Circuitos RLC Paralelo

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Resposta Natural de 
Circuitos RLC Paralelo
Prof. Alex Lima
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
• Circuito RC:
• Solução:
• Circuito RL:
• Solução:
Sistemas de 1ª ordem
Possuem dois elementos armazenadores de 
energia (indutor e capacitor)
São modelados por equações diferenciais de 
segunda ordem
A resposta natural pode apresentar oscilações
As oscilações na resposta natural são devidas à 
troca de energia entre o indutor e o capacitor
Sistemas de 2ª ordem (características gerais)
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
( )cv t
R

Circuito RLC paralelo
Usando LKC
( )Ri t 
( )cdv tC
dt
 
0
1
0( )
t
cv t dt
L
( )ci t  0( )Li t 
( )dv t
R dt

1 ( )d v t
C
dt

2
2
1
0( )v t
L

( )dv t
R dt

1( )d v t
C
dt

2
2
1
0( )v t
L
( )dv t
RC dt

1( )d v t
dt

2
2
1
0( )v t
LC

(Equação diferencial de 2ª ordem)
➢ Como definir a solução?
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Circuito RLC paralelo
2
2
1 1
0  
( ) ( )
( )
d v t dv t
v t
RC dt LCdtSubstituindo na equação:
Este termo deve ser diferente de 
zero
2 sts Ae 
1 stsAe
RC
stAe
LC

1
0
𝑨𝒆𝒔𝒕 𝒔𝟐 +
𝟏
𝑹𝑪
𝒔 +
𝟏
𝑳𝑪
= 𝟎
Admitindo que:
( ) stv t Ae
Derivando:

( ) stdv t sAe
dt

2
2
2
( ) std v t s Ae
dt
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Circuito RLC paralelo
2
2
1 1
0  
( ) ( )
( )
d v t dv t
v t
RC dt LCdt
Admitindo que:
( ) stv t Ae
Derivando:

( ) stdv t sAe
dt

2
2
2
( ) std v t s Ae
dt
Substituindo na equação:
𝑨𝒆𝒔𝒕 𝒔𝟐 +
𝟏
𝑹𝑪
𝒔 +
𝟏
𝑳𝑪
= 𝟎
Este termo DEVE ser igual a 
zero
2 sts Ae 
1 stsAe
RC
stAe
LC

1
0
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Circuito RLC paralelo
2
2
1 1
0  
( ) ( )
( )
d v t dv t
v t
RC dt LCdtSubstituindo na equação:
𝑨𝒆𝒔𝒕 𝒔𝟐 +
𝟏
𝑹𝑪
𝒔 +
𝟏
𝑳𝑪
= 𝟎
Equação de 2ª grau
Equação Característica
solução depende do 
3 soluções possíveis
Admitindo que:
( ) stv t Ae
Derivando:

( ) stdv t sAe
dt

2
2
2
( ) std v t s Ae
dt
2 sts Ae 
1 stsAe
RC
stAe
LC

1
0
Equação característica
Circuito RLC paralelo
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
s s
RC LC
  2
1 1
0
Raízes da equação
 > 0 - Raízes são dois números reais e distintos
 = 0 - Raízes são dois números reais e iguais
 < 0 - Raízes são dois números complexos conjugados
𝒔𝟐 + 𝒃𝒔 + 𝒄 = 𝟎 (equação 2º grau) 
𝒔𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± ∆
𝟐𝒂
∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
Equação característica
Circuito RLC paralelo
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
s s
RC LC
  2
1 1
0
Raízes da equação
Solução depende das raízes 
 > 0 reais e distintas
 = 0 reais e iguais
 < 0 complexas conjugadas
,s
RC RC LC
 
    
 
2
1 2
1 1 1
2 2
 2 202 0s s  Equação característica
Raízes da equação
2 2
1 2 0,s      
Solução depende das raízes 
0 
0 
0 
reais e distintas
reais e iguais
complexas conjugadas
Equação característica
Circuito RLC paralelo
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
s s
RC LC
  2
1 1
0
,s
RC RC LC
 
    
 
2
1 2
1 1 1
2 2
As raízes, mais usualmente, 
são escritas em termos dos 
parâmetros  e 0
Raízes da equação
coeficiente de amortecimento ou 
frequência de Neper
2 2
1 2 0,s      
Equação característica
Circuito RLC paralelo
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
s s
RC LC
  2
1 1
0
,s
RC RC LC
 
    
 
2
1 2
1 1 1
2 2
As raízes, mais usualmente, 
são escritas em termos dos 
parâmetros  e 0
Raízes da equação
frequência natural não-amortecida 
ou frequência de ressonância
(também representada por 𝝎𝒏)
2 2
1 2 0,s      
Equação característica
Circuito RLC paralelo
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
- Raízes reais e distintas
- Raízes reais e iguais
- Raízes complexas conjugadas
s s
RC LC
  2
1 1
0
coeficiente de amortecimento 
(rad/s)
freq. natural não-amortecida 
(rad/s)
1
2RC
 0
1
LC
 
2 2
1 2 0,s      
0 
0 
0 
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Síntese de ideias...
Usando LKC
0( ) ( ) ( )R c Li t i t i t  
s s
RC LC
  2
1 1
0
2 2
1 2 0,s      
0 
- Raízes reais e distintas
- Raízes reais e iguais
- Raízes complexas conjugadas
0  0 ( )cv t
R

( )cdv tC
dt
 ( )
t
cv t dt
L 0
1
 0
2
2
1 1
0  
( ) ( )
( )
d v t dv t
v t
RC dt LCdt
Solução depende do 𝜶 e do 𝝎𝟎:
Equação característica:
13
0  ( ) s t s tv t A e A e 1 21 2- Resposta superamortecida(Raízes são dois números reais e distintos)
1 1
2RC LC

1 20( )v A A • A1 e A2 são obtidas resolvendo o sistema
1 1 2 2
0( )dv
s A s A
dt
 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Tipos de Respostas:
0

14
2 2
1 2 0,s      
0   1 2( )
tv t D t D e     
- Resposta criticamente amortecida
(Raízes são dois números reais e iguais)
RC LC

1 1
2
20( )v D• D1 e D2 são obtidasresolvendo o sistema
1 2
0( )dv
D D
dt
 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Tipos de Respostas:
0

15
2 2
1 2 0,s      
0     1 2( ) cos sin
t
d dv t B t B t e
   
 
- Resposta subamortecida
(Raízes são dois números complexos conjugados)
RC LC

1 1
2
10( )v B• B1 e B2 são obtidasresolvendo o sistema
1 2
0( )
d
dv
B B
dt
   SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
0

2 2
0d   
16
Tipos de Respostas:
2 2
1 2 0,s      2 2
1 2 0,s j     1 2, ds j   
Frequência natural 
amortecida
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Síntese...
0 
- Resposta superamortecida
- Resposta criticamente amortecida
- Resposta subamortecida
0  0 
( ) ( )
( )
d v t dv t
v t
RC dt LCdt
2
2
1 1
0  
 2 202 0s s  O circuito RLC paralelo é modelado por uma equação diferencial de 2ª ordemSolução é obtida a partir da equação característica
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RLC
Exemplo 1
( )
( )L
v V
i A

 
0 0
0 10Pede-se: v(t), para t  0
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RLC
Exemplo 1
( )
( )L
v V
i A

 
0 0
0 10Pede-se: v(t), para t  0
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RLC
Exemplo 1
Regime superamortecido 
1 2
1 2
( ) s t s tv t A e A e 
1
3 5 rad/s
2
.
RC
  0
1
2 45 rad/s.
LC
  
0
 
Raízes da eq. Característica:
2 2
1 2 0,s       2 21 13 5 3 5 2 45 1 rad/s. . .s s      2 22 23 5 3 5 2 45 6 rad/s. . .s s      
1 20( )v A A 
1 1 2 2
0( )dv
s A s A
dt
 
( )
( )L
v V
i A

 
0 0
0 10
;
Então, 
Definir A1, A2, s1 e s2: 
Para calcular A1 e A2, deve-se resolver o seguinte
sistema:
Observar que: . Então, 
c
dv
C i
dt
c
idv
dt C

Mas: , então: 
0c L Ri i i  c L Ri i i  
A tensão inicial no capacitor é zero, então a 
tensão inicial em todos os elementos também é 
zero. Assim, a corrente inicial no resistor é zero. 
A corrente inicial no indutor é -10A, como 
informado no enunciado do problema. Então:
10 0 10( )c ci i A     
. Voltando:
10
420 V/s
1 42/
cidv dv
dt C dt
   
1 20 A A  1 2420 1 6A A  1
84A 
2 84A   [V]   684 84( ) t tv t e e
Pede-se: v(t), para t  0
0 2 4 6
5
0
5
10
icsp t( )
t
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RLCExemplo 1 - Gráficos
0 2 4 6
0
10
20
30
40
50
vsp t( )
t
( ) t tv t e e 684 84  
0 2 4 6
0
2
4
6
8
10
vsp t( )
R
t
( )
( )C
dv t
i t C
dt

( )
( )R
v t
i t
R

( ) ( )L C Ri t i t i  
0 2 4 6
10
8
6
4
2
0
icsp t( )
vsp t( )
R

t
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RLC
Exemplo 2
( )
( )L
v V
i A

 
0 0
0 10Pede-se: v(t), para t  0
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RLC
Exemplo 2
Regime criticamente amortecido
 1 2( )
tv t D t D e  
1
2 45 rad/s
2
.
RC
  0
1
2 45 rad/s.
LC
  
0
 
( )
( )L
v V
i A

 
0 0
0 10
;
Então, 
Definir D1, D2: 
Observar que: . Então, 
c
dv
C i
dt
c
idv
dt C

Mas: , então: 
0c L Ri i i  c L Ri i i  
A tensão inicial no capacitor é zero, então a 
tensão inicial em todos os elementos também é 
zero. Assim, a corrente inicial no resistor é zero. 
A corrente inicial no indutor é -10A, como 
informado no enunciado do problema. Então: 10 0 10( )c ci i A     
. Voltando:
10
420 V/s
1 42/
cidv
dt C
 
20 D 1 2420 D D 2 0D 1 420D  2 45420 .( ) tv t t e   20( )v D 1 2
0( )dv
D D
dt
 
Para calcular D1 e D2, deve-se resolver o seguinte
sistema:
Pede-se: v(t), para t  0
0 1 2 3 4
0
5
10
15
vcr t( )
R
t
0 1 2 3 4
0
20
40
60
80
vcr t( )
t
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RLC
Exemplo 2 - Gráficos ( )
( )
dv t
i t C
dt

( )
( )R
v t
i t
R

( ) ( )L C Ri t i t i  
2 45
420
.( ) tv t t e   
0 1 2 3 4
5
0
5
10
icsb t( )
t
0 1 2 3 4
15
10
5
0
iccr t( )
vcr t( )
R

t
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RLC
Exemplo 3
( )
( )L
v V
i A

 
0 0
0 10Pede-se: v(t), para t  0
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RLC
Exemplo 3
Regime subamortecido
   1 2( ) cos sin
t
d dv t e B t B t
      
1
2 rad/s
2RC
  0
1
2 45 rad/s.
LC
  
0
 
10( )v B
1 2
0( )
d
dv
B B
dt
   ( )
( )L
v V
i A

 
0 0
0 10
;
Então, 
Para calcular B1 e B2, deve-se resolver o seguinte
sistema:
Observar que: . Então, 
c
dv
C i
dt
c
idv
dt C

Mas: , então: 
0c L Ri i i  c L Ri i i  
A tensão inicial no capacitor é zero, então a 
tensão inicial em todos os elementos também é 
zero. Assim, a corrente inicial no resistor é zero. 
A corrente inicial no indutor é -10A, como 
informado no enunciado do problema. Então:
10 0 10( )c ci i A     
. Voltando:
10
420 V/s
1 42/
cidv
dt C
 
10 B 1 2420 dB B   1 0B 2 420 2/B      2420 2 2( ) / sin tv t t e  Definir B1, B2 e d: 2 20 2 rad/sd d      
Pede-se: v(t), para t  0
0 1 2 3 4
15
10
5
0
5
icsb t( )
vsb t( )
R

t
0 1 2 3 4
20
0
20
40
60
80
vsb t( )
t
RESPOSTA NATURAL DE CIRCUITOS RLC
Exemplo 3 - Gráficos ( )
( )
dv t
i t C
dt

( )
( )R
v t
i t
R

( ) ( )L C Ri t i t i  
    2420 2 2( ) / sin tv t t e    
0 1 2 3 4
5
0
5
10
15
vsb t( )
R
t
0 1 2 3 4
5
0
5
10
icsb t( )
t