0 MA Elemento Textual - Geometria Analítica e Álgebra Linear

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA 
LINEAR 
Roberto Carlos Lourenço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
SUMÁRIO 
 
BLOCO 1: VETORES 3 
BLOCO 2: VETORES NO R³ E GEOMETRIA ANALÍTICA 12 
BLOCO 3: GEOMETRIA ANALÍTICA 26 
BLOCO 4: ESPAÇOS VETORIAIS 39 
BLOCO 5: ESPAÇO VETORIAL EUCLIDIANO 49 
BLOCO 6: TRANSFORMAÇÃO LINEAR 58 
 
 
 
 
 
3 
 
 
BLOCO 1: VETORES 
Neste bloco, abordaremos Vetores no R³, um conteúdo fundamental para as demais 
disciplinas dos cursos de Engenharia. 
Iniciaremos nossos estudos a respeito desse tópico, explorando sua definição, seu 
ponto no espaço e os segmentos orientados equipolentes. Em seguida, analisaremos o 
vetor em coordenadas por meio da igualdade e adição de vetores; do ponto médio do 
segmento e o módulo do vetor. Por fim, encerraremos o bloco com o produto de vetor 
por um escalar. 
Apesar de esse tema parecer assustador, recomendo que você tenha coragem e não se 
intimide, pois, após o término deste momento de aprendizagem, eu garanto: esse 
medo será superado! 
Bons estudos! 
 
1.1 Definição de Vetores no R³ 
 
 O ponto no R³ 
Neste primeiro momento, estudaremos o ponto no R³, realizando a representação em 
três dimensões, em outras palavras, no espaço. Dessa forma, será necessário utilizar 
três coordenadas (x, y, z), trabalhando com três eixos coordenados: das abscissas (x), 
das ordenadas (y) e das cotas (z). 
 
 
 
 
 
4 
 
Na figura, consideramos os três eixos concorrentes no ponto O e perpendiculares dois 
a dois, determinando o espaço R³. Temos o ponto P indicado pelas coordenadas 
 PPP zyx ,, . 
 
 Segmentos Orientados Equipolentes 
 
 - Definição: 
Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando ambos possuem o 
mesmo módulo, direção e sentido, sendo indicado como CDAB ~ . 
 
 
 
 - Relação de equivalência: 
 
I) Reflexividade - Todo segmento orientado do espaço é equipolente a si mesmo: 
ABAB ~ 
II) Simetria - Se o segmento orientado AB é equipolente à CD , então CD é 
equipolente à AB : se ABCDCDAB ~~  
III) Transitividade - Se o segmento orientado AB é equipolente à CD e se CD é 
equipolente à EF , então AB é equipolente à EF : se 
EFABEFCDeCDAB ~~~  
 
 
 
 
 
5 
 
 
 - Definição de Vetores no R³: 
 
Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes, ou seja, é 
um conjunto de segmentos orientados equipolentes. 
Dessa forma, um vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de 
todos os segmentos orientados no espaço que são equipolentes à AB . 
 
 
 
Na figura, temos os segmentos orientados AB , CD e MN que são equipolentes, 
isso acontece por que eles possuem mesmo comprimento, direção e sentido; assim, 
representam o mesmo vetor v

. 
 
1.2 Vetor em Coordenadas 
Neste momento, vamos compreender a representação do vetor no espaço, estudando 
suas coordenadas no R³. 
 
 - Definição: 
Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados que têm as mesmas 
coordenadas. 
 
 
 
 
6 
 
 
O segmento orientado AB , com origem em A e extremidade B, tem as coordenadas: 
 
 
 
Exemplo 1: Apresente as coordenadas do vetor indicado. 
 
 
 
Assim, podemos afirmar que qualquer um dos segmentos orientados anteriores 
representa o mesmo vetor. 
Todos os vetores do espaço R³ são denotados por V³, onde R³ é o conjunto de todos os 
ternos ordenados de números reais, e o conjunto V³ é o conjunto de todos os vetores 
do espaço R³. 
 
 
 
 
 
7 
 
 - Notação para coordenadas do vetor: 
 
 
),,(
),,(
zyxBABAu
zyxABABv


 
 
 Igualdade de Vetores 
 
);;( 111 zyxv  
);;( 222 zyxu  









21
21
21
222111 );;();;(
zz
yy
xx
zyxzyxuv
 
 
Dois vetores são iguais se possuem as mesmas coordenadas. 
 
Exemplo 2: Qual é o par de vetores iguais? 
 
 
 
 
 
8 
 
 Adição de Vetores 
 
);;( 111 zyxv  
);;( 222 zyxu  
);;();;();;( 212121222111 zzyyxxzyxzyxuv  
 
A adição entre dois vetores é realizada com a soma da coordenada x de um vetor com 
a x do outro, da mesma forma y com y e z com z. A adição entre dois vetores 
determina outro vetor. 
 
Exemplo 3: Desenvolva. 
 
)7;3;2(v 
)1;6;5(u 
 
uva ) 
)8;9;7()17;63;52( uv 
 
uvb ) 
)6;3;3()17;63;52( uv 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 Ponto Médio 
 
 
 
 Módulo do Vetor 
 
 
 
1.3 Produto de Vetor por um Escalar 
Agora, vamos entender como realizar o produto de vetor com um escalar, sendo esse 
um número real. 
 
Sejam o vetor v e um escalar β (um número real qualquer), tal que: 
.³),,( ReVzyxv  
 
 
Produto de vetor por um escalar: 
 zyxzyxv  ,,),,( 
 
 
 
 
10 
 
Dessa forma, temos que o produto de vetor por um escalar é a multiplicação do 
escalar com cada coordenada do vetor indicado. 
 
Exemplo 1: Dados β = 4 e )7,3,2(v , calcule β. 
 
 
Exemplo 2: Dados β = 3. )3,5,1(u e )2,6,4(v , calcule β.(u + v). 
 
 
Exemplo 3: Determine as coordenadas do vetor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Exemplo 4: Dados os vetores a seguir, determine as coordenadas do vetor x : 
 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos os Vetores no R³, sua definição, seu Ponto no Espaço, os 
Segmentos Orientados Equipolentes, o Vetor em Coordenadas, a Igualdade de 
Vetores, a Adição de Vetores, o Ponto Médio do Segmento, o Módulo do Vetor e o 
Produto de Vetor por um Escalar. 
 
Referências 
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. Problemas e exercícios etc. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1994. 
REIS, G. L; SILVA, V. V. Geometria Analítica. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 
LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
BLOCO 2: VETORES NO R³ E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Neste bloco, teremos um estudo inicial sobre o Sistema de Coordenadas para 
compreender o vetor; o ponto e a reta no espaço; o vetor unitário; a regra do 
triangulo; e a adição de vetores. Em seguida, analisaremos os Produtos entre Vetores; 
o Produto Escalar ou Interno; o Produto Vetorial ou Externo; e o Produto Misto. Por 
fim, vamos explorar a Geometria Analítica, abordando o conteúdo sobre a Reta no R³ 
para ser possível estudarmos sua representação por meio de equações. 
Desejo um ótimo período de estudos! 
 
2.1 Sistemas de Coordenadas 
Neste momento vamos identificar o Sistema de Coordenadas em R³. 
Sendo O um ponto de R³ e ),,( kjiB

 uma base ortonormal positiva de V³. 
Ao par (O, B) que também pode ser indicado por ),,,( kjiO

, damos o nome de sistema 
ortogonal de coordenadas em R³. 
O ponto O é a origem do sistema. Os eixos concorrentes em O que têm os sentidos dos 
vetores kji

,, denominam-se, respectivamente, eixo das abscissas, das ordenadas e 
das cotas. Esses são os eixos coordenados. 
 
 
 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
2.2 Produto entre Vetores 
 Produto Escalar ou Produto Interno 
 
 - Definição Algébrica: 
Sendo ),,( 111 zyxu 
 e ),,( 222 zyxv 
 vetores no V³, o produto escalar é dado por 
212121 .... zzyyxxvu 

 
 
Outra forma de indicar o produto escalar entre os dois vetores é:  vu

, , onde se 
lê “ u

 escalar v

”. 
É importante compreender que o produto escalar entre dois vetores determina um 
escalar, ou seja, um número real. 
 
 - Exemplos: 
1) Dados os vetores )5,3,2(u

 e )4,2,0(v

, apresente o produto escalar vu

. . 
 - Resolução: 
2620604.52.30.2. vu

 
 
2) Dados os vetores )2,7,1(u

 e )5,1,3(v

, apresente o produto escalar  vu

, . 
 - Resolução: 
1410735.21.73).1(,  vu

 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 - Propriedades do Produto Escalar: 
Para quaisquer vetores wevu

, e o número real β, temos: 
P1) uvvu

..  
P2) wuvuwvu

..).(  
P2) ).()..()..( vuvuvu

  
P4))0,0,0(0,0.00. 

useuueuseuu 
P5) 
2
. uuu

 
 
 - Definição Geométrica de Produto Escalar: 
Se veu
 forem vetores não nulos e θ for o ângulo entre eles, temos 
cos.., vuvuvu

 , sendo 0° ≤ θ ≤ 180° 
 
 
Dois vetores são ortogonais se, e somente se, 0. vu

 
 
 - Projeção ortogonal de um vetor sobre outro vetor: 
Seja θ o ângulo entre veu
 . 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
Em ambos os casos, u

. é a projeção ortogonal do vetor v

 sobre o vetor u

. 
 
 - A notação é: 
u
u
vu
uvproju




 .
,
.
2

 
 
 
 Produto Vetorial ou Produto Externo 
O produto vetorial de dois vetores é uma operação que associa, a cada par de vetores 
vu

, de V³, um vetor, indicado por vu

 , que se lê: “u

 vetorial v

”. 
 
 - Outra Notação: vxu
 
 
 - Definição de Produto Vetorial: 
Sendo ),,( 111 zyxu 
 e ),,( 222 zyxv 
 vetores quaisquer de V³, o produto vetorial é 
determinado: 
222
111
zyx
zyx
kji
vu


 
 
 - Exemplo: 
Para os vetores )2,3,1(u

 e )5,4,0(v

apresente vu

 
 
 
 
 
17 
 
 - Resolução: 
540
231
kji
vu


 
 
Você lembra como se calcula a determinante de uma matriz quadrada de ordem 3? 
Utilizamos essa ferramenta! 
)4,5,7(457
854.15
0.3.4.2.5.1.4.1.0.2.5.3.
4
3
0
1
540
231




kjivu
ijkivu
kijkjivu
jikji
vu





 
 
O produto Vetorial entre dois vetores determina um vetor. 
 
 - Propriedades: 
 
Para quaisquer vetores wevu

, e o número real β, temos: 
P1) ).().().( vuvuvu

  
P2) wuvuwvu

 )( 
P3) uvvu

 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 - Condições de Colinearidade entre dois Vetores: 
 
Se veu
 são vetores não nulos e θ o ângulo entre eles, temos que veu
 
são colineares se, e somente se, 0

 vu . 
Se veu
 não são colineares, então vu

 é o vetor que satisfaz as seguintes 
condições: 
 
I) ;1800,..  senvuvu

 
II) O vetor vu

 é ortogonal a veu
 . 
 
 
 
 - Área de Paralelogramo: 
Um paralelogramo cujos lados são os vetores veu
 , sua área é dada por: 
 
vuA ramoparale

log 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 - Área de Triângulo: 
 
Como o triângulo é a metade de um paralelogramo cujos lados são os vetores 
veu
 , sua área é dada por: 
 
2
vu
Atriângulo


 
 
 
 Produto Misto 
 
 - Definição: 
Sejam três vetores ³,, Vwvu 
 , tomados nessa ordem, a expressão: )..( wvu

 
 
 - Notação:   )..(,, wvuouwvu

 
 
Sejam os vetores ),,( 111 zyxu 
 , ),,( 222 zyxv 
 e ),,( 333 zyxw 
 quaisquer de V³. O 
produto misto   ).(,, wvuwvu

 pode ser obtido pelo cálculo do determinante: 
 
 
333
222
111
,,
zyx
zyx
zyx
wvu 

 
 
O resultado do produto misto é um escalar. 
 
 
 
20 
 
 - Propriedades: 
 
Qualquer que seja β ϵ R, temos: 
P1)        wvuwvuwvuwvu

,,,,,,,,   
P2)      wvuwvuwvuu

,,,,,, 2121  
     wvuwvuwvvu

,,,,,, 21211  
     2121 ,,,,,, wvuwvuwwvu

 
 
 - Condições de Coplanaridade entre três vetores: 
 
I) Três vetores wevu

, são coplanares se, e somente se, o produto misto entre 
eles resulta em zero. 
  0,, wvu
 
 
II) Se o produto misto entre os três vetores for diferente de zero, os três vetores não 
são coplanares. 
  0,, wvu
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 - Volume do Paralelepípedo: 
Sendo o paralelepípedo de arestas wevu

, , conforme representação abaixo 
 
 
 
O volume do mesmo é dado por: 
 wvuV pedoparalelepí

,, 
Sendo o módulo do produto misto  wvu

,, . 
 
2.3 Retas no R³ 
 
 A reta no R³ 
Quando estudamos a reta, seja no R² ou no R³, é fundamental conhecermos um dos 
axiomas da Geometria Euclidiana que afirma: dois pontos distintos determinam uma 
única reta. 
Dessa forma, temos que, dois pontos distintos ),,( 111 zyxA  e ),,( 222 zyxB  de R³ 
determinam uma reta r. 
Um ponto P = (x, y, z) pertence à reta r se, e somente se, os vetores AP e AB forem 
linearmente dependentes (LD) ou, ainda, se AP e AB são paralelos. 
Logo, um ponto P pertence à reta se, e somente se, existir um escalar λ, tal que 
ABAP . 
 
 
 
 
22 
 
 - Definição de reta: 
Reta determinada por um ponto A e um vetor 0v

 é o conjunto dos pontos P de R³ 
que satisfazem a relação 
 
.,. RvAPABAP  

 
 
O vetor v

 é chamado de vetor diretor da reta r. 
 
 - Equação vetorial da reta: 
 
 RvAPRPr   ,/³

 
 
Uma reta fica bem definida ao determinar um ponto e a direção pelo vetor diretor. 
 
 - Exemplo: 
Escreva a equação vetorial da reta r que passa pelos pontos A = (5, -4, 2) e B = (3, 1, 6). 
 
 - Resolução: 
Primeiro se determina um ponto como referência: A ou B. 
Ao escolher um ponto, temos o vetor diretor que depende do ponto escolhido. 
Ou seja, se escolher A, o vetor diretor v

 será: ABv 
 . 
Agora, se o ponto escolhido for o B, o vetor diretor v

 será: BAv 
 
Para este caso, trabalharemos com o ponto A. 
O vetor diretor )4,5,2( ABABv

 
A equação vetorial será: 
Rzyxr   ),4,5,2.()2,4,5(),,(: 
 
 
 
23 
 
 - Equações Paramétricas da Reta r: 
 
)(:
1
1
1
R
czz
byy
axx
r 












 
 
Onde x, y e z são coordenadas do ponto P, P = (x, y, z). O ponto de referência possui as 
coordenadas 
111, zeyx , ),,( 111 zyxA  e o vetor diretor ),,( cbav 

. 
 - Exemplo: 
Escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos A = (5, -4, 2) e B = 
(3, 1, 6). 
 
 - Resolução: 
Primeiro determine um ponto como referência: A ou B. 
Ao escolher um ponto, temos o vetor diretor que depende do ponto escolhido. 
Ou seja, se escolher A, o vetor diretor v

 será: ABv 
 . 
Agora, se o ponto escolhido for o B, o vetor diretor v

 será: BAv 
 
Para este caso, trabalharemos com o ponto A. 
O vetor diretor )4,5,2( ABABv

 
 
 - Equações paramétricas: 
)(
42
54
25
: R
z
y
x
r 












 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 - Equação Normal ou Simétrica da Reta: 
 
 - Equação Normal da reta r 
00,0
: 111






ceba
c
zz
b
yy
a
xx
r
 
 
Onde x, y e z são coordenadas do ponto P, P = (x, y, z). O ponto de referência possui as 
coordenadas 
111, zeyx , ),,( 111 zyxA  e o vetor diretor ),,( cbav 

. 
 
 - Exemplo: 
 
Escreva a equação normal da reta r que passa pelos pontos A = (5, -4, 2) e B = (3, 1, 6). 
 
 - Resolução: 
Primeiro determina um ponto como referência: A ou B. 
Ao escolher um ponto, temos o vetor diretor que depende do ponto escolhido. 
Ou seja, se escolher A, o vetor diretor v

 será: ABv 
 . 
Agora, se o ponto escolhido for o B, o vetor diretor v

 será: BAv 
 
Para este caso, vamos trabalhar com o ponto A. 
O vetor diretor )4,5,2( ABABv

 
 
 - Equação Normal: 
4
2
5
4
2
5
:





 zyx
r 
 
 
 
 
 
25 
 
Conclusão 
Estudamos, neste bloco, o sistema de coordenadas para compreender o vetor; o ponto 
e a reta no espaço; o vetor unitário; a regra do triangulo; e a adição de vetores. Em 
seguida, analisamos os produtos entre os vetores; o produto escalar ou interno; o 
produto vetorial ou externo; e o produtos misto. Por fim, exploramos a geometria 
analítica, abordando o conteúdo sobre a Reta no R³, desta forma, foi possível 
estudarmos sua representação por meio de equações. 
 
Referências 
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear – Problemas e exercícios etc. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1994. 
REIS, G. L; SILVA, V. V. Geometria Analítica. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 
LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. ÁlgebraLinear e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
 
 
 
26 
 
 
BLOCO 3: GEOMETRIA ANALÍTICA 
Neste bloco abordaremos as posições relativas ente as retas no R³, identificando 
quando duas retas são coplanares ou reversas; e quando são paralelas distintas, 
coincidentes ou concorrentes. Teremos a oportunidade de estudar a definição do 
Plano no R³, conhecendo as equações Vetorial, Paramétrica e Cartesiana do Plano. 
Para finalizar, veremos as posições relativas entre dois planos no R³. 
Aproveite o momento para aprender o máximo o possível. 
Ótimos estudos! 
 
3.1 Posições Relativas entre Retas 
Estudando as duas retas r e s no R³, ao fixar um sistema ortogonal de coordenadas
),,,( kjiO

, é possível identificar as posições relativas entre as duas, sendo coplanares 
ou reversas. 
 
 
 Figura 1.1 Figura 1.2 
Nas figuras 1.1 e 1.2, as retas r e s são coplanares e pertencem ao mesmo plano π. 
 
 
 Figura 1.3 
 
Na figura 1.3 as retas r e s são reversas, não existindo um mesmo plano que contém as 
retas r e s. 
 
 
 
27 
 
 Duas retas reversas 
Para ser possível expressar analiticamente que duas retas são reversas, temos que a 
reta r é definida por um ponto A e um vetor diretor u

, sendo r: (A, u

); e a outra reta s 
definida por um ponto B e um vetor diretor v

, s: (B, v

). 
Ao calcular o produto misto de u

, v

 e AB , se o resultado for diferente de zero, 
podemos afirmar que as duas retas r e s são reversas. 
   0,, ABvu  
 
 - Exemplo: 
Verifique se as retas r e s são reversas: 
4
3
3
2
2
1
:




 zyx
r e 
1
1
2
4
4
3
:




 zyx
s 
 
 - Resolução: 
Primeiro, identificamos as coordenadas dos vetores diretores e dos pontos de 
referências (A e B). 
 
Reta r: 
)4,3,2(u
 
A = (1, 2, 3 
Reta s: 
)1,2,4(v
 
B = (3, 4, 1) 
 
 
 
28 
 
Segundo, determinamos as coordenadas do segmento orientado AB : 
)2,2,2(  ABAB 
 
Terceiro, calculamos o produto misto  ABvu ,,  : 
  34
222
124
432
,, 











ABvu

 
  0,,,  ABvupoisreversasretassãoser  
 
 Duas retas coplanares 
Agora, com o objetivo de expressar analiticamente que duas retas são coplanares, 
temos que admitir que a reta r é definida por um ponto A e um vetor diretor u

, sendo 
r: (A, u

); e que a outra reta s é definida por um ponto B e um vetor diretor v

,s: (B, v

). 
Ao calcular o produto misto de u

, v

 e AB , se o resultado for igual a zero, podemos 
afirmar que as duas retas r e s pertencem ao mesmo plano, ou seja, r e s são 
coplanares. 
 
 Duas retas coplanares - concorrentes 
Estudando as duas retas r e s, temos que a reta r é definida por um ponto A e um vetor 
diretor u

, sendo r: (A, u

); e a outra reta s definida por um ponto B e um vetor diretor v

, sendo s: (B, v

). Temos que r e s são coplanares e concorrentes se: 
  0,,,.  ABvueRvu   
 
 
 
 
29 
 
 
As retas r e s são concorrentes, onde o ponto P pertence às duas retas:  Psr  
 
 - Exemplo: 
Verifique a posição relativa das retas r e s: 
 
 )2,5,3(),0,4,2(:  uAr
 e  )1,4,2(),2,1,1(:  vBs
 
 
 - Resolução: 
 
Calculamos o produto misto de u

, v

 e AB 
  0
253
142
253
,, 











ABvu

 
As retas r e s são coplanares. 
 
Agora, vamos verificar se vu

. 
)2,5,3(u

 e )1,4,2(v

 
1
2
4
5
2
3
)1,4,2.()2,5,3(.  poisvu 

 
Neste caso, não existe um escalar α que ao multiplicar com as coordenadas do vetor v

 
determine o vetor u

. 
Portanto, as retas são coplanares e concorrentes. 
 
 
 
 
 
30 
 
 Duas retas coplanares: paralelas distintas ou paralelas coincidentes 
Sendo a reta r definida por um ponto A e um vetor diretor u

, onde r: (A, u

); e a outra 
reta s definida por um ponto B e um vetor diretor v

, s: (B, v

). Temos que r e s são 
coplanares e: 
 
1) paralelas distintas se: 
  0,,,.  ABvueRvu   
 
 
Nesse caso, as retas são paralelas distintas e não possuem um ponto em comum,
  sr . 
 
2) paralelas coincidentes se: 
  .,.,0,, rBousAeRvuABvu    
 
 
 - Exemplo: 
 
Estude a posição relativa das retas: 
 )1,2,3(),0,1,2(:  uAr
 e  )2,4,6(),0,4,4(:  vBs
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 - Resolução: 
Calculamos o produto misto de u

, v

 e AB 
 
  0
056
246
123
,, 













ABvu

 
 
As retas r e s são coplanares. 
 
Agora, vamos verificar se vu

. 
)1,2,3( u

 e )2,4,6( v

 
2
1
4
2
6
3
)2,4,6.()1,2,3(. 


 poisvu 

 
 
As retas r e s são paralelas. Será que são distintas ou coincidentes? 
Para responder é necessário verificar se A ϵ s ou B ϵ r. 
 
A equação normal de r é: 
00,0
: 111






ceba
c
zz
b
yy
a
xx
r
 
12
1
3
2
:
zyx
r 




 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
Nesse caso, vamos substituir as coordenadas do ponto B na equação de r: 
)(0
2
5
2
1
0
2
14
3
24
F



 
Portanto, B não pertence a r. 
 
Dessa maneira, podemos concluir que as retas r e s são paralelas distintas. 
 
3.2 Planos no R³ 
Identificar e compreender o plano no R³, conhecendo sua representação por meio das 
equações. 
 
Pelo axioma da Geometria Euclidiana: 
 
Três pontos distintos não colineares determinam um único plano. 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 - Definição de Plano 
Um Plano determinado por um ponto A e por dois vetores u

e v

é o conjunto dos 
pontos P de R³ que satisfazem à relação: 
 
RvuAPvuAP   ,,....

 
 
 - Equação Vetorial do Plano π: 
RvuAP   ,,..:

 
 
 - Equações Paramétricas do Plano π: 
),(
..
..
..
:
21
21
21
R
cczz
bbyy
aaxx
A
A
A














 
 
 - Equação Cartesiana ou Geral do Plano π: 
0:  dczbyax
 
 
Escreva a equação vetorial, paramétrica e cartesiana do plano π que passa pelos 
pontos A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 1) e C = (1, 2, 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 - Resolução: 
Dentre os três pontos, escolhemos um para determinar o plano π. 
CBveCAuCSe
BCveBAuBSe
ACveABuASe






 
 
Nesse caso, vamos trabalhar com o ponto A. 
 
 
Equação Vetorial do Plano π 
 
 
Equações Paramétricas do Plano π 
 
 
 
 
 
35 
 
Equação Cartesiana ou Geral do Plano π 
 
 
 
3.3 Posições relativas no R³ 
Em R³, dois planos α e β podem ser concorrentes ou paralelos. 
 
 Plano e Plano - Paralelos distintos 
 
Para expressar analiticamente que dois planos são paralelos distintos no R³, 
trabalhamos com as equações cartesianas dos planos α e β: 
0:0: 22221111  dzcybxaedzcybxa  
 
Sendo ),,( 1111 cban 
 o vetor normal do plano α e ),,( 2222 cban 
 o vetor 
normal do plano β. 
21
21
21
21
2121 .
.
.
.
.// dde
cc
bb
aa
nnnn 



 










 
 
 
 
36 
 
 - Exemplo 
Verifique a posição dos planos 07642:0532:  zyxezyx  . 
 
 - Resolução 
Determinamos as coordenadas dos vetores normais de cada plano. 
)3,2,1(1 n
 do plano α 
)6,4,2(2 n
 do plano β 
 
Os planos são paralelos distintos, pois: 
5.27
3.26
.2.24
1..22
.2// 2121 








 ennnn

 
 
 Plano e Plano – Paralelos coincidentes 
 
 
Para expressar analiticamente que dois planos são paralelos coincidentes no R³, 
trabalhamos com as equações cartesianas dos planos α e β: 
0:0: 22221111  dzcybxaedzcybxa  
 
Sendo ),,( 1111 cban 
 o vetor normal do plano α e ),,( 2222 cban 
 o vetor 
normal do plano β. 
 
 
 
37 
 












21
21
21
21
2121
.
.
.
.
.//
dd
cc
bb
aa
nnnn






 
 
 - Exemplo: 
Verifique a posição entre os planos α: x + 3y + 6z+ 5 = 0 e β: 2x + 6y + 12z + 10 = 0. 
 
 - Resolução: 
Determinamos as coordenadas dos vetores normais de cada plano. 
)6,3,1(1 n
 do plano α 
)10,6,2(2 n
 do plano β 
 
Os planos são paralelos coincidentes, pois: 












6.212
5.210
3.26
1.22
.2// 2121 nnnn

 
 
 Plano a Plano – Concorrentes 
 
 
Para expressar analiticamente que dois planos são paralelos coincidentes no R³, 
trabalhamos com as equações cartesianas dos planos α e β: 
0:0: 22221111  dzcybxaedzcybxa  
 
 
 
38 
 
Sendo ),,( 1111 cban 
 o vetor normal do plano α e ),,( 2222 cban 
 o vetor 
normal do plano β. 
21 .nn

 e, sendo v

 o vetor diretor da reta  r , temos que .// 21 nnv

 
Nesse caso, as equações da reta r são da forma geral: 





0
0
:
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
r 
 
 - Exemplo: 
Verifique a posição entre os planos α: x – 2y + z – 5 = 0 e β: 2x – y + 3z – 1 = 0. 
 
 - Resolução: 
Determinamos as coordenadas dos vetores normais de cada plano. 
)1,2,1(1 n
 do plano α 
)3,1,2(2 n
 do plano β 
Os planos são concorrentes, pois: 
3
1
1
2
2
1
. 21  nn

 
 
Conclusão 
Abordamos, neste bloco, as posições relativas ente as retas no R³, identificando 
quando duas retas são coplanares ou reversas; e quando são paralelas distintas, 
coincidentes ou concorrentes. Tivemos a oportunidade de estudar a definição do Plano 
no R³, conhecendo as equações Vetorial, Paramétricas e Cartesianas do Plano. Por fim, 
vimos posições relativas entre dois planos no R³. 
 
Referências 
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear – Problemas e exercícios etc. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1994. 
REIS, G. L; SILVA, V. V. Geometria Analítica. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 
LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
 
 
 
39 
 
 
BLOCO 4: ESPAÇOS VETORIAIS 
Estudaremos, neste bloco, a definição de Espaços Vetoriais, conhecendo alguns 
exemplos clássicos. Em seguida, conheceremos a definição de Subespaços Vetoriais, de 
forma resumida e direta estudando as três condições para definir se um subconjunto 
assume esse papel. 
Outros tópicos fundamentais para darmos continuidade aos nossos estudos são a 
Combinação e a dependência Linear; os critérios para a identificação de um conjunto 
de vetores como Linearmente Dependente (LD) ou Independente (LI); a definição de 
Base de um Espaço Vetorial; e a Dimensão do Espaço Vetorial. 
 Bons estudos! 
 
4.1 Espaços Vetoriais 
 - Definição 
Um conjunto V não vazio (V ≠ ø) é um espaço vetorial sobre R ou C, para quaisquer u, v 
є V e α, β є R, se, e somente se, existir a operação de adição em R, definida como: 
 
 
vuvu
VVxV


),(
)(
 
 
Com as seguintes propriedades: 
A1) comutatividade da adição de vetores: u + v = v + u 
A2) associatividade da adição de vetores: u +(v+w) = (u + v) + w 
A3) elemento neutro: u + 0v = 0v + u = u 
A4) simetrizável: u + (-u) = 0 
 
 
 
 
 
40 
 
Ainda, um determinado conjunto V não vazio (V ≠ ø) é um espaço vetorial sobre R ou 
C, para quaisquer u, v є V e α, β є R, se, e somente se, existir uma multiplicação de R x 
V em V que associa, a cada par (α, u) de R x V, um único elemento αu de V, definida 
como: 
 
vv
VRxVx
.),(
)(
 

 
 
Para a multiplicação, valem as propriedades: 
M1) associatividade dos escalares: α(βu) = (αβ) u 
M2) distributividade do produto de um vetor pela soma de escalares: (α+β) u = α u + β 
u 
M3) distributividade do produto de um escalar pela soma de vetores: α (u + v) = α u + 
α v 
M4) elemento unitário 1 . u = u 
 
 - Exemplos de Espaços Vetoriais 
 
 Espaço 
nK 
Seja K um corpo arbitrário, onde a notação nK assume o papel de denotar o conjunto 
de todas as ênuplas de elementos em K. Nesse caso, nK é um espaço vetorial sobre K, 
onde a adição de vetores e a multiplicação por escalar se definem como: 
 
)...,,,()...,,,()...,,,( 22112121 nnnn babababbbaaa  
e 
)....,,.,.()...,,,.( 2121 nn akakakaaak  
 
O vetor zero de nK é a ênupla de zeros: 0 = (0, 0, 0, ..., 0) 
E o negativo de um vetor é )...,,,()...,,,.( 2121 nn aaaaaa  
 
 
 
41 
 
 Espaço de Matrizes nmM , 
O conjunto formado por todas as matrizes indicadas por nmM , é um espaço vetorial 
sobre K em relação às operações usuais de adição e multiplicação por um escalar. 
 
 Espaço de Polinômios P(t) 
Para o conjunto de todos os polinômios indicados por P(t) = 
n
ntatataa  ....
2
210 
com o coeficiente 
ia em algum corpo K. Então P(t) é um espaço vetorial sobre K em 
relação às operações usuais de adição de polinômios e multiplicação de um polinômio 
por uma constante. 
 
4.2 Subespaços Vetoriais 
Neste tópico vamos identificar e compreender quando um determinado conjunto é um 
Subespaço Vetorial. 
Por definição, temos que um subconjunto W contido em um espaço vetorial V, com as 
mesmas operações (adição e multiplicação) de V, é um subconjunto vetorial de V 
quando: 
 
• 0v є W 
• u, v є W, u + v є W 
• α є R e u є W, α u є W 
 
 - Exemplo: 
Verifique se o conjunto de matrizes A é um subespaço M3. 
c
b
a
A
00
00
00
 
 
 
 
42 
 
 - Resolução: 
Um subconjunto A contido em um espaço vetorial M3, com as mesmas operações 
(adição e multiplicação) de M3, é um subconjunto vetorial de M3 quando: 
 
• 0v є A 
• u, v є A, u + v є A 
• α є R e u є A, α u є A 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 
 - Exemplo: 
Sendo V o espaço vetorial de todas as matrizes 2 x 2 sobre o corpo real R. Mostre que 
W não é subespaço de V, onde W consiste de todas as matrizes com determinante 
zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
4.3 Combinação Linear, Dependência Linear e Bases 
Vamos compreender as definições de Combinação Linear, Dependência Linear, 
Dimensão e Base. 
 
 Combinação Linear 
Sejam nuuuu ,...,,, 321 elementos do espaço vetorial V, nnuauauaua  ...332211 é 
uma combinação linear de nuuuu ,...,,, 321 . 
 
 - Exemplo 1: 
9578 = 9000 + 500 + 70 + 8 
9578 = 9 . 10³ + 5 . 10 ² + 7 . 10 + 8 
 
 - Exemplo 2: 
 
 - Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 - Exemplo 3: 
Sendo o espaço vetorial V = R³ e S = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, verifique se S gera V. 
Para todo (a, b, c) є R³, temos: (a, b, c) = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1) 
Estão, os elementos de S geram R³. 
 
 Dependência Linear 
 
 - Definição 1 
Seja V um espaço vetorial sobre R, dizemos que um conjunto L = { nuuuu ,...,,, 321 } C V é 
Linearmente Independente (LI) se, e somente se, a igualdade:
vnnuauauaua 0...332211  , só for possível se 0...321  naaaa . 
 
 - Definição 2 
Seja V um espaço vetorial sobre R, dizemos que um conjunto L = { nuuuu ,...,,, 321 } C V 
é Linearmente Dependente (LD) se, e somente se, a igualdade: 
vnnuauauaua 0...332211  , também for verdade se algum 0ia 
 
 - Exemplo: 
No espaço vetorial M2x2, verifique se o conjunto a seguir é LD ou LI. 
 

























114
07
,
32
01
,
41
03
A
 
































01134
042
073
00
00
114
07
.
32
01
.
41
03
.
cba
cba
cba
cba
 
 
 
 
46 
 
 
 
Resolvendo o sistema, que é possível e indeterminado, temos: 
a = - 2c 
b = - c 
Mas c pode assumir qualquer valor real. Sendo assim, podemos afirmar que o conjunto 
indicado A é LD. 
 
 - Exemplo: 
No R³, verifique se B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é um conjunto LD ou LI. 
a . (1, 0, 0) + b . (0, 1, 0) + c (0, 0, 1) = (0, 0, 0) 
a = 0 
b = 0 
c = 0 
Resolvendo, encontramos como solução: a = 0, b = 0 e c = 0, e, como essa é o único 
resultado possível, podemos afirmar que o conjunto B é LI. 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 Dimensão de um Espaço 
 
 - Definição 
Dimensãode um espaço vetorial V é o número máximo de vetores que se pode reunir 
em um conjunto E, formando uma coleção linearmente independente. Se esse máximo 
não existe, dizemos que V tem dimensão infinita. 
 
 Base 
 
 - Definição 
Um conjunto B contido em um espaço vetorial será a base desse espaço se todo 
elemento de V for uma combinação linear dos elementos de B e se B for linearmente 
independente. 
 
B é uma base de V B é LI e [B] = V. 
 
Se a base de um espaço vetorial tem k elementos, esse espaço vetorial tem dimensão 
k. 
 
 - Exemplo: 
Determine a dimensão e uma base para o espaço vetorial: 
S = {(x, y, z) Є R³: 2x + y + z = 0} 
 
 - Desenvolvimento: 
Analisando 2x + y + z = 0, escolha uma das incógnitas para ficar isolada. Qualquer 
incógnita! 
 z = - 2x –y 
(x, y, z) = (x, y, -2x – y) 
(x, y, z) = x . (1, 0, -2) + y ( 0, 1, -1) 
 
 
 
48 
 
 - Temos: 
B = {(1, 0, -2), ( 0, 1, -1)} , vamos verificar se B é LI ou LD. 
a . (1, 0, -2) + b ( 0, 1, -1) = (0, 0, 0) 
(a, 0, -2a) + (0, b, -b) = (0, 0, 0) 
a = 0 e b = 0 , B é LI. 
Qualquer elemento de S é gerado por 
B = {(1, 0, -2), ( 0, 1, -1)}. 
Logo, B é a Base de S e dim S = 2. 
 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a definição de Espaços Vetoriais; subespaços vetoriais; 
Combinação e dependência Linear. Também, identificamos quando um conjunto de 
vetores é Linearmente Dependente (LD) ou Independente (LI); a definição de Base de 
um Espaço Vetorial; e a Dimensão do Espaço Vetorial. 
 
 
 
Referências 
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear – Problemas e exercícios etc. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1994. 
REIS, G. L; SILVA, V. V. Geometria Analítica. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 
LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
 
 
 
 
49 
 
 
BLOCO 5: ESPAÇO VETORIAL EUCLIDIANO 
Estudaremos, neste bloco, a definição de Vetores para a realização de um estudo 
aprofundado sobre composição de Vetores, Vetores Unitários, Produto Interno de dois 
Vetores, Módulos de dois Vetores, Cosseno do Ângulo de dois Vetores, Desigualdade 
de Cauchy-Schwarz e finalizaremos com a definição de Ortogonalidade. 
Bons estudos! 
 
5.1 Módulo de Dois Vetores 
Vamos identificar e compreender o Espaço Vetorial Euclidiano, definindo os Vetores e 
estudando os módulos de dois vetores. 
 
 Vetores no R² 
 
 - Definição 
É toda função R² em R² tal que, dados a e b são reais e fixos: 
 f(x, y) = (x + a, y + b) 
Um vetor determinado pelo ponto (a, b) é imagem do ponto (0, 0). 
 
 - Definição Geral 
Agora, a definição de vetores, seja em qualquer dimensão, está associada à definição 
no R². 
 
É toda função 
),...,,(),...,,(,: 221121 nnn
nn xaxaxaxxxfquetalRRf 
 
 
 
 
 
50 
 
 Adição de Vetores no 
nR 
Para qualquer n maior ou igual a 1, aplicar um vetor após o outro é adicionar esses 
vetores. 
 
 
 - Propriedades 
A1) É comutativa (Lei do paralelogramo) 
A2) É associativa 
A3) Tem elemento neutro (0, 0, 0, ..., 0) 
A4) Para todo elemento de V (u) há um oposto aditivo (-u) 
 
 - Vetores Unitários 
No R² os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1) 
 {i, j} são Linearmente Independentes (LI) 
 {i, j} é base canônica do R² 
 Qualquer vetor no R² pode ser escrito como uma combinação linear de i e j. 
 
No R³ os vetores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) 
 {i, j, k} são Linearmente Independentes (LI) 
 {i, j, k} é base canônica do R² 
 Qualquer vetor no R³ pode ser escrito como uma combinação linear de i, j e k. 
Sendo n ϵ N*, é possível determinar uma base canônica de Rn. 
 
 
 
51 
 
 Produto Interno de dois vetores 
O produto interno no espaço vetorial V sobre R ou C é toda função de V em V (V x V) 
que associa cada par de vetores (u, v) a um número real representado por u . v ou <u, 
v>, tal que: 
 u.v = v.u 
 u.(v + w) = u.v + u.w 
 (α.u).v = α . (u.v), α ϵ R 
 u . u ≥ 0, para todo u ϵ V 
 u . u = 0 se, e somente se, u = 0 
 
 - Propriedades do Produto Interno: 
 Comutativa: u.v = v.u 
 Distributiva: u.(v + w) = u.v + u.w 
 II u II ≥ 0 
 t. (u.v) = (t.v).v, t ϵ R 
 Dois vetores são ortogonais se o produto interno é zero. 
 
Espaço Vetorial Euclidiano é um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um 
produto interno. 
Para os vetores u = (2, 3, 4), v = (7, 3, 1) e w = (-1, 3, -5), temos: 
a) <u, v> = u . v = 2 . 7 + 3 . 3 + 4 . 1 = 14 + 9 + 4 = 27 
b) <u, w> = u . w = 2 . (-1) + 3 . 3 + 4 . (-5) = -2 + 9 - 20 = -13 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 Módulo de dois vetores 
 
 - Definição 
 
Módulo do vetor é a raiz quadrada do produto interno de u por u: 
²²².),,( cbauuucbau 
 
 
 
5.2 Cosseno do Ângulo de Dois Vetores 
Sendo u e v dois vetores de um espaço vetorial V. Trabalhando com V = R², vamos 
estudar esse conceito. 
 
 θ: é o ângulo gerado pelo vetor u e o eixo x. 
 α: é o ângulo gerado pelos vetores u e v (α = θ – β) 
 β: é o ângulo gerado pelo vetor v e o eixo x. 
 cosα = cos(θ – β) = cosθ . cosβ + senθ . senβ 
 
 
 
53 
 
Dessa maneira, podemos afirmar que: 
 
u
c
cos (cateto adjacente ao ângulo θ sobre a hipotenusa) 
v
a
cos (cateto adjacente ao ângulo β sobre a hipotenusa) 
u
d
sen  (cateto oposto ao ângulo θ sobre a hipotenusa) 
v
b
sen  (cateto oposto ao ângulo β sobre a hipotenusa) 
Logo, 
vu
vu
v
b
u
d
v
a
u
c
.
,
..cos

 
 
 - Exemplo: 
Determine o valor do cos β, sendo β um ângulo formado pelos vetores 
u = (2, 5) e v = (4, 3). 
 
 - Resolução 
vu
vu
.
,
cos

 
Para: 
29²5²2 u 
525²3²4 v 
145
2923
29.5
2923
29
29
.
29.5
23
29.5
158
5
3
.
29
5
5
4
.
29
2
cos 

 
145
29.23
cos   
 
 
 
54 
 
 Desigualdade de Cauchy-Schwarz 
 
É a desigualdade que afirma que o módulo do produto interno de dois vetores é menor 
ou igual ao produto de seus módulos. 
vuvu ..  
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, para quaisquer vetores u, v ϵ V, temos que: 
vuvuvuvuvu ..,.,²,  
Sendo V um espaço com produto interno. Então a norma em V verifica as seguintes 
propriedades: 
 
N1) 0;0  vev se, e somente se, v = 0 
N2) vkvk ..  
N3) vuvu  
 
N3 é a propriedade chamada de desigualdade triangular, pois u + v como lado do 
triângulo formado por u e v, onde N3 afirma que o comprimento de um lado de um 
triângulo não excede a soma dos comprimentos dos outros dois. 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
 - Exemplo: 
Para os vetores u = (2, -3) e v = (4, 5), verifique se vuvu ..  é verdadeiro. 
 
 - Resolução: 
771585).3(4.2)5,4).(3,2(. vu 
53341.132516.94)5,4(.)3,2(. vu 
Podemos afirmar que: 
vuvu ..5337  
 
5.3 Ortogonalidade 
 - Definição 
Dois vetores u e v não nulos do Espaço Vetorial Euclidiano V são ortogonais se o 
produto interno de u e v forem nulos (u . v = 0) 
 
A relação é simétrica, isto é, se u é ortogonal a v, < u,v > = 0 e assim v é ortogonal a u: 
< u,v > = < v, u > = 0 
É importante compreender que 0 ϵ V é ortogonal a todo vetor v ϵ V, pois: 
< 0, v > = < 0v, v > = 0 . < v, v > = 0 
De forma recíproca, se u é ortogonal a todo v ϵ V, então < u, u > = 0, portanto u = 0. 
 
 
 
56 
 
Lembrando que, se u e v são ortogonais, temos cos θ = 0, sendo θ ângulo formado 
pelos vetores u e v, θ = 90°, pois u e v são perpendiculares. 
Todo sistema ortogonal é Linearmente Independente (LI) 
Base ortogonal é toda base cujos vetores dois a dois são ortogonais. 
Base ortonormal é a base ortogonal cujos vetores têm módulos iguais a 1. 
 
 - Exemplo: 
 Suponha que S consiste dos três vetores seguintes em R³: 
u = (1, 2, 1), v = (2, 1, -4) e w = (3, -2, 1). 
 
 - Resolução: 
Vamos verificar se S é ortogonal, estudando se u, v e w são mutuamente ortogonais. 
 
 
 
Assim, S é LI, formado por 3 elementos. Dessa forma, S é a base ortogonal de paraR³. 
Para qualquer vetor (a, b, c) ϵ V, temos: 
(a, b, c) = x . u + y . v + z . w 
(a, b, c) = x . (1, 2, 1) + y . (2, 1, -4) + z . (3, -2, 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
 - Exemplo: Ache k de modo que os vetores u = (1, 2, k, 3) e v = (3, k, 7, -5) sejam 
ortogonais em 
4R . 
 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a definição de Vetores, com o objetivo de realizar um estudo 
aprofundado sobre a composição de Vetores; Vetores Unitários; Produto Interno de 
dois Vetores; Módulos de dois Vetores; Cosseno do Ângulo de dois Vetores; 
Desigualdade de Cauchy-Schwarz e finalizamos com a definição de Ortogonalidade. 
 
 
 
Referências 
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear – Problemas e exercícios etc. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1994. 
REIS, G. L; SILVA, V. V. Geometria Analítica. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 
LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
 
 
 
 
58 
 
 
 
BLOCO 6: TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
Neste último bloco, estudaremos a definição de uma Transformação Linear, 
conhecendo seus exemplos e contraexemplos. Em seguida, a veremos por meio de 
uma Matriz. Aprenderemos, também, a Transformação do Vetor Nulo; a Imagem e o 
Núcleo de uma Transformação Linear; a Transformação linear como combinação 
linear; e as Bases de um Espaço Vetorial e Transformação Linear. 
 
6.1 Transformações Lineares 
 
 - Definição: 
Dados os espaços vetoriais U e W sobre o corpo K, definimos transformação linear 
sobre K com uma função f de U em W, tal que, dado u, w ϵ U e o escalar k ϵ K, 
verificam-se as seguintes condições: 
 
i. f (u + w) = f (u) + f (w); 
ii. f (k.u) = k . f (u). 
 
 - Exemplo: 
Sendo f: R² em R², f (x, y) = (x, 0), verifique se f é uma transformação linear. 
 
 - Resolução: Para verificar se a função indicada por f é uma transformação linear 
estudamos as condições: 
 
i. f (u + w) = f (u) + f (w); 
ii. f (k.u) = k . f (u). 
 
 
 
 
59 
 
 Verificando: 
R² é um espaço vetorial, com os vetores v = (a, b) e w = (c, d), onde pela definição de f, 
temos: 
f (u) = f(a, b) = (a, 0) e f (w) = f(c, d) = (c, 0) 
1ª Condição: f (u + w) = f(u) + f(w) ? 
f (u + w) = f[(a, b) + (c, d)] = f(a + c, b + d) = (a + c, 0) 
f (u) + f (w) = f(a, b) + f (c, d) = (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) 
1ª Condição: f (u + w) = f(u) + f(w) foi satisfeita! 
 
 Verificando: 
2ª Condição: f (k.u) = k . f (u) 
Sendo f (u) = f(a, b) = (a, 0) pela definição de f 
Sendo f (u) = f(a, b) = (a, 0) pela definição de f 
k . f (u) = k . f (a, b) = k . (a, 0) = (k.a, 0) 
2ª Condição: f (k. u) = k . f(u), também foi satisfeita! 
Portanto, f: R² em R², f(x, y) = (x, 0) é uma transformação linear. 
 
 - Contraexemplo: 
Sendo f: R em R, f (x) = 2x + 1, verifique se f é uma transformação linear. 
Para verificar se a função indicada por f é uma transformação linear, estudamos as 
condições: 
 
i. f (u + w) = f (u) + f (w) 
ii. f (k.u) = k . f (u) 
 
 
 
 
 
 
60 
 
Verificando: 
R é um espaço vetorial, com u ϵ R e w ϵ R, onde pela definição de f, temos: 
f (u) = 2. u + 1 e f (w) = 2. w + 1 
1ª Condição: f (u + w) = f(u) + f(w)? 
f (u + w) = 2. (u + w) + 1 = 2 u + 2 w + 1 
f (u) + f (w) = 2.u + 1 + 2.w + 1 = 2 u + 2 w + 2 
1ª Condição: f (u + w) = f(u) + f(w) não foi satisfeita! 
Portanto, f: R em R, f(x) = 2x + 1 não é uma transformação linear. 
 
 Transformação Linear por meio de uma Matriz 
 
 - Exemplo: 
Dada a matriz A, aplicar uma transformação linear f: R³ em R². 







245
021
A
 
Os vetores u e w de R² e R³ na forma de vetor-coluna. 
u = (a, b, c) e w = (r, s) 


















s
r
we
c
b
a
u
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
 - Resolução: 
 
 
Portanto, a matriz A representa uma transformação linear do R³ e R², em que os 
vetores dos conjuntos são escritos na forma de vetor-coluna. 
 
 Transformação Linear do Vetor Nulo 
Para uma transformação linear f: U em W e sendo 0 o vetor nulo de U, f(0) = 0 ϵ W. 
Onde as condições são satisfeitas: 
I. f (u + w) = f(u) + f(w) 
f (0 + 0) = f (0) = f(0) + f(0) = 0 
II. f(k.u) = k. f(u) 
f(k.0) = k. f(0) = k. 0 = 0 
 
 - Exemplo: 
Sendo f: R² em R², f(x, y) = (x, 0). 
Pela definição de f, temos: 
f(0, 0) = (0, 0) 
Portanto, f: R² em R², f(x, y) = (x, 0) é uma transformação linear. 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 - Contraexemplo: 
Sendo f: R em R, f(x) = 3x – 1. 
Pela definição de f, temos: 
f(0) = 3.0 – 1, sendo diferente de zero. 
Portanto, se f(0) ≠ 0, f não é uma transformação linear. 
 
É necessário que a imagem do vetor nulo seja ele próprio para indicar uma 
transformação linear, mas o fato disso acontecer não é o suficiente para garantir que 
se trata de uma transformação linear. 
 
6.2 Núcleo de uma Transformação Linear 
 
 Imagem de uma transformação Linear 
 
 - Definição: Seja WUf : uma transformação linear. A imagem de f, escrita Im (f), 
é o conjunto dos pontos imagem em W: 
Im (f) = {w ϵ W: f(u) = w para qualquer u ϵ U} 
Seja WUf : uma transformação linear. Então, a imagem de f é um subconjunto de 
U. 
 
 - Exemplo: 
Seja ³³: RRf  a transformação projeção sobre o plano xy: f(x, y, z) = (x, y, 0). 
 
 
 
63 
 
 
Dessa forma, a imagem de f é o plano xy. Sendo, Im (f) = {(a, b, 0): a, b ϵ R}. 
 
 Núcleo de uma Transformação Linear 
Definida a transformação linear WUf : , denominamos núcleo dessa 
transformação linear o conjunto de todos os vetores de U que têm como imagem o 0 
(zero) pertencente a W. 
Sua representação é dada por N (f) = {u ϵ U: f(u) = 0}. 
 
 - Exemplos: 
1. Sendo ³³: RRf  a transformação projeção sobre o plano xy: f(x, y, z) = (x, y, 0). 
 
 
 
 
64 
 
Dessa forma, é possível identificar que o núcleo de f é o eixo dos z. 
Sendo, N (f) = {(0, 0, c): c ϵ R}, uma vez que esses pontos, e somente esses pontos, são 
transformados no vetor nulo: 0 = (0, 0, 0). 
 
2. Sendo f: R² em R², f(x, y) = (x, 0) apresente o núcleo dessa transformação linear. 
 
Resolução: 
Sendo todos os elementos de R² com x = 0 temos como imagem (0, 0). Logo, N (f) = {(0, 
y) ϵ R²}. Dessa forma, o conjunto N (f) é representado no plano cartesiano pelo eixo 
dos y. 
 
6.3 Transformação Linear como Combinação Linear 
Sendo WUf : uma transformação linear nos espaços vetoriais U e W, temos f(u + 
w) = f(u) + f(w) e f(k.u) = k. f(u), podemos afirmar que, para os vetores u, v ϵ U: 
).().()..()()()(
)(.).(
)(.).(
vsfurfvsurfvfufvufe
vfsvsf
ufrurf


 
Onde, 
f(r.u) + f(s.v) = r. f(u) + s. f(v), permitindo a devida denotação: 
f(r.u + s. v) = r. f(u) + s. f(v) 
 
Podemos afirmar que a transformação linear de uma combinação linear de u e v [r.u + 
s.v] é a combinação de f(u) e f(v), para r e s escalares. 
 
 Bases de um Espaço Vetorial e Transformação Linear 
Uma base },...,,[ 21 nbbbB  gera todo o espaço vetorial U, ou seja, cada vetor u ϵ U é 
uma combinação linear dos elementos de B. 
nn bababau ...... 2211  
 
 
 
65 
 
Ao aplicar f em u, determinamos [f(u)], sendo uma combinação linear das 
transformações lineares de nbbb ,...,, 21 , ou seja, 
)(....)(.)(.)( 2211 nn bfabfabfauf  
Não podemos afirmar que )(),...,(),( 21 nbfbfbf é uma base de W, sem antes estudar 
a condição para o mesmo ser uma base. 
 
 - Exemplo: 
Dada a base B = {(1, 1, 1); (1, 2, 3); (2, -1, 1)} do R³ e a transformação linear f de R³ em 
R³, em que: f (1, 1, 1) = (2, 0, 1), f (1, 2, 3) = (3, -1, 3) e f (2, -1, 1) = (1, 3, 1). Sem 
conhecer a definição de f, apresente f (3, 9, 10). 
 
 - Resolução: 
Sendo B a base do R³, podemos afirmar que (3, 9, 10) é uma combinação linear: 
(3, 9, 10) = a. (1, 1, 1) + b. (1, 2, 3) + c. (2, -1, 1) 
Nesse caso, é necessário determinar os valores de a, b e c. 








103
92
32
cba
cba
cba
 
Ao resolver o sistema temos a = 2, b = 3 e c =-1. 
 
Dessa forma temos que: 
 
)(....)(.)(.)( 2211 nn bfabfabfauf  
)10,6,12(()10,9,3(
)1,3,1()9,3,9()2,0,4()10,9,3(
)1,3,1).(1()3,1,3.(3)1,0,2.(2)10,9,3(
)1,1,2(.)3,2,1(.)1,1.,1(.)10,9,3(




f
f
f
fcfbfaf
 
 
Portanto, podemos afirmar que f(3, 9, 10) = (12, -6, 10). 
 
 
 
66 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a definição de uma Transformação Linear; a Transformação 
Linear por meio de uma Matriz; a Transformação do Vetor Nulo; Imagem de uma 
Transformação Linear; Núcleo de uma Transformação Linear; Transformação linear 
como combinação linear; Bases de um Espaço Vetorial e Transformação Linear. 
Ao concluirmos nossa disciplina, gostaria de agradecer por ter chegado até aqui e 
deixar meus votos de sucesso para as demais etapas da sua jornada! 
 
Referências 
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear – Problemas e exercícios etc. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1994. 
REIS, G. L; SILVA, V. V. Geometria Analítica. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 
LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
 
 
 
 
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