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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Professora: Carla Pinheiro Moreira Aula 1 - Vetores 1. (𝑅𝑛): Um vetor 𝑅𝑛é uma lista ordenada de n números reais. Dizemos que é uma n-upla de números reais. Exemplos: (1, 2) são vetores de 𝑅2 (−1, 2, 3) são vetores de 𝑅3 (1, 2, 3, 4) ≠ (2, 1, 3, 4) são vetores de 𝑅4 2. Soma de vetores em 𝑅𝑛: u + v = (𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛) + (𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛) = (𝑢1+𝑣1, 𝑢2+𝑣2, . . . , 𝑢𝑛+𝑣𝑛) Exemplo: 𝑅4 (1,-1,1/4,-2/3) + (-2,2,3/4,5/3) = (1-2,-1+2,1/4+3/4,-2/3+5/3) = (-1,1,1,1) Propriedades da Soma em 𝑅𝑛: • comutativa: u + v = v + u • associativa: (u + v) + w = u + (v + w) • elemento neutro: v + 0 = 0 + v • inverso aditivo: u + (−u) = 0 3. Soma de um ponto com o vetor: Seja um ponto A, um ponto B e um vetor v: A + v = B ou seja, B – A = v Exemplo: Se A = (4,2), B = (8,5) então v = (8-4, 5-2)= (4,3) 4. Diferença de vetores em 𝑅𝑛: u - v = (𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛) + (𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛) = (𝑢1 − 𝑣1, 𝑢2 − 𝑣2, . . . , 𝑢𝑛 − 𝑣𝑛) Exemplo: 𝑅4 (1,-1,1/4,-2/3) - (-2,2,3/4,5/3) = = (1+2,-1-2,1/4-3/4,-2/3-5/3) = (3,-3,-2/4,-7/3) = (3,-3,-1/2,-7/3) 5. Multiplicação por escalar ou produto escalar-vetor: Dados o vetor u = (𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛) e o escalar t ∈ R, definimos o vetor multiplicação de t por u, denotado por tu: tu = (t𝑢1, t𝑢2, . . . , t𝑢𝑛) Obs: um número real é chamado de escalar. Exemplo: Se u = (-1,3,1,-2,3/2), então 2u = 2(-1,3,1,-2,3/2)= (-2,6,2,-4,3) 6. Múltiplo ou paralelo: Dizemos que v é múltiplo de (ou paralelo a) w se existe um escalar t tal que v = tw. Exemplos: • São paralelos entre si: (-2,4,-6,1) e (1,-2,3,-1/2) pois (-2,4,-6,1) = -2(1,-2,3,-1/2) e (1,-2,3,-1/2) = -1/2(-2,4,-6,1). • O vetor 0 é paralelo ou múltiplo de qualquer outro pois 0 = 0w para qualquer w.
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