
 
 Histograma Polígono de frequências Ogiva 
 
 45 45 
 
14 
 
40 
 
40 
 
 
12 
 
 35 35 
 10 
30 
 
30 
 
 
8 
 
 
25 
 
 25 
 
 
 
 
 6 20 20 
 4 15 15 
 2 10 10 
 
0 
 
5 
 
 5 
 
 
 
 
 
 18 ι— 2 2 2 2 ι— 26 26 ι— 30 30 ι— 34 34 ι— 38 38 ι— 42 4 2 ι— 4 6 0 
18 ι— 22 22 ι— 26 26 ι— 30 30 ι— 34 34 ι— 38 38 ι— 42 42 ι— 46 
 
 0 
18 ι— 22 22 ι— 26 26 ι— 30 30 ι— 34 34 ι— 38 38 ι— 42 42 ι— 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaboração da autora. 
 
Comentários: 
 
Histograma é bem parecido com o gráfico de colunas, contudo, suas colunas são 
colaterais com todas as bases com a mesma dimensão. 
 
O polígono de frequências é obtido considerando-se os valores médios de cada classe e a 
frequência relativa à classe estudada. 
 
A ogiva também considera os pontos médios de cada classe em correspondência ao valor 
nela acumulado. 
 
Leia no Livro-Texto, se possível, como tratar dados agrupados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
linksimportantes 
 
 
 
Quer saber mais sobre o assunto? 
 
Então: 
 
Sites 
 
Teste os seus conhecimentos: faça exercícios sobre estatística e veja a resolução comentada. 
 
 
Acesse o site “Exercícios – Brasil Escola”. 
 
Disponível em: <http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-estatistica.htm>. 
 
Acesso em: 3 mar. 2014. 
 
Nele você poderá testar seus conhecimentosfazendo exercícios e consultando a 
resolução comentada. 
 
 
Acesse o site “Portal Action”. 
 
Disponível em: <http://www.portalaction.com.br/1414-4-exerc%C3%ADcios>. Acesso em: 
 
3 mar. 2014. 
 
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios dos principais 
vestibulares ainda existentes no País e consultar a resolução comentada. 
 
 
Acesse o site “Exercícios – Professor Cardy”. 
 
Disponível em: <http://www.profcardy.com/exercicios/area.php?area=ESTAT%CDSTICA>. 
 
Acesso em: 3 mar. 2014. 
 
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios apresentados pelo Enem 
e Enade em diversas edições desses exames e consultar a resolução comentada. 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
LINKSIMPORTANTES 
 
Acesse o site “Matematiquês”. 
 
Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/download.php?tabela=documentos&id=436>. 
 
Acesso em: 3 mar. 2014. 
 
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios e consultando a resolução 
comentada. 
 
 
Vídeos 
 
Assista aos vídeos com exercícios comentados. 
 
Disponíveis em: <http://video-aulas.com/listing/Matem%C3%A1tica/Ensino_M%C3%A9dio/ 
Estat%C3%ADstica/estatistica--exercicios-resolvidos--media-moda-mediana-variancia-desvio-
padrao--pre-enem-abril-educacao-2013--video-aula-1217>. Acesso em: 3 mar. 2014. 
 
Os exercícios são bastante variados, com linguagem bem acessível uma vez que se trata 
de produção da Editora Abril Cultural voltada para o público que prestará o ENEM. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
agoraéasuavez 
 
 
 
Instruções: 
 
Chegou a hora de você exercitar seu aprendizado por meio das resoluções 
das questões deste Caderno de Atividades. Essas atividades auxiliarão você 
no preparo para a avaliação desta disciplina. Leia cuidadosamente os 
enunciados e atente-se para o que está sendo pedido e para o modo de 
resolução de cada questão. Lembre-se: você pode consultar o Livro-Texto e 
fazer outras pesquisas relacionadas ao tema. 
 
 
 
 
Questão 1: 
 
Foi encomendado um estudo para ava-
liação do curso “A” em uma Instituição de 
Ensino Superior. Para isso, aplicou-se um 
questionário e obtiveram-se respostas de 
110 alunos. 
 
Indique: 
 
a) A variável em estudo. b) 
A população em estudo. c) 
A amostra escolhida. 
 
 
 
 
Questão 2: 
 
A variável “salário” é classificada como: 
 
a) Qualitativa nominal. 
 
b) Qualitativa ordinal. 
 
c) Quantitativa contínua. 
 
d) Quantitativa discreta. 
 
e) Quantitativa ordinal. 
 
 
Questão 3: 
 
Uma população cuja característica deseja-se 
estudar apresenta 50 mil elementos. A 
margem de erro admitida pelo pesquisador 
 
é de 1%. Nessas condições, o tamanho 
da amostra será: 
 
16 
 
 
 
AGORAÉaSUAVEZ 
 
 
 
a) n = 50.000. 
 
b) n = 10.000. 
 
c) n = 8.334. 
 
d) n = 5.000. 
 
e) n = 500. 
 
 
Questão 4: 
 
Para tabelar uma amostra de dados quan-
titativos de tamanho n = 100 elementos, o 
examinador deverá elaborar: 
 
a) 10 classes. 
 
b) 8 classes. 
 
c) 7 classes. 
 
d) 5 classes. 
 
e) 4 classes. 
 
 
Questão 5: 
 
Chama-se questão aberta àquela cuja res-
posta é livre. Uma questão é de múltipla 
escolha quando o investigador oferece as 
respostas a serem escolhidas pelo elemen-
to pesquisado. Indique, entre as alternati-
vas apresentadas, aquela cuja resposta 
deve ser obrigatoriamente livre: 
 
a) Quantos livros você leu no último ano? 
 
b) Quantos filhos você tem? 
 
 
 
c) O bairro onde você mora é 
considerado um lugar tranquilo? 
 
d) A que classe social você pertence? 
 
e) Qual o título do último livro que você leu? 
 
 
Texto para as questões de 6 a 10: 
 
Considere os dados quantitativos 
representados na tabela. Com base nas 
orientações do item “Leitura Obrigatória” 
responda ao que se pede em seguida. 
 
6 157 223 98 189 
119 142 99 75 241 
128 137 172 22 167 
115 29 217 29 142 
134 38 32 36 230 
 
 
Questão 6: 
 
Elabore uma tabela de frequências con-
siderando cinco classes assim definidas: 
 
0 ι— 50; 51 ι— 100; 101 ι— 150; 151 ι— 200; 
 
201 ι— 250 
 
 
Questão 7: 
 
Elabore o histograma dos dados estudados. 
 
 
 
Questão 8: 
 
Elabore o polígono de frequência dos da-
dos estudados. 
 
 
17 
 
 
 
AGORAÉaSUAVEZ 
 
Questão 9: 
 
Questão 10: 
Elabore a ogiva dos dados estudados. Que informação você extrai ao analisar a 
 ogiva? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
finalizando 
 
 
 
Neste tema, você conheceu as definições iniciais da estatística e sua utilidade. 
Aprendeu como obter e classificar dados; construir tabelas e gráficos. Aprendeu, 
principalmente, que a estatística permite ao investigador conhecer qualquer elemento que 
componha sua área de atuação. 
 
Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de 
acessar sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
referências 
 
 
 
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. 19. ed. atual. São Paulo: Saraiva, 2009. 
 
CUNHA, M. V. Análise Multidimensional de Dados Categóricos. PPGA, UFRGS, Porto 
Alegre 16, 1997. 
 
FONSECA, J. S, MARTINS, G. Curso de Estatística. São Paulo: Atlas, 1996. 
 
FREITAS & CUNHA CONSULTORES LTDA. Guia do Usuário – Sphinx Léxica 2.08 for 
Windows®. Porto Alegre, 1998. 
 
 
 
18 
 
 
 
referências 
 
GIACOMELLO, C. P. Probabilidade e estatística. Centro de Ciências Exatas, da 
Natureza e de Tecnologia, Universidade de Caxias do Sul. Rio Grande do Sul, 2012. 
 
KOTLER, P. Administração de Marketing: Análise, Planejamento, Implementação e con- 
trole. São Paulo: Atlas, 1996. 
 
LABES, E. M. Questionário: do planejamento à aplicação na pesquisa. Chapecó: 
Grifos, 1998. 
 
LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística e Métodos Quantitativos. 2. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2007. Livro-Texto 136. 
 
MATTAR, F. N. Pesquisa de Marketing. São Paulo: Atlas, 1996. 
 
ROSSI, C. A. V.; SLONGO, L. A. Pesquisa de satisfação de clientes: o estado-da-arte pro-
posição de um método Brasileiro. In: ENCONTRO ANUAL DA ANPAD, 21., Anais... 1997, 
Rio das Pedras, RJ. p.124. 
 
SLACK, N. Administração da produção. São Paulo: Atlas, 1997. 
 
 
 
 
 
 
 
glossário 
 
 
 
Amostra: subconjunto da população. 
 
Dado: informação (característica) a ser tratada. 
 
População: conjunto formado por todos os elementos cuja característica o investigador 
deseja conhecer. 
 
Respostas válidas: são aquelas que não se desviam da pergunta elaborada. Exemplo: 
se, ao se perguntar “qual sua cor preferida?”, a resposta for “verde”, esta será válida. 
 
Variável: a característica que se pretende conhecer. 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
gabarito 
 
 
 
Questão 1 
 
Resposta: Observando os detalhes do texto, as respostas serão: (a) qualidade de ensino; 
(b) Instituição de Ensino Superior; (c) 110 alunos. 
 
Questão 2 
 
Resposta: Alternativa C. 
 
Questão 3 
 
Resposta: Alternativa C. 
 
Questão 4 
 
Resposta: Alternativa B. 
 
Questão 5 
 
Resposta: Alternativa E. 
 
Questão 6 
 
Resposta: Após elaborar o rol, e com o auxílio de uma calculadora, você deverá obter: 
 
Classes f fr f% F Fr F% 
0 ι— 50 7 0,28 28 7 0,28 28 
51 ι— 100 3 0,12 12 10 0,40 40 
101 ι— 150 7 0,28 28 17 0,68 68 
151 ι— 200 4 0,16 16 21 0,84 84 
201 ι— 250 40,16 16 25 1,00 100 
 total 25 1,00 100 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
Tema 02 
Introdução à Estatística e Estatística 
Descritiva. Parte II: Medidas de Tendência 
Central e Medidas de Dispersão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
Introdução ao Estudo da Disciplina 
 
 
Caro(a) aluno(a). 
 
 
 
Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Estatística e Métodos Quantitativos, 
dos autores Ron Larson e Betsy Farber, Editora Pearson Prentice Hall, 2007. Livro-Texto 136. 
 
 
 
Roteiro de Estudo: 
 
Estatística Aplicada Ivonete Melo de Carvalho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
conteúdosehabilidades 
 
 
 
Conteúdo 
 
Nessa aula você estudará: 
 
• Medidas de tendência central: média, moda e mediana. 
 
• Medidas de dispersão: amplitude total, desvio, variância, desvio padrão, coeficiente 
de variação. 
 
• Em que tipo de variáveis as diferentes medidas são aplicadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
conteúdosehabilidades 
 
Habilidades 
 
Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: 
 
• O que são e para que servem as medidas de tendência central? 
 
• O que são e para que servem as medidas de dispersão? 
 
• Média e desvio padrão devem ser sempre calculados? 
 
• Por que variáveis qualitativas não apresentam as medidas de tendência central 
(exceto moda) e as medidas de dispersão? 
 
 
 
 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
 
Introdução à Estatística e Estatística Descritiva. Parte II: 
 
Medidas de Tendência Central e Medidas de Dispersão 
 
Medidas de Tendência Central 
 
As medidas de tendência central são: 
 
o Medidas que representam um conjunto de dados relativos à observação de um 
determinado fenômeno (fato). 
 
p Medidas que servem para orientar quanto à posição da distribuição dos dados no 
eixo das abscissas. 
 
q Medidas que permitem a comparação de séries de dados entre si pelo confronto 
desses dados. 
 
As principais medidas de tendência central são: média, mediana e moda. 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
São sinônimos de média: 
 
o Esperança. 
 
p Esperança matemática. 
 
q Valor esperado. 
 
r Expectância de uma variável aleatória. 
 
Existem também os decis, quartis e percentis, que são chamados de separatrizes. As 
separatrizes não serão trabalhadas em detalhes neste caderno. Para tanto, consulte o 
Livro-Texto. No entanto, as suas definições serão apresentadas em seguida. 
 
Por definição, o percentil divide uma distribuição de frequência em 100 partes iguais, ou 
seja, P = 
 
+ ( 
in 
− ∑ f )* h , em que: 
P i 
100 
i F
P i 
 
 
P i = limite inferior da classe Pi, em que i = 
1,2,3,...,99 n = tamanho da amostra 
 
\endash f = soma das frequências anteriores à classe Pi 
 
h = amplitude da classe 
 
FPi = frequência da classe Pi 
 
Por definição, o decil divide uma distribuição de frequência em 10 partes iguais, isto é, 
 
 
( 
in 
− ∑ f )* h 
, em que: Di = D i + 
1 0 
 F
D i 
D i = limite inferior da classe Pi, em que i = 
1,2,3,...,99 n = tamanho da amostra 
 
f) f = soma das frequências anteriores à classe Di 
 
h = amplitude da classe 
 
FDi = frequência da classe Di 
 
 
7 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
O quartil, por definição, divide uma distribuição de frequência em 4 partes iguais. Para 
calcular os quartis, deve-se fazer: Q1 = Q + ( 
i n 
− ∑ f )* h , em que: 4 
 
FQ 1 
 
 1 
Q1 = limite inferior da classe do primeiro quartil 
n = tamanho da amostra 
 
f) f = soma das frequências anteriores à classe quartílica 
h = amplitude da classe quartílica 
FQ1 = frequência da primeira classe quartílica 
 
Coeficiente de Curtose 
 
Para que se determine o grau de achatamento da curva de distribuição de frequência de 
uma série de dados (coeficiente de curtose = k) é preciso determinar o terceiro e o primeiro 
quartis e o nonagésimo e o décimo percentis, por meio da seguinte fórmula: 
 
K = 
Q3 − Q1 
(K = coeficiente de curtose) 2 * (P − P ) 
 9 0 1 0 
 
f) Q3 e Q1 – terceiro e primeiro quartis, respectivamente. 
 
g) P90 e P10 – nonagésimo e décimo percentis, respectivamente. 
 
h) Se K = 0,263 então a curva da distribuição é mesocúrtica (achatamento normal). 
 
i) Se K > 0,263 então a curva da distribuição é platicúrtica (mais achatada). 
 
j) Se K < 0,263 então a curva da distribuição é leptocúrtica (mais alongada). 
 
Agora que você sabe o que são e para que servem os percentis, quartis e decis, é preciso 
apresentar a você a média, a mediana e a moda. 
 
Média: 
 
Média aritmética simples por definição é a soma de todos os valores xi observados 
(dados isolados) dividida pelo número de observações: 
n 
∑xi 
x = i=1 
n 
 
 
8 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
Exemplo: calcule a média aritmética simples do seguinte conjunto de valores: 7, 14, e 21. 
Nesse caso: x = 
7
 
+1 4
 
+
 
2 1
 = 1 4 
3 
 
Por definição, para dados agrupados, a média será dada pela soma do produto dos valores 
observados pela frequência absoluta com que estes ocorrem, dividida pela soma das 
frequências absolutas da distribuição, ou seja: 
 
n 
∑fixi 
c) = i=1 n 
 fi 
i=1 
 
Exemplo: dada a tabela de distribuição a seguir: 
 
xi 11 8 10 12 
fi 1 4 3 2 
 
Calcule a média aritmética simples: 
 
 n 
 
= 
∑ fi xi 
= 11*1 + 8 * 4 +1 0 * 3 +1 2 * 2 = 11 +1 2 + 3 0 + 2 4 = 7 7 = 7 x i=1 
n 
2 + 4 + 3 + 2 11 11 
 
 ∑ fi 
 
f) =1 
 
Por definição, para dados agrupados em intervalos de classe, deve-se considerar xi o 
ponto médio do intervalo de classe. 
 
Propriedades da média: 
 
1) A média de uma constante é a própria constante. 
 
2) Multiplicando uma variável aleatória x por uma constante, sua média ficará multiplicada 
por esta constante. 
 
3) A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é a soma ou a diferença 
das médias. 
 
4) Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, a sua média ficará 
somada ou subtraída da mesma constante. 
 
5) A média do produto de duas variáveis aleatórias independentes é o produto das médias. 
 
 
9 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
Mediana: 
 
Por definição: 
 
1. Em uma série de n-observações ordenada de forma crescente, a mediana é o valor 
da observação que divide essa série em duas metades iguais: uma delas com valores 
inferiores e outra com valores superiores ao valor da mediana. 
 
2. Se a série possuir um número par de termos (ou observações), não existirá um 
termo central, logo, para calcular o valor da mediana, basta dividir por dois o valor da 
soma dos termos centrais. 
 
Moda: 
 
Por definição, moda (ou modo) é o valor que mais aparece ou o de maior frequência simples 
(absoluta ou relativa) numa distribuição de frequência. A moda pode não existir, e, existindo, 
pode não ser única. 
 
Uma distribuição pode ser: 
 
• Amodal (quando não existe moda). 
 
• Unimodal (uma só moda). 
 
• Bimodal (quando tem duas modas). 
 
• Multimodal (tem várias modas). 
Diferenças entre média, mediana e moda: 
Medida Vantagens Desvantagens 
Média 
Reflete cada valor É influenciada por valores 
observado na distribuição extremos 
 
 Menos sensível a valores 
Difícil de se determinar para 
Mediana extremos se comparada à 
grande quantidade de dados 
média 
 
Moda 
Maior quantidade de valores Não se adequa à análiseconcentrados neste ponto matemática 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
O valor da mediana tem de estar em algum ponto localizado entre o valor da média e o 
valor da moda, podendo ser igual à moda e/ou à média. 
 
Essas três medidas podem definir a assimetria da curva de distribuição de frequência. Então: 
 
 Média = Mediana = Moda 
Então, a curva 
Simétrica 
 
Se Média < Mediana < Moda Assimetria negativa 
de distribuição é: 
Média > Mediana > Moda Assimetria positiva 
 
 
Medidas de Dispersão 
 
Medidas de dispersão são medidas cuja função é avaliar o quanto estão afastados ou 
concentrados os valores observados numa distribuição de frequência ou de probabilidades. 
 
As principais medidas de dispersão são: 
 
• Amplitude total (ou range). 
 
• Desvio médio absoluto. 
 
• Variância. 
 
• Desvio padrão. 
 
• Coeficiente de variação. 
 
Amplitude total 
 
Por definição, amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor observados, não 
dando a noção de quanto os valores intermediários estão afastados ou concentrados. 
 
Observe a distribuição A: 2; 3; 4; 13; 18. 
 
A amplitude total de A será: AT = 18 – 2 = 16 
 
A amplitude total diz pouco a respeito de uma série de dados; para melhor avaliá-la, outros 
conceitos precisam ser agregados ao seu estudo. O primeiro conceito a ser criado é o de 
desvio, ou seja, a distância que cada um dos valores observados apresenta em relação à 
média ( xi − x ). 
 
 
 
11 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
Distribuição A 
 Desvio 
i xi xi − 
 
 x 
1 2 2 - 8 = -6 
2 3 3 - 8 = -5 
3 4 4 - 8 = -4 
4 13 13 - 8 = 5 
5 18 18 - 8 = 10 
Σ 40 0 
 
Observe que o somatório dos desvios em relação à média aritmética é igual a zero. Isso 
acontecerá em toda série de observações, pois “a soma dos desvios em relação à média 
aritmética sempre será nula”. 
 
Você, então, deve estar se perguntando: “como avaliar a dispersão entre os valores 
observados em tal distribuição?”. 
 
Uma das formas de resolver este problema é calculando a variância. 
 
Variância: 
 
Por definição, a variância é o somatório dos quadrados dos desvios dividido pelo número 
de observações (se população) ou número de observações menos um (se amostra). 
 
No exemplo considerado: 
 
Distribuição A 
 Valores dos desvios elevados 
 ao quadrado 
i xi xi − 
 
 x 
1 2 2 - 8 = -6 = 36 
2 3 3 - 8 = -5 = 25 
3 4 4 - 8 = -4 = 16 
4 13 13 - 8 =5 = 25 
5 18 18 - 8 = 10 = 100 
Σ 40 202 
 
 
 
 
12 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
Valor obtido para a variância ( σ2 ): 
 
 n 2 
 ∑ xi − x 202 
σ A
2 = 
i=1 
= = 4 0,4 n 5 
 
Lembre-se sempre de que, se houver uma distribuição para dados agrupados, você terá de 
multiplicar o quadrado de cada desvio pela respectiva frequência, fazendo a seguir a divisão 
pela soma das frequências. E, se os dados se apresentarem em intervalos de classe, será o 
ponto médio do intervalo de classe. Assim, a fórmula para cálculo da variância será: 
 
 n 2 
 
∑ 
 
xi − 
 
* Fi x 
σ
2
 = 
i=1 
 n 
 ∑Fi 
i=1 
 
Para dados agrupados, considera-se a frequência no cálculo da variância, e quando os 
dados se apresentarem em intervalos de classe, xi será o ponto médio do intervalo de 
classe. Logo, a fórmula será: 
• Para a variância populacional: σ2 = 
SQD 
 
n 
• Para a variância amostral: σ2 = 
SQD 
 
n − 1 
 
Desvio Padrão 
 
Por definição, o desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância, isto é, σ = σ2 é o 
desvio padrão para a população e s = s2 é o desvio padrão para uma amostra. 
 
No exemplo dado, teremos: σ A = 4 0,4 = 6,3 6 
 
Coeficiente de Variação 
 
Por definição, coeficiente de variação é expresso como o resultado da divisão do desvio 
padrão pela média. Corresponde a uma medida relativa de dispersão, útil para a 
comparação (em termos relativos) do grau de concentração em torno da média de séries 
distintas. Essa medida serve para avaliar a homogeneidade de séries estatísticas e pode 
ser expressa na forma unitária ou percentual. 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
 
leituraobrigatória 
 
Retornando ao nosso exemplo: 
 
c vA = 
6,3
8 
6
 = 7 9,5% 
 
Utilizar-se-á como referência neste caderno a tabela para Coeficientes de Variação, de 
Jairo Simon da Fonseca e José Afonso Mazzon1. 
 
 
 
 
 
 
 
linksimportantes 
 
 
 
Quer saber mais sobre o assunto? 
 
Então: 
 
Sites 
 
Teste os seus conhecimentos: resolva exercícios a respeito de medidas de tendência 
central e medidas de dispersão e consulte a resolução comentada. 
 
 
Acesse o site “Exercícios – Brasil Escola”. 
 
Disponível em: <http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-estatistica.htm>. 
Acesso em: 3 mar. 2014. 
 
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios e consultando a 
resolução comentada. 
 
 
Acesse o site “Portal Action”. 
 
Disponível em: <http://www.portalaction.com.br/1414-4-exerc%C3%ADcios>. Acesso em: 
3 mar. 2014. 
 
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios dos principais 
vestibulares ainda existentes no PAÍS e consultar a resolução comentada. 
 
1 Disponível na internet para consulta no seguinte site: <http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=& 
esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CEUQFjAD&url=http%3A%2F%2Fwww.rausp.usp.br%2Fdownload. 
asp%3Ffile%3D1201017.pdf&ei=TgYdU6nPA8SrkAfW8oGIBg&usg=AFQjCNFmRlUxGd2cG7vvNRscp 
YuQ9t0whQ&sig2=oL4N-psJGAB8UloClSJBUw&bvm=bv.62578216,d.eW0>. Acesso em: 10 mar. 2014. 
 
14 
 
 
 
LINKSIMPORTANTES 
 
Acesse o site “Exercícios – Professor Cardy”. 
 
Disponível em: <http://www.profcardy.com/exercicios/area.php?area=ESTAT%CDSTICA>. 
 
Acesso em: 3 mar. 2014. 
 
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios apresentados pelo Enem 
e Enade em diversas edições destes exames e consultar a resolução comentada. 
 
 
Acesse o site “Matematiquês”. 
 
Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/download.php?tabela=documentos&id=436>. 
 
Acesso em: 3 mar. 2014. 
 
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios e consultando a resolução 
comentada. 
 
 
Vídeos 
 
Assista aos vídeos com exercícios comentados. 
 
Disponíveis em: <http://video-aulas.com/listing/Matem%C3%A1tica/Ensino_M%C3%A9dio/ 
Estat%C3%ADstica/estatistica--exercicios-resolvidos--media-moda-mediana-variancia-desvio-
padrao--pre-enem-abril-educacao-2013--video-aula-1217>. Acesso em: 3 mar. 2014. 
 
Os exercícios são bastante variados, com linguagem bem acessível uma vez que se trata 
de produção da Editora Abril Cultural voltada para o público que prestará o Enem (Exame 
Nacional do Ensino Médio). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
agoraéasuavez 
 
 
Instruções: 
 
Chegou a hora de você exercitar seu aprendizado por meio das resoluções 
das questões deste Caderno de Atividades. Essas atividades auxiliarão você 
no preparo para a avaliação desta disciplina. Leia cuidadosamente os 
enunciados e atente-se para o que está sendo pedido e para o modo de 
resolução de cada questão. Lembre-se: você pode consultar o Livro-Texto e 
fazer outras pesquisas relacionadas ao tema. 
 
 
 
 
Questão 1: 
 
Um produto subiu de R$ 35,00 para R$ 40,00 
no primeiro mês e de R$ 40,00 para R$ 52,00 
no segundo mês. Qual o crescimento mensal 
médio, em reais, desse produto? 
 
 
Questão 2: 
 
Suponha que, numa sala com 25 pessoas,as idades, em anos, sejam as seguintes: 24 
- 24 - 24 - 25 - 25 - 30 - 32 - 32 - 32 - 35 
 
- 36 - 36 - 40 - 40 - 40 - 40 - 46 - 48 - 48 - 50 
- 54 - 54 - 60 - 60 - 65. A média das 
idades observadas, em anos, é igual a: 
 
 
 
 
a) 35,18. 
 
b) 35,12. 
 
c) 40,00. 
 
d) 40,13. 
 
e) 42,15. 
 
 
Questão 3: 
 
Suponha que, numa sala com 25 pessoas, 
as idades, em anos, sejam as seguintes: 24 
- 24 - 24 - 25 - 25 - 30 - 32 - 32 - 32 - 35 - 36 
- 36 - 40 - 40 - 40 - 40 - 46 - 48 - 48 - 50 - 54 
- 54 - 60 - 60 - 65. A mediana das idades 
observadas, em anos, é igual a: 
 
 
 
16 
 
 
 
AGORAÉaSUAVEZ 
 
 
 
a) 36. 
 
b) 38. 
 
c) 40. 
 
d) 42. 
 
e) 44. 
 
 
Questão 4: 
 
Determinada empresa observou que seus 
funcionários gastam em média 6 horas por 
semana cuidando de seus e-mails pesso-
ais durante o dia de trabalho. O desvio pa-
drão observado foi de 4 horas semanais. 
Com base nas informações da situação 
hipotética anteriormente descrita, pode-se 
afirmar que o coeficiente de variação, de 
acordo com a classificação, é: 
 
a) Baixo, próximo de zero. 
 
b) Baixo, próximo de 15%. 
 
c) Mediano, próximo de 15%. 
 
d) Mediano, próximo de 30%. 
 
e) Alto, acima de 50%. 
 
 
Questão 5: 
 
Num grupo de 16 alunos, as notas das pro-
vas de Estatística foram todas iguais ou 
superiores a sete pontos. A mediana das 
notas do grupo é igual a 8,0 e a média 8,2. 
 
 
 
Afirmação I: nessas condições, pode-se 
afirmar que a maior parte das notas foi in-
ferior a 8,0. 
 
Afirmação II: nessas condições, pode-se 
afirmar que a maior parte das notas foi su-
perior a 8,0. 
 
a) Somente a afirmação I está correta. 
 
b) Somente a afirmação II está correta. 
 
c) Ambas as afirmações estão corretas. 
 
d) Ambas as afirmações estão erradas. 
 
e) As informações se complementam. 
 
 
Questão 6: 
 
Calcule a média aritmética entre: 10, 15, 
16, 23, 49, 50 e 60. 
 
 
Texto para as questões 7 a 10: 
 
Ao entrevistar um grupo de alunos, obtêm-
se as seguintes respostas a respeito de 
suas idades: 
 
20 21 22 20 22 
 
23 25 20 25 24 
 
20 24 25 23 23 
 
22 21 22 20 25 
 
 
Com bases nesses dados, calcule o que 
se pede nos exercícios seguintes. 
 
 
17 
 
 
 
AGORAÉaSUAVEZ 
 
Questão 7: 
 
Questão 9: 
Calcule a idade média dos alunos e a me- Calcule a variância e o desvio padrão entre 
diana entre as idades. os dados apresentados. 
Questão 8: Questão 10: 
Identifique a moda entre as idades dos Calcule o coeficiente de variação e analise 
alunos. o resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
finalizando 
 
 
 
Neste tema, você aprendeu a trabalhar com medidas importantes para a estatística 
descritiva: medidas de tendência central e medidas de dispersão. Dê especial atenção ao 
cálculo da média e do desvio padrão. Observe também que essas medidas são aplicáveis 
para dados quantitativos. Dados qualitativos – expressos em categorias – não permitem tal 
cálculo; para estes, a única medida que se aplica é a observação da moda. 
 
Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de 
acessar sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
referências 
 
 
 
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. 19. ed. atual. São Paulo: Saraiva, 2009. 
 
CUNHA, M. V. Análise Multidimensional de Dados Categóricos. In: PPGA, UFRGS, 
16, Porto Alegre, 1997. 
 
FONSECA, J. S, MARTINS, G. Curso de Estatística. São Paulo: Atlas, 1996. 
 
FREITAS & CUNHA CONSULTORES LTDA. Guia do Usuário – Sphinx Léxica 2.08 for 
Windows®. Porto Alegre, 1998. 
 
KOTLER, P. Administração de Marketing: Análise, planejamento, implementação e contro- 
le. São Paulo: Atlas, 1996. 
 
LABES, E. M. Questionário: do planejamento à aplicação na pesquisa. Chapecó: Grifos, 1998. 
 
LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística e Métodos Quantitativos. 2. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2007. Livro-Texto 136. 
 
MATTAR, F. N. Pesquisa de Marketing. São Paulo: Atlas, 1996. 
 
ROSSI, C. A. V.; SLONGO, L. A. Pesquisa de satisfação de clientes: o estado-da-arte pro-
posição de um método Brasileiro. In: ENCONTRO ANUAL DA ANPAD, 21., Anais... 1997, 
Rio das Pedras, p.124. 
 
SLACK, N. Administração da produção. São Paulo: Atlas, 1997. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
glossário 
 
 
 
Dispersão: proximidade ou distanciamento observado em um conjunto de dados numéricos. 
 
Homogêneo: grupo que apresenta características comuns, por exemplo, notas próximas 
no caso de uma avaliação. 
 
Heterogêneo: grupo que apresenta características distintas, por exemplo, notas distantes 
no caso de uma avaliação. 
 
Série: conjunto de dados. 
 
SQD: soma dos quadrados dos desvios. 
 
 
 
 
 
 
 
gabarito 
 
 
 
Questão 1 
 
Resposta: Os aumentos foram de R$ 5,00 e R$ 12,00, portanto houve um aumento total 
de R$ 17,00. Dividindo R$ 17,00 por 2 (= número de aumentos) você obterá R$ 8,50. 
 
Questão 2 
 
Resposta: Alternativa C. 
 
Questão 3 
 
Resposta: Alternativa A. 
 
 
20 
 
 
 
gabarito 
 
Questão 4 
 
Resposta: Alternativa E. 
 
Questão 5 
 
Resposta: Alternativa B. 
 
Questão 6 
 
Resposta: Substituindo os valores na fórmula da média: 
x = 1 0 +1 5 +1 6 + 2 3 + 4 9 + 5 0 + 6 0 = 223 ≅ 3 1,8 6 
67 
 
Questão 7 
 
Resposta: Calculando a média e a mediana: 
 
Média: x = 2 0 *5 + 2 1* 2 + 2 2 * 4 + 2 3*3 + 2 4 * 2 + 2 5* 4 = 2 
2,3 5 2 0 
Mediana: med = 
2 2
 
+
 
2 2
 = 2 2 
2 
 
Questão 8 
 
Resposta: Lembrando que ela corresponde ao valor mais repetido, a moda entre as 
idades do grupo estudado é 20 anos. 
 
Questão 9 
 
Resposta: Para calcular o desvio padrão, é necessário, antes, calcular a variância: 
 
xi 
 
(xi − 
 
(xi − 
 
 
 
 
x) x)
2 
x 
20 22,35 -2,35 5,5225 
 
20 22,35 -2,35 5,5225 
 
20 22,35 -2,35 5,5225 
 
20 22,35 -2,35 5,5225 
 
20 22,35 -2,35 5,5225 
 
21 22,35 -1,35 1,8225 
 
 
 
21 
 
 
 
gabarito 
 
xi 
 
(xi − 
 
(xi − 
 
 
 
 
x) 
 
x)
2 
x 
21 22,35 -1,35 1,8225 
 
22 22,35 -0,35 0,1225 
 
22 22,35 -0,35 0,1225 
 
22 22,35 -0,35 0,1225 
 
22 22,35 -0,35 0,1225 
 
23 22,35 0,65 0,4225 
 
23 22,35 0,65 0,4225 
 
23 22,35 0,65 0,4225 
 
24 22,35 1,65 2,7225 
 
24 22,35 1,65 2,7225 
 
25 22,35 2,65 7,0225 
 
25 22,35 2,65 7,0225 
 
25 22,35 2,65 7,0225 
 
25 22,35 2,65 7,0225 
 
 66,55 
 
Cálculo da variância: σ 2 = 6 6,2 5 = 3,5 0 
 
 1 9 
 
Cálculo do desvio padrão: σ = 3,5 0 = 1,8 7 
 
Questão 10 
 
Resposta: Calculando o desvio padrão, tem-se: 
 
c v = 2
1,8
2,3
7
5 *100 = 8,3 7% 
 
O coeficiente de variação é baixo, indicando que os dados são bem agrupados, isto é, 
próximos da média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
Tema 03 
Assimetria e Curtose 
 
 
s
e
ç
õ
e
s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como citar este material: 
 
CARVALHO, Ivonete Melo de. Estatística 
Aplicada: Assimetria e Curtose. Caderno deAtividades. Valinhos: Anhanguera Educacional, 
2014. 
 
 
 
 
 
 
Tema 03 
Assimetria e Curtose 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
Introdução ao Estudo da Disciplina 
 
 
Caro(a) aluno(a). 
 
 
 
Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Estatística e Métodos Quantitativos, 
dos autores Ron Larson e Betsy Farber, Editora Pearson Prentice Hall, 2007. Livro-Texto 136. 
 
 
 
Roteiro de Estudo: 
 
Estatística Aplicada Ivonete Melo de Carvalho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTEÚDOSEHABILIDADES 
 
 
 
Conteúdo 
 
Nessa aula você estudará: 
 
• O conceito de simetria e sua importância para a estatística. 
 
• Gráfico em forma de sino (curva normal). 
 
• Afastamentos do centro de simetria (grau de simetria). 
 
• Grau de assimetria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
CONTEÚDOSEHABILIDADES 
 
Habilidades 
 
Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: 
 
• O que é e para que serve o conceito de simetria? 
 
• Construção do gráfico – curva normal? 
 
• O que é e para que serve a assimetria? 
 
• O que é e para que serve a medida denominada curtose? 
 
 
 
 
 
 
 
LEITURAOBRIGATÓRIA 
 
 
Assimetria e Curtose 
 
Para um conjunto de dados que esteja sendo analisado, além dos gráficos que você 
já estudou (histograma, polígono de frequência e ogiva), outro tipo de curva que pode ser 
elaborado recebe o nome de curva de frequência ou curva polida. 
 
Os estudiosos em estatística costumam dizer que o polígono de frequência determina ou 
mostra ao leitor (pesquisador) a imagem real do fenômeno estudado, ao passo que a curva 
de frequência demonstra a tendência do estudo em elaboração. 
 
Crespo (2009) é muito feliz quando afirma que depois do traçado de um polígono de 
frequência, é desejável, muitas vezes, que se lhe faça um polimento, a fim de mostrar o que 
seria tal polígono com um número maior de dados. Ao resultado deste “polimento” chama-
se curva polida, isto é, a curva polida é a resultante de um grande número de dados, sem 
os vértices da linha poligonal. 
 
Para que o “polimento” ocorra, é preciso que a partir das frequências reais seja elaborada 
uma tabela de frequências calculadas. A fórmula que você deve utilizar para esse fim é: 
 
 
 
 
6 
 
 
 
LEITURAOBRIGATÓRIA 
 
f ci = 
f
i −1 
+
 
2
 
f
i 
+
 
f
i +1 
em que: 
4 
fci é a frequência considerada da classe calculada. 
 
fi é a frequência simples da classe considerada. 
 
fi-1 é a frequência simples da classe anterior à classe considerada. 
 
fi+1 é a frequência simples da classe posterior à classe considerada. 
 
Para que você compreenda bem, retornemos a um exemplo estudado na aula número 1 
deste caderno. Trata-se das idades dos alunos de Ivonete. A tabela obtida naquela ocasião 
dizia: 
 
I Idade 
f
i fci 
1 18 ι— 22 02 4,0 
 
2 22 ι— 26 12 7,5 
 
3 26 ι— 30 04 7,3 
 
4 30 ι— 34 09 7,3 
 
5 34 ι— 38 07 6,3 
 
6 38 ι— 42 02 3,8 
 
7 42 ι— 46 04 2,5 
 
 Total 40 
 
 
Como obter a frequência calculada: 
f ci = 
f
i −1 
+
 
2
 
f
i 
+
 
f
i +1 
= 
0 + 2 * 2 +1 2 
= 
1 6 
= 4 
4 4 4 
 
Calcule os demais elementos da tabela para ter certeza a respeito dos valores 
apresentados a você. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
LEITURAOBRIGATÓRIA 
 
Os gráficos seriam: 
 
Pontos médios em destaque Curva polida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A linha azul representa o polígono de frequências. 
 
A linha vermelha mostra a curva polida que aproxima os dados apresentados no polígono 
de frequência. 
 
Observe que não se trata de uma curva “centralizada” no plano cartesiano. Ela é deslocada 
para o lado esquerdo de quem lê a figura. Por esse motivo dizemos que ela é uma figura 
assimétrica. 
 
Para relembrar o que é simetria, pense numa parábola. Uma parábola é simétrica pelo 
vértice, isto é, suas “metades” (consideradas em torno do vértice) são iguais. Veja a figura 
seguinte: 
 
Figura 3.1: Parábola 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaboração da autora. 
 
8 
 
 
 
LEITURAOBRIGATÓRIA 
 
Simetria é uma propriedade geométrica dos elementos, contudo para a Estatística, 
assimetria nada mais é do que o grau de desvio (afastamento da simetria) de uma 
distribuição de dados. 
 
Para distribuições assimétricas, a média tende a situar-se do mesmo lado da moda (na 
cauda mais longa). Observe com muita atenção as seguintes figuras: 
 
Figura 3.2: Distribuição Assimétrica à Direita (ou Assimetria Positiva) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaboração da autora. 
 
 
Figura 3.3: Distribuição Assimétrica à Esquerda (ou Assimetria Negativa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaboração da autora. 
 
 
Figura 3.4: Distribuição Simétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaboração da autora. 
 
 
 
9 
 
 
 
LEITURAOBRIGATÓRIA 
 
Uma medida de assimetria é proporcionada pela diferença entre a média e a moda. Ela 
pode ser tomada sem dimensão por meio de uma divisão por uma medida de dispersão, 
como o desvio padrão. 
 
Veja: 
assimetria = 
3 * (x
 
−
 
moda)
 (coeficiente de assimetria de Pearson) 
s 
 
No exemplo das idades dos alunos de Ivonete, a assimetria seria dada por: 
 
Cálculo da média: 
r = 2 0 * 2 + 2 4 *1 2 + 2 8 * 4 + 3 2 * 9 + 3 6 * 7 + 4 0 * 2 
+ 4 4 * 4 4 0 
x = 
1.
4
236
0 = 3 0,9 
 
Cálculo da variância e do desvio padrão: 
 
 I Idade fi xi fi * xi fi * xi2 
 1 18 ι— 22 02 20 40 800 
 
 2 22 ι— 26 12 24 288 6.912 
 
 3 26 ι— 30 04 28 112 3.136 
 
 4 30 ι— 34 09 32 288 9.216 
 
 5 34 ι— 38 07 36 252 9.072 
 
 6 38 ι— 42 02 40 80 3.200 
 
 7 42 ι— 46 04 44 176 7.744 
 
 Total: 40 1.236 40.080 
 
 
 4 0.080 1.236 2 
σ = − = 6,8 7 
4 0 4 0 
 
 
Portanto, assimetria = 
3 * (3 0,9
 
−
 
2 4)
 ≅ 3,0 1 
6,8 7 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
LEITURAOBRIGATÓRIA 
 
Em capítulo anterior, você verificou que o valor da mediana (que ocupa a posição central 
numa distribuição de frequência) deve estar em algum ponto entre o valor da média e o 
valor da moda, porém, pode ser igual à moda e/ou à média. 
 
Você já sabe que com essas três medidas de posição, você pode determinar a assimetria 
da curva de distribuição de frequência. Também sabe que três casos podem ocorrer 
(ilustrados nas figuras anteriores): 
 
s Média = Mediana = Moda: distribuição simétrica. 
 
t Média < Mediana < Moda: distribuição assimétrica negativa. 
 
u Média > Mediana > Moda: distribuição assimétrica positiva. 
 
No exemplo de Ivonete: moda = 24; mediana = 30,89 e média = 30,9 de onde se pode 
concluir que a distribuição de frequência é assimétrica positiva. 
 
Curtose 
 
Ao desenhar um gráfico, a curva pode ser mais ampla ou mais compacta assim como pode 
ser mais alongada ou mais achatada. Interessa à estatística estudar o quanto uma curva 
poder ser alongada. 
 
Curtose é, então, o grau de achatamento de uma distribuição, e é considerado muitas 
vezes em relação a uma distribuição normal. 
 
Em tema anterior, quando o texto referiu-se ao estudo dosquartis, você aprendeu que conhecendo os 
valores dos quartis e dos percentis, pode-se determinar o coeficiente de curtose, que dá o grau de 
achatamento da curva de uma distribuição, por meio da seguinte fórmula: 
k = 
Q3 − Q1 
2 * (P − P ) 
 9 0 1 0 
Em que: k = coeficiente de curtose; Q3 e Q1 terceiro e primeiro quartis, respectivamente; 
P90 e P10 nonagésimo e décimo percentis, respectivamente. 
 
Se K = 0,263, então podemos dizer que a curva da distribuição é mesocúrtica 
(achatamento normal). 
 
Se K > 0,263, então podemos dizer que a curva da distribuição é platicúrtica (mais achatada). 
 
Se K < 0,263, então podemos dizer que a curva da distribuição é leptocúrtica (mais alongada). 
 
 
11 
 
 
 
LEITURAOBRIGATÓRIA 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para desenhar a curva normal (curva em formato de sino), a equação utilizada é: 
 x −µ 2 
1 
 
 −0,5* 
σ 
 
 em que: 
 
 
 
y = σ * 
 
e 
 
2π 
y representa a ordenada (altura da curva para um determinado valor da variável 
x); e = 2,71828 (base do logaritmo neperiano). 
 
 = 3,1416. 
 
• = representa a média da população. 
 
\endash = representa o desvio padrão. 
 
O gráfico (curva normal) dos valores recolhidos por Ivonete ficaria assim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
LEITURAOBRIGATÓRIA 
 
Para calcular a curtose dos dados referentes às idades de seus alunos, Ivonete deveria 
seguir os passos descritos a seguir: 
 
111 Calcular os valores do primeiro e do terceiro quartis, que, no caso de dados 
agrupados, ficariam assim: 
 
g) fi = 4 0 = 1 0 
44 
Q = 2 8 + 
(1 0
 
−1 8) * 4
 = 2 4,4 
 
1 9 
 
3 * ∑ fi = 120 = 3 0 
4 4 
 
Q = 3 4 + 
(3 0
 
−
 
2 7) * 4
 = 3 2,3 
3 7 
 
é Calcular os valores do décimo e do nonagésimo percentis que, no caso de dados 
agrupados, ficariam assim: 
 
 1 0 * ∑ fi 
= 
4 0 
= 4 
 
 
100 1 0 
 
 
 P = 2 8 + (4 −1 8) * 4 = 2 1,8 
 
1 0 
9 
 
 
 9 0 * ∑ fi = 9 0 * 4 0 = 3 6 
 
100 100 
 P = 3 4 + (3 6 − 2 7) * 4 = 3 9,1 
 
9 0 
7 
 
 
 
(3) Por último, calcular o coeficiente de curtose: 
 
k = 
Q3 − Q1 
= 
3 2,3 − 2 4,4 
= 0,228 2 * (P − P ) 2 * (3 9,1 − 2 1,8) 
 9 0 1 0 
 
Observe que, como 0,228 < 0,263, a curva obtida por Ivonete é leptocúrtica. 
 
Busque, no Livro-Texto, mais exemplos como este discutido no caderno e, em seguida, 
resolva os exercícios propostos a você. 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LINKSIMPORTANTES 
 
 
 
Quer saber mais sobre o assunto? 
 
Então: 
 
Sites 
 
Teste os seus conhecimentos: faça exercícios sobre estatística e veja a resolução comentada. 
 
 
Acesse o site “Exercícios – Brasil Escola”. 
 
Disponível em: <http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-estatistica.htm>. 
 
Acesso em: 3 mar. 2014. 
 
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios e consultando a 
resolução comentada. 
 
 
Acesse o site “Portal Action”. 
 
Disponível em: <http://www.portalaction.com.br/1414-4-exerc%C3%ADcios>. Acesso em: 
 
3 mar. 2014. 
 
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios dos principais 
vestibulares ainda existentes no País e consultar a resolução comentada. 
 
 
Acesse o site “Exercícios – Professor Cardy”. 
 
Disponível em: <http://www.profcardy.com/exercicios/area.php?area=ESTAT%CDSTICA>. 
 
Acesso em: 3 mar. 2014. 
 
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios apresentados pelo Enem 
e Enade em diversas edições destes exames e consultar a resolução comentada. 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
LINKSIMPORTANTES 
 
Acesse o site “Matematiquês”. 
 
Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/download.php?tabela=documentos&id=436>. 
 
Acesso em: 3 mar. 2014. 
 
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios e consultando a resolução 
comentada. 
 
 
Vídeos 
 
Assista aos vídeos com exercícios comentados e disponíveis no endereço a seguir a 
respeito de confecção de gráficos. Eles, certamente, esclarecerão muitas de suas dúvidas, 
inclusive a respeito de como confeccioná-los. 
 
Disponíveis em: <http://video-aulas.com/listing/Matem%C3%A1tica/Ensino_M%C3%A9dio/ 
Estat%C3%ADstica/estatistica--exercicios-resolvidos--media-moda-mediana-variancia-desvio-
padrao--pre-enem-abril-educacao-2013--video-aula-1217>. Acesso em: 3 mar. 2014. Os 
exercícios são bastante variados, com linguagem bem acessível, uma vez que se trata de 
produção da Editora Abril Cultural voltada para o público que prestará o Enem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AGORAÉASUAVEZ 
 
 
 
Instruções: 
 
Chegou a hora de você exercitar seu aprendizado por meio das resoluções 
das questões deste Caderno de Atividades. Essas atividades auxiliarão você 
no preparo para a avaliação desta disciplina. Leia cuidadosamente os 
enunciados e atente-se para o que está sendo pedido e para o modo de 
resolução de cada questão. Lembre-se: você pode consultar o Livro-Texto e 
fazer outras pesquisas relacionadas ao tema. 
 
 
 
 
Questão 1: 
 
Em seguida serão apresentadas a média e 
a moda de três diferentes distribuições de 
frequência. Determine o tipo de assimetria 
de cada uma delas e explique o significado 
de assimetria. 
 
Distribuição Média Moda 
A 52 52 
B 45 50 
C 48 46 
 
 
Texto para as questões de 2 a 4: 
 
Observe os dados apresentados na distri-
buição de frequência em seguida: 
 
 
 
 
 
Pontos de um 
Pessoas que acertaram 
teste 
 
4 ι— 8 10 
8 ι— 12 25 
12 ι— 16 35 
16 ι— 20 40 
20 ι— 24 25 
24 ι— 28 10 
28 ι— 32 5 
 
 
Questão 2: 
 
Nesse caso, o valor 16,5 (pontos no teste) é: 
 
g) A mediana. 
 
h) A média aritmética. 
 
16 
 
 
 
AGORAÉASUAVEZ 
 
 
 
k) A moda. 
 
l) A variância. 
 
m) O desvio padrão. 
 
 
Questão 3: 
 
Qual o percentual de valores que se locali-
za entre o último quartil e o P81? 
 
d) 6 
 
e) 19 
 
f) 56 
 
g) 77 
 
h) 81 
 
 
Questão 4: 
 
O sexagésimo percentil divide a área de 
uma distribuição em quantas partes? 
 
g) 2 
 
h) 6 
 
i) 40 
 
j) 60 
 
k) 100 
 
 
Questão 5: 
 
Se numa distribuição há 500 valores, então 
entre o segundo quartil e o quinquagésimo 
percentil quantos valores haverá? 
 
6) 7 
 
7) 13 
 
8) 42 
 
9) 48 
 
10) Não haverá valores. 
 
 
Texto para as questões 6 e 7: 
 
Em uma distribuição de frequências foram 
encontradas as seguintes medidas: 
 
3. Média = 343,18. 
 
4. Moda = 27,50. 
 
5. Mediana = 31,67. 
 
6. Desvio padrão = 12,45. 
 
Nessas condições, calcule o que pedem 
os exercícios 6 e 7. 
 
 
Questão 6: 
 
Classifique o tipo de assimetria. 
 
 
Questão 7: 
 
Calcule o coeficiente de assimetria. 
 
 
 
 
17 
 
 
 
AGORAÉASUAVEZ 
 
 
Questão 8: 
 
Considere a distribuição de frequências re-
lativa às massas corporais (aos pesos) de 
cem operários de uma fábrica: 
 
Massa (kg) No de operários 
50 58 10 
58 66 15 
66 74 25 
74 82 24 
82 90 16 
90 98 10 
 
Determine o grau de assimetria. 
 
 
 
Texto para as questões 9 e 10: 
 
Considere as seguintes medidas, relativas 
a três distribuições de frequências:Distribuições Q1 Q2 
P
10 
P
90 
A 814 935 772 1.012 
 
B 63,7 80,3 55,0 86,6 
 
C 28,8 45,6 20,5 49,8 
 
 
Questão 9: 
 
Calcule os respectivos graus de curtose. 
 
 
Questão 10: 
 
Classifique cada uma das distribuições em 
relação à curva normal. 
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FINALIZANDO 
 
 
 
Neste tema, você conheceu as definições de assimetria e curtose e sua utilidade. 
Aprendeu, principalmente, que estes elementos ampliam sua percepção acerca de uma 
série de dados estatísticos. 
 
Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de 
acessar sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
 
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. 19. ed. atual. São Paulo: Saraiva, 2009. 
 
CUNHA, M.V. Análise Multidimensional de Dados Categóricos. PPGA, UFRGS, 16, 
Porto Alegre, 1997. 
 
FONSECA, J. S, MARTINS, G. Curso de Estatística. São Paulo: Atlas, 1996. 
 
FREITAS & CUNHA CONSULTORES LTDA. Guia do Usuário – Sphinx Léxica 2.08 for 
Windows®. Porto Alegre, 1998. 
 
KOTLER, P. Administração de Marketing: Análise, Planejamento, Implementação e con- 
trole. São Paulo: Atlas, 1996. 
 
LABES, E. M. Questionário: do planejamento à aplicação na pesquisa. Chapecó: 
Grifos, 1998. 
 
LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística e Métodos Quantitativos. 2. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2007. Livro-Texto 136. 
 
19 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
MATTAR, F. N. Pesquisa de Marketing. São Paulo: Atlas, 1996. 
 
ROSSI, C. A. V.; SLONGO, L. A. Pesquisa de satisfação de clientes: o estado-da-arte pro-
posição de um método Brasileiro. In: ENCONTRO ANUAL DA ANPAD, 21., Anais... 1997, 
Rio das Pedras, RJ. p. 124. 
 
SLACK, N. Administração da produção. São Paulo: Atlas, 1997. 
 
 
 
 
 
 
 
GLOSSÁRIO 
 
 
 
Amostra: subconjunto da população. 
 
Assimetria: condição da figura que não é simétrica. 
 
Coeficiente: número que multiplica uma variável ou incógnita. 
 
Curtose: grau de achatamento de uma curva. 
 
Grau: medida, referência. 
 
Simetria: condição da figura cujas partes são espelhos umas das outras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 
 
Questão 1 
 
Resposta: Observando os detalhes da tabela, você deverá obter a seguinte a análise: 
 
simétrica; assimétrica negativa e assimétrica positiva. 
 
Questão 2 
 
Resposta: Alternativa A. 
 
Questão 3 
 
Resposta: Alternativa A. 
 
Questão 4 
 
Resposta: Alternativa A. 
 
Questão 5 
 
Resposta: Alternativa A. 
 
Questão 6 
 
Resposta: Aplicando corretamente as fórmulas, você deverá obter: assimetria positiva. 
 
Questão 7 
 
Resposta: Aplicando corretamente as fórmulas, você deverá obter: 0,364. 
 
Questão 8 
 
Resposta: Aplicando corretamente as fórmulas, você deverá obter: 0,021. 
 
Questão 9 
 
Resposta: Aplicando corretamente as fórmulas, você deverá obter: (A) 0,2532, (B) 0,263 e 
 
• 0,287. 
 
Questão 10 
 
Resposta: Analisando o posicionamento das curvas, você deverá obter: (A) leptocúrtica, 
(B) mesocúrtica e (C) platicúrtica. 
 
 
2
1 
 
 
 
Tema 04 
Probabilidade 
 
 
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e
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õ
e
s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como citar este material: 
 
CARVALHO, Ivonete Melo de. Estatística 
Aplicada: Probabilidade. Caderno de Atividades. 
Valinhos: Anhanguera Educacional, 2014. 
 
 
 
 
 
 
Tema 04 
 
Probabilidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
Introdução ao Estudo da Disciplina 
 
 
Caro(a) aluno(a). 
 
 
 
Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Estatística e Métodos Quantitativos, 
dos autores Ron Larson e Betsy Farber, Editora Pearson Prentice Hall, 2007. Livro-Texto 136. 
 
 
 
Roteiro de Estudo: 
 
Estatística Aplicada Ivonete Melo de Carvalho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTEÚDOSEHABILIDADES 
 
 
 
Conteúdo 
 
Nessa aula você estudará: 
 
• A definição geral de probabilidade e os conceitos elementares de probabilidade. 
 
• A utilidade da probabilidade. 
 
• As fórmulas para calcular os diferentes tipos de probabilidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
CONTEÚDOSEHABILIDADES 
 
Habilidades 
 
Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões: 
 
• O que é e para que serve a teoria das probabilidades? 
 
• O que são e para que servem os diferentes tipos de eventos? 
 
• Por que a probabilidade é medida em porcentagem? 
 
• Qual a importância da probabilidade no mundo atual? 
 
 
 
 
 
 
 
LEITURAOBRIGATÓRIA 
 
 
Probabilidade 
 
Existem diferentes formas de se definir probabilidade. 
 
Pode-se definir probabilidade a partir da frequência relativa (uma frequência relativa é uma 
estimativa de probabilidade). 
 
Então, probabilidade é uma proporção em uma sequência muito grande de experimentos 
(FREITAS, 2003). 
 
Segundo Paccola e Bianchini (1989, p. 143): “Um experimento que pode apresentar 
resultados diferentes, quando repetido nas mesmas condições, é chamado experimento 
aleatório. Chamamos de espaço amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis 
de um experimento aleatório”. 
 
O exemplo mais comum de experimento aleatório é o jogo de um dado não viciado; nesse 
caso, ao se jogar o dado, poderá ocorrer na face superior qualquer um dos números 1 a 6. 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
LEITURAOBRIGATÓRIA 
 
Então, o espaço amostral (representado por S) será dado por: 
 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
n(S) = 6 
 
Outro exemplo comum é o lançamento de uma moeda: 
 
S = {cara, coroa} 
 
n(S) = 2 
 
Sobre o assunto, Paccola e Bianchini (1989, p. 144) dizem: 
 
Chama-se evento (E)1 a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Evento 
Elementar é aquele que possui um único elemento [...] Evento impossível 
s aquele que não possui nenhum elemento [...] Evento Certo é aquele que 
possui todos os elementos do espaço amostral [...] Evento complementar 
t o evento formado pelos elementos de S que não pertencem a E. O evento 
complementar é indicado por E . 
 
Veja os exemplos: 
 
No lançamento de uma moeda, os eventos possíveis de ocorrer são ou cara ou coroa. 
Dizer “as faces que não são cara” determina um evento elementar: coroa (se não é cara só 
pode ser coroa). 
 
Se fosse escolhida a face 12 de uma moeda, observa-se um evento impossível uma vez 
que não existe moeda com um a face 12. 
 
No caso da moeda, o exemplo de evento certo seria: sai cara ou sai coroa. 
 
Já o evento complementar seria: se saiu cara, o evento complementar seria sair coroa e 
vice-versa. 
 
De forma geral, todos os autores concordam que num experimento aleatório, sendo S um 
espaço equiprovável (espaço amostral onde todos os eventos têm a mesma chance de 
ocorrer), a probabilidade de ocorrer um evento (E) qualquer será dada por: 
 
p(E) = n(S)
n(E) 
 
 
 
 
v (E ) inclusão do símbolo no texto original realizado pela autora do caderno. 
 
7 
 
 
 
LEITURAOBRIGATÓRIA 
 
Propriedades: 
 
Se E = φ então p(E) = 0 (0%) 
 
Se E = S então p(E) = 1 (100%) 
 
Em outras palavras, a probabilidade de ocorrer um evento qualquer E é dada por: 
 
0 ≤ p(E) ≤ 1 
 
o u 
 
0 % ≤ p(E) ≤ 100%. 
 
No exemplo das moedas, a probabilidade de ocorrer a face “cara” no lançamentode uma 
moeda é dada por: 
 
S = {cara, coroa} → n(S) = 2 
 
E = {cara} → n(E) = 1 
 
p(E) = 
n
n
(
(
E
S)
)
 = 
1
2 = 0,5 = 5 0% 
 
Também são pontos pacíficos entre os diversos autores as seguintes definições: 
 
A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilidades desses 
eventos menos a probabilidade da intersecção de A com B, isto é p(A B ) = p(A) + p(B) - p(A 
B ) 
 
A soma da probabilidade de ocorrer um evento A com a probabilidade de não ocorrer o 
evento A (ocorrer o complementar de A) será sempre igual a 1, ou seja, p(A) + p (A) = 1 
 
Veja os exemplos: 
 
No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 3 ou um número 
ímpar? (BIANCHINI ; PACCOLA, 1989, p. 147). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
LEITURAOBRIGATÓRIA 
 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6 
 
A = {3} → n(A) = 1 
 
B = {1, 3, 5} → n(B) = 3 
 
A B = {3} {1, 3 , 5 } = {3} ⇒ n(A B ) = 1 
 
1 3 1 3 1 
 
 
Exemplo de probabilidade do evento complementar: uma urna contém 5 bolas brancas, 4 
amarelas e 3 verdes. Escolhendo-se duas bolas ao acaso, determine a probabilidade de 
que: (a) ambas sejam brancas (b) ambas não sejam brancas (BIANCHINI; PACCOLA, 
1989, p. 149). 
 
• Passo 1: calcular de quantas maneiras pode-se escolher duas bolas quaisquer: 
 
n(S) = C2
1 2 = 
1 2! 
= 
1 2 *11*1 0! 
= 
132 
= 6 6 
 
2!*(1 2 − 2) ! 2! *1 0! 2 
 
\endash Passo 2: calcular o número de maneiras de se escolher duas bolas brancas: 
 
n( A) = C25 = 
5! 
= 
5 * 4 * 3! 
= 
2 0 
= 1 0 
2!*(5 − 2) ! 
 
2 2! * 3! 
p( A) = 
n( A) 
= 
1 0 
= 
5 
= 1 5,2% 
 
n(S) 6 6 3 3 
 
 
 
112 Passo 3: calcular o número de maneiras de se escolher duas bolas que não 
sejam brancas: 
 
p( A) = 1 − p( A) = 1 − 0,152 = 8 4,8% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
LEITURAOBRIGATÓRIA 
 
Em Bianchini e Paccola (1989, p. 150) encontram-se o exemplo e a definição: 
 
No sorteio de um número natural e 1 a 10, alguém aposta que vai sair um múltiplo 
de 3. A probabilidade de acerto é, pois, a de ocorrer o evento A = {3, 6, 9}, ou seja, 
p( A) = 1
3
0 . Para causar suspense, a pessoa que realiza o sorteio anuncia que o 
número sorteado é ímpar. Constitui-se assim o evento B = {1, 3, 5, 7, 9}. Após essa 
informação, a probabilidade de acertos passou a ser a de ocorrer o evento A ∩B = 
{3, 9} , tendo agora como espaço amostral o conjunto B. 
 
Indicando a probabilidade de ocorrer o evento A tendo ocorrido o evento B por P(A/B) (Lê-
se P de A dado B), ter-se-á: 
 
P(A /B) = 
n(A ∩ B) 
(n(B) > 0) 
n(B) 
 
Nesse caso: 
P(A / B) = 
n(A
 
∩
 
B)
 = 
2 
n(B) 5 
 
A esse tipo de probabilidade, em que ocorre um evento A tendo ocorrido um evento B, dá-
se o nome de probabilidade condicional de A dado B. 
 
Mais um exemplo, também de Bianchini e Paccola (1989, p. 150): No lançamento de dois 
dados, a soma dos pontos obtidos resultou em 5. Qual a probabilidade de um desses dados 
ter apresentado o número 2? 
 
Para resolver o exercício: 
 
O evento B “soma dos pontos obtidos resultou em 5” é: 
 
B = {(1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1)} 
 
O evento A ∩B “dar a soma 5 e um dos dados apresentar o número 2” é: 
 
A ∩B = {(2, 3); (3, 2)} 
 
Nessas condições: 
P( A / B) = 
n(
 
A
 
∩
 
B)
 = 
1
 = 5 0% 
 
n(B) 2 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
LEITURAOBRIGATÓRIA 
 
Os matemáticos também concordam com a definição de que a probabilidade da intersecção 
de dois eventos A e B é igual à probabilidade de A multiplicada pela probabilidade 
condicional de B, dado A, isto é: 
 
p(A ∩B) = p(A) * p(B / A) 
 
Veja o exemplo de Bianchini e Paccola (1989, p. 151): 
 
Retira-se ao acaso uma bola de uma urna que contém 6 bolas brancas 
numeradas de 1 a 6 e 4 bolas amarelas numeradas de 7 a 10. Se a bola retirada 
é branca, qual é a probabilidade de ter saído um número par? 
 
Solução: 
 
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 10. 
 
Indicando por A o evento “retirar uma bola branca” e por B “retirar uma bola 
com número par”, é evidente que desejamos calcular p(A ∩B) , ou seja, a 
probabilidade de retirar uma bola branca com um número par. Temos: 
p( A) = 1
6
0 = 5
3 
P(B / A) = 
n(A
 
∩
 
B)
 = 
3
 = 
1 
 
n(A) 6 2 
Logo, p( A ∩ B) = p( A) * p(B / A) = 5
3
 * 
1
2 = 1
3
0 
 
Dois eventos são ditos independentes quando o fato de ocorrer um deles não influi na 
possibilidade de ocorrência do outro. Se A e B são eventos independentes, pode-se dizer que: 
 
p(A ∩B) = P(A) * P(B / A) 
 
p(A ∩B) = p(A) * p(B) 
 
Os exemplos são de Bianchini e Paccola (1989, p. 152-153): 
 
Exemplo 1 
 
Uma urna contém 6 bolas brancas e 4 bolas pretas. Retirando-se 
sucessivamente duas bolas ao acaso, com reposição da primeira, qual é a 
probabilidade de ambas serem brancas? 
 
Solução: 
 
Como a 1ª bola retirada foi recolocada na urna, os eventos A e B tornam-se 
independentes, pois o evento “retirar uma bola branca na 2ª vez” não depende 
do que ocorreu na 1ª retirada. 
Assim temos: p( A ∩ B) = p( A) * p(B) = 1
6
0 * 1
6
0 = 100
36
 = 3 6% 
 
 
 
11 
 
 
 
LEITURAOBRIGATÓRIA 
 
Exemplo 2: 
 
Lançando-se um dado três vezes, qual é a probabilidade de se obter: 
 
h) O número 4 somente no terceiro lançamento? 
 
i) Somente uma vez o número 4? 
 
Solução: 
1 
A probabilidade de se obter o número 4 no primeiro lançamento é 6 . Então a 
probabilidade de não se obter o número 4 no primeiro lançamento é 1− 6
1 = 56 . 
1 
A probabilidade de se obter o número 4 no primeiro lançamento também é 6 . 
 
Então a probabilidade de não se obter o número 4 no primeiro lançamento é 
1− 6
1 = 56 . 
 
1 
A probabilidade de se obter o número 4 no primeiro lançamento também é 6 . 
Então, a probabilidade do número 4 ocorrer somente no terceiro lançamento é: 
p = 
5
6 * 
5
6 * 
1
6 = 216
25 
 
O número 4 será obtido somente ou no primeiro ou no segundo ou no terceiro 
lançamento. Então, a probabilidade será igual a três vezes a probabilidade 
anterior: 
p = 3* 216
25
 = 7
2 5
2 
 
 
Pra finalizar, dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de 
um excluía a realização de outro(s). Se os eventos são mutuamente exclusivos, a 
probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de 
ocorrência de cada evento em estudo: p = p1 + p2. 
 
No exemplo da moeda, os eventos “cara” e “coroa” são mutuamente exclusivos. 
 
No exemplo dos dados, a probabilidade de se tirar a face 2 ou a face 5 é de: 
 
p = 
1
6 + 
1
6 = 6
2
 = 
1
3 = 3 3,3% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Teste os seus conhecimentos: resolva exercícios de estatística e consulte a resolução 
comentada. 
 
Acesse o site “Exercícios – Brasil Escola”. 
 
Disponível em: <http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-estatistica.htm>. 
Acesso em: 3 mar. 2014. 
 
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios e consultando a 
resolução comentada. 
 
Acesse o site “Portal Action”. 
 
Disponível em: <http://www.portalaction.com.br/1414-4-exerc%C3%ADcios>. Acesso em: 
3 mar. 2014. 
 
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios dos principais 
vestibulares ainda existentes no País e consultar a resolução comentada. 
 
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