Apostila de Eletromagnetismo Versão 2017

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA – UFU 
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA – FEELT 
Prof. Ivan Nunes Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de 
Eletromagnetismo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uberlândia 
2017 
Universidade Federal de Uberlândia 
Faculdade de Engenharia Elétrica 
Eletromagnetismo 
 
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SUMÁRIO GERAL 
 
Capítulo Conteúdo Página 
1 Análise Vetorial 03 
2 Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico 18 
3 Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência 31 
4 Energia Potencial e Potencial Elétrico 44 
5 Condutores, Dielétricos e Capacitância 61 
6 Equações de Poisson e de Laplace 83 
7 Campo Magnético Estacionário 92 
8 Forças Magnéticas, Materiais e Indutância 114 
9 Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell 134 
 
 
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1 – ANÁLISE VETORIAL 
 
1.1 Escalares e Vetores 
O termo escalar se refere a uma grandeza cujo valor pode ser representado por um único 
número real (positivo ou negativo). Exemplo de grandezas escalares: temperatura, tempo, massa, 
densidade, volume, tensão (voltagem), etc. 
Uma grandeza vetorial tem magnitude, direção e sentido no espaço. Exemplo de grandezas 
vetoriais: força, velocidade, aceleração, densidade de fluxo elétrico, etc. 
Um campo também pode ser definido como escalar ou vetorial. Um exemplo de campo escalar 
é a temperatura em uma tigela de sopa, por outro lado, temos que o campo gravitacional e o 
magnético são exemplos de campo vetorial. 
 
1.2 Álgebra Vetorial 
A álgebra vetorial possui seu conjunto próprio de regras, do qual destacaremos algumas. 
A adição vetorial segue a regra do paralelogramo, conforme figura abaixo. 
 
A adição vetorial obedece à propriedade comutativa, ou seja, 𝐴 + �⃗⃗� = �⃗⃗� + 𝐴 . A adição 
obedece também à propriedade associativa, ou seja, 𝐴 + (�⃗⃗� + 𝐶) = (�⃗⃗� + 𝐴) + 𝐶. 
A regra para a subtração de vetores decorre facilmente da regra para a adição, pois sempre 
podemos expressa 𝐴 − �⃗⃗� como 𝐴 + (−�⃗⃗�); o sinal, ou sentido, do segundo vetor é invertido, e este 
vetor é somado ao primeiro pela regra da adição vetorial. 
 
Observação importante: na figura anterior, extraída do livro de Eletromagnetismo de Jr. W. H. 
Hayt e J. A. Buck, a notação de vetor é dada por meio da letra em negrito, enquanto que em nosso 
curso usaremos a seta sobre a letra para designação de vetor, ou ainda, o acento circunflexo para 
representação de vetores unitários, conforme será explanado. 
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Vetores podem ser multiplicados por escalares. O módulo do vetor se modifica, mas sua 
direção e sentido não, quando o escalar é positivo, embora ele inverta de sentido quando multiplicado 
por um escalar negativo. A multiplicação de um vetor por um escalar também obedece as propriedades 
associativa e distributiva da álgebra, então 
(𝑟 + 𝑠)(𝐴 + �⃗⃗�) = 𝑟(𝐴 + �⃗⃗�) + 𝑠(𝐴 + �⃗⃗�) 
= 𝑟𝐴 + 𝑟�⃗⃗� + 𝑠𝐴 + 𝑠�⃗⃗�
 
A divisão de um vetor por um escalar é meramente a multiplicação do vetor pelo valor do 
inverso do escalar. 
Já a operação de multiplicação de um vetor por outro vetor será discutida mais adiante, ainda 
neste capítulo. 
 
 
1.3 Sistema de Coordenadas Cartesianas (ou Retangulares) 
Para podermos descrever rigorosamente um vetor, alguns comprimentos, direções, ângulos, 
projeções ou componentes específicos devem ser fornecidos. Há três métodos simples de fazê-lo, os 
quais serão esmiuçados neste capítulo. O mais simples destes é a adoção do sistema de coordenadas 
cartesianas ou retangulares. Neste sistema estabelece-se três eixos coordenados que formam ângulos 
retos entre si, denominados de eixos x, y e z. 
Na figura a seguir (a) tem-se um sistema de coordenadas cartesianas do tipo triedro direito, 
em que se usando a mão direita, então o polegar, o indicador e o dedo médio podem ser identificados, 
respectivamente, como os eixos x, y e z. Nesta mesma figura podemos identificar os planos x = 0, y = 0 
e z = 0. 
Tomando-se os ponto 𝑃(1,2,3) e 𝑄(2,−2,1) como exemplo, poderemos identificá-los no 
sistema de coordenadas cartesianas conforme figura (b) a seguir. O ponto P está, portanto, localizado 
no ponto comum da interseção dos planos x = 1, y = 2 e z = 3, enquanto que o ponto Q está localizado 
na interseção dos planos x = 2, y = -2 e z = 1. 
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Podemos, conforme a figura (c) acima, deslocar um ponto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) levemente para um ponto 
𝑃′(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦, 𝑧 + 𝑑𝑧) adicionando-se diferenciais de comprimento. Os dois pontos P e P' formam 
6 planos, conforme já falado, os quais definem um paralelepípedo retângulo cujo o diferencial de 
volume é 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧; as superfícies possuem áreas diferenciais dS de 𝑑𝑥 𝑑𝑦, 𝑑𝑦 𝑑𝑧 e 𝑑𝑧 𝑑𝑥. E 
finalmente, a distância dL de P a P' é a diagonal do paralelepípedo e possui um comprimento diferencial 
√𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2. 
 
1.4 Componentes Vetoriais e Vetores Unitários 
Para descrever um vetor no sistema de coordenadas cartesianas, vamos considerar 
primeiramente um vetor 𝑟 partindo da origem até um ponto P qualquer. 
Se as componentes vetoriais de 𝑟 são �⃗�, �⃗� e 𝑧, então 𝑟 = �⃗� + �⃗� + 𝑧, conforme mostrado na 
figura (a) abaixo. 
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Contudo, o uso das componentes vetoriais da forma que foram apresentadas não é 
comumente empregado. A figura (b) anterior apresenta os vetores unitários fundamentais �̂�𝑥, �̂�𝑦 e �̂�𝑧 
representativos dos eixos cartesianos x, y e z, respectivamente. Considerando um vetor 𝑟 apontando 
da origem ao ponto 𝑃(1,2,3), o mesmo pode ser escrito tendo por base os vetores unitários dos eixos 
cartesianos: 𝑟𝑃 = �̂�𝑥 + 2�̂�𝑦 + 3�̂�𝑧 . Considerando-se um vetor 𝑟 apontando da origem ao ponto 
𝑄(2,−2,1), tem-se 𝑟𝑄 = 2�̂�𝑥 − 2�̂�𝑦 + �̂�𝑧. Um vetor �⃗⃗�𝑃𝑄 de origem no ponto 𝑃(1,2,3) e apontando 
para 𝑄(2,−2,1) seria: 
�⃗⃗�𝑃𝑄 = 𝑟𝑄 − 𝑟𝑃 = (2�̂�𝑥 − 2�̂�𝑦 + �̂�𝑧) − (�̂�𝑥 + 2�̂�𝑦 + 3�̂�𝑧) 
= (2 − 1)�̂�𝑥 + (−2 − 2)�̂�𝑦 + (1 − 3)�̂�𝑧 
= �̂�𝑥 − 4�̂�𝑦 − 2�̂�𝑧
 
Os vetores em questão podem ser vistos na figura (c) anterior. 
Então, qualquer vetor �⃗⃗�, pode ser escrito como �⃗⃗� = 𝐵𝑥�̂�𝑥 + 𝐵𝑦�̂�𝑦 + 𝐵𝑧�̂�𝑧. E o módulo de �⃗⃗�, 
escrito como |�⃗⃗�|, ou simplesmente B, é dado por 
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|�⃗⃗�| = 𝐵 = √𝐵𝑥
2 + 𝐵𝑦
2 + 𝐵𝑧2 
Cada um dos três sistemas de coordenadas a serem discutidos tem seus três vetores unitários 
fundamentais e mutuamente independentes que são usados para analisar qualquer vetor em suas 
componentes vetoriais. 
Os vetores unitários não são limitados a esta aplicação, todo vetor tem seu vetor unitário que 
é facilmente encontrado dividindo o vetor por seu módulo. Então o vetor unitário de �⃗⃗� é 
�̂�𝐵 =
�⃗⃗�
|�⃗⃗�|
=
�⃗⃗�
√𝐵𝑥
2 + 𝐵𝑦
2 + 𝐵𝑧2
 
A notação empregada para todo vetor unitário neste curso será o acento circunflexo sobre a 
letra do vetor, já no livro usa-se tão somente a letra “a” para identificar o mesmo. 
Vale ainda ressaltar, que o vetor 𝑟 apresentado, o qual liga a origem do sistema a um ponto P 
qualquer, é comumente chamado devetor posição. 
 
1.5 Introdução aos Campos 
Todo campo pode ser definido matematicamente como função de um vetor que liga uma 
origem arbitrária a um ponto genérico no espaço. Note que o conceito de campo invariavelmente está 
relacionado a uma região. O campo pode assumir características escalares ou vetorial. 
Em geral para o campo vetorial, o módulo e a direção da função irão variar à medida que nos 
movemos através da região, e o valor da função vetorial deve ser determinado utilizando-se os valores 
das coordenadas do ponto em questão. Já o campo escala terá apenas o módulo variando. E como 
consideramos apenas o sistema de coordenadas cartesianas, devemos esperar que o campo vetorial 
ou escalar seja função das variáveis x, y e z. 
Se novamente representarmos o vetor posição por 𝑟 , então o campo vetorial �⃗� pode ser 
expresso, em notação funcional, como �⃗�(𝑟); enquanto o campo escalar T é escrito como 𝑇(𝑟) , 
havendo, neste caso, variação apenas do módulo da função. 
Pode-se citar como exemplos de campo escalar o campo da temperatura de um líquido no 
interior de um prato de sopa em função do vetor posição, ou ainda, o campo potencial elétrico de uma 
carga pontual. Por outro lado, são exemplos de campo vetorial a velocidade da corrente de água de 
um rio em função do vetor posição, o campo elétrico de uma esfera carregada e o campo magnético 
de um fio conduzindo corrente contínua. 
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1.6 Produto Escalar 
Dados dois vetores 𝐴 e �⃗⃗�, o produto escalar, ou produto interno, é definido como o produto 
entre o módulo de 𝐴, o módulo de �⃗⃗� e o cosseno do menor ângulo entre eles. Assim, 
𝐴 ∙ �⃗⃗� = |𝐴||�⃗⃗�| 𝑐𝑜𝑠𝜃𝐴𝐵 
Percebe-se, que um ponto aparece entre os dois vetores. O mesmo deve ser forte para dar 
mais ênfase, lê-se “A escalar B”. O produto escalar tem como resultado um escalar, como o próprio 
nome indica, e obedece à propriedade comutativa, pois o sinal do ângulo não afeta o termo cosseno, 
ou seja, 
𝐴 ∙ �⃗⃗� = �⃗⃗� ∙ 𝐴 
A determinação do ângulo entre dois vetores no espaço tridimensional é muitas vezes um 
trabalho que se prefere evitar. Por essa razão, a definição de produto escalar normalmente não é 
usada em sua forma básica. 
Um resultado mais útil é obtido considerando-se dois vetores cujas componentes cartesianas 
são dadas por 𝐴 = 𝐴𝑥�̂�𝑥 + 𝐴𝑦�̂�𝑦 + 𝐴𝑧�̂�𝑧 e �⃗⃗� = 𝐵𝑥�̂�𝑥 + 𝐵𝑦�̂�𝑦 + 𝐵𝑧�̂�𝑧. O produto escalar também 
obedece à propriedade distributiva, portanto, 𝐴 ∙ �⃗⃗� fornece uma soma de nove termos escalares, cada 
um envolvendo o produto escalar de dois vetores unitários. Então, 
𝐴 ∙ �⃗⃗� = (𝐴𝑥�̂�𝑥 + 𝐴𝑦�̂�𝑦 + 𝐴𝑧�̂�𝑧 ) ∙ (𝐵𝑥�̂�𝑥 + 𝐵𝑦�̂�𝑦 + 𝐵𝑧�̂�𝑧) 
 = 𝐴𝑥𝐵𝑥(�̂�𝑥 ∙ �̂�𝑥) + 𝐴𝑥𝐵𝑦(�̂�𝑥 ∙ �̂�𝑦) + 𝐴𝑥𝐵𝑧(�̂�𝑥 ∙ �̂�𝑧) 
 + 𝐴𝑦𝐵𝑥(�̂�𝑦 ∙ �̂�𝑥) + 𝐴𝑦𝐵𝑦(�̂�𝑦 ∙ �̂�𝑦) + 𝐴𝑦𝐵𝑧(�̂�𝑦 ∙ �̂�𝑧) 
 + 𝐴𝑧𝐵𝑥(�̂�𝑧 ∙ �̂�𝑥) + 𝐴𝑧𝐵𝑦(�̂�𝑧 ∙ �̂�𝑦) + 𝐴𝑧𝐵𝑧(�̂�𝑧 ∙ �̂�𝑧) 
como o ângulo entre dois vetores unitários diferentes no sistema de coordenadas cartesianas é 90°, 
temos 
�̂�𝑥 ∙ �̂�𝑦 = �̂�𝑥 ∙ �̂�𝑧 = �̂�𝑦 ∙ �̂�𝑥 = �̂�𝑦 ∙ �̂�𝑧 = �̂�𝑧 ∙ �̂�𝑥 = �̂�𝑧 ∙ �̂�𝑦 = 0 
Os três termos restantes envolvem o produto escalar de um vetor unitário por ele mesmo, o 
que é igual à unidade, finalmente obtendo-se: 
𝐴 ∙ �⃗⃗� = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧 
que é uma expressão que não envolve ângulos. 
Vale ressaltar que, o produto escalar de um vetor por ele mesmo é o quadrado de seu módulo, 
ou seja, 
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𝐴 ∙ 𝐴 = |𝐴|
2
= 𝐴2 
e o produto escalar de qualquer vetor unitário por ele mesmo é igual à unidade, ou seja, �̂�𝐴 ∙ �̂�𝐴 = 1. 
Uma das aplicações mais importantes do produto escalar é o cálculo da componente de um 
vetor dada uma certa direção. Podemos obter a componente (escalar) de �⃗⃗� na direção especificada 
pelo vetor unitário �̂� como 
�⃗⃗� ∙ �̂� = |�⃗⃗�||�̂�|𝑐𝑜𝑠𝜃𝐵𝑎 = |�⃗⃗�|𝑐𝑜𝑠𝜃𝐵𝑎 
Neste caso é usado o termo projeção. Assim, �⃗⃗� ∙ �̂� é a projeção do vetor �⃗⃗� na direção �̂�, 
conforme pode ser observado na figura a seguir. 
 
Para obtermos a componente vetorial de �⃗⃗� na direção de �̂�, multiplicamos a componente 
escalar (projeção) por �̂�, como ilustrado na figura que se segue, ficando (�⃗⃗� ∙ �̂�)�̂�. 
 
 
1.7 Produto Vetorial 
Dados dois vetores 𝐴 e �⃗⃗�, definiremos agora o produto vetorial, ou produto cruzado, de 𝐴 e 
�⃗⃗�, escrito com uma cruz entre os dois vetores, como 𝐴 × �⃗⃗�, e lido “A vetorial B”. 
O produto vetorial 𝐴 × �⃗⃗� é um vetor; o módulo de 𝐴 × �⃗⃗� é igual ao produto dos módulos de 
𝐴, �⃗⃗� e o seno do menor ângulo entre 𝐴 e �⃗⃗�; a direção de 𝐴 × �⃗⃗� é perpendicular ao plano que contém 
𝐴 e �⃗⃗� e está ao longo de duas possíveis perpendiculares, todavia escolhe-se aquela que está no sentido 
do avanço de um parafuso direito à medida que 𝐴 é girado para �⃗⃗�, conforme figura a seguir. 
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Outra forma de determinar o sentido do vetor �̂�𝑁 é por meio da regra da mão direita. Sendo 
esta regra de mais fácil análise. 
Na forma de equação, podemos escrever 
𝐴 × �⃗⃗� = �̂�𝑁 |𝐴||�⃗⃗�| 𝑠𝑒𝑛𝜃𝐴𝐵 
O produto vetorial não é comutativo, já que 𝐴 × �⃗⃗� = −(�⃗⃗� × 𝐴). 
Se a definição de produto vetorial é aplicada aos vetores unitários �̂�𝑥 e �̂�𝑦 , encontramos 
�̂�𝑥 × �̂�𝑦 = �̂�𝑧, onde cada vetor possui módulo unitário, os dois vetores são perpendiculares e a rotação 
de �̂�𝑥 para �̂�𝑦 indica a direção positiva de z pela definição do sistema de coordenadas do tipo triedro 
direito. De maneira semelhante, �̂�𝑦 × �̂�𝑧 = �̂�𝑥 e �̂�𝑧 × �̂�𝑥 = �̂�𝑦. 
O cálculo do produto vetorial por meio de sua definição exige mais trabalho do que o cálculo 
do produto escalar, porém este trabalho pode ser evitado usando-se as componentes cartesianas para 
os dois vetores 𝐴 e �⃗⃗� e expandindo-se o produto vetorial como a soma de nove produtos vetoriais, 
cada um envolvendo dois vetores unitários. 
𝐴 × �⃗⃗� = (𝐴𝑥�̂�𝑥 + 𝐴𝑦�̂�𝑦 + 𝐴𝑧�̂�𝑧 ) × (𝐵𝑥�̂�𝑥 + 𝐵𝑦�̂�𝑦 + 𝐵𝑧�̂�𝑧) 
 = 𝐴𝑥𝐵𝑥(�̂�𝑥 × �̂�𝑥) + 𝐴𝑥𝐵𝑦(�̂�𝑥 × �̂�𝑦) + 𝐴𝑥𝐵𝑧(�̂�𝑥 × �̂�𝑧) 
 + 𝐴𝑦𝐵𝑥(�̂�𝑦 × �̂�𝑥) + 𝐴𝑦𝐵𝑦(�̂�𝑦 × �̂�𝑦) + 𝐴𝑦𝐵𝑧(�̂�𝑦 × �̂�𝑧) 
 + 𝐴𝑧𝐵𝑥(�̂�𝑧 × �̂�𝑥) + 𝐴𝑧𝐵𝑦(�̂�𝑧 × �̂�𝑦) + 𝐴𝑧𝐵𝑧(�̂�𝑧 × �̂�𝑧) 
Já vimos que �̂�𝑥 × �̂�𝑦 = �̂�𝑧, �̂�𝑦 × �̂�𝑧 = �̂�𝑥 e �̂�𝑧 × �̂�𝑥 = �̂�𝑦. Os três termos remanescentes são 
iguais a zero, pois o produto vetorial de qualquer vetor por ele mesmo é igual a zero, já que o seno do 
ângulo envolvido é nulo. Estes resultados podem ser combinados para se obter 
𝐴 × �⃗⃗� = (𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦)�̂�𝑥 + (𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐴𝑥𝐵𝑧)�̂�𝑦 + (𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥)�̂�𝑧 
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que pode ser escrita como um determinante, numa forma mais fácil de ser lembrada: 
𝐴 × �⃗⃗� = |
�̂�𝑥 �̂�𝑦 �̂�𝑧
𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
| 
Usando-se o cálculo do produto vetorial por meio desta matriz não há necessidade da 
aplicação de qualquer regra adicional para se encontrar o vetor normal, uma vez que o mesmo já será 
determinado pela resolução da equação. 
 
1.8 Sistema de Coordenadas Cilíndricas Circulares 
O sistema de coordenadas cartesianas é, em geral, o preferido dos estudantes, contudo 
existem vários problemas ondea simetria pede um tratamento mais adequado para sua resolução. 
O sistema de coordenadas cilíndricas (com o objetivo de facilitar, não usaremos o termo 
“circulares”, apesar de existirem outros tipos de sistemas de coordenadas cilíndricas) é uma versão 
tridimensional das coordenadas polares da geometria analítica. No sistema de coordenadas polares 
bidimensional, um ponto é localizado em um plano dando-se a sua distância 𝜌 da origem e o ângulo 𝜙 
entre a linha do ponto à origem e uma linha radial arbitrária, tomada como 𝜙 = 0. Um sistema de 
coordenadas tridimensionais cilíndricas circulares é obtido especificando-se a distância z do ponto a 
um plano arbitrário 𝑧 = 0, perpendicular à reta 𝜌 = 0. 
No sistema de coordenadas cilíndricas não mais consideraremos os três eixos como nas 
coordenada cartesianas, todavia o ponto continua sendo definido pela interseção de três superfícies 
mutuamente perpendiculares. Estas superfícies são: uma cilíndrica circular (𝜌 = constante), uma plana 
(𝜙 = constante) e uma outra também plana (𝑧 = constante), conforme pode ser visto na figura (a) 
abaixo. 
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Os vetores unitários apontam na direção crescente dos valores das coordenadas e são 
perpendiculares à superfície na qual esta coordenada é constante, sendo os três vetores especificados 
como: �̂�𝜌, �̂�𝜙 e �̂�𝑧. A figura (b) anterior mostra estes três vetores. 
Os vetores unitários são novamente mutuamente perpendiculares, pois cada um é normal a 
uma das três superfícies mutuamente perpendiculares, definindo-se, um sistema de coordenadas 
cilíndricas do tipo triedro direito, no qual �̂�𝜌 × �̂�𝜙 = �̂�𝑧 ou um sistema no qual o polegar, o indicador 
e o dedo médio da mão direita apontam, respectivamente, na direção crescente de 𝜌, 𝜙 e 𝑧. 
Um elemento diferencial de volume em coordenadas cilíndricas pode ser obtido aumentando-
se 𝜌, 𝜙 e 𝑧 de incrementos diferenciais 𝑑𝜌, 𝑑𝜙 e 𝑑𝑧. Os dois cilindros de raios 𝜌 e 𝜌 + 𝑑𝜌, os dois 
planos radiais nos ângulos 𝜙 e 𝜙 + 𝑑𝜙 e os dois planos “horizontais” nas “elevações” 𝑧 e 𝑧 + 𝑑𝑧 
limitam um pequeno volume, como mostrado na figura (c) anterior. Note que 𝑑𝜌 e 𝑑𝑧 têm dimensões 
de comprimento, mas 𝑑𝜙 não tem; 𝜌 𝑑𝜙 é o comprimento. O volume aproximado da figura será dado 
por 𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝑧, pois a forma do elemento de volume, por ser muito pequeno, aproxima-se à de um 
paralelepípedo. 
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As variáveis dos sistemas de coordenadas retangular e cilíndrico são facilmente relacionadas 
umas com as outras. Temos que 
𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜙 
𝑦 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜙 
𝑧 = 𝑧 
Do outro ponto de vista, podemos expressar as variáveis cilíndricas em temos de x, y e z 
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 (𝜌 > 0) 
𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑦
𝑥
 (𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒) 
𝑧 = 𝑧 
O valor adequado do ângulo 𝜙 é determinado por inspeção dos sinais de x e y, para encontrar 
o quadrante do ângulo. 
Dado o vetor cartesiano 
𝐴 = 𝐴𝑥�̂�𝑥 + 𝐴𝑦�̂�𝑦 + 𝐴𝑧�̂�𝑧 
desejamos encontrar o mesmo vetor, porém em coordenadas cilíndricas, do tipo 
𝐴 = 𝐴𝜌�̂�𝜌 + 𝐴𝜙�̂�𝜙 + 𝐴𝑧�̂�𝑧 
Para determinar qualquer componente de um vetor em uma direção desejada, basta fazer o 
produto escalar entre o vetor e o vetor unitário na direção desejada. Assim, 
𝐴𝜌 = 𝐴 ⋅ �̂�𝜌 
𝐴𝜙 = 𝐴 ⋅ �̂�𝜙 
𝐴𝑧 = 𝐴 ⋅ �̂�𝑧 
desenvolvendo-se as equações, tem-se 
𝐴𝜌 = (𝐴𝑥�̂�𝑥 + 𝐴𝑦�̂�𝑦 + 𝐴𝑧�̂�𝑧) ⋅ �̂�𝜌 = 𝐴𝑥(�̂�𝑥 ⋅ �̂�𝜌) + 𝐴𝑦(�̂�𝑦 ⋅ �̂�𝜌) 
𝐴𝜙 = (𝐴𝑥�̂�𝑥 + 𝐴𝑦�̂�𝑦 + 𝐴𝑧�̂�𝑧) ⋅ �̂�𝜙 = 𝐴𝑥(�̂�𝑥 ⋅ �̂�𝜙) + 𝐴𝑦(�̂�𝑦 ⋅ �̂�𝜙) 
𝐴𝑧 = (𝐴𝑥�̂�𝑥 + 𝐴𝑦�̂�𝑦 + 𝐴𝑧�̂�𝑧) ⋅ �̂�𝑧 = 𝐴𝑧 
Analisando-se a figura abaixo, podemos identificar o ângulo entre �̂�𝑥 e �̂�𝜌 como sendo 𝜙, e 
assim, �̂�𝑥 ⋅ �̂�𝜌 = 𝑐𝑜𝑠𝜙; já o ângulo entre �̂�𝑦 e �̂�𝜌 como sendo 90° − 𝜙 e assim, �̂�𝑦 ⋅ �̂�𝜌 = 𝑠𝑒𝑛𝜙. Os 
produtos escalares entre os vetores unitários estão resumidos na tabela abaixo. 
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Produtos escalares entre os vetores unitários dos sistemas de 
coordenadas retangular e cilíndrico 
 �̂�𝜌 �̂�𝜙 �̂�𝑧 
�̂�𝒙 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜙 0 
�̂�𝒚 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 0 
�̂�𝒛 ⋅ 0 0 1 
 
Vale ressaltar que para a mudança de qualquer vetor de um sistema de coordenada para outro, 
é necessário saber o ponto de origem do mesmo, conforme será melhor compreendido a partir da 
realização de exercícios práticos. 
Complementarmente, podemos também traformar um vetor de coordenadas cilíndrica para 
cartesiana por meio do mesmo procedimento supra-apresentado, todavia, nesta situação, as 
projeções serão feita na direção dos eixo x, y e z do sistema cartesiano. 
A transformação de campos vetoriais de coordenadas cartesianas para cilíndricas ou vice-versa 
é efetuada usando-se as equações de transformação de escalares, mostradas anteriormente, e os 
produtos escalares entre os vetores unitários dados na tabela acima. 
 
1.9 Sistema de Coordenadas Esféricas 
A figura (a) abaixo mostra o sistema de coordenadas esféricas sobre os três eixos cartesianos. 
Inicialmente, definimos a distância da origem a qualquer ponto como 𝑟. A superfície 𝑟 = constante é 
uma esfera. 
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A segunda coordenada é o ângulo 𝜃 entre o eixo 𝑧 e a linha desenhada da origem ao ponto em 
questão. A superfície 𝜃 = constante é um cone. 
A terceira coordenada é o ângulo ∅ , exatamente o mesmo ângulo ∅ das coordenadas 
cilíndricas. Ele é o ângulo entre o eixo 𝑥 e a projeção no plano 𝑧 = 0 da linha desenhada da origem ao 
ponto. A superfície ∅ = constante é um plano que inicia no eixo 𝑧 e vai até o infinito (plano semi-
infinito). 
Podemos novamente considerar qualquer ponto como a interseção de três superfícies 
mutuamente perpendiculares – uma esfera, um cone e um plano – cada uma orientada na maneira 
descrita anteriormente e mostrada na figura (b) acima. 
Os três vetores unitários são �̂�𝒓 , �̂�𝜽 e �̂�𝝓 . Os mesmos encontram-se mutuamente 
perpendiculares e definem um sistema de coordenadas esféricas do tipo triedro direito, em que, 
�̂�𝒓 × �̂�𝜽 = �̂�𝝓 . Pela regra da mão direita o polegar, o indicador e o dedo médio indicam, 
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respectivamente, 𝑟, 𝜃 e ∅, conforme pode ser visualizado na figura (c) acima. Note que a componente 
∅, diferentemente do que foi verificado nas coordenadas cilíndricas, é o 3º termo e não o 2º. 
Um elemento diferencial de volume pode ser construído em coordenadas esféricas 
aumentando-se 𝑟, 𝜃 e ∅ por 𝑑𝑟, 𝑑𝜃 e 𝑑∅, como mostra a figura (d) anterior. A distância entre as duas 
superfícies de raios 𝑟 e 𝑟 + 𝑑𝑟 é 𝑑𝑟; a distância entre os cones com ângulos de geração 𝜃 e 𝜃 + 𝑑𝜃 é 
𝑟 𝑑𝜃 e a distância entre os dois planos radiais de ângulos ∅ e ∅ + 𝑑∅ é calculado como sendo 
𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑∅. O volume aproximado do elemento será 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑∅. 
A transformação de escalares do sistema de coordenadas esféricas para cartesianas pode ser 
feita usando-se 
𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙 
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 
A transformação no sentido inverso é realizada com a ajuda de 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 (𝑟 > 0) 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛√𝑥2 + 𝑦2
𝑧
 (0° < 𝜃 < 180°) (𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒) 
𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑦
𝑥
 (𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒) 
A transformação dos vetores requer a determinação dos produtos vetoriais entre os vetores 
unitários das coordenadas cartesianas e esféricas. Os produtos são obtidos de maneira análoga ao 
exposto para as coordenadas cilíndricas. Os mesmos podem ser observados na tabela a seguir. 
 
Produtos escalares entre os vetores unitários dos sistemas de 
coordenadas retangular e esférico 
 �̂�𝒓 �̂�𝜽 �̂�∅ 
�̂�𝒙 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 −𝑠𝑒𝑛𝜙 
�̂�𝒚 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 
�̂�𝒛 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃 0 
 
Pode-se, também, transformar os escalares do sistema de coordenadas esféricas para 
cilíndricas, para tanto, deve-se usar 
𝜌 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝜙 = 𝜙 
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 
A transformação no sentido inverso será 
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𝑟 = √𝜌2 + 𝑧2 (𝑟 > 0) 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝜌
𝑧 
 (0° < 𝜃 < 180°) (𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒) 
𝜙 = 𝜙 
Já a transformação dos vetores requer novamente a determinação dos produtos vetoriais 
entre os vetores unitários das coordenadas cilíndricas e esféricas. Estes podem ser observados na 
tabela a seguir. 
 
Produtos escalares entre os vetores unitários dos sistemas de 
coordenadas cilíndrico e esférico 
 �̂�𝒓 �̂�𝜽 �̂�∅ 
�̂�𝝆 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 
�̂�∅ ⋅ 0 0 1 
�̂�𝒛 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃 0 
 
Observação 1: quando se diz "𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒", há a necessidade, no caso do ângulo 
encontrado não ser condizente com a expectativa, de se soma 180° ao mesmo. Isto é verdade para 
todas as operações envolvendo 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛. 
Observação 2: todas as transformações de vetores, de um sistema de coordenada para outro, 
feitas neste capítulo, foram realizadas considerando que os sistemas possuem um ponto de origem 
comum. Todavia, caso a origem dos distintos sistemas seja pontos distintos, haverá necessidade de se 
realizar uma operação de translação para o cálculo do ponto de partida do vetor a ser transformado. 
Neste sentido, neste nosso curso, quando necessário, será realizado uma explanação apropriada 
abordando tal operação. 
 
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2 – LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 
 
2.1 Lei de Coulomb 
Lei de Coulomb: a força elétrica aplicada por um corpo carregado em outro, depende 
diretamente do produto das intensidades das cargas presentes em cada corpo e inversamente do 
quadrado de suas distâncias, ou seja, 
𝐹 = 𝑘
𝑄1𝑄2
𝑅2
 [𝑁] 
Onde k é chamada de constante de Coulomb. Esta equação é aplicada para objetos carregados 
cujo tamanho é muito menor que a distância entre estes, ou seja, somente para cargas pontuais. 
A constante k é dada por 
𝑘 =
1
4𝜋𝜀0
 
onde 𝜀0 é conhecida por constante elétrica ou constante de permissividade do ar, sendo seu valor, no 
SI (Sistema Internacional), igual a 
𝜀0 = 8,85418781762𝑥10
−12 =
1
36𝜋
10−9 𝐶2 𝑁.𝑚2⁄ 
𝑘 = 8,99𝑥109 𝑁.𝑚2 𝐶2⁄ 
A lei de Coulomb é agora escrita como 
𝐹 =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜀0𝑅2
 
Para podermos representa o vetor força da lei de Coulomb, precisamos saber se a força que 
atua sobre as cargas é de repulsão ou atração. Pois, como é sabido, cargas de mesmos sinais se repelem 
e cargas de sinais contrários se atraem. Todavia, neste curso, as equações serão, via de regra, 
desenvolvidas de modo a chegarmos a resultados definitivos sem que, para isto, haja a necessidade 
de análises complementares, conforme poderemos notar através do equacionamento final a seguir. 
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19 
 
Na figura acima, temos o vetor 𝑟1 localizando 𝑄1 enquanto 𝑟2 localiza 𝑄2 . Então o vetor 
�⃗⃗�12 = 𝑟2 − 𝑟1 representa o segmento de reta orientado de 𝑄1 para 𝑄2, como mostrado. O vetor �⃗�2 é 
a força em 𝑄2 e é mostrado para o caso em que 𝑄1 e 𝑄2 possuem o mesmo sinal. A forma vetorial da 
lei de Coulomb será 
�⃗�2 =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜀0𝑅12
2 �̂�12 
onde �̂�12 é o vetor unitário na mesma direção �⃗⃗�12. Esta equação pode ser considerada uma equação 
genérica, uma vez que a mesma pode ser aplicadas a qualquer tipo interação (atração ou repulsão). 
A força expressa pela lei de Coulomb é uma força mútua de ação e reação, já que cada uma 
das duas cargas experimenta uma força de mesma intensidade direção, apesar de sentidos opostos. 
Assim, a força sobre a carga 1 será: 
�⃗�1 = −�⃗�2 =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜀0𝑅21
2 �̂�21 
 
2.2 Intensidade de Campo Elétrico 
Se considerarmos uma carga fixa numa posição 𝑄1, e lentamente movermos uma segunda 
carga, chamada de carga de teste 𝑄𝑡, em torno da primeira, notaremos que existe por toda parte uma 
força nesta segunda carga; em outras palavras, esta segunda carga está mostrando a existência de um 
campo de força. A força sobre ela é dada por 
�⃗�𝑡 =
𝑄1𝑄𝑡
4𝜋𝜀0𝑅1𝑡
2 �̂�1𝑡 
A intensidade de campo elétrico é definida pela razão da força observada nesta carga teste - 
�⃗�𝑡 - pela unidade da carga teste - 𝑄𝑡. Usando a letra maiúscula 𝐸 para a intensidade do campo elétrico, 
temos 
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20 
�⃗⃗� =
�⃗�𝑡
𝑄𝑡
=
𝑄1
4𝜋𝜀0𝑅1𝑡
2 �̂�1𝑡 
A intensidade do campo elétrico deve ser medida em unidades de Newton por Coulomb, ou 
ainda, volts por metro, conforme será deduzido posteriormente. Dispensando-se os índices, podemos 
reescrever a equação anterior como 
�⃗⃗� =
𝑄
4𝜋𝜀0𝑅2
�̂�𝑅 
Relembrando que 𝑅 é a magnitude do vetor �⃗⃗�, segmento de reta orientado do ponto no qual 
a carga pontual 𝑄 está localizada ao ponto no qual �⃗⃗� é desejado, e que �̂�𝑅 é um vetor unitário na 
direção de �⃗⃗�. 
Se localizarmos 𝑄 no centro do sistema de coordenadas esféricas, o vetor unitário �̂�𝑅, então, 
se torna o vetor unitário radial �̂�𝑟, e 𝑅 é 𝑟. Assim, 
�⃗⃗� =
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟2
�̂�𝑟 
Já se escrevermos esta expressão em coordenadas cartesianas para a carga na origem, temos 
�⃗⃗� = 𝑟 = 𝑥�̂�𝑥 + 𝑦�̂�𝑦 + 𝑧�̂�𝑧 e �̂�𝑟 =
𝑥�̂�𝑥+𝑦�̂�𝑦+𝑧�̂�𝑧
√𝑥2+𝑦2+𝑧2
, portanto, 
�⃗⃗� =
𝑄
4𝜋𝜀0(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
(
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
�̂�𝑥 +
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
�̂�𝑦 +
𝑧
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
�̂�𝑧) 
Então, pode-se notar que o sistema de coordenadas esféricas, devido à simetria do problema 
em questão, é o mais adequado para uma representação (quando a carga encontra-se localizada na 
origem do sistema). 
Se considerarmos a carga deslocada da origem do sistema, o campo não mais possuirá simetria 
esférica, e teremos que usar coordenadas cartesianas. Para uma carga 𝑄 localizada no ponto 
𝑟′ = 𝑥′�̂�𝑥 + 𝑦
′�̂�𝑦 + 𝑧
′�̂�𝑧 , como mostrada na figura abaixo, encontramos o campo num ponto 
genérico 𝑟 = 𝑥�̂�𝑥 + 𝑦�̂�𝑦 + 𝑧�̂�𝑧, expressando �⃗⃗� como 𝑟 − 𝑟
′, e então 
�⃗⃗�(𝑟) =
𝑄
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟′|2
 
𝑟 − 𝑟′
|𝑟 − 𝑟′|
 
�⃗⃗�(𝑟) =
𝑄(𝑟 − 𝑟′)
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟′|3
 
�⃗⃗�(𝑟) =
𝑄[(𝑥 − 𝑥′)�̂�𝑥 + (𝑦 − 𝑦
′)�̂�𝑦 + (𝑧 − 𝑧
′)�̂�𝑧]
4𝜋𝜀0[(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + (𝑧 − 𝑧′)2]3/2
 
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Para o caso em que se pretende encontrar a intensidade de campo elétrico provenientede 
várias cargas pontuais, basta somar vetorialmente o campo devido a cada uma destas cargas, ou seja, 
�⃗⃗�(𝑟) =
𝑄1
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟1
′|2
�̂�1 +
𝑄2
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟2
′|2
�̂�2 + ⋯ +
𝑄𝑛
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟𝑛
′|2
�̂�𝑛 
A figura a seguir apresenta um exemplo da soma vetorial da intensidade de campo elétrico 
total em um ponto P devido a duas cargas pontuais 𝑄1 e 𝑄2. 
 
 
 
 
 
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2.3 Distribuições Contínuas de Cargas 
Caso tenhamos uma distribuição de carga ao longo de um volume qualquer, podemos 
representar a densidade volumétrica de carga por 𝜌𝑣, tendo a unidade de Coulomb por metro cúbico 
(C/m3). 
Uma pequena quantidade de carga Δ𝑄 em um pequeno volume Δ𝑣 é 
Δ𝑄 = 𝜌𝑣 Δ𝑣 
A carga total dentro de um volume finito é obtida pela integração através deste volume, 
𝑄 = ∭𝜌𝑣 𝑑𝑣
 
𝑣𝑜𝑙.
 
Muito embora a indicação de uma integração tripla, normalmente apenas um sinal de 
integração é indicado, porém o diferencial 𝑑𝑣 significará integração através de um volume, portanto, 
uma integração tripla. 
Caso a carga esteja distribuída ao longo de uma área, teremos uma distribuição superficial de 
carga. A mesma é representada por 𝜌𝑆, que é a densidade superficial de carga com unidade dada em 
Coulomb por metro quadrado (C/m2). Então, 
𝑄 = ∬𝜌𝑆 𝑑𝑆
 
𝑠𝑢𝑝.
 
E, por fim, para uma distribuição de cargas ao longo de uma linha, temos a densidade linear 
de carga, que é representada por 𝜌𝐿, cuja a unidade é Coulomb por metro (C/m). Assim, 
𝑄 = ∫𝜌𝐿 𝑑𝐿 
 
2.4 Campo de uma Linha de Cargas 
Consideremos uma linha reta de cargas ao longo do eixo z no sistema de coordenadas 
cilíndricas (devido à simetria existente) de −∞ a ∞, como mostra a figura a seguir. Neste caso, temos 
uma densidade linear de carga dada por 𝜌𝐿. Desejamos a intensidade do campo elétrico �⃗⃗� em todo e 
qualquer ponto resultante desta linha de cargas de densidade uniforme (𝜌𝐿 constante). 
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23 
 
Escolhemos um ponto 𝑃(0, 𝑦, 0) no eixo y no qual determinaremos o campo. Aplicando-se a 
equação da intensidade de campo de cargas pontuais para determinar o campo incremental em P 
devido à carga incremental tem-se: 
𝑑𝑄 = 𝜌𝐿 𝑑𝑧
′ 
Assim, 
�⃗⃗�(𝑟) =
𝑄(𝑟 − 𝑟′)
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟′|3
 (para carga pontual) 
𝑑�⃗⃗� =
𝜌𝐿 𝑑𝑧
′(𝑟 − 𝑟′)
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟′|3
 (para carga incremental numa linha de cargas) 
onde 
𝑟 = 𝑦�̂�𝑦 = 𝜌�̂�𝜌 
𝑟′ = 𝑧′�̂�𝑧 
e 
𝑟 − 𝑟′ = 𝜌�̂�𝜌 − 𝑧
′�̂�𝑧 
Portanto, 
𝑑�⃗⃗� =
𝜌𝐿 𝑑𝑧
′(𝜌�̂�𝜌 − 𝑧
′�̂�𝑧)
4𝜋𝜀0(𝜌2 + 𝑧′2)3/2
 
De forma genérica: 
𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝐸𝜌�̂�𝜌 + 𝑑𝐸𝜙�̂�𝜙 + 𝑑𝐸𝑧�̂�𝑧 
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Pode-se perceber, por meio da figura, que a componente 𝐸𝑧 será nula devido a simetria, 
restando tão somente 𝐸𝜌, então 
𝑑𝐸𝜌 =
𝜌𝐿 𝜌 𝑑𝑧
′
4𝜋𝜀0(𝜌2 + 𝑧′2)3/2
 
e 
𝐸𝜌 = ∫
𝜌𝐿 𝜌 𝑑𝑧
′
4𝜋𝜀0(𝜌2 + 𝑧′2)3/2
∞
−∞
 
Integrando a expressão, tem-se 
𝐸𝜌 =
𝜌𝐿
4𝜋𝜀0
𝜌 (
1
𝜌2
𝑧′
√𝜌2 + 𝑧′2
)
−∞
∞
 
e 
𝐸𝜌 =
𝜌𝐿
2𝜋𝜀0𝜌
 
ou, de forma vetorial: 
�⃗⃗� =
𝜌𝐿
2𝜋𝜀0𝜌
�̂�𝜌 
Esta é a resposta desejada, mas há outras maneiras de obtê-la. Por outro lado, vale ressaltar 
que, caso calculemos a integral de 𝐸𝑧, encontraremos como resultado, zero, ou seja, 
𝐸𝑧 = ∫
−𝑧′𝜌𝐿 𝑑𝑧
′
4𝜋𝜀0(𝜌2 + 𝑧′2)3/2
∞
−∞
= 0 
Devemos também examinar o fato de que nem todas as linhas de carga estão localizadas ao 
longo do eixo z. Como exemplo, consideremos uma linha de cargas infinita paralela ao eixo z em 
𝑥 = 6 , 𝑦 = 8 , como mostrada na figura abaixo. Desejamos determinar �⃗⃗� em um ponto genérico 
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧). 
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25 
 
Na equação da intensidade de campo encontrada para a linha de carga infinita, substitui-se 𝜌 
pela distância radial entre a linha de carga e o ponto P, 𝑅 = √(𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 8)2 e consideramos �̂�𝜌 
como sendo �̂�𝑅. Assim, 
�⃗⃗� =
𝜌𝐿
2𝜋𝜀0√(𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 8)2
�̂�𝑅 
onde 
�̂�𝑅 =
�⃗⃗�
|�⃗⃗�|
=
(𝑥 − 6)�̂�𝑥 + (𝑦 − 8)�̂�𝑦
√(𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 8)2
 
Portanto, 
�⃗⃗� =
𝜌𝐿
2𝜋𝜀0
 
(𝑥 − 6)�̂�𝑥 + (𝑦 − 8)�̂�𝑦
(𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 8)2
 
Nota-se, novamente, que o campo não é uma função de z. De forma genérica, para linha de 
carga paralela a qualquer eixo do sistema de coordenadas cartesianas, pode-se escrever: 
�⃗⃗� =
𝜌𝐿
2𝜋𝜀0𝑅
�̂�𝑅 
 
2.5 Campo de uma Lâmina de Cargas 
Outra configuração básica é a lâmina infinita de carga de densidade uniforme (𝜌𝑆 constante). 
Consideremos que a mesma está localizada no plano yz (x = 0), conforme figura a seguir. 
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26 
 
Partiremos o desenvolvimento da análise do campo de uma linha de cargas. Para tanto, 
dividiremos a lâmina infinita em faixas de larguras diferenciais. Cada faixa equivalerá a uma linha de 
cargas, de acordo com a figura anterior. 
A densidade linear de carga de cada faixa, neste caso, será: 
𝜌𝐿 = 𝜌𝑆 𝑑𝑦
′ 
Aplicando-se a equação da intensidade de campo de linha de cargas, temos 
�⃗⃗� =
𝜌𝐿
2𝜋𝜀0𝑅
�̂�𝑅 (para linha de cargas) 
𝑑�⃗⃗� =
𝜌𝑆 𝑑𝑦
′
2𝜋𝜀0𝑅
�̂�𝑅 (para linha de cargas incremental numa lâmina infinita de cargas) 
sendo 
𝑟 = 𝑥�̂�𝑥 
𝑟′ = 𝑦′�̂�𝑦 
�⃗⃗� = 𝑟 − 𝑟′ = 𝑥�̂�𝑥 − 𝑦
′�̂�𝑦 
𝑅 = |�⃗⃗�| = √𝑥2 + 𝑦′2
 
�̂�𝑅 =
�⃗⃗�
|�⃗⃗�|
=
𝑥�̂�𝑥 − 𝑦
′�̂�𝑦
√𝑥2 + 𝑦′2
 
Portanto, 
𝑑�⃗⃗� =
𝜌𝑆 𝑑𝑦
′(𝑥�̂�𝑥 − 𝑦
′�̂�𝑦)
2𝜋𝜀0(𝑥2 + 𝑦′2)
 
De forma genérica: 
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27 
𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝐸𝑥�̂�𝑥 + 𝑑𝐸𝑦�̂�𝑦 + 𝑑𝐸𝑧�̂�𝑧 
Analisando-se a simetria, tem-se que a componente 𝐸𝑦 será nula, restando tão somente a 
componente 𝐸𝑥. Então 
𝑑𝐸𝑥 =
𝜌𝑆 𝑥 𝑑𝑦
′
2𝜋𝜀0(𝑥2 + 𝑦′2)
 
e 
𝐸𝑥 = ∫
𝜌𝑆 𝑥 𝑑𝑦
′
2𝜋𝜀0(𝑥2 + 𝑦′2)
∞
−∞
 
Integrando, com o auxílio de tabela de integrais, temos 
𝐸𝑥 =
𝜌𝑆
2𝜋𝜀0
[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑦′
𝑥
)]
−∞
∞
 
e 
𝐸𝑥 =
𝜌𝑆
2𝜀0
 
Porém, vale ressaltar que, caso calculemos a integral de 𝐸𝑦 , encontraremos zero como 
resultado, ou seja, 
𝐸𝑦 = ∫
−𝑦′𝜌𝑆 𝑑𝑦
′
2𝜋𝜀0(𝑥2 + 𝑦′2)
∞
−∞
= 0 
Já, se o ponto P tivesse sido escolhido no semi-eixo x negativo, então 
𝐸𝑥 = −
𝜌𝑆
2𝜀0
 
pois o campo está sempre dirigido para fora, no caso de uma superfície positivamente carregada. Esta 
dificuldade no sinal é usualmente contornada especificando-se um vetor unitário �̂�𝑁, o qual é normal 
à lâmina e (sempre) direcionado para fora da mesma. Então, 
�⃗⃗� =
𝜌𝑆
2𝜀0
�̂�𝑁 
A título de exemplo, se uma segunda lâmina de cargas, tendo uma densidade de carga negativa 
−𝜌𝑆 , fosse adicionada no plano localizado em 𝑥 = 𝑎 , poderíamos determinar o campo total 
adicionando as contribuições de cada lâmina. 
Na região 𝑥 > 𝑎, 
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�⃗⃗� = �⃗⃗�+ + �⃗⃗�−=
𝜌𝑆
2𝜀0
�̂�𝑥 −
𝜌𝑆
2𝜀0
�̂�𝑥 = 0 
e para 𝑥 < 0, 
�⃗⃗� = �⃗⃗�+ + �⃗⃗�− =
𝜌𝑆
2𝜀0
(−�̂�𝑥) −
𝜌𝑆
2𝜀0
(−�̂�𝑥) = 0 
e quando 0 < 𝑥 < 𝑎, 
�⃗⃗� = �⃗⃗�+ + �⃗⃗�− =
𝜌𝑆
2𝜀0
�̂�𝑥 −
𝜌𝑆
2𝜀0
(−�̂�𝑥) =
𝜌𝑆
𝜀0
�̂�𝑥 
Este é um resultado importante na prática, pois é o campo encontrado entre as placas 
paralelas de um capacitor separadas por ar, contanto que as dimensões lineares das placas sejam bem 
menores que a sua separação e também que estejamos considerando um ponto bem distante das 
bordas. 
 
 
2.6 Linhas de Força e Esboço de Campos 
As linhas de força são linhas imaginárias em cada ponto do espaço sob influência de um campo 
elétrico. Elas são empregadas no sentido de visualizar melhor a atuação do campo elétrico. Por 
convenção, são propriedades destas linhas: 
 as linhas de força começam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas; 
 a tangente à linha de força passando por qualquer ponto no espaço fornece a direção 
do campo elétrico naquele ponto; 
 a intensidade do campo elétrico em qualquer ponto é proporcional ao número de 
linhas por unidade de área transversal perpendicular às mesmas. 
Contudo, se tentássemos esboçar o campo de uma carga pontual, a variação do campo para 
dentro e para fora da página poderia essencialmente causar dificuldades. Por esta razão, o esboço é 
habitualmente limitado a representações bidimensionais, conforme exemplos abaixo. 
 
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29 
 
 
No caso de um campo bidimensional, vamos arbitrariamente considerar 𝐸𝑧 = 0. As linhas de 
força estão assim confinadas aos planos nos quais z é constante. Na figura abaixo, linhas de força são 
mostradas, e as componentes 𝐸𝑥 e 𝐸𝑦 são indicadas em um ponto genérico. 
 
As equações das linhas de força podem ser obtidas por meio da evidente constatação que 
𝐸𝑦
𝐸𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
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30 
Como ilustração deste método considere o campo de uma linha de cargas uniforme com 
distribuição linear 𝜌𝐿 = 2𝜋𝜀0, 
�⃗⃗� =
𝜌𝐿
2𝜋𝜀0𝜌
�̂�𝜌 =
1
𝜌
�̂�𝜌 
Em coordenadas cartesianas, 
�⃗⃗� =
𝑥
𝑥2 + 𝑦2
�̂�𝑥 +
𝑦
𝑥2 + 𝑦2
�̂�𝑦 
Assim, formamos a equação diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝐸𝑦
𝐸𝑥
=
𝑦
𝑥
 𝑜𝑢 
𝑑𝑦
𝑦
=
𝑑𝑥
𝑥
 
Portanto, 
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 𝑜𝑢 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝐶 
ou ainda, 
𝑦 = 𝐶𝑥 
Neste caso, para encontrar a equação matemática de uma linha de força em particular, basta 
substituirmos as coordenadas de um ponto pertecente à mesma e calcularmos a contante C acima. 
 
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31 
3 – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E 
DIVERGÊNCIA 
 
3.1 Densidade de Fluxo Elétrico 
A figura a seguir ilustra um experimento de Faraday em que se têm duas esferas condutoras 
concêntricas separadas entre si por um material dielétrico. A esfera interna é previamente carregada 
com carga +𝑄 , posteriormente, coloca-se a esfera externa descarregada e conecta-a 
momentaneamente a terra. Com isto Faraday observou que a esfera externa, que a princípio estava 
descarregada, ficava carregada com carga igual (em magnitude) à carga da esfera interna e que isto 
era verdade independente do material dielétrico que separava as duas esferas. 
 
 
Ele concluiu que da esfera interna para a externa havia um certo tipo de “deslocamento” que 
era independente do meio, e agora nos referimos a este “deslocamento” ou fluxo como fluxo elétrico. 
O mesmo será representado por 𝛹 (psi) e dado, conforme experimento, por 
𝛹 = 𝑄 
O fluxo elétrico é então medido em Coulomb. Podemos observar, por meio da figura anterior, 
que as trajetórias do fluxo elétrico se estendem da esfera interna para a externa e são indicadas por 
linhas de força simetricamente distribuídas, desenhadas de uma esfera a outra. 
A densidade de fluxo elétrico é a razão entre o fluxo elétrico e a área da superfície que o 
mesmo cruza. Trata-se de uma grandeza vetorial e é representada pela letra �⃗⃗⃗�. A direção de �⃗⃗⃗� em um 
ponto é a direção das linhas de fluxo naquele ponto, e sua magnitude é dada pelo número de linhas 
de fluxo que cruzam a superfície normal a elas dividido pela área da superfície. A unidade de �⃗⃗⃗� é, 
naturalmente, Coulomb por metro quadrado (algumas vezes descrita como “linhas por metro 
quadrado”, pois cada linha está relacionada à quantidade de carga). 
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32 
Novamente, nos referindo à figura anterior, a densidade de fluxo elétrico está na direção radial 
e tem um valor de 
�⃗⃗⃗�|
𝑟=𝑎
=
𝑄
4𝜋𝑎2
�̂�𝑟 (𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎) 
�⃗⃗⃗�|
𝑟=𝑏
=
𝑄
4𝜋𝑏2
�̂�𝑟 (𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎) 
e para a distância radial 𝑟, onde 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏, 
�⃗⃗⃗� =
𝑄
4𝜋𝑟2
�̂�𝑟 
Se substituíssemos a esfera interna por uma carga pontual carregada com a mesma carga 𝑄, a 
densidade de fluxo elétrico no ponto distando 𝑟 metros desta carga pontual ainda é dada pela equação 
anterior. 
Como a intensidade de campo elétrico radial de uma carga pontual no espaço livre é 
�⃗⃗� =
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟2
�̂�𝑟 
podemos escrever que, no espaço livre, 
�⃗⃗⃗� = 𝜀0�⃗⃗� 
Embora esta expressão seja aplicável somente ao vácuo, ela não se restringe somente ao 
campo de uma carga pontual, a mesma é verdadeira para qualquer configuração no espaço livre, seja 
ela uma distribuição volumétrica, superficial ou linear. 
 
3.2 Lei de Gauss 
Imaginemos uma distribuição de carga, conforme mostrada na figura abaixo, como uma 
nuvem de cargas pontuais, envolvidas por uma superfície fechada com uma forma qualquer. Se a carga 
total é +𝑄 Coulomb, então 𝑄 Coulomb de fluxo elétrico irão atravessar a superfície, o vetor densidade 
de fluxo elétrico �⃗⃗⃗� terá algum valor �⃗⃗⃗�𝑆 , onde o índice 𝑆 meramente nos lembra que �⃗⃗⃗� deve ser 
calculado na superfície, e �⃗⃗⃗�𝑆 irá em geral variar em magnitude e direção de um ponto da superfície 
para outro. 
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33 
 
Especificando o elemento incremental da superfície, tal como ilustrado na figura anterior, 
como sendo o vetor Δ𝑆 normal à superfície e apontando para fora da mesma, podemos então escrever 
que o incremento de fluxo elétrico (∆𝛹) neste elemento incremental de superfície será: 
∆𝛹 = 𝐷𝑆 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝛥𝑆 = (𝐷𝑆 𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝛥𝑆 = �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝛥𝑆 
O fluxo total que atravessa a superfície fechada é obtido adicionando-se as contribuições 
diferenciais que atravessam cada elemento de superfície Δ𝑆, 
𝛹 = ∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
 (𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎) 
Esta integral resultante é uma integral de superfície fechada, ou seja, é uma integral dupla da 
superfície total. Tal superfície é freqüentemente chamada de superfície gaussiana. Temos, então, a 
formulação matemática de Gauss, que afirma 
𝛹 = ∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
= 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑎 = 𝑄 
A carga envolvida pode ser um conjunto de várias cargas pontuais, ou uma linha de cargas, ou 
uma superfície de cargas, ou ainda, uma distribuição volumétrica de cargas. Como a equação da 
distribuição volumétrica é uma generalização das outras expressões, podemos escrever a Lei de Gauss 
emtermos desta 
∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
= ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣
 
𝑣𝑜𝑙
 
uma afirmativa matemática significando simplesmente que o fluxo elétrico total através de qualquer 
superfície fechada é igual à carga envolvida. 
Para ilustrar a aplicação da lei de Gauss, vamos conferir os resultados do experimento de 
Faraday colocando uma carga pontual 𝑄 na origem do sistema de coordenadas esféricas e escolhendo 
uma superfície fechada como uma esfera de raio 𝑟. Temos então 
∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
= ∮(𝜀0�⃗⃗�) ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
= ∮ (𝜀0
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟2
�̂�𝑟) ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
= 
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= ∮ (
𝑄
4𝜋𝑟2
�̂�𝑟) ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
= ∮
𝑄
4𝜋𝑟2
𝑑𝑆
 
𝑆
=
𝑄
4𝜋𝑟2
∮𝑑𝑆
 
𝑆
=
𝑄
4𝜋𝑟2
4𝜋𝑟2 = 𝑄 
e obtém um resultado que mostra que 𝑄 Coulomb de fluxo elétrico está atravessando a superfície, 
como deveria ser, já que a carga envolvida é de 𝑄 Coulomb. A figura abaixo ilustra o fato de que os 
vetores �⃗⃗⃗�𝑆 e 𝑑𝑆, neste exemplo, estão sempre na mesma direção 
 
Já a integral de área da superfície fechada esférica é 
𝑆𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = ∫ ∫ 𝑟
2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙
𝜃=𝜋
𝜃=0
𝜙=2𝜋
𝜙=0
= 4𝜋𝑟2 
contudo, por ser a área de uma superfície esférica uma equação conhecida, não há necessidade de se 
calcular a mesma em todos os exemplos que esta aparecer. 
Vale ressaltar que para o cálculo do fluxo elétrico em uma superfície aberta pode-se usar 
𝛹 = ∫ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
 (𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎) 
 
3.3 Aplicações da Lei de Gauss: Algumas Distribuições Simétricas 
de Cargas 
A solução da equação de Gauss é fácil se formos capazes de escolher uma superfície fechada 
que satisfaça duas condições: 
1. �⃗⃗⃗�𝑆 deve ser normal ou tangente à superfície fechada em qualquer ponto, de modo que 
�⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆 se torna 𝐷𝑆 𝑑𝑆 ou zero, respectivamente. 
2. Na parte da superfície fechada para a qual �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆 não é zero, 𝐷𝑆 deverá ser constante. 
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Isto nos permite substituir o produto escalar pelo produto dos escalares 𝐷𝑆 e 𝑑𝑆 e depois levar 
𝐷𝑆 para fora da integral. A integral remanescente é, então, sobre aquela porção de área da superfície 
fechada em que �⃗⃗⃗�𝑆 cruza normalmente, o que é simplesmente a área desta superfície. 
Vamos considerar uma carga pontual 𝑄 na origem de um sistema de coordenadas esféricas e 
decidir por uma superfície fechada adequada que irá satisfazer os dois requisitos listados acima. A 
superfície em questão é obviamente uma superfície gaussiana esférica, centrada na origem e de raio 
𝑟 qualquer. �⃗⃗⃗�𝑆 é normal à superfície em qualquer ponto e 𝐷𝑆 possui o mesmo valor em todos os 
pontos na superfície. 
Temos, então, 
𝑄 = ∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
= ∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
= ∮ 𝐷𝑆 𝑑𝑆
 
𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
= 𝐷𝑆 ∮ 𝑑𝑆
 
𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
= 𝐷𝑆 4𝜋𝑟
2 
e assim, 
𝐷𝑆 =
𝑄
4𝜋𝑟2
 
Como 𝑟 pode ter qualquer valor e como �⃗⃗⃗�𝑆 está dirigido radialmente para fora, 
�⃗⃗⃗� =
𝑄
4𝜋𝑟2
�̂�𝑟 𝑒 �⃗⃗� =
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟2
�̂�𝑟 
que concorda com os resultados advindos da lei de Coulomb. 
Em um segundo exemplo, consideremos uma distribuição uniforme e linear de carga situada 
no eixo z se estendendo de −∞ a +∞. 
Neste exemplo em questão, a superfície cilíndrica é a única superfície em que �⃗⃗⃗�𝜌 é normal em 
qualquer ponto e pode ser fechada por superfícies planas normais ao eixo z. A figura abaixo mostra 
um cilindro circular uniforme fechado de raio 𝜌 se estendendo de 𝑧 = 0 até 𝑧 = 𝐿. 
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Aplicando-se a lei de Gauss 
𝑄 = ∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
= ∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
= ∬ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑏𝑎𝑠𝑒
+ ∬ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑡𝑜𝑝𝑜
+ ∬ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
= 
= 0 + 0 + ∬ 𝐷𝑆 𝑑𝑆
 
𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
= 𝐷𝑆 ∬ 𝑑𝑆
 
𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
= 𝐷𝑆 2𝜋𝜌𝐿 
e obtemos 
𝐷𝑆 =
𝑄
2𝜋𝜌𝐿
 
Em termos da densidade de carga linear: 𝐷𝑆 =
𝑄
2𝜋𝜌𝐿
=
𝜌𝐿𝐿
2𝜋𝜌𝐿
=
𝜌𝐿
2𝜋𝜌
 , resultando nos vetores 
�⃗⃗⃗� =
𝜌𝐿
2𝜋𝜌
�̂�𝜌 𝑒 �⃗⃗� =
𝜌𝐿
2𝜋𝜀0𝜌
�̂�𝜌 
Mais uma vez em conformidade com o resultado obtido anteriormente pela aplicação da lei 
de Coulomb. 
Um terceiro exemplo é o problema de um cabo coaxial. Suponhamos que ter dois condutores 
cilíndricos coaxiais, o interno de raio 𝑎 e o externo de raio 𝑏, cada um de extensão infinita, como 
mostra a figura a seguir. Consideremos uma distribuição de carga 𝜌𝑆 na superfície externa do condutor 
interno. As cargas dos dois cilindros são iguais em módulos e opostas em sinais. 
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Um cilindro circular reto de comprimento 𝐿 e raio 𝜌 , onde 𝑎 < 𝜌 < 𝑏 , é necessariamente 
escolhido como a superfície gaussiana, e rapidamente temos 
𝑄 = 𝐷𝑆2𝜋𝜌𝐿 
e encontramos 
𝐷𝑆 =
𝑄
2𝜋𝜌𝐿
 
Em termos da densidade de carga superficial: 𝐷𝑆 =
𝑄
2𝜋𝜌𝐿
=
𝜌𝑆𝑆
2𝜋𝜌𝐿
=
𝜌𝑆2𝜋𝑎𝐿
2𝜋𝜌𝐿
=
𝑎𝜌𝑆
𝜌
. Passando 
para densidade linear, mais comumente usada para cabos coaxiais, temos que 𝑄 = 𝜌𝐿𝐿, então, 𝐷𝑆 =
𝑄
2𝜋𝜌𝐿
=
𝜌𝐿𝐿
2𝜋𝜌𝐿
=
𝜌𝐿
2𝜋𝜌
. Assim, em termos vetoriais, tem-se 
�⃗⃗⃗� =
𝜌𝐿
2𝜋𝜌
�̂�𝜌 𝑒 �⃗⃗� =
𝜌𝐿
2𝜋𝜀0𝜌
�̂�𝜌 
e a solução possui uma forma idêntica àquela da linha infinita de cargas. 
Caso usássemos, para a superfície gaussiana, um cilindro de raio 𝜌 > 𝑏, a carga total envolvida 
seria então zero, já que o resultado da soma das cargas dos dois cilindros é nulo. Um resultado idêntico 
seria obtido para 𝜌 < 𝑎, pois a carga do cilindro interno só existirá na superfície do mesmo, conforme 
veremos em breve para o caso de materiais condutores. 
 
3.4 Aplicações da Lei de Gauss: Elemento Diferencial de Volume 
Agora aplicaremos o método da lei de Gauss para um tipo de problema ligeiramente diferente 
– um que não possui qualquer simetria. Para se contornar a problemática da ausência de simetria, que 
é imprescindível para aplicação da lei de Gauss, será necessário escolher uma superfície fechada muito 
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pequena em que �⃗⃗⃗� seja praticamente constante sobre ela e, que uma pequena variação de �⃗⃗⃗� possa 
ser adequadamente representada pelos dois primeiros termos da expansão de �⃗⃗⃗� em série de Taylor. 
Consideremos um ponto 𝑃 qualquer, mostrado na figura seguinte, representado pelo sistema 
de coordenadas cartesianas. O valor de �⃗⃗⃗� neste ponto pode ser expresso em componentes 
cartesianos, �⃗⃗⃗�0 = 𝐷𝑥0�̂�𝑥 + 𝐷𝑦0�̂�𝑦 + 𝐷𝑧0�̂�𝑧. 
 
Escolhemos como nossa superfície fechada uma pequena caixa retangular, centrada em 𝑃, 
tendo lados de comprimentos 𝛥𝑥, 𝛥𝑦 e 𝛥𝑧, e apliquemos a lei de Gauss, 
∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ d𝑆
 
𝑆
= ∫ 
 
𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
+ ∫ 
 
𝑎𝑡𝑟á𝑠
+ ∫ 
 
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
+ ∫ 
 
𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
+ ∫ 
 
𝑡𝑜𝑝𝑜
+ ∫ 
 
𝑏𝑎𝑠𝑒
= 𝑄 
onde, dividimos a integral sobre a superfície fechada em seis integrais, uma para cada face. 
Consideremos a primeira destas integrais detalhadamente, 
∫ 
 
𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
= �⃗⃗⃗�𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 ∙ 𝛥𝑆𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = �⃗⃗⃗�𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒∙ (𝛥𝑦𝛥𝑧)�̂�𝑥 = 
= (𝐷𝑥,𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 �̂�𝑥 + 𝐷𝑦,𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 �̂�𝑦 + 𝐷𝑧,𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 �̂�𝑧) ∙ (𝛥𝑦𝛥𝑧 �̂�𝑥) = 
= 𝐷𝑥,𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝛥𝑦𝛥𝑧 
onde devemos aproximar somente o valor de 𝐷𝑥 nesta face frontal. A face frontal está a uma distância 
de 𝛥𝑥/2 de 𝑃, e assim 
𝐷𝑥,𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝐷𝑥0 +
𝛥𝑥
2
 × 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐷𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝑥 = 
= 𝐷𝑥0 +
𝛥𝑥
2
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
 
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Temos, agora 
∫ 
 
𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
= 𝐷𝑥,𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝛥𝑦𝛥𝑧 = (𝐷𝑥0 +
𝛥𝑥
2
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
)𝛥𝑦𝛥𝑧 
Consideremos agora a integral sobre a superfície posterior, 
∫ 
 
𝑎𝑡𝑟á𝑠
= �⃗⃗⃗�𝑎𝑡𝑟á𝑠 ∙ 𝛥𝑆𝑎𝑡𝑟á𝑠 = �⃗⃗⃗�𝑎𝑡𝑟á𝑠 ∙ (𝛥𝑦𝛥𝑧)(−�̂�𝑥) = 
= (𝐷𝑥,𝑎𝑡𝑟á𝑠 �̂�𝑥 + 𝐷𝑦,𝑎𝑡𝑟á𝑠 �̂�𝑦 + 𝐷𝑧,𝑎𝑡𝑟á𝑠 �̂�𝑧) ∙ (−𝛥𝑦𝛥𝑧 �̂�𝑥) = 
= −𝐷𝑥,𝑎𝑡𝑟á𝑠 𝛥𝑦𝛥𝑧 
e, fazendo-se novamente uma aproximação, 
𝐷𝑥,𝑎𝑡𝑟á𝑠 = 𝐷𝑥0 −
𝛥𝑥
2
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
 
resultando 
∫ 
 
𝑎𝑡𝑟á𝑠
= −𝐷𝑥,𝑎𝑡𝑟á𝑠 𝛥𝑦𝛥𝑧 = −(𝐷𝑥0 −
𝛥𝑥
2
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
)𝛥𝑦𝛥𝑧 = (−𝐷𝑥0 +
𝛥𝑥
2
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
)𝛥𝑦𝛥𝑧 
Se combinarmos estas duas integrais, temos 
∫ 
 
𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
+ ∫ 
 
𝑎𝑡𝑟á𝑠
= (𝐷𝑥0 +
𝛥𝑥
2
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
)𝛥𝑦𝛥𝑧 + (−𝐷𝑥0 +
𝛥𝑥
2
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
)𝛥𝑦𝛥𝑧 = 
=
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
𝛥𝑥𝛥𝑦𝛥𝑧 
Usando-se exatamente este mesmo procedimento, encontramos que 
∫ 
 
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
+ ∫ 
 
𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
=
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
𝛥𝑥𝛥𝑦𝛥𝑧 
∫ 
 
𝑡𝑜𝑝𝑜
+ ∫ 
 
𝑏𝑎𝑠𝑒
=
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
𝛥𝑥𝛥𝑦𝛥𝑧 
Sendo 𝛥𝑥𝛥𝑦𝛥𝑧 = 𝛥𝑣, podemos escrever: 
∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
= 𝑄 = (
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
)𝛥𝑣 
A expressão é uma aproximação que se torna melhor à medida que 𝛥𝑣 se torna menor. 
 
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3.5 Divergência 
No subitem anterior, encontramos que 
∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
= 𝑄 = (
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
)𝛥𝑣 
Obteremos agora a relação exata desta equação, permitindo que o elemento de volume 𝛥𝑣 
tenda a zero. Para tanto, escreveremos esta equação como 
(
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
) =
∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
𝛥𝑣
=
𝑄
𝛥𝑣
 
Pode-se, assim, fazer um limite tal qual 
(
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
) = lim
𝛥𝑣→0
(
∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
𝛥𝑣
) = lim
𝛥𝑣→0
(
𝑄
𝛥𝑣
) 
sendo que este último termo representa a densidade volumétrica de carga 𝜌𝑣, portanto 
(
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
) = lim
𝛥𝑣→0
(
∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
𝛥𝑣
) = 𝜌𝑣 
Por enquanto, trabalhemos somente com a primeira igualdade da expressão, ou seja, 
(
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
) = lim
𝛥𝑣→0
(
∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
𝛥𝑣
) 
pois a equação que relaciona a densidade volumétrica será tratada na próxima seção. 
A expressão anterior envolve a densidade de fluxo elétrico �⃗⃗⃗�𝑆, porém a mesma poderia ser 
representativa de qualquer outro campo vetorial genericamente representado pela letra 𝐴 
(velocidade, aceleração, força, etc.). Podendo-se reescrevê-la como 
(
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
) = lim
𝛥𝑣→0
(
∮ 𝐴 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
𝛥𝑣
) 
Esta operação apareceu tantas vezes em investigações físicas passadas que recebeu um nome 
descritivo, divergência. A divergência de 𝐴 é definida como 
𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐴 = 𝑑𝑖𝑣 𝐴 = lim
𝛥𝑣→0
(
∮ 𝐴 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
𝛥𝑣
) 
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e é usualmente abreviada por 𝑑𝑖𝑣 𝐴. Este vetor 𝐴 é membro da família dos vetores densidade de fluxo. 
A seguinte interpretação física é válida: 
“A divergência do vetor densidade de fluxo �⃗⃗⃗� é a descarga de fluxo em uma pequena 
superfície fechada por unidade de volume à medida que o volume tende a zero.” 
Por exemplo, consideremos a divergência da velocidade da água em uma banheira após 
termos aberto o dreno. O fluxo líquido de água através de qualquer superfície fechada situada 
inteiramente dentro da água deve ser igual a zero, pois a água é essencialmente incompressível e, 
conseqüentemente, a água que entra e sai de diferentes regiões da superfície fechada deve ser igual. 
Portanto a divergência desta velocidade é zero. 
Entretanto, se considerarmos agora a velocidade do ar em um pneu que acabou de ser furado 
por um prego, percebemos que o ar se expande à medida que a pressão cai e que, conseqüentemente, 
há um fluxo líquido em qualquer superfície fechada situada dentro do pneu. A divergência desta 
velocidade é, portanto, maior que zero. Já na operação de enchimento do pneu, o fluxo líquido em 
qualquer superfície fechada situada dentro do mesmo terá de sentido oposto ao do procedimento 
anterior. 
Uma divergência positiva de qualquer grandeza vetorial indica uma fonte desta grandeza 
vetorial naquele ponto. De forma semelhante, uma divergência negativa indica um sorvedouro 
(sumidouro). Como a divergência da velocidade da água acima é zero, não existe fonte nem 
sorvedouro. 
A divergência para o nosso caso específico da densidade de fluxo elétrico será 
𝑑𝑖𝑣 �⃗⃗⃗� = (
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
) 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠 
Esta expressão está representada em coordenadas cartesianas. Caso desejássemos escrevê-la 
em coordenadas cilíndricas ou esféricas, as mesmas ficariam como se segue. 
𝑑𝑖𝑣 �⃗⃗⃗� = (
1
𝜌
𝜕
𝜕𝜌
(𝜌𝐷𝜌) +
1
𝜌
𝜕𝐷𝜙
𝜕𝜙
+
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
) 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 
 
𝑑𝑖𝑣 �⃗⃗⃗� = (
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2𝐷𝑟) +
1
𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕
𝜕𝜃
(𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐷𝜃) +
1
𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝐷𝜙
𝜕𝜙
) 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠
 
A divergência é uma operação que resulta em um escalar, ou seja, a divergência meramente 
nos diz quanto fluxo está deixando um pequeno volume em termos de “por unidade de volume”, 
nenhuma direção está associada a ela. 
 
 
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3.6 O Operador Vetorial �⃗⃗⃗� (Nabla) 
Definimos o operador nabla �⃗⃗� como sendo um operador vetorial, representado pela 
expressão: 
�⃗⃗� =
𝜕
𝜕𝑥
�̂�𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦
�̂�𝑦 +
𝜕
𝜕𝑧
�̂�𝑧 
Consideremos o produto escalar dos vetores �⃗⃗� e �⃗⃗⃗�, 
�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = (
𝜕
𝜕𝑥
�̂�𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦
�̂�𝑦 +
𝜕
𝜕𝑧
�̂�𝑧) ∙ (𝐷𝑥�̂�𝑥 + 𝐷𝑦�̂�𝑦 + 𝐷𝑧�̂�𝑧)
 
�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� =
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
 
Isto é reconhecido como a divergência de �⃗⃗⃗�, ou seja, 
�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = 𝑑𝑖𝑣 �⃗⃗⃗� 
O uso de �⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� é muito mais comum que 𝑑𝑖𝑣 �⃗⃗⃗�. A partir de agora, usaremos a notação �⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� 
para indicar a operação de divergência. 
O operador �⃗⃗� não possui uma forma específica em outros sistemas de coordenadas. Se 
considerarmos �⃗⃗⃗� em coordenadas cilíndricas ou esféricas, então �⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� ainda indica a divergência de �⃗⃗⃗�, 
conforme as expressões já definidas anteriormente, porém não temos uma fórmula para �⃗⃗� em si 
nestes sistemas de coordenadas. 
 
3.7 Primeira Equação de Maxwell (Eletrostática) 
As expressões desenvolvidas para a divergência são as seguintes 
�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = lim
𝛥𝑣→0(
∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
𝛥𝑣
)
 
�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� =
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
 
�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = 𝜌𝑣 
A primeira equação é a definição da divergência; a segunda é o resultado da aplicação da 
definição a um elemento diferencial de volume em coordenadas cartesianas; e a terceira é meramente 
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escrita usando-se de desenvolvimento matemático. Esta última equação é um resultado do seguinte 
desenvolvimento 
∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
= 𝑄 (𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠) 
∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
𝛥𝑣
=
𝑄
𝛥𝑣
 
lim
𝛥𝑣→0
(
∮ �⃗⃗⃗�𝑆 ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
𝛥𝑣
) = lim
𝛥𝑣→0
(
𝑄
𝛥𝑣
) 
�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = 𝜌𝑣 
Esta é a primeira das quatro equações de Maxwell. Ela estabelece que o fluxo elétrico por 
unidade de volume que deixa uma unidade de volume infinitesimal é exatamente igual à sua densidade 
volumétrica de carga. A primeira equação de Maxwell é também descrita como a forma diferencial da 
lei de Gauss. De modo recíproco, a lei de Gauss é reconhecida como a forma integral da primeira 
equação de Maxwell. 
A operação divergência não é limitada à densidade de fluxo elétrico, ela pode ser aplicada a 
qualquer campo vetorial de densidade de fluxo. 
 
3.8 Teorema da Divergência 
O teorema da divergência se aplica a qualquer campo vetorial para o qual existe a derivada 
parcial apropriada. Partindo da lei de Gauss, 
∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
= 𝑄 
e considerando 
𝑄 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣
 
𝑣𝑜𝑙.
 
e então substituindo 𝜌𝑣 por sua igualdade, 
�⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = 𝜌𝑣 
temos então 
∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
= 𝑄 = ∫ 𝜌𝑣 𝑑𝑣
 
𝑣𝑜𝑙.
= ∫ �⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� 𝑑𝑣
 
𝑣𝑜𝑙.
 
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44 
A primeira e a última expressão constituem o teorema da divergência, 
∮ �⃗⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆
 
𝑆
= ∫ �⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� 𝑑𝑣
 
𝑣𝑜𝑙.
 
que pode ser escrito como se segue: 
“A integral da componente normal de qualquer campo vetorial sobre uma superfície fechada 
é igual à integral da divergência deste campo vetorial através do volume limitado por esta 
superfície fechada.” 
Novamente, enfatizamos que o teorema da divergência é verdadeiro para qualquer campo 
vetorial. Sua vantagem advém do fato de que ele relaciona uma tripla integração através de algum 
volume com uma dupla integração sobre a superfície daquele volume. 
 
O teorema da divergência se torna óbvio fisicamente se considerarmos o volume, tal qual 
apresentado na figura acima, dividido em inúmeros pequenos compartimentos de tamanho 
diferencial. A consideração de uma dessas células mostra que o fluxo que diverge desta célula entra, 
ou converge, para as células adjacentes, a menos que estas contenham uma porção de superfície 
externa. Em resumo, a divergência da densidade de fluxo através de um volume leva, então, ao mesmo 
resultado que o determinado pelo fluxo líquido que atravessa a superfície fechada. 
 
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45 
4 – ENERGIA POTENCIAL E POTENCIAL ELÉTRICO 
 
4.1 Trabalho Empregado no Movimento de uma Carga no Interior 
de um Campo Elétrico 
Se tentarmos movimentar uma carga de teste contra o campo elétrico, deveremos exercer 
uma força de igual módulo e sentido contrário àquela exercida pela força proveniente do campo, e 
isto requer dispêndio de energia ou trabalho. Já se tentarmos movimentar a carga na direção do 
campo, nosso dispêndio de energia torna-se-á negativo; não realizaremos trabalho, o campo é que 
realizará. 
A força aplicada à carga 𝑄 devido a existência de um campo elétrico �⃗⃗� é 
�⃗�𝐸 = 𝑄�⃗⃗� 
A componente desta força numa direção 𝑑�⃗⃗� qualquer é 
𝐹𝐸𝐿 = �⃗�𝐸 ∙ �̂�𝐿 = 𝑄�⃗⃗� ∙ �̂�𝐿 
onde �̂�𝐿 é o vetor unitário da direção de 𝑑�⃗⃗�. 
A força que deve ser aplicada por um agente externo para deslocar a carga é de módulo igual 
e sentido oposto, ou seja, 
𝐹𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 = −𝑄�⃗⃗� ∙ �̂�𝐿 
Já o dispêndio de energia será dado pelo produto da força aplicada pela distância de 
deslocamento. Pode-se então escrever que o trabalho diferencial realizado por um agente externo 
deslocando 𝑄 ao longo da direção �̂�𝐿 é 
𝑑𝑊 = (−𝑄�⃗⃗� ∙ �̂�𝐿)𝑑𝐿 = −𝑄�⃗⃗� ∙ �̂�𝐿𝑑𝐿 = −𝑄�⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�
 
onde substituímos �̂�𝐿𝑑𝐿 pela expressão mais simples 𝑑�⃗⃗�. 
O trabalho necessário para deslocar a carga de uma distância finita deve ser determinado pela 
integração 
𝑊 = −𝑄∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 
onde o caminho deve ser especificado antes que a integral seja calculada. Considera-se, para tanto, 
que a carga está parada nas posições inicial e final. 
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4.2 Integral de Linha 
A expressão da integral para o trabalho é um exemplo de integral de linha, a qual, sempre 
assume a forma da integral ao longo de um caminho prescrito do produto escalar entre o campo 
vetorial e o vetor comprimento diferencial, qual seja: 
𝑊 = −𝑄∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 
O procedimento da integral de linha está indicado na figura abaixo, onde foi escolhido um 
caminho a partir da posição inicial 𝐵 até a posição final 𝐴 e selecionado um campo elétrico uniforme. 
O caminho está dividido em seis segmentos. 
 
O trabalho envolvido no deslocamento da carga 𝑄 de 𝐵 para 𝐴 é, então, aproximadamente 
𝑊 = −𝑄(�⃗⃗�1 ∙ ∆�⃗⃗�1 + �⃗⃗�2 ∙ ∆�⃗⃗�2 + ⋯+ �⃗⃗�6 ∙ ∆�⃗⃗�6)
 
e, como admitimos um campo uniforme 
𝑊 = −𝑄�⃗⃗� ∙ (∆�⃗⃗�1 + ∆�⃗⃗�2 + ⋯+ ∆�⃗⃗�6)
 
A soma dos segmentos dos vetores pode ser realizada pela regra do paralelogramo, resultando 
justamente em um vetor dirigido do ponto inicial para o ponto final, �⃗⃗�𝐵𝐴. Portanto, 
𝑊 = −𝑄�⃗⃗� ∙ �⃗⃗�𝐵𝐴 (�⃗⃗� 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒)
 
Para este caso especial de uma intensidade de campo elétrico uniforme, devemos notar que o 
trabalho envolvido no deslocamento da carga depende somente de 𝑄, �⃗⃗� e �⃗⃗�𝐵𝐴. Ele não depende do 
caminho escolhido para deslocar a carga, ou seja, pode-se ir de 𝐵 para 𝐴 em uma linha reta ou por um 
caminho tortuoso que a resposta será a mesma. 
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Note que a expressão de 𝑑�⃗⃗� utiliza dos vetores de comprimentos diferenciais, os quais 
encontram-se destacado a seguir. 
𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝑥 �̂�𝑥 + 𝑑𝑦 �̂�𝑦 + 𝑑𝑧 �̂�𝑧 (𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠) 
𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝜌 �̂�𝜌 + 𝜌 𝑑𝜙 �̂�𝜙 + 𝑑𝑧 �̂�𝑧 (𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠) 
𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝑟 �̂�𝑟 + 𝑟 𝑑𝜃 �̂�𝜃 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 �̂�𝜙 (𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠)
 Para ilustrar o cálculo da integral de linha, investigaremos os diversos caminhos que devemos 
considerar próximos a uma linha infinita de cargas, conforme figura a seguir. 
 
O campo já foi obtido anteriormente e é inteiramente na direção radial, 
�⃗⃗� = 𝐸𝜌�̂�𝜌 =
𝜌𝐿
2𝜋𝜀0𝜌
�̂�𝜌
 
Deslocando-se uma carga positiva em torno de um caminho circular de raio 𝜌1 , conforme 
figura (a), tem-se 𝑑�⃗⃗� = 𝜌1𝑑𝜙 �̂�𝜙, o trabalho será: 
𝑊 = −𝑄∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
= −𝑄 ∫
𝜌𝐿
2𝜋𝜀0𝜌
�̂�𝜌 ∙ 𝜌1𝑑𝜙 �̂�𝜙
2𝜋
0
= 0
 
Considerando-se agora um deslocamento da carga de 𝜌 = 𝑏 para 𝜌 = 𝑎 ao longo do caminhoradial, de acordo com figura (b) acima (sentido contrário do indicado na figura). Aqui, 𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝜌 �̂�𝜌 e 
𝑊 = −𝑄 ∫
𝜌𝐿
2𝜋𝜀0𝜌
�̂�𝜌 ∙ 𝑑𝜌 �̂�𝜌
𝜌𝑎
𝜌𝑏
= −𝑄 ∫
𝜌𝐿
2𝜋𝜀0
𝑑𝜌
𝜌
𝜌𝑎
𝜌𝑏
= −
𝑄𝜌𝐿
2𝜋𝜀0
ln
𝜌𝑎
𝜌𝑏
 
𝑊 =
𝑄𝜌𝐿
2𝜋𝜀0
ln
𝜌𝑏
𝜌𝑎
 
Como 𝜌𝑏 é maior do que 𝜌𝑎, percebe-se que o trabalho realizado é positivo, indicando que a 
fonte externa (ou agente externo), que está deslocando a carga, fornece energia. 
Poderíamos também efetuar o cálculo na direção �̂�𝑧 a partir de uma posição inicial 0 até uma 
altura 𝐿 qualquer, o que resulta em 
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𝑊 = −𝑄 ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
= −𝑄∫
𝜌𝐿
2𝜋𝜀0𝜌
�̂�𝜌 ∙ 𝑑𝑧 �̂�𝑧
𝐿
0
= 0
 
O que resultaria, mais uma vez, em um valor nulo. 
 
4.3 Definição de Diferença de Potencial e Potencial Elétrico 
Define-se a diferença de potencial V como a razão do trabalho realizado (por um agente 
externo) ao deslocar uma carga teste 𝑄𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒 , de um ponto inicial a um ponto final, no interior de um 
campo elétrico, dividido pelo valor desta carga teste , 
𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑉 =
𝑊
𝑄𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒
=
−𝑄𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒 ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑄𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒
= −∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 
A diferença de potencia 𝑉𝐴𝐵 significa a diferença de potencial entre os pontos A e B, e também 
pode ser definido como o trabalho realizado ao deslocarmos uma unidade de carga de B até A, ou seja, 
𝑉𝐴𝐵 = −∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�
𝐴
𝐵
 (𝑉)
 
onde a unidade de medida é volts que freqüentemente é abreviado por V, trata-se, conforme 
observado, de uma grandeza escalar. 
No exemplo da linha de carga da última seção, encontramos que o trabalho realizado ao 
levarmos a carga 𝑄 de 𝜌𝑏 para 𝜌𝑎 é 
𝑊 =
𝑄𝜌𝐿
2𝜋𝜀0
ln
𝜌𝑏
𝜌𝑎
 
Assim, a diferença de potencial entre os pontos 𝜌𝑏 e 𝜌𝑎 pode ser descrita como 
𝑉𝐴𝐵 =
𝑊
𝑄
=
𝜌𝐿
2𝜋𝜀0
ln
𝜌𝑏
𝜌𝑎
 
Já para o caso de uma carga pontual Q, a diferença de potencial entre os pontos A e B nas 
distâncias radiais 𝑟𝐴 e 𝑟𝐵 da mesma, escolhendo-se a origem em Q, ou ainda, Q na origem, será dada 
�⃗⃗� = 𝐸𝑟�̂�𝑟 =
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟2
�̂�𝑟
 
e 
𝑑�⃗⃗� = 𝑑𝑟 �̂�𝑟 
temos 
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𝑉𝐴𝐵 = −∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�
𝐴
𝐵
= −∫
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟2
�̂�𝑟 ∙ 𝑑𝑟 �̂�𝑟
𝑟𝐴
𝑟𝐵
= −∫
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟2
𝑑𝑟
𝑟𝐴
𝑟𝐵
=
𝑄
4𝜋𝜀0
(
1
𝑟𝐴
−
1
𝑟𝐵
)
 
Se 𝑟𝐵 > 𝑟𝐴, a diferença de potencial 𝑉𝐴𝐵 é positiva, indicando que a energia é despendida pelo 
agente externo ao trazer a carga positiva de 𝑟𝐵 para 𝑟𝐴. Isto concorda com o modelo físico que mostra 
que duas cargas iguais se repelem. 
Muitas vezes é conveniente falarmos em potencial, ou potencial absoluto, de um ponto em 
vez de diferença de potencial entre dois pontos, mas isto significa somente que concordamos em 
medir toda diferença de potencial em relação a um ponto referencial específico, o qual consideramos 
ter potencial igual a zero. 
O ponto de referência de zero mais universal para medidas físicas ou experimentais de 
potencia é a “terra”, entendida como sendo o potencial da região da superfície da Terra. Outro “ponto” 
de referência amplamente utilizado é o infinito. Este normalmente aparece em problemas teóricos. 
Mais uma consideração de referencial pode ser feita para o caso de um cabo coaxial, no qual o 
condutor externo é escolhido como o zero de referência para o potencial. Nota-se, portanto, que o 
ponto de referência de zero pode assumir inúmeras denominações distintas dependendo da aplicação 
específica em que está sendo usado. 
Se o potencial num ponto A é 𝑉𝐴 e num ponto B é 𝑉𝐵, então 
𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 
onde necessariamente concordamos que 𝑉𝐴 e 𝑉𝐵 devem possuir o mesmo ponto de zero de 
referência. Observa-se que esta notação de 𝑉𝐴𝐵 é diferente da empregada na análise vetorial onde 
𝑟𝐴𝐵 = 𝑟𝐵 − 𝑟𝐴. 
 
4.4 Campo Potencial de uma Carga Pontual 
Na seção anterior, encontramos uma expressão para a diferença de potencial entre dois 
pontos localizados em r= 𝑟𝐴 e 𝑟 = 𝑟𝐵, imersos no campo de uma carga pontual Q localizada na origem. 
𝑉𝐴𝐵 =
𝑄
4𝜋𝜀0
(
1
𝑟𝐴
−
1
𝑟𝐵
) = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵
 
Considerou-se que os dois pontos pertenciam à mesma linha radial. Agora, consideraremos 
dois pontos A e B com deslocamentos também nas coordenadas 𝜃 e 𝜙, conforme pode figura abaixo. 
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O comprimento diferencial do caminho 𝑑�⃗⃗� possui as componentes 𝑟, 𝜃 e 𝜙, e o campo elétrico 
possui somente a componente radial. Tomando, então, o produto escalar, temos apenas 
𝑉𝐴𝐵 = −∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑�⃗⃗�
𝐴
𝐵
= −∫ 𝐸𝑟𝑑𝑟
𝑟𝐴
𝑟𝐵
= −∫
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟2
𝑑𝑟
𝑟𝐴
𝑟𝐵
=
𝑄
4𝜋𝜀0
(
1
𝑟𝐴
−
1
𝑟𝐵
)
 
Obtemos a mesma resposta e concluímos, portanto, que a diferença de potencial entre dois 
pontos em um campo de uma carga pontual depende somente da distância de cada ponto à carga e 
não do caminho particular usado para deslocar uma unidade de carga de um ponto para outro. 
Agora, se considerarmos 𝑉 = 0 no infinito, o potencial em 𝑟𝐴 torna-se 
𝑉𝐴 =
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟𝐴 
ou, como não há motivo para identificar este ponto com o índice A, 
𝑉 =
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟
 
Podemos também definir uma superfície equipotencial como sendo uma superfície composta 
por todos aqueles pontos que possuem o mesmo valor de potencial. Nenhum trabalho está envolvido 
no deslocamento de uma unidade de carga sobre uma superfície equipotencial, pois, por definição, 
não há diferença de potencial entre dois pontos quaisquer desta superfície. 
Observação: pode-se escrever, genericamente, que o trabalho para se movimentar uma carga 
de um ponto inicial B até um ponto final A é 
𝑊 = 𝑄𝑉𝐴𝐵 
 
 
 
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4.5 Campo Potencial de um Sistema de Cargas e Propriedade 
Conservativa dos Campos Potenciais 
O potencial de uma carga pontual simples, identificada por 𝑄1 e localizada em 𝑟1, envolve 
somente a distância da carga ao ponto 𝑟 onde se procura estabelecer o valor do potencial. Para um 
zero de referência no infinito, temos 
𝑉(𝑟) =
𝑄1
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟1|
 
O potencial devido a duas cargas, 𝑄1 em 𝑟1 e 𝑄2 em 𝑟2, é função somente das distâncias de 
cada uma das cargas ao ponto do campo, ou ainda, 
𝑉(𝑟) =
𝑄1
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟1|
+
𝑄2
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟2|
 
Continuando a adicionar cargas, encontramos que o potencial devido a n cargas pontuais é 
𝑉(𝑟) =
𝑄1
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟1|
+
𝑄2
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟2|
+ ⋯+
𝑄𝑛
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟𝑛|
 
Se agora cada carga pontual for representada como um pequeno elemento com uma 
distribuição volumétrica contínua de carga igual a 𝜌𝑣Δ𝑣, então 
𝑉(𝑟) =
𝜌𝑣(𝑟1) Δ𝑣1
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟1|
+
𝜌𝑣(𝑟2) Δ𝑣2
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟2|
+ ⋯+
𝜌𝑣(𝑟𝑛) Δ𝑣𝑛
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟𝑛|
 
Fazendo o número de elementos tornar infinito, podemos obter a expressão do potencial por 
meio da integral: 
𝑉(𝑟) = ∫
𝜌𝑣(𝑟′) 𝑑𝑣′
4𝜋𝜀0|𝑟 − 𝑟′|
 
𝑣𝑜𝑙 
Esta expressão é válida para uma distribuição volumétrica de cargas. Para o caso de uma 
distribuição linear ou superficial de cargas,