Exercícios - Sistemas Dinâmicos - Com Resposta

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Sistemas Dinâmicos
Tema 1 - Equações Dinâmicas de Sistemas Lineares
MODULO 1 - Descrever os conceitos matemáticos necessários ao desenvolvimento das equações diferenciais lineares
1. Conhecendo os conceitos das equações diferenciais e aplicando o Teorema do Valor Inicial, encontre a solução para a seguinte equação:
A) 
A alternativa "A" está correta.
Como:
Então:
Portanto, a solução desejada é:
2. Considerando a classificação das equações diferenciais quanto à ordem da derivada de maior grau, é possível dizer que a equação diferencial a seguir é de:
A) primeira ordem.
B) segunda ordem.
C) ordem única.
D) quarta ordem.
E) terceira ordem.
Como a ordem da equação diferencial é definida pela sua derivada de maior grau e as derivadas e apresentam a maior ordem da equação (3), essa equação diferencial possui a mesma ordem dessas duas derivadas: terceira ordem.
MODULO 2 – Formular as representações em espaço de estados de sistemas lineares e invariantes no tempo, bem como as equações de estado utilizadas na elaboração do sistema das equações
1. Considerando o circuito da imagem a seguir, é possível afirmar que o número de variáveis de estado desse circuito será igual a:
A) 1.
B) 4.
C) 2.
D) 3.
E) Nenhuma variável.
A alternativa "D" está correta.
Como cada elemento armazenador de energia do circuito é responsável por uma derivação e, consequentemente, por uma variável de estado, o número de elementos armazenadores será igual ao número de variáveis de estado do circuito. O circuito da imagem apresenta 1 fonte, 1 resistor, 1 indutor e 2 capacitores. Apenas os indutores e os capacitores são armazenadores de energia. Sendo assim, esse sistema apresentará 3 variáveis de estado.
2. Considere o sistema mecânico desenvolvido no exemplo do sistema massa-mola. Supondo os parâmetros a seguir, pode-se afirmar que a matriz A é igual a:
A alternativa "B" está correta.
Observando a matriz A do exemplo do sistema massa-mola, é possível escrever a matriz de sistema como:
 
Substituindo os valores citados, pode-se obter a matriz: 
MODULO 3 - Identificar estabilidade no espaço de estados e a representação em diagrama em blocos
1. Um sistema de ordem 2 possui uma função de transferência definida pela equação do ganho descrita a seguir. Observando essa equação, é possível definir que esse sistema é
A) estável, pois possui raízes no semiplano esquerdo.
B) instável, pois possui raízes no semiplano esquerdo.
C) estável, pois possui raízes no semiplano direito.
D) instável, pois possui raízes no semiplano direito.
E) estável, pois possui raízes somente reais.
A alternativa "D" está correta.
Considerando a equação do ganho:
A análise da estabilidade do sistema é realizada por meio do estudo dos polos desse sistema, ou seja, das raízes do denominador. Sendo assim, igualando-se o polinômio característico a zero, obtém-se:
O desenvolvimento dessa equação do segundo grau permite determinar que as raízes são:
Dessa forma, é possível observar que as duas raízes possuem parte real positiva, sendo localizadas no semiplano direito. Esse posicionamento das raízes mostra que o sistema é instável.
2. Considere o polinômio característico que descreve o comportamento do sistema descrito a seguir. É possível perceber que sua complexidade dificulta a determinação das suas raízes. Sendo assim, utilizando-se outro critério de estabilidade, como Routh-Hurwitz, é possível afirmar que
A) o sistema é estável, pois apresenta apenas raízes com partes reais positivas.
B) o sistema é instável, pois a coluna de referência apresenta mudança de sinal.
C) o sistema é instável, pois apresenta apenas raízes com partes reais negativas.
D) o sistema é instável, pois a coluna de referência não apresenta mudança de sinal.
E) o sistema é estável, pois a coluna de referência apresenta mudança de sinal.
A alternativa "B" está correta.
Por meio do polinômio característico, é possível montar a Tabela de Routh, como pode ser visto a seguir:
Na coluna pivô da tabela, é possível observar, pelas duas mudanças de sinal (da linha s² para a linha s¹ e, novamente, da linha s¹ para a linha ), que o sistema apresenta dois polos no semiplano direito. Por essa razão, o sistema instável.
A mesma conclusão poderia ser obtida a partir da determinação das raízes do polinômio:
Tema 2 - Modelagem no Domínio da Frequência
MODULO 1 - Reconhecer o conceito de função de transferência e a importância dos polos e zeros da função
1. Suponha um sistema mecânico definido pela equação diferencial de ordem 2:
onde M é a massa; B é o amortecedor e K a constante elástica. Considerando , a função de transferência desse sistema é igual a:
A alternativa "A" está correta.
Substituindo os valores das constantes:
A transformada de Laplace da equação é definida por:
Assim: 
2. Observando o sistema da imagem a seguir, é possível verificar que a função de transferência possui um degrau na entrada e produz uma saída . É possível dizer que os zeros e polos desse sistema são:
A) Zeros = 0 e polos =-2; -3; -4 e -5
B) Zeros = -2 e polos = 0; -3; -4 e -5
C) Zeros = -4 e polos = 0; -2; -3 e -5
D) Zeros = -5 e polos = 0; -2; -3 e -4
E) zeros = -3 e polos = 0; -2; -4 e -5
A alternativa "E" está correta.
A função de transferência sob efeito da ação em degrau pode ser definida como:
Os zeros são os valores de s responsáveis por levar o sistema para zero, ou seja, são as raízes do numerador da função de transferência. Sendo assim:
Os polos são os valores de s responsáveis por levar o sistema para o infinito, ou seja, são as raízes do denominador da função de transferência. Sendo assim:
MODULO 2 – Formular as funções de transferência de circuitos elétricos
1. A função de transferência relaciona a entrada e a saída de um determinado sistema. Quando se discute circuitos elétricos, essa função pode assumir diversas modelagens na medida em que diferentes entradas e saídas podem ser consideradas no seu desenvolvimento matemático. Considerando o circuito resistivo-indutivo abaixo, pode-se dizer que sua função de transferência que relaciona a tensão no indutor com a tensão da fonte de alimentação é igual a:
A alternativa "D" está correta.
Para iniciar, deve-se montar a equação do somatório das tensões no circuito. Para isso, aplica-se a Lei de Kirchhoff das Tensões no circuito, somando todas as tensões dos elementos que o compõe, respeitando-se as polaridades e igualando-se a zero:
A tensão no indutor pode ser considerada a saída da função de transferência, e a alimentação do circuito, a sua entrada. Dessa maneira, é fundamental representar a corrente do circuito (presente na representação da tensão no resistor) em função de uma dessas variáveis.
Conhecendo a representação das tensões e correntes dos elementos de circuitos elétricos em função do tempo, é possível escrever a corrente do circuito em função da tensão do indutor:
Substituindo na Lei das tensões, é possível obter a equação:
Essa equação diferencial de ordem 1 pode ser resolvida mais facilmente com a utilização da transformada de Laplace, o que permitirá que ela seja resolvida como uma equação algébrica:
2. A transformação das equações diferenciais em equações algébricas na determinação das funções de transferência de circuitos elétricos é uma ferramenta bastante útil na simplificação de sua resolução. Além disso, a análise da função de transferência possibilita que a posição dos polos e zeros do sistema, fundamental para a análise da estabilidade do sistema, seja identificada de maneira mais simples. Sendo assim, considerando a função de transferência do circuito resistivo-indutivo da questão anterior, é possível afirmar que o referido circuito possui:
A) Apenas um polo em .
B) Um zero na origem (0) e um polo em .
C) Apenas um zero na origem (0).
D) Apenas um zero em 
E) Apenas um polo na origem (0).
A alternativa "B" está correta.
A função de transferência do sistema permite observar não apenas a relação entre a saída e a entrada do sistema como também a posição de seus polose zeros, fundamental para a análise da estabilidade do sistema.
A identificação dos zeros é realizada a partir da determinação dos valores de s capazes de levar a função de transferência para zero. Sendo assim, por observação direta:
De maneira similar, a identificação dos polos do sistema é realizada a partir dos valores de s capazes de levar a função de transferência para o infinito. Dessa maneira, por observação direta:
MODULO 3 - Formular as funções de transferência de sistemas eletromecânicos
1. Considerando-se a analogia entre sistemas elétricos e mecânicos, é possível afirmar que em um sistema como o da imagem a seguir, um amortecedor de 10 (N.s)⁄m pode ser substituído, por um circuito elétrico do tipo série, por um(a):
A) Indutor de 
B) Capacitador de 
C) Resistor de 
D) indutor de 
E) Resistor de 
A alternativa "E" está correta.
A analogia entre sistemas mecânicos e circuitos elétricos em série permite definir se um amortecedor se comporta diretamente como um elemento resistivo, tendo em vista que também oferece resistência ao movimento, similar à resistência oferecida pelo resistor à passagem da corrente elétrica.
Sendo assim:
2. Ainda considerando a analogia entre sistemas elétricos e mecânicos, a mola do sistema ilustrado na imagem a seguir apresenta uma constante elástica de 20N/m. Para representá-la em um circuito elétrico equivalente em paralelo, pode-se substituir a mola por um(a):
A) Capacitor de .
B) Resistor de .
C) Indutância de .
D) Indutância de .
E) Resistência de .
A alternativa "C" está correta.
A analogia entre sistemas mecânicos e circuitos elétricos em paralelo permite definir se mola se comporta inversamente a uma indutância.
Sendo assim:
Tema 3 - Modelagem no Domínio do Tempo
MODULO 1 - Descrever o processo de conversão de funções de transferência para o espaço de estados
1. Considere a função de transferência de um sistema físico representada a seguir. Utilizando-se o método das frações parciais, é possível definir que os coeficientes (a, b e c) que compõem as frações nas quais essa função pode ser dividida são, respectivamente, iguais a:
A alternativa "A" está correta.
A função de transferência pode ser simplificada por meio das frações parciais, da seguinte maneira:
Resolvendo a equação, tem-se:
Montando-se o sistema de equações, é possível escrever:
Resolvendo a terceira equação do sistema, tem-se:
Em seguida, aplica-se o valor de A na segunda equação do sistema para resolvê-la:
E agora, usa-se tanto o valor de A quanto o de C na primeira equação do sistema:
Retornando à segunda equação:
 
 
 2. Observe as variáveis de fase e as derivadas das variáveis de fase de um sistema mecânico como o apresentado a seguir:
Considerando o sistema básico de referência, a matriz de sistema A da representação do espaço de estados pode ser definida por:
A alternativa "E" está correta.
Observando o sistema de equações:
é possível definir a relação de cada linha do sistema com o vetor de variáveis de fase:
MODULO 2 - Descrever o processo de conversão do espaço de estados para a função de transferência
1. Um sistema de segunda ordem tem uma representação no espaço de estados como pode ser visto a seguir:
É possível perceber que a matriz A está na forma diagonalizada, ou seja, apenas os elementos da diagonal principal são não nulos (diferentes de zero). Sendo assim, é possível afirmar que o termo é igual a:
B) 
A alternativa "D" está correta.
Primeiro, é fundamental identificar a matriz do espaço de estados, ou seja, a matriz A. Então:
Para realizar a operação, é preciso usar a matriz identidade; portanto, é necessária a identificação do número de linhas e de colunas da matriz A. Como ela apresenta duas linhas e duas colunas, a matriz identidade será:
Assim, a operação poderá ser realizada como se segue:
O determinante da matriz é dado pela subtração entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária, ou seja:
Trocando-se os elementos da matriz e os sinais dos elementos da diagonal secundária, tem-se:
Dividindo-se pelo determinante, obtém-se:
2. Considere:
Utilizando como referência a matriz de estado do exemplo anterior e a matriz inversa calculada na questão, determine a função de transferência que representa o sistema retratado pelas equações de estado e assinale a alternativa que contém a resposta correta:
D) 
E) 
A alternativa "B" está correta.
Em um primeiro momento é necessário identificar a matriz de entrada B e a matriz de saída C, tendo em vista que são essenciais para a determinação da função de transferência.
Das equações de espaço de estados, é possível definir que:
determinação da função de transferência tem início com o produto da matriz de saída pela matriz inversa:
Em seguida, faz-se a multiplicação desse resultado pela matriz de entrada B. Assim:
Tema 4 - Princípios de Análise no Domínio do Tempo
MODULO 1 - Identificar os sistemas de primeira ordem
1. Considere o circuito elétrico do tipo resistor e capacitor (RC) da figura a seguir. Suponha que o valor da resistência elétrica seja de e o do capacitor, de . Caso o sinal de entrada do circuito seja um impulso unitário, o pico da tensão no capacitor no instante será igual a:
A) 1V.
B) 0V.
C) 0,5V.
D) –1V.
E) –0,5V.
A alternativa "A" está correta.
Pela lei das tensões, é possível definir que:
A transformada de Laplace da tensão no capacitor é dada por:
Substituindo na lei das tensões:
Como a entrada é um impulso unitário:
Então:
Como a tensão no capacitor é definida por:
Substituindo os valores do resistor e do capacitor: e .
Em :
2. Reveja o circuito da questão anterior. Considerando a entrada um impulso unitário, determine o tempo necessário para que o capacitor apresente uma tensão igual ou inferior a 0,15V:
A) 1s.
B) 3s.
C) 0s.
D) 0,5s.
E) 2s.
A alternativa "E" está correta.
Substituindo os valores do resistor e do capacitor: e 
Aplicando a operação inversa de :
MODULO 2 – Identificar os sistemas de segunda ordem
1. Considere um sistema de segunda ordem com um coeficiente de amortecimento igual a e uma frequência natural igual a . É possível afirmar que o tempo estimado para atingir o pico será de:
A) 1 segundo.
B) 0,5 segundos.
C) 5 segundos.
D) 0,8 segundos.
E) 1,5 segundos.
A alternativa "D" está correta.
Observando os parâmetros do sistema (coeficiente de amortecimento igual a 0,6 e frequência natural igual a , é possível estimar que o tempo de pico será:
2. Considerando o sistema criticamente amortecido da função de transferência a seguir, é possível afirmar que seus polos serão localizados (em relação ao eixo real) na posição:
A) –1
B) –4
C) 1
D) 4
E) 0
A alternativa "B" está correta.
Considerando um sistema criticamente amortecido, é possível afirmar que o coeficiente de amortecimento será unitário . Vamos considerar a equação geral de sistemas de segunda ordem:
Desse modo, a equação geral pode ser escrita como:
Em sistemas criticamente amortecidos, a posição dos polos é coincidente com a frequência natural do sistema. Sendo assim:
Determinando os polos a partir dos valores do denominador na função de transferência:
MODULO 3 – Analisar a solução das equações de estado por meio da transformada de Laplace
1. Um sistema físico genérico é representado pelas equações de espaço de estados mostradas a seguir. Sendo assim, encontre o determinante de necessário para encontrar a saída :
Considere:
A alternativa "E" está correta.
Observando as equações no espaço de estados, é possível definir que:
Sendo assim, para encontrar o determinante da matriz:
É necessário identificar as dimensões da matriz identidade:
Então:
2. No sistema físico genérico da questão anterior, determine a matriz fundamental para o cálculo da saída . Considere a entrada em degrau unitário:
A alternativa "C" está correta.
Observando as equações no espaço de estados, é possível definir que:
Sendo assim, para encontrar a matriz:
Por definição:
Então:
MODULO 4 - Analisara solução das equações de estado no domínio do tempo
1. Considere o sistema representado no espaço de estados a seguir. Determine a matriz exponencial :
A alternativa "E" está correta.
2. Obtenha a resposta temporal do seguinte sistema de equações de estado. Considere e :
A) 
A alternativa "C" está correta.
A matriz de transição pode ser calculada como:
A resposta em degrau unitário é dada por:
Ou:
Para o estado inicial nulo:
Tema 5 - Princípios de Análise no Domínio da Frequência
MODULO 1 - Descrever os princípios necessários para a análise da resposta em frequência em gráficos de Bode
1. Considere a função de transferência definida adiante. Determine os polos e os zeros desse sistema:
A) zeros: 0; polos: -10 e 
B) zeros: ; polos: -‘0	
C) zeros: -50; polos: 
D) zeros: -10 e ; polos: 0
E) zeros: -50; polos: -50
A alternativa "A" está correta.
Os zeros da função de transferência são definidos pela raiz da equação do numerador da função:
Já os polos dessa função são definidos pela raiz da equação do denominador da função:
Pode-se verificar que essa função possui um zero na origem e 3 polos, sendo 1 polo real e 2 complexos.
2. Considere a função de transferência adiante. É possível definir que seu módulo, após três décadas em escala logarítmica, será igual a:
 
A alternativa "E" está correta.
Uma simplificação da função de transferência deve ser realizada para que a análise seja feita de forma adequada:
A função de transferência apresenta um fator constante igual a . O ganho desse fator pode ser definido como:
Ainda é possível identificar 1 zero e 1 polo ambos de ordem 1. O zero aparece em , ou seja, sua ação sobre o módulo e a fase da função de transferência ocorrerá perto da frequência:
O polo aparece em , ou seja, sua ação sobre o módulo e a fase da função de transferência ocorrerá próximo da frequência:
Sendo assim, a análise poderá ser dividida em três partes:
* Como há duas décadas de atuação do zero sem o polo , 
O polo cancela o efeito do zero ao introduzir um declive de ao aclive de . Logo, para qualquer frequência acima de 100 (acima de duas décadas na escala logarítmica), o ganho será de 
MODULO 2 - Descrever os princípios necessários para a análise da resposta em frequência em diagramas polares
1. Determinado sistema físico tem a função de transferência e a resposta em frequência apresentadas a seguir. Observando essas informações é possível definir que:
A) É estável, pois possui polos no semiplano direito.
B) É instável, já que possui polos no semiplano direito.
C) É estável, uma vez que (entrada/saída).
D) É instável, pois (entrada).
E) É estável, porque seu Diagrama de Nyquist envolve o polo .
A alternativa "D" está correta.
A função de transferência do sistema permite definir que o sistema possui três polos, que estão localizados no semiplano esquerdo e na origem:
Isso permite definir que . Entretanto, é possível observar que o polo é envolvido pelo Diagrama de Nyquist. Dessa maneira, . Assim, pode-se definir que . Logo, o sistema é instável.
2. A função de transferência de um sistema de controle de uma planta industrial é fornecida adiante:
Observando o diagrama da resposta em frequência dessa função, é possível definir que:
A) É estável, pois seu Diagrama de Nyquist envolve o polo .
B) É estável, uma vez que (entrada).
C) É instável, porque seu Diagrama de Nyquist envolve o polo (entrada/saída).
D) É estável, pois possui polos no semiplano direito.
E) É instável, já que possui polos no semiplano direito.
A alternativa "B" está correta.
A função de transferência do sistema permite definir que ele possui três polos localizados no semiplano esquerdo e na origem:
Isso nos permite definir que . Também é possível observar que o polo não é envolvido pelo Diagrama de Nyquist. Dessa forma, . Com isso, pode-se definir que . O sistema, portanto, é estável.