P2 2 2015 mecanica

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Pucminas – Engenharia Mecânica 
Prova 02 – Álgebra Linear - Valor 40 Pontos – 24/11/15 – Prof. Fabiano 
 
Nome: ______________________________________________________________________ 
 
 
1) Um conjunto de funções ���, ��� é dito linearmente independente se o determinante 
Wronskiano ����, ��	 
�� ����� ���
 é não nulo. 
 
a) Para quais valores das constantes �� e �� (se existirem) o conjunto �
��� , 
���� é linearmente 
independente. (5 pontos) 
 
b) Para quais valores das constantes � e � (se existirem) o conjunto �
���
����	, 
��������	� é 
linearmente independente. (5 pontos) 
 
 
2) Seja �� o espaço vetorial dos polinômios de grau � 2, da forma ���	 � �� ! "� ! �. 
Verifique se o conjunto ��� # 2	�, 3 # �, 2�� forma uma base para �� (10 pontos) 
 
 
3) Considere transformação linear %:'( )'( tal que % *�+,- � .
5� ! + # ,� ! 3+ # ,#� # + ! 30. 
 
a) Sabendo-se que 1 � 6 é um autovalor de %, determine, se existirem, os outros 
autovalores de %. (4 pontos) 
 
b) % é diagonalizável? Caso positivo, se 3 é a matriz associada a %, reescreva 3 na forma 
fatorada 3 � �4�5�. (6 pontos) 
 
 
4) O núcleo de uma transformação linear T:'7 8 '9 é o conjunto de todos os vetores v;< = '7 
tais que T�v;<	 � 0;< = '9, isto é, é o conjunto de todos os vetores do domínio cuja imagem é o 
vetor nulo do contra-domínio. A imagem de T:'7 8 '9 é o conjunto de todos os vetores w;;;< = '9 para os quais existe v;< = '7 tal que T�v;<	 � w;;;< = '9, isto é, é o conjunto de todos os 
vetores do contradomínio associado a algum vetor do domínio. Determine o núcleo e a 
imagem de T:'( 8 '(, em que T é a projeção sobre o plano � ! + ! , � 0. (10 pontos)